Страница 58, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

1) Мальчик сделал игрушечный парусник и пустил его по ручью. Парусник проплыл за $15\text{ мин}$ расстояние, равное $300\text{ м}$. Найди скорость, с которой течёт ручей, и вырази её в километрах в час.

2) Скорость течения реки $2,4\text{ км/ч}$. За сколько времени по этой реке проплывёт плот расстояние, равное $10,2\text{ км}$?

1)

Чтобы найти скорость течения ручья, необходимо разделить расстояние, которое проплыл парусник, на время, затраченное на этот путь. Скорость парусника без собственного двигателя равна скорости течения.
Исходные данные:
Расстояние (S) = 300 м
Время (t) = 15 мин
Сначала найдём скорость в метрах в минуту:
$v = \frac{S}{t} = \frac{300 \text{ м}}{15 \text{ мин}} = 20 \text{ м/мин}$
Далее, нам нужно выразить эту скорость в километрах в час. Для этого переведём метры в километры и минуты в часы.
В 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 60 минут.
Способ 1: Перевод единиц измерения скорости.
Чтобы перевести скорость из м/мин в м/ч, умножим её на 60 (так как в часе 60 минут):
$20 \text{ м/мин} \times 60 = 1200 \text{ м/ч}$
Теперь переведём м/ч в км/ч, разделив на 1000 (так как в километре 1000 метров):
$1200 \text{ м/ч} \div 1000 = 1,2 \text{ км/ч}$
Способ 2: Перевод исходных данных.
Переведём расстояние в километры: $S = 300 \text{ м} = \frac{300}{1000} \text{ км} = 0,3 \text{ км}$
Переведём время в часы: $t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$
Теперь вычислим скорость в км/ч:
$v = \frac{S}{t} = \frac{0,3 \text{ км}}{0,25 \text{ ч}} = 1,2 \text{ км/ч}$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 1,2 км/ч.

2)

Плот не имеет собственного двигателя, поэтому его скорость равна скорости течения реки. Чтобы найти время, за которое плот проплывёт заданное расстояние, нужно это расстояние разделить на скорость течения реки.
Исходные данные:
Скорость течения реки (v) = 2,4 км/ч
Расстояние (S) = 10,2 км
Формула для нахождения времени: $t = \frac{S}{v}$
Подставим значения в формулу:
$t = \frac{10,2 \text{ км}}{2,4 \text{ км/ч}} = \frac{102}{24} \text{ ч}$
Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 6:
$\frac{102 \div 6}{24 \div 6} = \frac{17}{4} \text{ ч}$
Теперь переведём неправильную дробь в десятичную или в смешанное число:
$t = \frac{17}{4} = 4 \frac{1}{4} = 4,25 \text{ ч}$
Можно также выразить ответ в часах и минутах. 4,25 часа — это 4 целых часа и 0,25 часа. Чтобы перевести 0,25 часа в минуты, умножим на 60:
$0,25 \times 60 = 15 \text{ мин}$
Следовательно, время в пути составит 4 часа 15 минут.
Ответ: 4,25 ч.

К. 221 1) Мальчик сделал игрушечный парусник и пустил его по ручью. Парусник проплыл за 15 мин расстояние, равное 300 м. Найди скорость, с которой течет ручей, и вырази ее в километрах в час.

2) Скорость течения реки 2,4 км/ч. За сколько времени по этой реке проплывет плот расстояние, равное 10,2 км?

222 Скорость движения парохода по озеру $a$ км/ч, а скорость течения реки $b$ км/ч. С какой скоростью будет двигаться пароход:

1) По течению

2) Против течения

Составь выражение и найди его значение при $a = 36,4$ км/ч, $b = 1,6$ км/ч.

Обозначим собственную скорость парохода (скорость в стоячей воде, например, в озере) как $V_{\text{собств.}}$ и скорость течения реки как $V_{\text{теч.}}$. По условию задачи, $V_{\text{собств.}} = a$ км/ч, а $V_{\text{теч.}} = b$ км/ч.

1) по течению

Когда пароход движется по течению, его скорость относительно берега является суммой его собственной скорости и скорости течения, так как течение помогает движению. Таким образом, выражение для скорости по течению:

$V_{\text{по теч.}} = a + b$

Теперь подставим числовые значения $a = 36,4$ км/ч и $b = 1,6$ км/ч, чтобы найти значение этого выражения:

$36,4 + 1,6 = 38$ (км/ч)

Ответ: выражение для скорости по течению: $a + b$; при заданных значениях скорость равна 38 км/ч.

