Страница 54, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

208 Найди число, 20% которого составляют:

1) $ \left[\frac{0,8 : \left(\frac{4}{5} \cdot 1,25\right)}{0,84 - \frac{1}{25}}\right]^2 + \left[\frac{\left(1,08 - \frac{1}{25}\right): 2\frac{3}{5}: 0,6}{\left(2\frac{1}{25} - 1\frac{4}{5}\right): 1\frac{4}{5} + (2,6 - 2,6) \cdot 5\frac{1}{25}}\right]; $

2) $ \frac{7,2 \cdot 0,48 \cdot 2\frac{1}{3} \cdot 0,9}{21\frac{1}{3} \cdot 6,3 \cdot 0,54} \cdot \left[2,5 : \frac{\left(0,3 + 1\frac{7}{11} + 2,7 + 3\frac{4}{11}\right): 0,8}{\frac{3}{5} + 6,4} + \frac{18,3 - 18,3}{19\frac{1}{6} \cdot 0,24}\right]. $

Сначала вычислим значение заданного выражения:

$ \frac{[0,8 : (\frac{4}{5} \cdot 1,25)]^2}{0,84 - \frac{1}{25}} + \frac{[(1,08 - \frac{1}{25}) : 2\frac{3}{5} : 0,6]^2}{(2\frac{1}{25} - 1\frac{4}{5}) : 1\frac{4}{5} + (2,6 - 2,6) \cdot 5\frac{1}{25}} $

Решим по действиям. Сначала первая дробь:

1. В скобках в числителе: $ \frac{4}{5} \cdot 1,25 = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = 1 $.

2. Деление в числителе: $ 0,8 : 1 = 0,8 $.

3. Возведение в квадрат в числителе: $ (0,8)^2 = 0,64 $.

4. Знаменатель: $ 0,84 - \frac{1}{25} = 0,84 - 0,04 = 0,8 $.

5. Значение первой дроби: $ \frac{0,64}{0,8} = 0,8 $.

Теперь вторая дробь:

6. В скобках в числителе: $ 1,08 - \frac{1}{25} = 1,08 - 0,04 = 1,04 $.

7. Деление в числителе: $ 1,04 : 2\frac{3}{5} : 0,6 = 1,04 : 2,6 : 0,6 = 0,4 : 0,6 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.

8. Возведение в квадрат в числителе: $ (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $.

9. В знаменателе первое слагаемое: $ (2\frac{1}{25} - 1\frac{4}{5}) : 1\frac{4}{5} = (2,04 - 1,8) : 1,8 = 0,24 : 1,8 = \frac{24}{180} = \frac{2}{15} $.

10. В знаменателе второе слагаемое: $ (2,6 - 2,6) \cdot 5\frac{1}{25} = 0 \cdot 5\frac{1}{25} = 0 $.

11. Знаменатель: $ \frac{2}{15} + 0 = \frac{2}{15} $.

12. Значение второй дроби: $ \frac{4/9}{2/15} = \frac{4}{9} \cdot \frac{15}{2} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 1} = \frac{10}{3} $.

Сложим значения двух дробей:

13. $ 0,8 + \frac{10}{3} = \frac{4}{5} + \frac{10}{3} = \frac{12 + 50}{15} = \frac{62}{15} $.

Теперь найдем число, 20% которого составляет $ \frac{62}{15} $. Пусть искомое число равно $x$.

$ 0,2 \cdot x = \frac{62}{15} $

$ x = \frac{62}{15} : 0,2 = \frac{62}{15} : \frac{1}{5} = \frac{62}{15} \cdot 5 = \frac{62}{3} = 20\frac{2}{3} $.

Ответ: $20\frac{2}{3}$.

Сначала вычислим значение заданного выражения:

$ \frac{7,2 \cdot 0,48 \cdot 2\frac{1}{3} \cdot 0,9}{21\frac{1}{3} \cdot 6,3 \cdot 0,54} \cdot \left[2,5 : \frac{(0,3 + 1\frac{7}{11} + 2,7 + 3\frac{4}{11}) : 0,8}{9\frac{3}{5} + 6,4} + \frac{18,3 - 18,3}{19\frac{1}{6} \cdot 0,24}\right] $

Вычислим по частям. Сначала первый множитель (дробь):

1. Перегруппируем множители для удобства сокращения: $ (\frac{7,2}{6,3}) \cdot (\frac{0,9}{0,54}) \cdot (\frac{2\frac{1}{3}}{21\frac{1}{3}}) \cdot 0,48 $.

2. Вычислим каждую часть: $ \frac{7,2}{6,3} = \frac{8}{7} $; $ \frac{0,9}{0,54} = \frac{90}{54} = \frac{5}{3} $; $ \frac{2\frac{1}{3}}{21\frac{1}{3}} = \frac{7/3}{64/3} = \frac{7}{64} $.

3. Перемножим полученные значения и оставшийся множитель 0,48: $ \frac{8}{7} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{7}{64} \cdot 0,48 = \frac{8 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0,48}{7 \cdot 3 \cdot 64} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 0,48}{3 \cdot 64} = \frac{5 \cdot 0,48}{3 \cdot 8} = \frac{5 \cdot 0,48}{24} = 5 \cdot 0,02 = 0,1 $.

