Страница 56, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

219 1) Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби $\frac{2}{7}$, чтобы получить дробь, равную 0,5?

2) Какое число надо вычесть из числителя и из знаменателя дроби $\frac{17}{22}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{2}{3}$?

3) Знаменатель дроби на 8 больше числителя. Если к числителю дроби прибавить 1, а из знаменателя вычесть 1, то получится дробь, равная 0,4. Чему равен знаменатель данной дроби?

4) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится дробь, равная 0,125. Чему равен числитель данной дроби?

1) Пусть $x$ – искомое число. Согласно условию, если прибавить это число к числителю и знаменателю дроби $\frac{2}{7}$, то получится дробь, равная 0,5. Составим уравнение:
$\frac{2+x}{7+x} = 0,5$
Представим 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
$\frac{2+x}{7+x} = \frac{1}{2}$
Воспользуемся свойством пропорции (крест-накрест):
$2(2+x) = 1(7+x)$
$4 + 2x = 7 + x$
$2x - x = 7 - 4$
$x = 3$
Проверка: $\frac{2+3}{7+3} = \frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 3.

2) Пусть $x$ – искомое число, которое нужно вычесть. Если вычесть это число из числителя и знаменателя дроби $\frac{17}{22}$, то получится дробь, равная $\frac{2}{3}$. Составим уравнение:
$\frac{17-x}{22-x} = \frac{2}{3}$
Решим уравнение, используя свойство пропорции:
$3(17-x) = 2(22-x)$
$51 - 3x = 44 - 2x$
$51 - 44 = 3x - 2x$
$x = 7$
Проверка: $\frac{17-7}{22-7} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
Ответ: 7.

3) Пусть числитель исходной дроби равен $x$. По условию, знаменатель на 8 больше, следовательно, он равен $x+8$. Исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+8}$.
Если к числителю прибавить 1, новый числитель будет $x+1$.
Если из знаменателя вычесть 1, новый знаменатель будет $(x+8)-1 = x+7$.
Получившаяся дробь $\frac{x+1}{x+7}$ равна 0,4. Представим 0,4 в виде дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{x+1}{x+7} = \frac{2}{5}$
$5(x+1) = 2(x+7)$
$5x + 5 = 2x + 14$
$5x - 2x = 14 - 5$
$3x = 9$
$x = 3$
Числитель исходной дроби равен 3. Нас просят найти знаменатель данной (исходной) дроби. Он равен $x+8 = 3+8 = 11$.
Ответ: 11.

4) Пусть числитель исходной дроби равен $x$. По условию, знаменатель на 1 меньше, следовательно, он равен $x-1$. Исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x-1}$.
Если из числителя вычесть 4, новый числитель будет $x-4$.
Если знаменатель умножить на 4, новый знаменатель будет $4(x-1) = 4x-4$.
Получившаяся дробь $\frac{x-4}{4x-4}$ равна 0,125. Представим 0,125 в виде дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{x-4}{4x-4} = \frac{1}{8}$
$8(x-4) = 1(4x-4)$
$8x - 32 = 4x - 4$
$8x - 4x = 32 - 4$
$4x = 28$
$x = 7$
Вопрос задачи — чему равен числитель данной дроби. Мы обозначили его за $x$.
Ответ: 7.

219 1) Какое число надо прибавить к числителю и к знаменателю дроби $ \frac{2}{7} $, чтобы получить дробь, равную 0,5?

2) Какое число надо вычесть из числителя и из знаменателя дроби $ \frac{17}{22} $, чтобы получить дробь, равную $ \frac{2}{3} $?

3) Знаменатель дроби на 8 больше числителя. Если к числителю дроби прибавить 1, а из знаменателя вычесть 1, то получится дробь, равная 0,4. Чему равен знаменатель данной дроби?

4) Знаменатель дроби на 1 меньше числителя. Если из числителя вычесть 4, а знаменатель умножить на 4, то получится дробь, равная 0,125. Чему равен числитель данной дроби?

220 Придумай по данному выражению задачу о «доходах» (прибавлении денег) и «расходах» (уменьшении денег) и найди ответ:

1) $(+3) + (-7);$

2) $(-5) + (+8);$

3) $(-1) + (-4).$

1) (+3) + (-7)

Задача: В начале дня на счету компании было 3 тысячи рублей (доход). В течение дня компания потратила 7 тысяч рублей на закупку оборудования (расход). Каким стал баланс счета компании в конце дня?