2) против течения

Когда пароход движется против течения, его скорость относительно берега является разностью его собственной скорости и скорости течения, так как течение замедляет движение. Выражение для скорости против течения:

$V_{\text{против теч.}} = a - b$

Подставим числовые значения $a = 36,4$ км/ч и $b = 1,6$ км/ч, чтобы найти значение этого выражения:

$36,4 - 1,6 = 34,8$ (км/ч)

Ответ: выражение для скорости против течения: $a - b$; при заданных значениях скорость равна 34,8 км/ч.

222 Скорость движения парохода по озеру $a \text{ км/ч}$, а скорость течения реки $b \text{ км/ч}$. С какой скоростью будет двигаться пароход:
1) по течению;
2) против течения? Составь выражение и найди его значение при $a=36,4 \text{ км/ч}$, $b=1,6 \text{ км/ч}$.

223 1) Катер плывёт вниз по течению реки. С какой скоростью он плывёт, если его собственная скорость 14,8 км/ч, а скорость течения реки 40 м/мин?

Ответ вырази в километрах в час.

2) Скорость катера против течения реки равна 280 м/мин, а скорость течения 2,7 км/ч. Чему равна собственная скорость катера и его скорость по течению?

Ответ вырази в километрах в час.

1)

Чтобы найти скорость катера, плывущего вниз по течению реки ($V_{по \ течению}$), нужно к его собственной скорости ($V_{собственная}$) прибавить скорость течения ($V_{течения}$).

Собственная скорость катера дана: $V_{собственная} = 14,8$ км/ч.

Скорость течения реки дана: $V_{течения} = 40$ м/мин.

Для выполнения сложения необходимо привести скорости к единой единице измерения. Переведём скорость течения в км/ч, как требуется в ответе. В 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 60 минут.

$V_{течения} = 40 \frac{м}{мин} = \frac{40 \times 60}{1000} \frac{км}{ч} = \frac{2400}{1000} \frac{км}{ч} = 2,4$ км/ч.

Теперь найдём скорость катера по течению:

$V_{по \ течению} = V_{собственная} + V_{течения} = 14,8$ км/ч $+ 2,4$ км/ч $ = 17,2$ км/ч.

Ответ: 17,2 км/ч.

2)

В этой задаче необходимо найти собственную скорость катера ($V_{собственная}$) и его скорость по течению ($V_{по \ течению}$).

Из условия известны скорость катера против течения ($V_{против \ течения} = 280$ м/мин) и скорость течения ($V_{течения} = 2,7$ км/ч).

Первым шагом приведём все скорости к единой единице измерения — километры в час (км/ч). Переведём скорость против течения:

$V_{против \ течения} = 280 \frac{м}{мин} = \frac{280 \times 60}{1000} \frac{км}{ч} = \frac{16800}{1000} \frac{км}{ч} = 16,8$ км/ч.

Скорость катера против течения — это разность собственной скорости и скорости течения: $V_{против \ течения} = V_{собственная} - V_{течения}$. Отсюда можно найти собственную скорость:

$V_{собственная} = V_{против \ течения} + V_{течения}$.

Подставим известные значения:

$V_{собственная} = 16,8$ км/ч $+ 2,7$ км/ч $ = 19,5$ км/ч.

Теперь найдём скорость катера по течению ($V_{по \ течению}$), которая является суммой собственной скорости и скорости течения: $V_{по \ течению} = V_{собственная} + V_{течения}$.

$V_{по \ течению} = 19,5$ км/ч $+ 2,7$ км/ч $ = 22,2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 19,5 км/ч, скорость по течению — 22,2 км/ч.

223 1) Катер плывет вниз по течению реки. С какой скоростью он плывет, если его собственная скорость 14,8 км/ч, а скорость течения реки 40 м/мин? Ответ вырази в километрах в час.

2) Скорость катера против течения реки равна 280 м/мин, а скорость течения 2,7 км/ч. Чему равна собственная скорость катера и его скорость по течению? Ответ вырази в километрах в час.

