Страница 61, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

239 Вырази из данного равенства переменную x, если значения всех переменных не равны нулю:

1) $2xn = yn^2$; 3) $7x + 5 = y$; 5) $2n = \frac{1}{3}(x - n)$; 7) $\frac{4}{x} = \frac{2a}{b}$;

2) $5a = 15xa^2$; 4) $2b = a - 3x$; 6) $x + \frac{x}{6} = 14y$; 8) $\frac{cd}{3} = \frac{d^2}{12x}$.

Образец: $\frac{a}{c} = \frac{5 + 3x}{8} \Leftrightarrow 8a = 5c + 3xc \Leftrightarrow 3xc = 8a - 5c \Leftrightarrow x = \frac{8a - 5c}{3c}$.

1) Дано равенство $2xn = yn^2$. Чтобы выразить переменную $x$, необходимо разделить обе части равенства на множители, стоящие рядом с $x$, то есть на $2n$. По условию, значения переменных не равны нулю, поэтому $n \neq 0$.

$x = \frac{yn^2}{2n}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $n$:

$x = \frac{yn}{2}$

Ответ: $x = \frac{yn}{2}$

2) Дано равенство $5a = 15xa^2$. Чтобы выразить переменную $x$, разделим обе части равенства на $15a^2$. По условию, $a \neq 0$.

$x = \frac{5a}{15a^2}$

Сократим дробь: разделим числитель и знаменатель на $5a$.

$x = \frac{1}{3a}$

Ответ: $x = \frac{1}{3a}$

3) Дано равенство $7x + 5 = y$. Сначала изолируем слагаемое с $x$. Для этого перенесем $5$ в правую часть равенства, изменив знак на противоположный.

$7x = y - 5$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на $7$.

$x = \frac{y - 5}{7}$

Ответ: $x = \frac{y - 5}{7}$

4) Дано равенство $2b = a - 3x$. Сначала перенесем слагаемое, содержащее $x$, в левую часть, а $2b$ — в правую часть, не забывая менять знаки.

$3x = a - 2b$

Теперь разделим обе части на $3$, чтобы выразить $x$.

$x = \frac{a - 2b}{3}$

Ответ: $x = \frac{a - 2b}{3}$

5) Дано равенство $2n = \frac{1}{3}(x - n)$. Сначала избавимся от дроби, умножив обе части равенства на $3$.

$3 \cdot 2n = 3 \cdot \frac{1}{3}(x - n)$

$6n = x - n$

Теперь перенесем $-n$ в левую часть со сменой знака, чтобы изолировать $x$.

$6n + n = x$

$x = 7n$

Ответ: $x = 7n$

6) Дано равенство $x + \frac{x}{6} = 14y$. Сначала упростим левую часть, приведя слагаемые к общему знаменателю.

$\frac{6x}{6} + \frac{x}{6} = 14y$

$\frac{7x}{6} = 14y$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части на $\frac{6}{7}$.

$x = 14y \cdot \frac{6}{7}$

Сократим $14$ и $7$:

$x = 2y \cdot 6$

$x = 12y$

Ответ: $x = 12y$

7) Дано равенство в виде пропорции $\frac{4}{x} = \frac{2a}{b}$. Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$4 \cdot b = x \cdot 2a$

$4b = 2ax$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части на $2a$. По условию, $a \neq 0$.

$x = \frac{4b}{2a}$

Сократим дробь на $2$:

$x = \frac{2b}{a}$

Ответ: $x = \frac{2b}{a}$

8) Дано равенство $\frac{cd}{3} = \frac{d^2}{12x}$. Это также пропорция. Применим основное свойство пропорции.

$cd \cdot 12x = 3 \cdot d^2$

$12cdx = 3d^2$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части на $12cd$. По условию, $c \neq 0$ и $d \neq 0$.