Теперь второй множитель (выражение в скобках):

4. Второе слагаемое в скобках равно нулю: $ \frac{18,3 - 18,3}{19\frac{1}{6} \cdot 0,24} = 0 $.

5. Рассмотрим первое слагаемое: $ 2,5 : \frac{(0,3 + 1\frac{7}{11} + 2,7 + 3\frac{4}{11}) : 0,8}{9\frac{3}{5} + 6,4} $.

6. Числитель внутренней дроби: $ (0,3 + 2,7) + (1\frac{7}{11} + 3\frac{4}{11}) = 3 + 5 = 8 $. Затем $ 8 : 0,8 = 10 $.

7. Знаменатель внутренней дроби: $ 9\frac{3}{5} + 6,4 = 9,6 + 6,4 = 16 $.

8. Значение внутренней дроби: $ \frac{10}{16} = \frac{5}{8} $.

9. Выполним деление: $ 2,5 : \frac{5}{8} = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = 4 $.

10. Значение выражения в скобках: $ 4 + 0 = 4 $.

Найдем произведение:

11. $ 0,1 \cdot 4 = 0,4 $.

Теперь найдем число, 20% которого составляет 0,4. Пусть искомое число равно $y$.

$ 0,2 \cdot y = 0,4 $

$ y = \frac{0,4}{0,2} = 2 $.

Ответ: $2$.

208 Найди число, 20% которого составляют:

1) $\left[\frac{0,8 : \left(\frac{4}{5} \cdot 1,25\right)^2}{0,84 - \frac{1}{25}}\right] + \left[\frac{\left(1,08 - \frac{1}{25}\right) : 2\frac{3}{5} : 0,6}{\left(2\frac{1}{25} - 1\frac{4}{5}\right) : 1\frac{4}{5} + (2,6 - 2,6) \cdot 5\frac{1}{25}}\right]$

2) $\frac{7,2 \cdot 0,48 \cdot 2\frac{1}{3} \cdot 0,9}{21\frac{1}{3} \cdot 6,3 \cdot 0,54} \cdot \left[2,5 : \frac{0,3 + 1\frac{7}{11} + 2,7 + 3\frac{4}{11}}{9\frac{3}{5} + 6,4} + \frac{18,3 - 18,3}{19\frac{1}{6} \cdot 0,24}\right]$

209 При испытании авиамоделей одна из них развила скорость 4,5 м/с и продержалась в воздухе 1,8 мин. Скорость второй была на 1 м/с больше скорости первой, но время её полёта составило $ \frac{7}{9} $ времени полёта первой. Сравни дальности полёта этих авиамоделей.

Чтобы сравнить дальности полета двух авиамоделей, необходимо вычислить расстояние, которое пролетела каждая из них. Расстояние ($s$) находится по формуле $s = v \times t$, где $v$ – это скорость, а $t$ – время.

Сначала определим дальность полета первой авиамоделей. Ее скорость ($v_1$) равна $4,5$ м/с, а время в воздухе ($t_1$) составляет $1,8$ минуты. Для корректного расчета переведем время в секунды, так как скорость дана в м/с:
$t_1 = 1,8 \text{ мин} = 1,8 \times 60 \text{ с} = 108 \text{ с}$.
Теперь рассчитаем дальность полета первой модели ($s_1$):
$s_1 = v_1 \times t_1 = 4,5 \text{ м/с} \times 108 \text{ с} = 486 \text{ м}$.

Далее определим дальность полета второй авиамодели. Ее скорость ($v_2$) была на $1$ м/с больше скорости первой:
$v_2 = 4,5 \text{ м/с} + 1 \text{ м/с} = 5,5 \text{ м/с}$.
Время ее полета ($t_2$) составило $\frac{7}{9}$ времени полета первой:
$t_2 = \frac{7}{9} \times t_1 = \frac{7}{9} \times 108 \text{ с} = 7 \times 12 \text{ с} = 84 \text{ с}$.
Рассчитаем дальность полета второй модели ($s_2$):
$s_2 = v_2 \times t_2 = 5,5 \text{ м/с} \times 84 \text{ с} = 462 \text{ м}$.

Теперь сравним полученные дальности полета:
Дальность полета первой модели – $486$ м.
Дальность полета второй модели – $462$ м.
Поскольку $486 > 462$, первая авиамодель пролетела дальше. Найдем разницу в расстоянии:
$486 \text{ м} - 462 \text{ м} = 24 \text{ м}$.

Ответ: дальность полета первой авиамодели на 24 метра больше дальности полета второй.

209 При испытании авиамоделей одна из них развила скорость 4,5 м/с и продержалась в воздухе 1,8 мин. Скорость второй была на 1 м/с больше скорости первой, но время ее полета составило $ \frac{7}{9} $ времени полета первой. Сравни дальности полета этих авиамоделей.

210 Велосипедист проехал путь от посёлка до районного центра за 1 ч 30 мин. На обратном пути он увеличил скорость и поэтому весь путь проехал за 1 ч 15 мин. Во сколько раз скорость велосипедиста на обратном пути была больше первоначальной?