224 Лодка отплыла от пристани по реке, которая течёт со скоростью $3,2 \text{ км/ч}$. Будет ли перемещаться лодка относительно берега, в какую сторону и с какой скоростью, если она поплывёт:

1) по течению со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$;

2) против течения со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$;

3) против течения со скоростью $3,2 \text{ км/ч}$;

4) против течения со скоростью $2,5 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем обозначения:
$v_{теч}$ - скорость течения реки, равная 3,2 км/ч.
$v_{собст}$ - собственная скорость лодки (скорость относительно воды).
$v_{отн. берега}$ - скорость лодки относительно берега.
Когда лодка плывет по течению, ее скорость относительно берега равна сумме ее собственной скорости и скорости течения.
Когда лодка плывет против течения, ее скорость относительно берега равна разности ее собственной скорости и скорости течения.

1) по течению со скоростью 4,5 км/ч
В этом случае лодка будет перемещаться относительно берега. Ее скорость будет складываться со скоростью течения, так как направления совпадают.
$v_{отн. берега} = v_{собст} + v_{теч}$
$v_{отн. берега} = 4,5 \text{ км/ч} + 3,2 \text{ км/ч} = 7,7 \text{ км/ч}$
Лодка будет двигаться в сторону течения реки.
Ответ: Да, лодка будет перемещаться относительно берега по течению со скоростью 7,7 км/ч.

2) против течения со скоростью 4,5 км/ч
В этом случае собственная скорость лодки больше скорости течения. Лодка будет перемещаться относительно берега против течения. Ее итоговая скорость будет равна разности скоростей.
$v_{отн. берега} = v_{собст} - v_{теч}$
$v_{отн. берега} = 4,5 \text{ км/ч} - 3,2 \text{ км/ч} = 1,3 \text{ км/ч}$
Лодка будет двигаться против течения реки.
Ответ: Да, лодка будет перемещаться относительно берега против течения со скоростью 1,3 км/ч.

3) против течения со скоростью 3,2 км/ч
В этом случае собственная скорость лодки равна скорости течения. Лодка будет перемещаться относительно воды, но течение будет сносить ее назад с той же скоростью. В результате относительно берега лодка останется на месте.
$v_{отн. берега} = v_{собст} - v_{теч}$
$v_{отн. берега} = 3,2 \text{ км/ч} - 3,2 \text{ км/ч} = 0 \text{ км/ч}$
Ответ: Нет, лодка не будет перемещаться относительно берега, ее скорость будет равна 0 км/ч.

4) против течения со скоростью 2,5 км/ч
В этом случае собственная скорость лодки меньше скорости течения. Усилий гребца не хватит, чтобы преодолеть течение. Река будет сносить лодку в сторону своего течения.
$v_{отн. берега} = v_{собст} - v_{теч}$
$v_{отн. берега} = 2,5 \text{ км/ч} - 3,2 \text{ км/ч} = -0,7 \text{ км/ч}$
Знак "минус" показывает, что направление движения лодки относительно берега противоположно направлению ее собственных усилий, то есть лодку сносит по течению.
Ответ: Да, лодка будет перемещаться относительно берега, но ее будет сносить по течению со скоростью 0,7 км/ч.

224 Лодка отплыла от пристани по реке, которая течет со скоростью $3,2 \text{ км/ч}$. Будет ли перемещаться лодка относительно берега, в какую сторону и с какой скоростью, если она поплывет:

1) по течению со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$;

2) против течения со скоростью $4,5 \text{ км/ч}$;

3) против течения со скоростью $3,2 \text{ км/ч}$;

4) против течения со скоростью $2,5 \text{ км/ч}$?

225 1) Собственная скорость теплохода равна $32,5 \text{ км/ч}$, а его скорость по течению реки – $35 \text{ км/ч}$. С какой скоростью течёт река? Чему равна скорость теплохода против течения реки? Какое расстояние проплывёт теплоход, если будет двигаться $2,6 \text{ ч}$ по течению реки и $0,8 \text{ ч}$ против течения?

2) Собственная скорость катера равна $14,7 \text{ км/ч}$, а его скорость против течения реки – $10,2 \text{ км/ч}$. Какое расстояние преодолеет катер, плывя $2 \text{ ч}$ по течению реки и $4,5 \text{ ч}$ против течения?

1)

Введем обозначения:

• $V_{собств}$ - собственная скорость теплохода (32,5 км/ч)
• $V_{по}$ - скорость теплохода по течению (35 км/ч)
• $V_{пр}$ - скорость теплохода против течения
• $V_{теч}$ - скорость течения реки

Скорость по течению вычисляется по формуле: $V_{по} = V_{собств} + V_{теч}$.