Решение: Доход мы представляем как положительное число (+3), а расход — как отрицательное (-7). Чтобы найти итоговый баланс, нужно сложить эти два числа.

$(+3) + (-7) = 3 - 7 = -4$

Это означает, что на счету компании образовался долг в 4 тысячи рублей.

Ответ: -4.

2) (-5) + (+8)

Задача: У предпринимателя был долг в 5 тысяч рублей. После успешной сделки он получил прибыль в размере 8 тысяч рублей. Какое количество денег осталось у предпринимателя после того, как он погасил свой долг?

Решение: Долг можно представить как отрицательное число (-5), а прибыль — как положительное (+8). Сложим эти числа, чтобы узнать итоговое финансовое состояние.

$(-5) + (+8) = -5 + 8 = 3$

После погашения долга у предпринимателя осталось 3 тысячи рублей.

Ответ: 3.

3) (-1) + (-4)

Задача: В понедельник расходы семьи на продукты составили 1 тысячу рублей. Во вторник семья потратила еще 4 тысячи рублей на оплату коммунальных услуг. Каковы общие расходы семьи за два дня?

Решение: Оба значения являются расходами, поэтому мы представляем их как отрицательные числа (-1 и -4). Чтобы найти общую сумму расходов, нужно их сложить.

$(-1) + (-4) = -1 - 4 = -5$

Общие расходы семьи за два дня составили 5 тысяч рублей.

Ответ: -5.

220 Придумай по данному выражению задачу о “доходах” (прибавлении денег) и “расходах” (уменьшении денег) и найди ответ:

1) $(+3) + (-7);$

2) $(-5) + (+8);$

3) $(-1) + (-4).$

221 Придумай задачу о доходах и расходах по данному выражению и схеме. Как, пользуясь этой аналогией, записать выражение короче, без скобок?

$(+2) + (-3)$

Придумай задачу о доходах и расходах по данному выражению и схеме.

Для составления задачи будем считать доходы положительными числами, а расходы — отрицательными.

Задача: В начале дня на балансе мобильного телефона было 2 рубля. В течение дня за использование интернета была списана плата в размере 3 рубля. Каким стал баланс на счете к концу дня?

Решение: Начальный баланс в 2 рубля — это доход, который можно записать как $ +2 $. Списание 3 рублей — это расход, который можно записать как $ -3 $. Чтобы найти итоговый баланс, нужно к начальному балансу прибавить расход:

$ (+2) + (-3) $

Выполним вычисление: $ (+2) + (-3) = 2 - 3 = -1 $.

Это означает, что на счете образовалась задолженность в 1 рубль. Схема на числовой прямой в условии как раз показывает этот процесс: из точки $ +2 $ мы перемещаемся на 3 единицы влево (что соответствует расходу) и попадаем в точку $ -1 $.

Ответ: Баланс на счете к концу дня стал -1 рубль (задолженность 1 рубль).

Как, пользуясь этой аналогией, записать выражение короче, без скобок?

Используя аналогию с доходами и расходами, можно легко упростить выражение. Операция «прибавить расход» по своему смыслу означает «уменьшить сумму» или просто «вычесть». Например, прибавить расход в 3 рубля (добавить $ -3 $) — это то же самое, что просто вычесть 3 рубля.

Следовательно, сложение с отрицательным числом $ (-3) $ можно заменить вычитанием соответствующего положительного числа $ 3 $.

Таким образом, исходное выражение $ (+2) + (-3) $ можно записать короче, убрав лишние знаки и скобки:

$ (+2) + (-3) = 2 - 3 $

Запись $ 2 - 3 $ короче и не содержит скобок.

Ответ: $ 2 - 3 $.

221 Придумай задачу о доходах и расходах по данному выражению и схеме. Как, пользуясь этой аналогией, записать выражение короче, без скобок?

$ (+2) + (-3) $

222 Найди значения выражений методом доходов и расходов и с помощью координатной прямой:

1) $4 - 5$;

2) $-3 + 8$;

3) $-2 - 4$;

4) $-1 + 5$.

1) $4 - 5$

Метод доходов и расходов:

Представим, что у нас есть доход (положительное число) в 4 единицы и расход (вычитаемое число) в 5 единиц. Сравниваем доход и расход. Расход ($5$) больше дохода ($4$), значит, в результате образуется долг (отрицательное число). Чтобы найти величину долга, вычтем из большей величины меньшую: $5 - 4 = 1$. Так как это долг, результат будет со знаком минус. Таким образом, $4 - 5 = -1$.