Для решения этой задачи нам нужно найти отношение скорости на обратном пути к первоначальной скорости. Обозначим расстояние от посёлка до районного центра как $S$, первоначальную скорость (по пути в центр) как $v_1$, а скорость на обратном пути как $v_2$.

Сначала переведём время в пути в единую единицу измерения, например, в минуты, чтобы упростить вычисления.

Время в пути до районного центра ($t_1$):
$t_1 = 1 \text{ час } 30 \text{ мин} = 1 \cdot 60 + 30 = 90 \text{ минут}$.

Время на обратном пути ($t_2$):
$t_2 = 1 \text{ час } 15 \text{ мин} = 1 \cdot 60 + 15 = 75 \text{ минут}$.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ - скорость, а $t$ - время. Поскольку расстояние от посёлка до районного центра и обратно одинаковое, мы можем составить два уравнения для этого расстояния:

1. Путь до районного центра: $S = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 90$.

2. Обратный путь: $S = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot 75$.

Так как расстояние $S$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$v_1 \cdot 90 = v_2 \cdot 75$

Чтобы найти, во сколько раз скорость на обратном пути ($v_2$) была больше первоначальной ($v_1$), нам нужно найти их отношение, то есть величину $\frac{v_2}{v_1}$. Выразим это отношение из полученного уравнения:

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{90}{75}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 90 и 75 - это 15:

$\frac{90}{75} = \frac{90 \div 15}{75 \div 15} = \frac{6}{5}$

Для удобства представим эту дробь в виде десятичного числа:

$\frac{6}{5} = 1.2$

Следовательно, скорость велосипедиста на обратном пути была в 1,2 раза больше первоначальной.

Ответ: в 1,2 раза.

210 Велосипедист проехал путь от поселка до районного центра за 1 ч 30 мин. На обратном пути он увеличил скорость и поэтому весь путь проехал за 1 ч 15 мин. Во сколько раз скорость велосипедиста на обратном пути была больше первоначальной?

211 Учебный автомобиль, в котором находились преподаватель и трое учеников, выехал в тренировочную поездку. Преподаватель проехал $ \frac{2}{15} $ всего маршрута и ещё 5 км, два ученика – по $ \frac{1}{4} $ маршрута, а третий ученик – остальные 105 км. Чему равна длина всего маршрута?

Для решения задачи обозначим общую длину маршрута переменной $x$ в километрах. Затем составим уравнение, основываясь на данных о том, какую часть пути проехал каждый участник.

1. Расстояние, которое проехал преподаватель, составляет $\frac{2}{15}$ всего маршрута и еще 5 км. В виде выражения это записывается как: $(\frac{2}{15}x + 5)$ км.

2. Двое учеников проехали по $\frac{1}{4}$ маршрута каждый. Их общее расстояние составляет: $2 \cdot \frac{1}{4}x = \frac{2}{4}x = \frac{1}{2}x$ км.

3. Третий ученик проехал оставшиеся $105$ км.

Сумма всех этих участков равна общей длине маршрута $x$. Составим уравнение:

$(\frac{2}{15}x + 5) + \frac{1}{2}x + 105 = x$

Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые значения:

$(\frac{2}{15}x + \frac{1}{2}x) + (5 + 105) = x$

$\frac{2}{15}x + \frac{1}{2}x + 110 = x$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 2 — это 30.

$\frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2}x + \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15}x + 110 = x$

$\frac{4}{30}x + \frac{15}{30}x + 110 = x$

$\frac{19}{30}x + 110 = x$

Теперь перенесем слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, чтобы найти значение $x$:

$110 = x - \frac{19}{30}x$

Представим $x$ в виде дроби со знаменателем 30: $x = \frac{30}{30}x$.

$110 = \frac{30}{30}x - \frac{19}{30}x$

$110 = \frac{11}{30}x$

Чтобы найти $x$, разделим 110 на коэффициент при $x$, то есть на дробь $\frac{11}{30}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 110 \div \frac{11}{30} = 110 \cdot \frac{30}{11}$

$x = \frac{110 \cdot 30}{11}$

Сократим 110 и 11:

$x = 10 \cdot 30 = 300$

Таким образом, длина всего маршрута составляет 300 км.

Проверка:

- Преподаватель проехал: $\frac{2}{15} \cdot 300 + 5 = 2 \cdot 20 + 5 = 45$ км.

- Два ученика проехали: $2 \cdot (\frac{1}{4} \cdot 300) = 2 \cdot 75 = 150$ км.

- Третий ученик проехал: $105$ км.

- Общая длина: $45 + 150 + 105 = 300$ км.

Все сходится.

Ответ: 300 км.

211 Учебный автомобиль, в котором находились преподаватель и трое учеников, выехал в тренировочную поездку. Преподаватель проехал $\frac{2}{15}$ всего маршрута и еще 5 км, два ученика – по $\frac{1}{4}$ маршрута, а третий ученик – остальные 105 км. Чему равна длина всего маршрута?

212 Задача-шутка

На День города изготовили гигантскую сосиску длиной 12 м. Две таксы начали есть её одновременно с обоих концов. Первая такса съедает 9 см сосиски в секунду, а вторая – 6 см в секунду.