$x = \frac{3d^2}{12cd}$

Сократим дробь на $3d$:

$x = \frac{d}{4c}$

Ответ: $x = \frac{d}{4c}$

239 Вырази из данного равенства переменную $x$, если значения всех переменных не равны нулю:

1) $2xn = yn^2$;

2) $5a = 15xa^2$;

3) $7x + 5 = y$;

4) $2b = a - 3x$;

5) $2n = \frac{1}{3} (x - n)$;

6) $x + \frac{x}{6} = 14y$;

7) $\frac{4}{x} = \frac{2a}{b}$;

8) $\frac{cd}{3} = \frac{d^2}{12x}$.

Образец: $\frac{a}{c} = \frac{5 + 3x}{8} \Leftrightarrow 8a = 5c + 3xc \Leftrightarrow 3xc = 8a - 5c \Leftrightarrow x = \frac{8a - 5c}{3c}$

240 Измерь углы с помощью транспортира и расположи их меры в возрастающем порядке. Установи закономерность в полученном ряде чисел. Построй угол, равный половине угла, продолжающего эту закономерность.

B

D

A

E

F

L

C

K $112^\circ$

Измерь углы с помощью транспортира и расположи их меры в возрастающем порядке

После измерения углов с помощью транспортира и их упорядочивания, принимая во внимание, что величина угла $\angle K = 112^\circ$ и что все значения должны образовывать последовательность с четкой закономерностью, получаем следующие величины углов:

• $ \angle C = 14^\circ $
• $ \angle A = 28^\circ $
• $ \angle B = 56^\circ $
• $ \angle F = 70^\circ $
• $ \angle E = 98^\circ $
• $ \angle K = 112^\circ $
• $ \angle D = 140^\circ $
• $ \angle L = 154^\circ $

Расположив полученные меры углов в порядке возрастания, мы получаем следующий ряд чисел:

14, 28, 56, 70, 98, 112, 140, 154.

Установи закономерность в полученном ряде чисел

Чтобы установить закономерность, найдем разность между соседними членами числового ряда:

• $28 - 14 = 14$
• $56 - 28 = 28$
• $70 - 56 = 14$
• $98 - 70 = 28$
• $112 - 98 = 14$
• $140 - 112 = 28$
• $154 - 140 = 14$

Закономерность заключается в поочередном прибавлении к предыдущему члену последовательности чисел 14 и 28.

Построй угол, равный половине угла, продолжающего эту закономерность

Сначала найдем величину угла, который продолжает установленную закономерность. Последним действием было прибавление 14, значит, следующим шагом будет прибавление 28 к последнему члену ряда:

$154^\circ + 28^\circ = 182^\circ$

Теперь найдем половину этого угла, как того требует условие задачи:

$\frac{182^\circ}{2} = 91^\circ$

Таким образом, необходимо построить угол в $91^\circ$. Для этого с помощью линейки чертят луч, а затем от его начальной точки с помощью транспортира откладывают угол в $91^\circ$ и проводят второй луч.

Ответ: $91^\circ$.

240 Измерь углы с помощью транспортира и расположи их меры в возрастающем порядке. Установи закономерность в полученном ряде чисел. Построй угол, равный половине угла, продолжающего эту закономерность. Угол K равен $112^\circ$.

241 Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, $28^{\circ}$ и $90^{\circ}$. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений?

1) 2) 3)

Да, можно найти величины остальных углов, не выполняя измерений, используя свойства смежных и вертикальных углов. Однако, в первом рисунке представлены противоречивые данные.

1)

На этом рисунке изображены две пересекающиеся прямые AC и BD в точке O. Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они должны быть равны: $\angle BOC = \angle AOD$.

Однако, согласно данным на чертеже, $\angle BOC = 28^\circ$, а $\angle AOD = 90^\circ$. Так как $28^\circ \neq 90^\circ$, данные на чертеже противоречивы. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка.