С помощью координатной прямой:

Находим на координатной прямой точку, соответствующую первому числу, то есть 4. Вычитание 5 означает, что нам нужно переместиться от этой точки на 5 единичных отрезков влево (в сторону уменьшения чисел). Двигаясь из точки 4 на 5 единиц влево, мы последовательно проходим точки 3, 2, 1, 0 и останавливаемся в точке -1. Следовательно, $4 - 5 = -1$.

Ответ: $-1$

2) $-3 + 8$

Метод доходов и расходов:

Представим, что у нас есть долг (отрицательное число) в 3 единицы и доход (положительное число) в 8 единиц. Доход ($8$) больше, чем долг ($3$), значит, мы можем покрыть долг и у нас останется прибыль (положительное число). Чтобы найти размер прибыли, вычтем из дохода сумму долга: $8 - 3 = 5$. Результат будет положительным. Таким образом, $-3 + 8 = 5$.

С помощью координатной прямой:

Находим на координатной прямой точку, соответствующую первому числу, то есть -3. Прибавление 8 означает, что нам нужно переместиться от этой точки на 8 единичных отрезков вправо (в сторону увеличения чисел). Двигаясь из точки -3 на 8 единиц вправо, мы последовательно проходим точки -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 и останавливаемся в точке 5. Следовательно, $-3 + 8 = 5$.

Ответ: $5$

3) $-2 - 4$

Метод доходов и расходов:

Представим, что у нас уже был долг в 2 единицы (число -2), и к нему добавился расход в 4 единицы (вычитание 4). Два долга (или долг и расход) складываются, увеличивая общую сумму долга. Сложим величины долга и расхода: $2 + 4 = 6$. Так как это общий долг, результат будет отрицательным. Таким образом, $-2 - 4 = -6$.

С помощью координатной прямой:

Находим на координатной прямой точку, соответствующую первому числу, то есть -2. Вычитание 4 означает, что нам нужно переместиться от этой точки на 4 единичных отрезка влево. Двигаясь из точки -2 на 4 единицы влево, мы последовательно проходим точки -3, -4, -5 и останавливаемся в точке -6. Следовательно, $-2 - 4 = -6$.

Ответ: $-6$

4) $-1 + 5$

Метод доходов и расходов:

Представим, что у нас есть долг в 1 единицу (число -1) и доход в 5 единиц (число +5). Доход ($5$) больше, чем долг ($1$), поэтому мы можем покрыть долг, и у нас останется прибыль. Чтобы найти размер прибыли, вычтем из дохода сумму долга: $5 - 1 = 4$. Результат будет положительным. Таким образом, $-1 + 5 = 4$.

С помощью координатной прямой:

Находим на координатной прямой точку, соответствующую первому числу, то есть -1. Прибавление 5 означает, что нам нужно переместиться от этой точки на 5 единичных отрезков вправо. Двигаясь из точки -1 на 5 единиц вправо, мы последовательно проходим точки 0, 1, 2, 3 и останавливаемся в точке 4. Следовательно, $-1 + 5 = 4$.

Ответ: $4$

222 Найди значения выражений методом доходов и расходов и с помощью координатной прямой:

1) $4 - 5$;

2) $-3 + 8$;

3) $-2 - 4$;

4) $-1 + 5$.

223 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

2) Найди на рисунке отрезки, являющиеся медианами треугольников.

$CK$, $DN$, $FM$, $QO$, $PS$, $XT$

3) Сколько медиан в треугольнике? 4) Начерти произвольный треугольник и проведи все его медианы. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент ещё раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать построенную гипотезу доказанной на основании выполненных построений?

В определении «Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны» определяемым понятием является медиана треугольника.

Ответ: медиана треугольника.

На рисунках изображены отрезки, которые, согласно определению, являются медианами. Это отрезки, соединяющие вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне (предполагается, что эта точка — середина стороны):

• $CK$ в треугольнике $ABC$;
• $DM$ в треугольнике $DPF$;
• $PS$ в треугольнике $POR$;
• $XT$ в треугольнике $XYZ$.

Ответ: $CK, DM, PS, XT$.