Сколько метров сосиски останется через минуту? Через сколько времени таксы съедят всю сосиску? Сколько метров сосиски съест при этом каждая такса?

Для решения задачи сначала переведем все величины в единую систему измерений. Длину сосиски переведем в сантиметры, а время в секунды.

Длина сосиски: $12 \text{ м} = 12 \times 100 \text{ см} = 1200 \text{ см}$.

Скорость первой таксы: $v_1 = 9 \text{ см/с}$.

Скорость второй таксы: $v_2 = 6 \text{ см/с}$.

Поскольку таксы едят сосиску с двух концов, их скорости сближения складываются:

$v_{общая} = v_1 + v_2 = 9 \text{ см/с} + 6 \text{ см/с} = 15 \text{ см/с}$.

Сколько метров сосиски останется через минуту?

1. Сначала переведем минуту в секунды: $1 \text{ минута} = 60 \text{ секунд}$.

2. Узнаем, сколько сантиметров сосиски съедят обе таксы за 60 секунд. Для этого умножим их общую скорость на время:
$S_{съедено} = v_{общая} \times t = 15 \text{ см/с} \times 60 \text{ с} = 900 \text{ см}$.

3. Вычтем из общей длины сосиски съеденную часть, чтобы найти остаток:
$S_{осталось} = 1200 \text{ см} - 900 \text{ см} = 300 \text{ см}$.

4. Переведем остаток в метры: $300 \text{ см} = 3 \text{ м}$.

Ответ: 3 метра.

Через сколько времени таксы съедят всю сосиску?

1. Чтобы найти общее время, нужно общую длину сосиски разделить на общую скорость поедания:
$t_{общее} = \frac{S_{общая}}{v_{общая}} = \frac{1200 \text{ см}}{15 \text{ см/с}} = 80 \text{ с}$.

2. 80 секунд можно также представить как 1 минуту 20 секунд.

Ответ: 80 секунд (или 1 минута 20 секунд).

Сколько метров сосиски съест при этом каждая такса?

1. Мы знаем, что вся сосиска будет съедена за 80 секунд. Теперь найдем, какой путь проделала каждая такса за это время, умножив их индивидуальные скорости на общее время.

2. Первая такса съест:
$S_1 = v_1 \times t_{общее} = 9 \text{ см/с} \times 80 \text{ с} = 720 \text{ см}$.

3. Вторая такса съест:
$S_2 = v_2 \times t_{общее} = 6 \text{ см/с} \times 80 \text{ с} = 480 \text{ см}$.

4. Переведем полученные значения в метры:
Первая такса: $720 \text{ см} = 7,2 \text{ м}$.
Вторая такса: $480 \text{ см} = 4,8 \text{ м}$.

Проверка: $7,2 \text{ м} + 4,8 \text{ м} = 12 \text{ м}$.

Ответ: первая такса съест 7,2 м, а вторая — 4,8 м.

212 Задача-шутка.

На День города изготовили гигантскую сосиску длиной 12 м. Две таксы начали есть ее одновременно с обоих концов. Первая такса съедает 9 см сосиски в секунду, а вторая – 6 см в секунду.

Сколько метров сосиски останется через минуту?

Через сколько времени таксы съедят всю сосиску? Сколько метров сосиски съест при этом каждая такса?

213 Велосипедист отъехал от станции в тот момент, когда пешеход отошёл от неё в том же направлении на 1,6 км, и через 15 мин велосипедист догнал пешехода. С какой скоростью шёл пешеход, если велосипедист ехал в $2\frac{1}{3}$ раза быстрее?

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч. Согласно условию, скорость велосипедиста $v_в$ в $2\frac{1}{3}$ раза больше.
Представим $2\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Таким образом, скорость велосипедиста равна $v_в = \frac{7}{3} v_п$.
Так как велосипедист и пешеход движутся в одном направлении, скорость, с которой велосипедист догоняет пешехода (скорость сближения), равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_в - v_п = \frac{7}{3} v_п - v_п = (\frac{7}{3} - \frac{3}{3})v_п = \frac{4}{3} v_п$.
Время, за которое велосипедист догнал пешехода, составляет 15 минут. Переведем это время в часы для согласованности единиц измерения:
$t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.
В начальный момент времени расстояние между ними было $S = 1,6$ км. Это расстояние велосипедист преодолел относительно пешехода со скоростью сближения $v_{сбл}$ за время $t$.
Используем основную формулу движения: $S = v_{сбл} \cdot t$.
Подставим в нее известные нам значения и выражения:
$1,6 = \frac{4}{3} v_п \cdot \frac{1}{4}$.
Сократим множитель 4 в числителе и знаменателе в правой части уравнения:
$1,6 = \frac{1}{3} v_п$.
Теперь выразим и вычислим скорость пешехода $v_п$:
$v_п = 1,6 \cdot 3 = 4,8$ (км/ч).
Ответ: 4,8 км/ч.

213 Велосипедист отъехал от станции в тот момент, когда пешеход отошел от нее в том же направлении на 1,6 км, и через 15 мин велосипедист догнал пешехода. С какой скоростью шел пешеход, если велосипедист ехал в $2 \frac{1}{3}$ раза быстрее?