1. Найдем скорость течения реки ($V_{теч}$). Для этого из скорости по течению вычтем собственную скорость теплохода:

$V_{теч} = V_{по} - V_{собств} = 35 - 32,5 = 2,5$ км/ч.

2. Теперь найдем скорость теплохода против течения ($V_{пр}$). Она вычисляется по формуле: $V_{пр} = V_{собств} - V_{теч}$.

$V_{пр} = 32,5 - 2,5 = 30$ км/ч.

3. Рассчитаем общее расстояние, которое проплывет теплоход. Оно складывается из расстояния, пройденного по течению ($S_{по}$), и расстояния, пройденного против течения ($S_{пр}$).

Расстояние, пройденное за 2,6 ч по течению:

$S_{по} = V_{по} \cdot t_{по} = 35 \cdot 2,6 = 91$ км.

Расстояние, пройденное за 0,8 ч против течения:

$S_{пр} = V_{пр} \cdot t_{пр} = 30 \cdot 0,8 = 24$ км.

Общее расстояние ($S_{общ}$):

$S_{общ} = S_{по} + S_{пр} = 91 + 24 = 115$ км.

Ответ: скорость течения реки равна 2,5 км/ч; скорость теплохода против течения равна 30 км/ч; теплоход проплывет 115 км.

2)

Введем обозначения:

• $V_{собств}$ - собственная скорость катера (14,7 км/ч)
• $V_{пр}$ - скорость катера против течения (10,2 км/ч)
• $V_{по}$ - скорость катера по течению
• $V_{теч}$ - скорость течения реки

Скорость против течения вычисляется по формуле: $V_{пр} = V_{собств} - V_{теч}$.

1. Найдем скорость течения реки ($V_{теч}$). Для этого из собственной скорости катера вычтем его скорость против течения:

$V_{теч} = V_{собств} - V_{пр} = 14,7 - 10,2 = 4,5$ км/ч.

2. Теперь найдем скорость катера по течению ($V_{по}$). Она вычисляется по формуле: $V_{по} = V_{собств} + V_{теч}$.

$V_{по} = 14,7 + 4,5 = 19,2$ км/ч.

3. Рассчитаем общее расстояние, которое преодолеет катер. Оно складывается из расстояния, пройденного по течению ($S_{по}$), и расстояния, пройденного против течения ($S_{пр}$).

Расстояние, пройденное за 2 ч по течению:

$S_{по} = V_{по} \cdot t_{по} = 19,2 \cdot 2 = 38,4$ км.

Расстояние, пройденное за 4,5 ч против течения:

$S_{пр} = V_{пр} \cdot t_{пр} = 10,2 \cdot 4,5 = 45,9$ км.

Общее расстояние ($S_{общ}$):

$S_{общ} = S_{по} + S_{пр} = 38,4 + 45,9 = 84,3$ км.

Ответ: катер преодолеет 84,3 км.

225 1) Собственная скорость теплохода равна 32,5 км/ч, а его скорость по течению реки – 35 км/ч. С какой скоростью течет река? Чему равна скорость теплохода против течения реки? Какое расстояние проплывет теплоход, если будет двигаться 2,6 ч по течению реки и 0,8 ч против течения?

2) Собственная скорость катера равна 14,7 км/ч, а его скорость против течения реки – 10,2 км/ч. Какое расстояние преодолеет катер, плывя 2 ч по течению реки и 4,5 ч против течения?

226 Расстояние между двумя причалами равно 16,8 км. За сколько времени моторная лодка проплывёт путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость лодки 11,2 км/ч, а скорость течения реки составляет 25 % скорости лодки?

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку.

1. Найдём скорость течения реки.

По условию, скорость течения реки составляет 25% от собственной скорости лодки. Собственная скорость лодки ($V_{лодки}$) равна 11,2 км/ч. Чтобы найти 25% от числа, нужно умножить это число на 0,25 (или разделить на 4).

$V_{течения} = 11,2 \text{ км/ч} \cdot 0,25 = 2,8 \text{ км/ч}$

2. Найдём скорость лодки по течению и против течения.

Скорость по течению ($V_{по}$) — это сумма собственной скорости лодки и скорости течения.

$V_{по} = V_{лодки} + V_{течения} = 11,2 \text{ км/ч} + 2,8 \text{ км/ч} = 14 \text{ км/ч}$

Скорость против течения ($V_{против}$) — это разность собственной скорости лодки и скорости течения.

$V_{против} = V_{лодки} - V_{течения} = 11,2 \text{ км/ч} - 2,8 \text{ км/ч} = 8,4 \text{ км/ч}$

3. Найдём время, затраченное на путь в каждом направлении.