У треугольника три вершины и, соответственно, три стороны. От каждой вершины можно провести одну медиану к середине противоположной стороны. Следовательно, в любом треугольнике можно провести ровно три медианы.

Ответ: 3.

Начертим произвольный треугольник $ABC$ и проведём в нём все три медианы: $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Наблюдение: Все три медианы ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) пересекаются в одной точке (на рисунке это точка $O$). Если повторить этот эксперимент, начертив другой треугольник (например, прямоугольный или тупоугольный), мы заметим, что его медианы также пересекаются в одной точке.

Гипотеза: Все три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке.

Можно ли считать гипотезу доказанной? Нет, на основании выполненных построений считать гипотезу доказанной нельзя. Построение, даже выполненное многократно, является лишь иллюстрацией для частных случаев. В математике для доказательства требуется строгое логическое рассуждение, которое подтвердит истинность утверждения для абсолютно всех треугольников, а не только для нарисованных. Таким образом, построение помогает выдвинуть гипотезу, но не доказывает её.

Ответ: Замечено, что все медианы пересекаются в одной точке. Гипотеза: медианы треугольника всегда пересекаются в одной точке. Эту гипотезу нельзя считать доказанной на основании построений, так как это не является строгим математическим доказательством, а лишь наблюдением в частных случаях.

223 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

2) Найди на рисунке отрезки, являющиеся медианами треугольников:

3) Сколько медиан в треугольнике?

4) Начерти произвольный треугольник и проведи все его медианы. Что ты замечаешь? Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли считать построенную гипотезу доказанной на основании выполненных построений?

251 Восстанови цепочки вычислений и расшифруй логические термины. Что они означают?

5 $ \xrightarrow{-8,6} $ P $ \xrightarrow{-0,9} $ O $ \xrightarrow{:(-\text{0,1})} $ И $ \xrightarrow{\cdot(-\text{0,2})} $ М $ \xrightarrow{+\text{1,8}} $ Ц

К $ \xrightarrow{:(-\text{4})} $ Е $ \xrightarrow{-1,3} $ Т $ \xrightarrow{\cdot 7} $ А $ \xrightarrow{+\text{2,4}} $ Н $ \xrightarrow{\cdot(-\text{2})} $ 5

-0,7 0,6 -9 -4,9

-3,6 0,6 -9 -4,9

-4,5 -0,7 -3,6 45 -7,2 -4,9 -2,5 45 0,6

Для решения задачи необходимо выполнить вычисления в двух цепочках, сопоставить полученные результаты с буквами, а затем расшифровать и объяснить логические термины.

Первая цепочка (слева направо):

• Начальное значение: 5.

• Первое действие (Р): $5 - 8,6 = -3,6$.

• Второе действие (О): $-3,6 - 0,9 = -4,5$.

• Третье действие (И): $-4,5 : (-0,1) = 45$.

• Четвертое действие (М): $45 \cdot (-0,2) = -9$.

• Пятое действие (Ц): $-9 + 1,8 = -7,2$.

Вторая цепочка (восстанавливаем справа налево, выполняя обратные операции):

• Конечное значение: 5.

• Значение в квадрате Н: $5 : (-2) = -2,5$.

• Значение в квадрате А: $-2,5 - 2,4 = -4,9$.

• Значение в квадрате Т: $-4,9 : 7 = -0,7$.

• Значение в квадрате Е: $-0,7 + 1,3 = 0,6$.

• Значение в квадрате К: $0,6 \cdot (-4) = -2,4$.

Сопоставим каждой букве полученное числовое значение:

• Р $\rightarrow -3,6$

• О $\rightarrow -4,5$

• И $\rightarrow 45$

• М $\rightarrow -9$

• Ц $\rightarrow -7,2$

• Н $\rightarrow -2,5$

• А $\rightarrow -4,9$

• Т $\rightarrow -0,7$

• Е $\rightarrow 0,6$

Теперь подставим буквы в таблицы в соответствии с числами:

• Первая таблица: [-0,7; 0,6; -9; -4,9] $\rightarrow$ [Т, Е, М, А]. Получаем слово: ТЕМА.

• Вторая таблица: [-3,6; 0,6; -9; -4,9] $\rightarrow$ [Р, Е, М, А]. Получаем слово: РЕМА.

• Третья таблица: [-4,5; -0,7; -3,6; 45; -7,2; -4,9; -2,5; 45; 0,6] $\rightarrow$ [О, Т, Р, И, Ц, А, Н, И, Е]. Получаем слово: ОТРИЦАНИЕ.