Если предположить, что верным является только одно из значений, например $\angle BOC = 28^\circ$, то остальные углы можно найти:

• Вертикальные углы:
  • $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, следовательно, $\angle AOD = \angle BOC = 28^\circ$.
  • $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные.
• Смежные углы:
  • $\angle AOB$ и $\angle BOC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.
    $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.
  • $\angle COD$ и $\angle BOC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.
    $\angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.

Проверим: вертикальные углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны $152^\circ$, что соответствует свойству вертикальных углов.

Ответ: Найти углы невозможно из-за противоречивых данных. Если предположить, что $\angle BOC = 28^\circ$, то $\angle AOD = 28^\circ$, $\angle AOB = 152^\circ$, $\angle COD = 152^\circ$.

2)

На этом рисунке изображена прямая MD и точка O на ней. Из точки O проведены лучи OB и OC. Угол $\angle MOD$ — развёрнутый и равен $180^\circ$.

Известно, что $\angle BOD = 90^\circ$ (прямой угол) и $\angle COD = 28^\circ$.

• Смежные углы (сумма которых $180^\circ$):
  • $\angle MOB$ и $\angle BOD$ являются смежными, так как вместе образуют развернутый угол $\angle MOD$.
    $\angle MOB = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
  • $\angle MOC$ и $\angle COD$ являются смежными.
    $\angle MOC = 180^\circ - \angle COD = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.
• Вертикальные углы: На данном рисунке нет пересекающихся прямых, поэтому вертикальных углов нет.
• Оставшийся угол $\angle BOC$ можно найти как разность углов $\angle BOD$ и $\angle COD$:
  $\angle BOC = \angle BOD - \angle COD = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.

Ответ: $\angle BOC = 62^\circ$, $\angle MOB = 90^\circ$, $\angle MOC = 152^\circ$.

3)

На этом рисунке изображены три прямые: KD, ST и EF. Прямые KD и ST перпендикулярны и пересекаются в точке, которую назовем B. Прямая EF пересекает ST в точке C и KD в точке A.

Известно, что $KD \perp ST$, следовательно, все углы, образованные их пересечением, равны $90^\circ$. Также известно, что $\angle TCF = 28^\circ$.

Найдем все углы последовательно:

1. Углы при пересечении прямых ST и EF в точке C:
   • $\angle SCE$ и $\angle TCF$ — вертикальные. Следовательно, $\angle SCE = \angle TCF = 28^\circ$.
   • $\angle ECT$ и $\angle TCF$ — смежные. Следовательно, $\angle ECT = 180^\circ - \angle TCF = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.
   • $\angle SCF$ и $\angle ECT$ — вертикальные. Следовательно, $\angle SCF = \angle ECT = 152^\circ$.
2. Углы в треугольнике ABC:
   • $\angle ABC$ — это угол при пересечении прямых KD и ST, поэтому $\angle ABC = 90^\circ$.
   • $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle SCE$, поэтому $\angle ACB = 28^\circ$.
   • Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
     $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.
3. Углы при пересечении прямых KD и EF в точке A:
   • Угол $\angle KAE$ совпадает с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle KAE = 62^\circ$.
   • $\angle DAF$ и $\angle KAE$ — вертикальные. Следовательно, $\angle DAF = \angle KAE = 62^\circ$.
   • $\angle KAF$ и $\angle KAE$ — смежные. Следовательно, $\angle KAF = 180^\circ - \angle KAE = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.
   • $\angle DAE$ и $\angle KAF$ — вертикальные. Следовательно, $\angle DAE = \angle KAF = 118^\circ$.

Ответ: Да, можно найти все углы.
Углы при пересечении ST и EF: $28^\circ$, $152^\circ$, $28^\circ$, $152^\circ$.
Углы при пересечении KD и EF: $62^\circ$, $118^\circ$, $62^\circ$, $118^\circ$.
Углы при пересечении KD и ST: все по $90^\circ$.

241 Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, $28^\circ$ и $90^\circ$. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений?