Расстояние между причалами ($S$) равно 16,8 км. Время ($t$) находится по формуле $t = \frac{S}{V}$.

Время в пути по течению ($t_{по}$):

$t_{по} = \frac{16,8 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = 1,2 \text{ ч}$

Время в пути против течения ($t_{против}$):

$t_{против} = \frac{16,8 \text{ км}}{8,4 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$

4. Найдём общее время в пути.

Чтобы найти общее время ($t_{общее}$), нужно сложить время, затраченное на путь по течению и против течения.

$t_{общее} = t_{по} + t_{против} = 1,2 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 3,2 \text{ ч}$

3,2 часа можно также представить как 3 часа и 0,2 часа. Переведём 0,2 часа в минуты: $0,2 \cdot 60 = 12$ минут. Таким образом, общее время составляет 3 часа 12 минут.

Ответ: 3,2 ч.

226 Расстояние между двумя причалами равно 16,8 км. За сколько времени моторная лодка проплывет путь от одного причала до другого и обратно, если собственная скорость лодки 11,2 км/ч, а скорость течения реки составляет 25% скорости лодки?

227 Используя обозначения, приведённые в тексте учебника, определи, какая скорость получится, если выполнить следующие действия:

1) $v_{\text{соб.}} + v_{\text{теч.}}$;

2) $v_{\text{соб.}} - v_{\text{теч.}}$;

3) $v_{\text{пр. теч.}} + v_{\text{теч.}}$;

4) $v_{\text{пр. теч.}} + 2v_{\text{теч.}}$;

5) $v_{\text{по теч.}} - v_{\text{теч.}}$;

6) $v_{\text{по теч.}} - 2v_{\text{теч.}}$;

7) $(v_{\text{по теч.}} + v_{\text{пр. теч.}}):2$;

8) $(v_{\text{по теч.}} - v_{\text{пр. теч.}}):2$.

Для решения задачи воспользуемся следующими обозначениями и основными формулами, связывающими скорости при движении по реке:

$v_{соб.}$ — собственная скорость (скорость тела в стоячей воде).

$v_{теч.}$ — скорость течения.

$v_{по\ теч.}$ — скорость по течению. Она равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по\ теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$.

$v_{пр.\ теч.}$ — скорость против течения. Она равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр.\ теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$.

1) $v_{соб.} + v_{теч.}$

Согласно определению, сумма собственной скорости тела и скорости течения реки является скоростью по течению.

$v_{соб.} + v_{теч.} = v_{по\ теч.}$

Ответ: скорость по течению.

2) $v_{соб.} - v_{теч.}$

Согласно определению, разность собственной скорости тела и скорости течения реки является скоростью против течения.

$v_{соб.} - v_{теч.} = v_{пр.\ теч.}$

Ответ: скорость против течения.

3) $v_{пр.\ теч.} + v_{теч.}$

Используем формулу для скорости против течения $v_{пр.\ теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$. Подставив это выражение в заданное, получаем: $(v_{соб.} - v_{теч.}) + v_{теч.} = v_{соб.}$.

Ответ: собственная скорость.

4) $v_{пр.\ теч.} + 2v_{теч.}$

Подставим выражение для скорости против течения $v_{пр.\ теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$. Получим: $(v_{соб.} - v_{теч.}) + 2v_{теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$. Это выражение является формулой для скорости по течению.

Ответ: скорость по течению.

5) $v_{по\ теч.} - v_{теч.}$

Используем формулу для скорости по течению $v_{по\ теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$. Подставив это выражение в заданное, получаем: $(v_{соб.} + v_{теч.}) - v_{теч.} = v_{соб.}$.

Ответ: собственная скорость.

6) $v_{по\ теч.} - 2v_{теч.}$

Подставим выражение для скорости по течению $v_{по\ теч.} = v_{соб.} + v_{теч.}$. Получим: $(v_{соб.} + v_{теч.}) - 2v_{теч.} = v_{соб.} - v_{теч.}$. Это выражение является формулой для скорости против течения.

Ответ: скорость против течения.

7) $(v_{по\ теч.} + v_{пр.\ теч.}) : 2$

Подставим выражения для скоростей по течению и против течения: $\frac{(v_{соб.} + v_{теч.}) + (v_{соб.} - v_{теч.})}{2}$. Упростив, получим: $\frac{2v_{соб.}}{2} = v_{соб.}$.