• Тема – это исходный пункт высказывания, то, о чём сообщается. Тема обычно содержит уже известную информацию.

• Рема – это ядро высказывания, то новое, что сообщается о теме. Рема несёт основную смысловую нагрузку и коммуникативную ценность.

  Пример: В предложении "Солнце (тема) светит ярко (рема)", "солнце" является известным объектом, а "светит ярко" - новой информацией о нём.

• Отрицание – это логическая операция, в результате которой из истинного высказывания получается ложное, а из ложного — истинное. В естественном языке обычно выражается с помощью частицы "не" или слов "неверно, что...".

  Пример: Отрицанием истинного высказывания "Земля вращается вокруг Солнца" является ложное высказывание "Земля не вращается вокруг Солнца".

Ответ: расшифрованные термины — ТЕМА, РЕМА, ОТРИЦАНИЕ. Их значения описаны выше.

251 Восстанови цепочки вычислений и расшифруй логические термины. Что они означают?

Начало цепочки 1: 5

Операция: $-8,6$

Операция: $-0,9$

Операция: $:( -0,1)$

Операция: $\cdot (-0,2)$

Операция: $+1,8$

Конец цепочки 1.

Начало цепочки 2:

Операция: $:( -4)$

Операция: $-1,3$

Операция: $\cdot 7$

Операция: $+2,4$

Операция: $\cdot (-2)$

Конец цепочки 2: 5

Таблица 1:

$-0,7$, $0,6$, $-9$, $-4,9$

Таблица 2:

$-3,6$, $0,6$, $-9$, $-4,9$

Таблица 3:

$-4,5$, $-0,7$, $-3,6$, $45$, $-7,2$, $-4,9$, $-2,5$, $45$, $0,6$

252 Найди множество корней уравнения:

а) $4(3x - 7) - 2(x - 15) = 5 - 3(2x + 9);$

б) $x - 3(x - 2) = 18 + 2(5x - 8) - 6(2x + 1);$

в) $-2,4(-2x + 0,3) = 1,8(5x - 0,4) - 4,2x;$

г) $2\left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{6}\right) + 5\frac{1}{3} = -4\left(\frac{7}{12}x + 1\frac{3}{4}\right) + 3\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x\right).$

а) $4(3x - 7) - 2(x - 15) = 5 - 3(2x + 9)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$12x - 28 - 2x + 30 = 5 - 6x - 27$
Приведём подобные слагаемые в каждой части:
$(12x - 2x) + (-28 + 30) = -6x + (5 - 27)$
$10x + 2 = -6x - 22$
Перенесём слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, изменяя знаки при переносе:
$10x + 6x = -22 - 2$
$16x = -24$
Разделим обе части на 16, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-24}{16}$
Сократим дробь на 8:
$x = -\frac{3}{2} = -1,5$
Таким образом, множество корней уравнения состоит из одного элемента.
Ответ: $\{-1,5\}$

б) $x - 3(x - 2) = 18 + 2(5x - 8) - 6(2x + 1)$
Раскроем скобки:
$x - 3x + 6 = 18 + 10x - 16 - 12x - 6$
Приведём подобные слагаемые:
$-2x + 6 = (10x - 12x) + (18 - 16 - 6)$
$-2x + 6 = -2x - 4$
Перенесём слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$-2x + 2x = -4 - 6$
$0 \cdot x = -10$
Получено неверное равенство $0 = -10$. Это означает, что уравнение не имеет корней, ни при каком значении $x$ равенство не будет верным.
Множество корней пусто.
Ответ: $\emptyset$

в) $-2,4(-2x + 0,3) = 1,8(5x - 0,4) - 4,2x$
Раскроем скобки:
$(-2,4) \cdot (-2x) + (-2,4) \cdot 0,3 = 1,8 \cdot 5x + 1,8 \cdot (-0,4) - 4,2x$
$4,8x - 0,72 = 9x - 0,72 - 4,2x$
Приведём подобные слагаемые в правой части:
$4,8x - 0,72 = (9x - 4,2x) - 0,72$
$4,8x - 0,72 = 4,8x - 0,72$
Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$4,8x - 4,8x = -0,72 + 0,72$
$0 \cdot x = 0$
Получено тождество $0 = 0$, которое верно при любом значении $x$. Следовательно, корнем уравнения является любое действительное число.
Множество корней — все действительные числа.
Ответ: $x \in \mathbb{R}$