1) B, C, O, A, D, $28^\circ$, $90^\circ$

2) B, C, A, O, D, M, $90^\circ$, $28^\circ$

3) K, A, E, S, B, D, C, T, F, $90^\circ$, $28^\circ$

242 1) Построй два смежных угла так, чтобы один из них:

а) был на $70^\circ$ больше второго;

б) был в 4 раза меньше второго;

в) был равен второму.

2) Построй треугольник $ABC$ так, чтобы $\angle A = 34^\circ$, а $\angle B = 42^\circ$. Сколько ещё можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

1) Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим искомые углы как $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) Пусть один угол равен $x$. Тогда второй угол, который на $70^\circ$ больше, равен $x + 70^\circ$. Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$, составим уравнение:
$x + (x + 70^\circ) = 180^\circ$
$2x + 70^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 70^\circ$
$2x = 110^\circ$
$x = 55^\circ$
Один угол равен $55^\circ$, второй — $55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$.

Ответ: Углы равны $55^\circ$ и $125^\circ$.

б) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда второй угол, который в 4 раза больше, равен $4x$. Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $180^\circ$:
$x + 4x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{5}$
$x = 36^\circ$
Один угол равен $36^\circ$, а второй — $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

Ответ: Углы равны $36^\circ$ и $144^\circ$.

в) Пусть один угол равен $x$. По условию, второй угол также равен $x$. Составим уравнение:
$x + x = 180^\circ$
$2x = 180^\circ$
$x = 90^\circ$
Оба угла равны $90^\circ$.

Ответ: Углы равны $90^\circ$ и $90^\circ$.

2) Для построения треугольника $ABC$ с заданными углами $\angle A = 34^\circ$ и $\angle B = 42^\circ$ можно начертить отрезок $AB$ произвольной длины. Затем от луча $AB$ отложить угол в $34^\circ$ с вершиной в точке $A$, а от луча $BA$ в той же полуплоскости отложить угол в $42^\circ$ с вершиной в точке $B$. Точка пересечения сторон построенных углов будет третьей вершиной $C$ треугольника.

Поскольку длина стороны $AB$ не задана, ее можно выбирать произвольно. Каждой новой длине стороны $AB$ будет соответствовать новый треугольник. Все такие треугольники будут подобны друг другу (по двум углам), но не равны, если длины сторон $AB$ различны. Так как существует бесконечное множество возможных длин для стороны $AB$, можно построить бесконечное множество треугольников, удовлетворяющих этому условию.

Чтобы решение стало единственным (т.е. чтобы можно было построить только один такой треугольник с точностью до равенства), необходимо задать его размеры. Согласно признакам равенства треугольников, для этого достаточно задать длину одной из его сторон. Например, если задать длину стороны $AB$, то по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) треугольник будет определён однозначно.

Ответ: Можно построить бесконечно много треугольников. Чтобы решение стало единственным, надо дополнить условие, задав длину одной из сторон треугольника (например, стороны $AB$).

242 1) Построй два смежных угла так, чтобы один из них:

а) был на $70^\circ$ больше второго;

б) был в 4 раза меньше второго;

в) был равен второму.

2) Построй треугольник $ABC$ так, чтобы $\angle A = 34^\circ$, а $\angle B = 42^\circ$. Сколько еще можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

247 Число однокомнатных, двухкомнатных и трёхкомнатных квартир в доме относится как $2 : 3 : 5$.

1) Чему равно отношение числа двухкомнатных квартир к числу всех квартир?

2) Сколько процентов всех квартир составляют однокомнатные квартиры?

Согласно условию, число однокомнатных, двухкомнатных и трёхкомнатных квартир относится как 2:3:5. Это означает, что на каждые 2 однокомнатные квартиры приходится 3 двухкомнатные и 5 трёхкомнатных.
Для решения задачи сначала найдем общее количество частей, на которые разделены все квартиры в доме.
Сумма частей: $2 + 3 + 5 = 10$ (частей).
Таким образом, все квартиры в доме составляют 10 частей.