Ответ: собственная скорость.

8) $(v_{по\ теч.} - v_{пр.\ теч.}) : 2$

Подставим выражения для скоростей по течению и против течения: $\frac{(v_{соб.} + v_{теч.}) - (v_{соб.} - v_{теч.})}{2}$. Раскрыв скобки и упростив, получим: $\frac{v_{соб.} + v_{теч.} - v_{соб.} + v_{теч.}}{2} = \frac{2v_{теч.}}{2} = v_{теч.}$.

Ответ: скорость течения.

227 Используя обозначения, приведенные в тексте учебника, определи, какая скорость получится, если выполнить следующие действия:

1) $v_{\text{соб.}} + v_{\text{теч.}};$

2) $v_{\text{соб.}} - v_{\text{теч.}};$

3) $v_{\text{пр. теч.}} + v_{\text{теч.}};$

4) $v_{\text{пр. теч.}} + 2v_{\text{теч.}};$

5) $v_{\text{по теч.}} - v_{\text{теч.}};$

6) $v_{\text{по теч.}} - 2v_{\text{теч.}};$

7) $(v_{\text{по теч.}} + v_{\text{пр. теч.}}) \div 2;$

8) $(v_{\text{по теч.}} - v_{\text{пр. теч.}}) \div 2.$

233 Вычисли:

$\frac{\left[\left(3\frac{8}{9} \cdot 2.4 + 0.6 \cdot 3\frac{8}{9}\right) \cdot 1\frac{6}{7} : 2.6 + 0.4 \cdot \left(2\frac{3}{28} - 1\frac{4}{21}\right)\right]: 0.1}{\left(3.125 + 1\frac{9}{40}\right) \cdot 4}$

Для того чтобы вычислить значение данного выражения, разобьем его на действия и будем выполнять их последовательно, соблюдая порядок операций. Сначала вычислим значение числителя, затем – знаменателя, и в конце найдем их частное.

Выражение в числителе: $ [(3\frac{8}{9} \cdot 2,4 + 0,6 \cdot 3\frac{8}{9}) \cdot 1\frac{6}{7} : 2,6 + 0,4 \cdot (2\frac{3}{28} - 1\frac{4}{21})]:0,1 $.

1. Выполним действие в первых скобках. Используем распределительный закон умножения, вынеся общий множитель $ 3\frac{8}{9} $ за скобки:

$ 3\frac{8}{9} \cdot 2,4 + 0,6 \cdot 3\frac{8}{9} = 3\frac{8}{9} \cdot (2,4 + 0,6) = 3\frac{8}{9} \cdot 3 $

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ 3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{35}{9} $.

$ \frac{35}{9} \cdot 3 = \frac{35 \cdot 3}{9} = \frac{35}{3} $.

2. Умножим полученный результат на $ 1\frac{6}{7} $:

Преобразуем $ 1\frac{6}{7} $ в неправильную дробь: $ 1\frac{6}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{13}{7} $.

$ \frac{35}{3} \cdot \frac{13}{7} = \frac{35 \cdot 13}{3 \cdot 7} = \frac{5 \cdot 13}{3} = \frac{65}{3} $.

3. Разделим результат на $ 2,6 $:

Представим десятичную дробь $ 2,6 $ в виде обыкновенной: $ 2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5} $.

$ \frac{65}{3} : \frac{13}{5} = \frac{65}{3} \cdot \frac{5}{13} = \frac{65 \cdot 5}{3 \cdot 13} = \frac{5 \cdot 5}{3} = \frac{25}{3} $.

4. Теперь вычислим выражение во вторых скобках: $ 2\frac{3}{28} - 1\frac{4}{21} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для 28 и 21. НОК(28, 21) = 84.

$ 2\frac{3}{28} - 1\frac{4}{21} = 2\frac{3 \cdot 3}{84} - 1\frac{4 \cdot 4}{84} = 2\frac{9}{84} - 1\frac{16}{84} $

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части:

$ 1\frac{84+9}{84} - 1\frac{16}{84} = 1\frac{93}{84} - 1\frac{16}{84} = \frac{93-16}{84} = \frac{77}{84} $.

Сократим полученную дробь на 7: $ \frac{77 \div 7}{84 \div 7} = \frac{11}{12} $.

5. Умножим результат на $ 0,4 $:

$ 0,4 \cdot \frac{11}{12} = \frac{4}{10} \cdot \frac{11}{12} = \frac{2}{5} \cdot \frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 11}{5 \cdot 12} = \frac{11}{5 \cdot 6} = \frac{11}{30} $.