г) $2(\frac{2}{3}x - \frac{1}{6}) + 5\frac{1}{3} = -4(\frac{7}{12}x + 1\frac{3}{4}) + 3(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x)$
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$ и $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
Уравнение принимает вид:
$2(\frac{2}{3}x - \frac{1}{6}) + \frac{16}{3} = -4(\frac{7}{12}x + \frac{7}{4}) + 3(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x)$
Раскроем скобки:
$\frac{4}{3}x - \frac{2}{6} + \frac{16}{3} = -\frac{28}{12}x - \frac{28}{4} + \frac{3}{9} - \frac{3}{3}x$
Упростим дроби:
$\frac{4}{3}x - \frac{1}{3} + \frac{16}{3} = -\frac{7}{3}x - 7 + \frac{1}{3} - x$
Приведём подобные слагаемые в каждой части:
$\frac{4}{3}x + \frac{15}{3} = (-\frac{7}{3}x - \frac{3}{3}x) + (-7 + \frac{1}{3})$
$\frac{4}{3}x + 5 = -\frac{10}{3}x - \frac{20}{3}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 3:
$3 \cdot (\frac{4}{3}x + 5) = 3 \cdot (-\frac{10}{3}x - \frac{20}{3})$
$4x + 15 = -10x - 20$
Перенесём слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$4x + 10x = -20 - 15$
$14x = -35$
Найдем $x$:
$x = -\frac{35}{14}$
Сократим дробь на 7:
$x = -\frac{5}{2} = -2,5$
Множество корней уравнения состоит из одного элемента.
Ответ: $\{-2,5\}$

252 Найди множество корней уравнения:

а) $4(3x - 7) - 2(x - 15) = 5 - 3(2x + 9);$

б) $x - 3(x - 2) = 18 + 2(5x - 8) - 6(2x + 1);$

в) $-2.4(-2x + 0.3) = 1.8(5x - 0.4) - 4.2x;$

г) $2\left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{6}\right) + 5\frac{1}{3} = -4\left(\frac{7}{12}x + 1\frac{3}{4}\right) + 3\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}x).$

253 a) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 5 см, ширина составляет 28 % длины, а сумма площадей его боковых граней $192 \text{ см}^2$. Найди объём параллелепипеда.

б) Длина прямоугольного параллелепипеда на 40 % больше ширины, а ширина в 5 раз меньше высоты. Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда, если его объём равен $56 \text{ дм}^3$?

а)

Пусть $a$ – длина, $b$ – ширина и $h$ – высота прямоугольного параллелепипеда.По условию задачи, высота $h = 5$ см.Ширина составляет 28% от длины, что можно записать как $b = 0.28a$.Сумма площадей боковых граней (площадь боковой поверхности) равна $S_{бок} = 192$ см².

Формула площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда:$S_{бок} = 2(a+b)h$

Подставим известные значения в формулу:$192 = 2(a + b) \cdot 5$$192 = 10(a+b)$

Отсюда найдем сумму длины и ширины:$a+b = \frac{192}{10} = 19.2$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$ \begin{cases} a+b=19.2 \\ b=0.28a \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:$a + 0.28a = 19.2$$1.28a = 19.2$$a = \frac{19.2}{1.28} = 15$ см.

Теперь найдем ширину:$b = 0.28a = 0.28 \cdot 15 = 4.2$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$V = a \cdot b \cdot h$

Подставим найденные значения:$V = 15 \cdot 4.2 \cdot 5 = 315$ см³.

Ответ: 315 см³.

б)

Пусть $a$ – длина, $b$ – ширина и $h$ – высота прямоугольного параллелепипеда.По условию задачи, длина на 40% больше ширины, значит $a = b + 0.4b = 1.4b$.Ширина в 5 раз меньше высоты, значит $h = 5b$.Объём параллелепипеда равен $V = 56$ дм³.

Формула объёма:$V = a \cdot b \cdot h$

Подставим выражения для $a$ и $h$ через $b$ в формулу объёма:$56 = (1.4b) \cdot b \cdot (5b)$$56 = 7b^3$

Найдем $b^3$:$b^3 = \frac{56}{7} = 8$

Отсюда ширина $b = \sqrt[3]{8} = 2$ дм.