214 Из двух городов, расстояние между которыми 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Один из них проходил в час на $ \frac{2}{3} $ км больше другого. С какой скоростью шёл каждый из них, если через 1,2 ч после выхода им оставалось пройти до встречи 6 км?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — скорость одного туриста (того, кто шел медленнее). Тогда скорость второго туриста, который проходил в час на $\frac{2}{3}$ км больше, будет $(x + \frac{2}{3})$ км/ч.

1. Найдем расстояние, которое туристы прошли вместе за 1,2 часа. Изначально расстояние между ними было 18 км, а осталось 6 км.

$S_{пройденное} = 18 - 6 = 12$ км.

2. Скорость сближения двух туристов равна сумме их скоростей:

$v_{сближения} = x + (x + \frac{2}{3}) = (2x + \frac{2}{3})$ км/ч.

3. Расстояние, которое туристы прошли вместе, можно найти по формуле $S = v \times t$. Подставим известные значения и составим уравнение:

$(2x + \frac{2}{3}) \times 1,2 = 12$

4. Решим полученное уравнение, чтобы найти скорость первого туриста $x$.

Сначала найдем скорость сближения, разделив пройденное расстояние на время:

$2x + \frac{2}{3} = \frac{12}{1,2}$

$2x + \frac{2}{3} = 10$

Теперь вычтем $\frac{2}{3}$ из обеих частей уравнения:

$2x = 10 - \frac{2}{3}$

$2x = \frac{30}{3} - \frac{2}{3}$

$2x = \frac{28}{3}$

Найдем $x$:

$x = \frac{28}{3} \div 2 = \frac{28}{3 \times 2} = \frac{14}{3}$

$x = 4\frac{2}{3}$ км/ч — скорость первого (более медленного) туриста.

5. Теперь найдем скорость второго туриста:

$x + \frac{2}{3} = 4\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3} + \frac{2}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: скорость одного туриста $4\frac{2}{3}$ км/ч, а скорость другого — $5\frac{1}{3}$ км/ч.

214 Из двух городов, расстояние между которыми 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Один из них проходил в час на $\frac{2}{3}$ км больше другого. С какой скоростью шел каждый из них, если через 1,2 ч после выхода им оставалось пройти до встречи 6 км?

204 Самолёт, двигаясь со скоростью $720 \, \text{км/ч}$, пролетел расстояние между двумя городами за $2,25 \, \text{ч}$. На сколько ему надо увеличить скорость, чтобы сократить время перелёта на $15 \, \text{мин}$?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий.

1. Найдём расстояние между городами.

Расстояние ($S$) вычисляется как произведение скорости ($v$) на время ($t$). В нашем случае известны первоначальная скорость самолёта $v_1 = 720$ км/ч и время в пути $t_1 = 2,25$ ч.

$S = v_1 \times t_1 = 720 \text{ км/ч} \times 2,25 \text{ ч} = 1620$ км.

Таким образом, расстояние между городами составляет 1620 км.

2. Определим новое время перелёта.

По условию, время полёта необходимо сократить на 15 минут. Для удобства вычислений переведём минуты в часы, зная, что в одном часе 60 минут:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0,25$ ч.

Теперь вычтем это значение из первоначального времени полёта, чтобы найти новое время ($t_2$):

$t_2 = 2,25 \text{ ч} - 0,25 \text{ ч} = 2$ ч.

3. Вычислим новую скорость самолёта.

Чтобы пролететь то же расстояние $S = 1620$ км за новое время $t_2 = 2$ ч, самолёту потребуется новая скорость ($v_2$). Найдём её по формуле $v = S / t$:

$v_2 = \frac{1620 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 810$ км/ч.

4. Найдём, на сколько нужно увеличить скорость.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, найдём разницу между новой и первоначальной скоростью:

$\Delta v = v_2 - v_1 = 810 \text{ км/ч} - 720 \text{ км/ч} = 90$ км/ч.

Ответ: чтобы сократить время перелёта на 15 минут, самолёту надо увеличить скорость на 90 км/ч.

204 Самолет, двигаясь со скоростью 720 км/ч, пролетел расстояние между двумя городами за 2,25 ч. На сколько ему надо увеличить скорость, чтобы сократить время перелета на 15 мин?

205 Мотоциклист за 1,5 ч проехал $40 \%$ всего пути. Через сколько времени ему останется проехать $1/3$ всего пути, если скорость его не изменится?

Пусть $T$ — это общее время, необходимое для преодоления всего пути. По условию, за $1,5$ часа мотоциклист проехал $40\%$ или $0,4$ всего пути. Так как скорость постоянна, время прохождения участка пути прямо пропорционально длине этого участка.

Сначала найдем общее время $T$, которое потребуется для прохождения всего пути (100% или 1). Составим пропорцию:

$1,5 \text{ ч} \rightarrow 0,4 \text{ пути}$

$T \text{ ч} \rightarrow 1 \text{ путь}$

Из пропорции находим $T$:
$T = \frac{1,5 \text{ ч} \cdot 1}{0,4} = \frac{15}{4} = 3,75$ часа.

Вопрос задачи заключается в том, чтобы найти время, через которое мотоциклисту останется проехать треть ($ \frac{1}{3} $) всего пути. Это означает, что к этому моменту он должен проехать $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ всего пути.