6. Сложим результаты действий 3 и 5:

$ \frac{25}{3} + \frac{11}{30} = \frac{25 \cdot 10}{3 \cdot 10} + \frac{11}{30} = \frac{250}{30} + \frac{11}{30} = \frac{261}{30} $.

Сократим дробь на 3: $ \frac{261 \div 3}{30 \div 3} = \frac{87}{10} = 8,7 $.

7. Выполним последнее действие в числителе — деление на $ 0,1 $:

$ 8,7 : 0,1 = 87 $.

Значение числителя равно 87.

Выражение в знаменателе: $ (3,125 + 1\frac{9}{40}) \cdot 4 $.

1. Выполним сложение в скобках. Для удобства преобразуем оба числа в десятичные дроби.

$ 1\frac{9}{40} = 1 + \frac{9}{40} = 1 + \frac{9 \cdot 2,5}{40 \cdot 2,5} = 1 + \frac{22,5}{100} = 1 + 0,225 = 1,225 $.

$ 3,125 + 1,225 = 4,35 $.

2. Умножим полученную сумму на 4:

$ 4,35 \cdot 4 = 17,4 $.

Значение знаменателя равно 17,4.

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$ \frac{87}{17,4} $

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{87 \cdot 10}{17,4 \cdot 10} = \frac{870}{174} $

Выполним деление:

$ 870 \div 174 = 5 $.

Ответ: 5

233 Вычисли:

$\frac{\left[ \left(3\frac{8}{9} \cdot 2.4 + 0.6 \cdot 3\frac{8}{9}\right) \cdot 1\frac{6}{7} : 2.6 + 0.4 \cdot \left(2\frac{3}{28} - 1\frac{4}{21}\right) \right] : 0.1}{\left(3.125 + 1\frac{9}{40}\right) \cdot 4}$

C 234 Адам Рис (1492–1559 гг.)

Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий.

Сколько гульденов внёс на покупку дома каждый из подмастерьев?

Для решения этой задачи обозначим сумму, которую внёс третий подмастерье, через переменную $x$.

Согласно условию, второй подмастерье дал вчетверо больше, чем третий. Следовательно, его вклад составляет $4 \times x = 4x$ гульденов.

Первый подмастерье дал втрое больше денег, чем второй. Значит, его вклад равен $3 \times (4x) = 12x$ гульденов.

Общая стоимость дома — 204 гульдена. Мы можем составить уравнение, сложив вклады всех троих подмастерьев:

$x + 4x + 12x = 204$

Упростим левую часть уравнения:

$17x = 204$

Теперь найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 17:

$x = \frac{204}{17}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли вклад третьего подмастерья — 12 гульденов.

Теперь рассчитаем вклады остальных подмастерьев:

• Вклад второго подмастерья: $4x = 4 \times 12 = 48$ гульденов.
• Вклад первого подмастерья: $12x = 12 \times 12 = 144$ гульдена.

Проверим правильность решения, сложив все три суммы:

$144 + 48 + 12 = 192 + 12 = 204$

Сумма совпадает с общей стоимостью дома, значит, расчёты верны.

Ответ: первый подмастерье внёс 144 гульдена, второй подмастерье внёс 48 гульденов, а третий подмастерье внёс 12 гульденов.

Трое подмастерьев купили дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес на покупку дома каждый из подмастерьев?

235 Бхаскара I (VI в.)

Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1 и, кроме того, делящееся на 7.

Пусть искомое натуральное число — $N$.

Шаг 1: Анализ условия об остатке

По условию, число $N$ при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает в остатке 1. Это можно записать в виде системы сравнений:
$N \equiv 1 \pmod{2}$
$N \equiv 1 \pmod{3}$
$N \equiv 1 \pmod{4}$
$N \equiv 1 \pmod{5}$
$N \equiv 1 \pmod{6}$

Эта система равносильна тому, что число $(N-1)$ делится на 2, 3, 4, 5 и 6 без остатка. Следовательно, $(N-1)$ должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

Найдем НОК для чисел 2, 3, 4, 5, 6. Для этого разложим их на простые множители:
$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \times 3$

НОК вычисляется как произведение всех простых множителей в их наивысших степенях:
НОК(2, 3, 4, 5, 6) = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.