Теперь найдем длину и высоту:$a = 1.4b = 1.4 \cdot 2 = 2.8$ дм.$h = 5b = 5 \cdot 2 = 10$ дм.

Площадь полной поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле:$S_{полн} = 2(ab + ah + bh)$

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $h$:$S_{полн} = 2(2.8 \cdot 2 + 2.8 \cdot 10 + 2 \cdot 10)$$S_{полн} = 2(5.6 + 28 + 20)$$S_{полн} = 2(53.6)$$S_{полн} = 107.2$ дм².

Ответ: 107,2 дм².

253 a) Высота прямоугольного параллелепипеда равна $5 \text{ см}$, ширина составляет 28% длины, а сумма площадей его боковых граней $192 \text{ см}^2$. Найди объем параллелепипеда.

б) Длина прямоугольного параллелепипеда на 40% больше ширины, а ширина в 5 раз меньше высоты. Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда, если его объем равен $56 \text{ дм}^3$?

254 Переформулируй предложения, используя глагол «следует». Построй их отрицание.

а) Простое число всегда нечётно.

б) Нечётное число всегда является простым.

а) Исходное утверждение «Простое число всегда нечётно» выражает логическую связь: если число простое, то оно должно быть нечётным. Эту связь можно переформулировать, используя глагол «следует».

Переформулированное предложение: Из того, что число простое, следует, что оно нечётное.

Отрицание исходного утверждения означает, что данное правило не всегда верно, то есть существует хотя бы одно исключение. Это значит, что найдётся простое число, которое не является нечётным (а значит, является чётным).

Отрицание: Существует простое число, которое не является нечётным. (Например, число 2 является и простым, и чётным).

Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что число простое, следует, что оно нечётное». Отрицание: «Существует простое число, которое не является нечётным».

б) Исходное утверждение «Нечётное число всегда является простым» также выражает логическую связь: если число нечётное, то оно должно быть простым. Переформулируем его с использованием глагола «следует».

Переформулированное предложение: Из того, что число нечётное, следует, что оно простое.

Отрицание этого утверждения означает, что не все нечётные числа являются простыми. То есть, найдётся хотя бы одно нечётное число, которое не является простым (то есть является составным).

Отрицание: Существует нечётное число, которое не является простым. (Например, число 9 нечётное, но не является простым, так как $9 = 3 \cdot 3$).

Ответ: Переформулированное предложение: «Из того, что число нечётное, следует, что оно простое». Отрицание: «Существует нечётное число, которое не является простым».

D 254 Переформулируй предложения, используя глагол «следует». Построй их отрицание.

а) Простое число всегда нечетно.

б) Нечетное число всегда является простым.

255 Реши уравнения:

a) $8(x-3)-5(2x-4)=6x-7(x-4);$

б) $-0,3(x+4)+4,7=0,5(8x-7)-1,2(5x-3).$

а) $8(x - 3) - 5(2x - 4) = 6x - 7(x - 4)$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в обеих его частях, используя распределительное свойство умножения ($a(b - c) = ab - ac$):

$8 \cdot x - 8 \cdot 3 - 5 \cdot 2x - 5 \cdot (-4) = 6x - 7 \cdot x - 7 \cdot (-4)$

$8x - 24 - 10x + 20 = 6x - 7x + 28$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$(8x - 10x) + (-24 + 20) = (6x - 7x) + 28$

$-2x - 4 = -x + 28$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$-2x + x = 28 + 4$

$-x = 32$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -1:

$x = -32$

Ответ: -32

б) $-0,3(x + 4) + 4,7 = 0,5(8x - 7) - 1,2(5x - 3)$

Сначала раскроем все скобки в уравнении:

$-0,3 \cdot x - 0,3 \cdot 4 + 4,7 = 0,5 \cdot 8x - 0,5 \cdot 7 - 1,2 \cdot 5x - 1,2 \cdot (-3)$

$-0,3x - 1,2 + 4,7 = 4x - 3,5 - 6x + 3,6$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$-0,3x + (-1,2 + 4,7) = (4x - 6x) + (-3,5 + 3,6)$

$-0,3x + 3,5 = -2x + 0,1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки при переносе:

$-0,3x + 2x = 0,1 - 3,5$

$1,7x = -3,4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 1,7:

$x = \frac{-3,4}{1,7}$

$x = -2$

Ответ: -2

255 Реши уравнения:

a) $8(x - 3) - 5(2x - 4) = 6x - 7(x - 4);$

б) $-0,3(x + 4) + 4,7 = 0,5(8x - 7) - 1,2(5x - 3).$

256 Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 60 % длины, высота на 20 % больше ширины, а сумма трёх его измерений равна 5,8 дм. Найди объём и площадь боковой поверхности этого параллелепипеда.