Теперь найдем время $t$, необходимое для прохождения $\frac{2}{3}$ пути. Для этого умножим общее время $T$ на долю пути, которую нужно проехать:

$t = T \cdot \frac{2}{3} = 3,75 \cdot \frac{2}{3} = \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{15 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$ часа.

Таким образом, через 2,5 часа с начала движения мотоциклисту останется проехать треть всего пути.

Ответ: 2,5 ч.

205 Мотоциклист за $1,5$ ч проехал $40\%$ всего пути. Через сколько времени ему останется проехать $\frac{1}{3}$ всего пути, если скорость его не изменится?

206 Четверо рабочих могут выполнить некоторую работу за 18 ч. Сколько ещё надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Сколько ещё надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова?

Для решения этой задачи можно использовать понятие обратной пропорциональности или рассчитать общий объем работы.

Способ 1: Через общий объем работы

1. Сначала вычислим общий объем работы. Он равен произведению количества рабочих на время работы. Примем объем работы за $A$.

$A = 4 \text{ рабочих} \times 18 \text{ ч} = 72 \text{ человеко-часа}$

2. Теперь определим новое, ускоренное время выполнения работы. По условию, работу нужно выполнить в 1,5 раза быстрее, то есть затратить в 1,5 раза меньше времени.

$T_{новое} = 18 \text{ ч} \div 1,5 = 12 \text{ ч}$

3. Рассчитаем, сколько рабочих потребуется, чтобы выполнить тот же объем работы за новое время.

$N_{новое} = A \div T_{новое} = 72 \text{ человеко-часа} \div 12 \text{ ч} = 6 \text{ рабочих}$

4. Чтобы узнать, сколько еще рабочих нужно пригласить, вычтем из нового количества рабочих первоначальное.

$6 \text{ рабочих} - 4 \text{ рабочих} = 2 \text{ рабочих}$

Способ 2: Через обратную пропорциональность

Количество рабочих и время, необходимое для выполнения определенного объема работы, являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что для того чтобы выполнить работу в $k$ раз быстрее, необходимо в $k$ раз больше рабочих.

Поскольку работу нужно выполнить в 1,5 раза быстрее, количество рабочих нужно увеличить в 1,5 раза.

$N_{новое} = 4 \text{ рабочих} \times 1,5 = 6 \text{ рабочих}$

Теперь найдем, сколько рабочих нужно пригласить дополнительно:

$6 \text{ рабочих} - 4 \text{ рабочих} = 2 \text{ рабочих}$

Ответ: нужно пригласить еще 2 рабочих.

Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Да, в условии задачи есть лишнее данное. Как показывает второй способ решения, для нахождения ответа не обязательно знать конкретное время выполнения работы (18 часов). Важно лишь соотношение времен.

Если количество рабочих увеличить в 1,5 раза (с 4 до 6), то время выполнения работы уменьшится в 1,5 раза, независимо от того, было ли оно изначально 18 часов, 24 часа или любое другое число. Расчет можно провести в общем виде:

Пусть $N_1=4$ рабочих выполняют работу за время $T_1$.

Нужно, чтобы $N_2$ рабочих выполнили ту же работу за время $T_2 = T_1 \div 1,5$.

Из-за обратной пропорциональности: $N_1 \times T_1 = N_2 \times T_2$.

$4 \times T_1 = N_2 \times (T_1 \div 1,5)$

Можно сократить $T_1$ в обеих частях уравнения:

$4 = N_2 \div 1,5$

$N_2 = 4 \times 1,5 = 6$

Как видно, значение в 18 часов не используется в этом расчете.

Ответ: да, лишнее данное — это время выполнения работы четырьмя рабочими, то есть 18 ч.

206 Четверо рабочих могут выполнить некоторую работу за 18 ч. Сколько еще надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

207 Первый оператор набирает страницу за 8 мин, а второй – за 10 мин. Первый оператор набрал за некоторое время 25 страниц. Сколько страниц набрал за это же время второй оператор?

Для решения этой задачи сначала необходимо определить, сколько времени работал первый оператор. Известно, что он набрал 25 страниц, и на каждую страницу у него уходило 8 минут.

1. Вычислим общее время работы первого оператора:

$25 \\text{ страниц} \\times 8 \\text{ мин/страницу} = 200 \\text{ минут}$

Таким образом, первый оператор работал 200 минут.

2. Второй оператор работал то же самое время. Чтобы найти, сколько страниц он набрал, нужно общее время (200 минут) разделить на время, которое он тратит на одну страницу (10 минут).

$200 \\text{ минут} / 10 \\text{ мин/страницу} = 20 \\text{ страниц}$

Ответ: 20 страниц.

207 Первая машинистка печатает страницу за 8 мин, а вторая - за 10 мин. Первая машинистка отпечатала за некоторое время 25 страниц. Сколько страниц отпечатала за это же время вторая машинистка?

208 Некоторое расстояние автомобиль проезжает за 3 ч, а грузовик – за 4 ч. Они одновременно выехали из двух городов навстречу друг другу. Автомобиль проехал до встречи 120 км. Какое расстояние проехал до встречи грузовик?