Таким образом, число $(N-1)$ должно быть кратно 60. Это можно записать в виде формулы:
$N - 1 = 60k$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \in \mathbb{N}$).
Отсюда следует, что искомое число $N$ имеет вид:
$N = 60k + 1$.

Шаг 2: Анализ условия о делимости на 7 и нахождение решения

По второму условию, число $N$ должно делиться на 7 без остатка. Подставим в это условие выражение для $N$, полученное на первом шаге:
$60k + 1$ должно быть кратно 7.

Запишем это в виде сравнения по модулю 7:
$60k + 1 \equiv 0 \pmod{7}$.

Упростим коэффициент 60. Разделим 60 на 7 с остатком: $60 = 8 \times 7 + 4$. Значит, $60 \equiv 4 \pmod{7}$.
Наше сравнение принимает вид:
$4k + 1 \equiv 0 \pmod{7}$
$4k \equiv -1 \pmod{7}$

Так как $-1 \equiv 6 \pmod{7}$, получаем:
$4k \equiv 6 \pmod{7}$.

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $k$, которое удовлетворяет этому сравнению. Будем последовательно подставлять значения $k=1, 2, 3, ...$:
При $k=1: 4 \times 1 = 4$. $4 \not\equiv 6 \pmod{7}$.
При $k=2: 4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$.
При $k=3: 4 \times 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$.
При $k=4: 4 \times 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$.
При $k=5: 4 \times 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$.

Наименьшее натуральное значение $k$, удовлетворяющее условию, — это $k=5$.

Теперь найдем искомое число $N$, подставив $k=5$ в нашу формулу $N = 60k + 1$:
$N = 60 \times 5 + 1 = 300 + 1 = 301$.

Проверим: $301 \div 7 = 43$. Число делится на 7. При делении 301 на 2, 3, 4, 5, 6 ($300$ делится на все эти числа) остаток действительно равен 1.

Ответ: 301

235 Бхаскара I (VI в.)

Найти наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 остаток 1 и, кроме того, делящееся на 7.

* 236 Бхаскара II (1114–1185 гг.)

Одна $1/3$, одна $1/5$ и одна $1/6$ цветков лотоса в венке посвящены соответственно богам Шиве, Вишну и Сурье, одна $1/4$ – Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?

Для решения задачи обозначим общее количество цветков лотоса в венке переменной $x$.

Согласно условию, части цветков были распределены следующим образом:

• Одна треть посвящена богу Шиве: $\frac{1}{3}x$
• Одна пятая — богу Вишну: $\frac{1}{5}x$
• Одна шестая — богу Сурье: $\frac{1}{6}x$
• Одна четвертая — богине Бхавани: $\frac{1}{4}x$
• Оставшиеся 6 цветков — почитаемому праведнику.

Сумма всех этих частей составляет общее количество цветков $x$. На основании этого можно составить уравнение:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{5}x + \frac{1}{6}x + \frac{1}{4}x + 6 = x$

Для решения уравнения сначала найдем, какую долю от общего числа составляют цветки, посвященные богам. Для этого сложим дроби:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 3, 5, 6 и 4 является 60.

$\frac{1 \cdot 20}{60} + \frac{1 \cdot 12}{60} + \frac{1 \cdot 10}{60} + \frac{1 \cdot 15}{60} = \frac{20 + 12 + 10 + 15}{60} = \frac{57}{60}$

Таким образом, $\frac{57}{60}$ всех цветков были отданы богам. Теперь подставим это значение в исходное уравнение:

$\frac{57}{60}x + 6 = x$

Теперь найдем, какая часть цветков осталась. Для этого вычтем из $x$ часть, отданную богам:

$6 = x - \frac{57}{60}x$

$6 = \frac{60}{60}x - \frac{57}{60}x$

$6 = \frac{3}{60}x$

Сократим дробь $\frac{3}{60}$ на 3:

$6 = \frac{1}{20}x$

Теперь мы можем найти общее количество цветков $x$:

$x = 6 \cdot 20$

$x = 120$

Следовательно, всего в венок было сплетено 120 цветков лотоса.

Ответ: 120.

236 Бхаскара II (1114 – 1185 гг.)

Одна треть ($1/3$), одна пятая ($1/5$) и одна шестая ($1/6$) цветков лотоса в венке посвящены соответственно богам Шиве, Вишну и Сурье, одна четвертая ($1/4$) – Бхавани. Остальные 6 цветков предназначены почитаемому праведнику. Сколько цветков лотоса сплетено в венок?