Пусть $a$ — длина, $b$ — ширина и $c$ — высота прямоугольного параллелепипеда.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Ширина составляет 60 % от длины: $b = 0.6a$.
2. Высота на 20 % больше ширины: $c = b + 0.2b = 1.2b$.
3. Сумма трёх измерений равна 5,8 дм: $a + b + c = 5.8$.

Для решения системы выразим все измерения через одну переменную, например, через длину $a$.
Ширина: $b = 0.6a$.
Высота: $c = 1.2b = 1.2 \cdot (0.6a) = 0.72a$.

Теперь подставим полученные выражения для $b$ и $c$ в уравнение суммы измерений:
$a + 0.6a + 0.72a = 5.8$
$2.32a = 5.8$
$a = \frac{5.8}{2.32} = 2.5$ дм.

Зная длину, найдём остальные измерения:
Длина $a = 2.5$ дм.
Ширина $b = 0.6 \cdot 2.5 = 1.5$ дм.
Высота $c = 0.72 \cdot 2.5 = 1.8$ дм.

Проверим сумму измерений: $2.5 + 1.5 + 1.8 = 5.8$ дм. Все верно.

объём
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = 2.5 \cdot 1.5 \cdot 1.8 = 6.75$ дм³.
Ответ: 6,75 дм³.

площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности — это произведение периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a + b)c$.
$S_{бок} = 2(2.5 + 1.5) \cdot 1.8 = 2 \cdot 4 \cdot 1.8 = 8 \cdot 1.8 = 14.4$ дм².
Ответ: 14,4 дм².

256 Ширина прямоугольного параллелепипеда составляет 60% длины, высота на 20% больше ширины, а сумма трех его измерений равна 5,8 дм. Найди объем и площадь боковой поверхности этого параллелепипеда.

257* Запиши числа 9, 25, 32, 75, 100 в системе счисления с основанием $d = 2.$

Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в двоичную (с основанием 2), необходимо представить это число в виде суммы степеней двойки. Коэффициенты при степенях двойки (0 или 1) и будут являться цифрами числа в двоичной системе счисления, записанными справа налево от младшего разряда к старшему.

9

Представим число 9 в виде суммы степеней двойки. Наибольшая степень двойки, не превосходящая 9, это $2^3 = 8$.
$9 = 8 + 1 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^0$.
Чтобы получить двоичное представление, запишем полную сумму, включая нулевые коэффициенты для отсутствующих степеней двойки от старшей ($2^3$) до младшей ($2^0$):
$9 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$.
Записав коэффициенты по порядку, получаем двоичное представление числа: $1001_2$.

Ответ: $1001_2$

25

Представим число 25 в виде суммы степеней двойки. Наибольшая степень двойки, не превосходящая 25, это $2^4 = 16$.
$25 = 16 + 9 = 16 + 8 + 1 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^0$.
Запишем полную сумму степеней:
$25 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$.
Записав коэффициенты, получаем: $11001_2$.

Ответ: $11001_2$

32

Число 32 само является степенью двойки: $32 = 2^5$.
Запишем полную сумму степеней:
$32 = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$.
Записав коэффициенты, получаем: $100000_2$.

Ответ: $100000_2$

75

Представим число 75 в виде суммы степеней двойки. Наибольшая степень двойки, не превосходящая 75, это $2^6 = 64$.
$75 = 64 + 11 = 64 + 8 + 2 + 1 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$.
Запишем полную сумму степеней:
$75 = 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$.
Записав коэффициенты, получаем: $1001011_2$.

Ответ: $1001011_2$

100

Представим число 100 в виде суммы степеней двойки. Наибольшая степень двойки, не превосходящая 100, это $2^6 = 64$.
$100 = 64 + 36 = 64 + 32 + 4 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^2$.
Запишем полную сумму степеней:
$100 = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$.
Записав коэффициенты, получаем: $1100100_2$.

Ответ: $1100100_2$

C [257] Запиши числа 9, 25, 32, 75, 100 в системе счисления с основанием $d = 2$.