Пусть $S$ — расстояние, которое автомобиль проезжает за 3 часа, а грузовик за 4 часа. Обозначим скорость автомобиля как $v_а$, а скорость грузовика как $v_г$.

Исходя из формулы расстояния $S = v \cdot t$, мы можем выразить скорости автомобиля и грузовика через расстояние $S$:
Скорость автомобиля: $v_а = S / 3$
Скорость грузовика: $v_г = S / 4$

Теперь найдем отношение их скоростей:
$v_а / v_г = (S / 3) / (S / 4) = (S / 3) \cdot (4 / S) = 4 / 3$
Это значит, что скорость автомобиля в $4/3$ раза больше скорости грузовика.

Автомобиль и грузовик выехали одновременно и двигались до встречи одинаковое количество времени. Обозначим это время как $t_{встр}$. За это время автомобиль проехал расстояние $S_а = 120$ км, а грузовик — расстояние $S_г$.
Поскольку пройденный путь прямо пропорционален скорости при одинаковом времени движения ($S = v \cdot t_{встр}$), то отношение пройденных расстояний будет равно отношению их скоростей:
$S_а / S_г = v_а / v_г = 4 / 3$

Мы знаем, что автомобиль проехал 120 км ($S_а = 120$). Подставим это значение в полученную пропорцию:
$120 / S_г = 4 / 3$

Теперь найдем расстояние, которое проехал грузовик до встречи ($S_г$):
$S_г = (120 \cdot 3) / 4 = 360 / 4 = 90$ км.

Ответ: 90 км.

208 Некоторое расстояние автомобиль проезжает за 3 ч, а грузовик – за 4 ч. Они одновременно выехали из двух городов навстречу друг другу. Автомобиль проехал до встречи 120 км. Какое расстояние проехал до встречи грузовик?

209 Реши задачи двумя способами – способом пропорций и по правилам решения задач на проценты. Какой способ ты находишь более удобным?

1) Площадь поля 80 га. Кукурузой засеяли $45 \%$ всей площади. Сколько гектаров поля засеяно кукурузой?

2) Завод выпустил за первую декаду месяца 1540 автомобилей, что составило $44 \%$ месячного плана. Сколько автомобилей должен по плану выпустить завод за месяц?

3) Из 150 деревьев, посаженных в парке, 84 тополя. Какой процент всех посаженных деревьев составляют тополя?

1)

Способ пропорций:
Пусть $x$ гектаров — это площадь, засеянная кукурузой. Вся площадь поля, 80 га, составляет 100%. Составим пропорцию:
80 га — 100%
$x$ га — 45%
Из пропорции получаем уравнение:
$ \frac{80}{x} = \frac{100}{45} $
Решаем его: $ x = \frac{80 \cdot 45}{100} = \frac{3600}{100} = 36 $ га.

По правилам решения задач на проценты:
Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить число на эту дробь.
1. Переведем 45% в десятичную дробь: $ 45\% = 0,45 $.
2. Найдем 45% от 80: $ 80 \cdot 0,45 = 36 $ га.
Ответ: 36 гектаров.

2)

Способ пропорций:
Пусть $x$ автомобилей — это месячный план завода, что составляет 100%. За первую декаду выпустили 1540 автомобилей, что составляет 44%. Составим пропорцию:
1540 автомобилей — 44%
$x$ автомобилей — 100%
Из пропорции получаем уравнение:
$ \frac{1540}{x} = \frac{44}{100} $
Решаем его: $ x = \frac{1540 \cdot 100}{44} = \frac{154000}{44} = 3500 $ автомобилей.

По правилам решения задач на проценты:
Чтобы найти целое по его части, выраженной в процентах, нужно эту часть разделить на соответствующую ей десятичную дробь.
1. Переведем 44% в десятичную дробь: $ 44\% = 0,44 $.
2. Найдем общее количество автомобилей: $ 1540 : 0,44 = 3500 $ автомобилей.
Ответ: 3500 автомобилей.

3)

Способ пропорций:
Пусть $x$ процентов составляют тополя. Всего посажено 150 деревьев, что составляет 100%. Составим пропорцию:
150 деревьев — 100%
84 дерева — $x$%
Из пропорции получаем уравнение:
$ \frac{150}{84} = \frac{100}{x} $
Решаем его: $ x = \frac{84 \cdot 100}{150} = \frac{8400}{150} = \frac{840}{15} = 56 $%.

По правилам решения задач на проценты:
Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
$ \frac{84}{150} \cdot 100\% = 0,56 \cdot 100\% = 56\% $.
Ответ: 56%.

Оба способа приводят к одинаковым вычислениям и правильным ответам. Способ пропорций может показаться более удобным, так как он универсален для всех трех типов задач на проценты и требует запоминания только одного алгоритма — составления пропорции. Решение по правилам требует помнить три разных правила для каждого типа задач (нахождение процента от числа, числа по его проценту и процентного отношения), но для тех, кто их хорошо знает, этот способ может быть немного быстрее в записи.

209 Реши задачи двумя способами – способом пропорций и по правилам решения задач на проценты. Какой способ ты находишь более удобным?

1) Площадь поля 80 га. Кукурузой засеяли 45% всей площади. Сколько гектаров поля засеяно кукурузой?

2) Завод выпустил за первую декаду месяца 1540 автомобилей, что составило 44% месячного плана. Сколько автомобилей должен по плану выпустить завод за месяц?

3) Из 150 деревьев, посаженных в парке, 84 тополя. Какой процент всех посаженных деревьев составляют тополя?

210 Найди два способа решения задачи.

Из 100 кг молока получается 8 кг сыра. Сколько килограммов молока нужно для приготовления 30 кг сыра?

1 способ (метод приведения к единице)

1. Сначала узнаем, сколько килограммов молока необходимо для производства 1 кг сыра. Для этого разделим общее количество молока на количество полученного сыра:

$100 \text{ кг} \div 8 \text{ кг} = 12.5 \text{ кг}$

Таким образом, для получения 1 кг сыра требуется 12,5 кг молока.

2. Теперь вычислим, сколько молока понадобится для приготовления 30 кг сыра. Для этого умножим количество молока, необходимое для 1 кг сыра, на 30:

$12.5 \text{ кг} \times 30 = 375 \text{ кг}$

Ответ: для приготовления 30 кг сыра нужно 375 кг молока.

2 способ (метод пропорций)

1. Составим пропорцию, в которой $x$ — искомое количество молока для 30 кг сыра. Соотношение молока и сыра остаётся постоянным:

100 кг молока — 8 кг сыра

$x$ кг молока — 30 кг сыра

Запишем это в виде математической пропорции:

$\frac{100}{8} = \frac{x}{30}$

2. Найдём $x$ из этой пропорции. Для этого умножим крайние члены и разделим на известный средний член:

$x = \frac{100 \times 30}{8}$

$x = \frac{3000}{8}$

$x = 375 \text{ кг}$

Ответ: для приготовления 30 кг сыра нужно 375 кг молока.

210 Найди два способа решения задачи.

Из $100 \text{ кг}$ молока получается $8 \text{ кг}$ сыра. Сколько килограммов молока нужно для приготовления $30 \text{ кг}$ сыра?

211 Бригада из 4 человек выложила за 6 ч стену из кирпичей высотой 4,8 м. За какое время могла бы выложить стену такой же ширины и высотой 8 м бригада из 2 человек, работающих с такой же производительностью?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность труда одного рабочего. Будем считать, что объем выполненной работы пропорционален высоте стены, так как ее ширина остается неизменной.

Первая бригада из 4 человек выложила стену высотой 4,8 м за 6 часов. Суммарное количество отработанных человеко-часов составляет $4 \text{ человека} \times 6 \text{ часов} = 24$ человеко-часа.

Теперь можно найти, какую высоту стены (при заданной ширине) выкладывает один рабочий за один час. Эта величина и будет являться производительностью. Для этого разделим высоту стены на общее количество затраченных человеко-часов:

Производительность $P = \frac{4,8 \text{ м}}{24 \text{ человеко-часа}} = 0,2$ м/человеко-час.

Далее определим, сколько всего человеко-часов потребуется для постройки новой стены высотой 8 м. Для этого разделим новую высоту на производительность одного рабочего:

Общие трудозатраты $L = \frac{8 \text{ м}}{0,2 \text{ м/человеко-час}} = 40$ человеко-часов.

Это общее количество работы, необходимое для возведения второй стены. Поскольку вторая бригада состоит из 2 человек, для нахождения искомого времени разделим общие трудозатраты на количество рабочих во второй бригаде:

Время $T = \frac{40 \text{ человеко-часов}}{2 \text{ человека}} = 20$ часов.

Ответ: 20 часов.

211 Бригада из 4 человек выложила за 6 ч стену из кирпичей высотой 4,8 м. За какое время могла бы выложить стену такой же ширины и высотой 8 м бригада из 2 человек, работающих с такой же производительностью?

212 Для трёх лошадей запасли 900 кг сена на 60 дней. Сколько сена надо запасти для пяти лошадей на 120 дней, если расход сена на каждую лошадь одинаков?

Для решения этой задачи сначала найдем норму потребления сена одной лошадью в день. По условию, для трёх лошадей запасли 900 кг сена на 60 дней. Рассчитаем, сколько сена съедают три лошади за один день:

$900 \text{ кг} \div 60 \text{ дней} = 15 \text{ кг}$

Это суточный расход на трёх лошадей. Теперь найдём, сколько сена требуется одной лошади в день:

$15 \text{ кг} \div 3 \text{ лошади} = 5 \text{ кг}$

Таким образом, одна лошадь съедает 5 кг сена в день.

Теперь мы можем рассчитать, сколько сена потребуется для пяти лошадей на 120 дней. Сначала вычислим суточный расход для пяти лошадей:

$5 \text{ кг/лошадь} \times 5 \text{ лошадей} = 25 \text{ кг}$

Далее, умножим суточный расход на количество дней, чтобы найти общее количество сена:

$25 \text{ кг/день} \times 120 \text{ дней} = 3000 \text{ кг}$

Ответ: для пяти лошадей на 120 дней надо запасти 3000 кг сена.

212 Для трех лошадей запасли 900 кг сена на 60 дней. Сколько сена надо запасти для пяти лошадей на 120 дней, если расход сена на каждую лошадь одинаков?