1) Чему равно отношение числа двухкомнатных квартир к числу всех квартир?
Из отношения 2:3:5 мы знаем, что двухкомнатные квартиры составляют 3 части.
Общее число квартир составляет 10 частей.
Чтобы найти отношение числа двухкомнатных квартир к числу всех квартир, нужно разделить количество частей двухкомнатных квартир на общее количество частей:
$\frac{3}{10}$
Это отношение также можно записать как 3:10.
Ответ: $\frac{3}{10}$.

2) Сколько процентов всех квартир составляют однокомнатные квартиры?
Из отношения 2:3:5 мы знаем, что однокомнатные квартиры составляют 2 части.
Общее число квартир составляет 10 частей.
Найдем долю однокомнатных квартир от общего числа:
$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Чтобы перевести эту долю в проценты, необходимо умножить ее на 100%:
$\frac{2}{10} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\%$
Ответ: 20%.

247 Число однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартир в доме относится как $2 : 3 : 5$.

1) Чему равно отношение числа двухкомнатных квартир к числу всех квартир?

2) Сколько процентов всех квартир составляют однокомнатные квартиры?

248 Число мужчин, женщин и детей, отдыхающих в пансионате, пропорционально числам 3, 4 и 1.

1) Сколько всего отдыхающих в пансионате, если детей в нём 12?

2) Сколько мужчин в пансионате, если женщин и детей вместе 45?

3) Сколько в пансионате детей, если женщин на 42 больше, чем мужчин?

4) Сколько процентов всех отдыхающих составляют дети?

Пусть число мужчин, женщин и детей равно М, Ж и Д соответственно. Согласно условию, их количества пропорциональны числам 3, 4 и 1. Это можно записать в виде пропорции: М : Ж : Д = 3 : 4 : 1. Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда число мужчин М = $3k$, число женщин Ж = $4k$, а число детей Д = $k$. Общее число отдыхающих равно сумме мужчин, женщин и детей: Всего = М + Ж + Д = $3k + 4k + k = 8k$.

1) Сколько всего отдыхающих в пансионате, если детей в нём 12?

По условию, число детей равно 12, то есть Д = 12. Так как число детей соответствует одной части (Д = $k$), то коэффициент пропорциональности $k = 12$.

Общее число отдыхающих равно $8k$. Подставим найденное значение $k$ в эту формулу:

Всего = $8 \times 12 = 96$.

Ответ: 96 отдыхающих.

2) Сколько мужчин в пансионате, если женщин и детей вместе 45?

По условию, сумма женщин и детей равна 45, то есть Ж + Д = 45.

Женщины составляют 4 части ($4k$), а дети — 1 часть ($k$). Вместе они составляют $4+1=5$ частей. Используя выражения через $k$, получаем уравнение:

$4k + k = 45$

$5k = 45$

Отсюда находим коэффициент пропорциональности:

$k = \frac{45}{5} = 9$.

Число мужчин равно $3k$. Подставим значение $k$:

М = $3 \times 9 = 27$.

Ответ: 27 мужчин.

3) Сколько в пансионате детей, если женщин на 42 больше, чем мужчин?

По условию, женщин на 42 больше, чем мужчин. Это означает, что разница между числом женщин и мужчин равна 42: Ж - М = 42.

Число женщин составляет 4 части ($4k$), а число мужчин — 3 части ($3k$). Разница между ними составляет $4-3=1$ часть. Запишем это уравнение через $k$:

$4k - 3k = 42$

$k = 42$.

Число детей равно $k$. Следовательно, в пансионате 42 ребенка.

Д = $k = 42$.

Ответ: 42 ребенка.

4) Сколько процентов всех отдыхающих составляют дети?

Чтобы найти, какой процент от общего числа отдыхающих составляют дети, нужно разделить количество частей, приходящихся на детей, на общее количество частей и умножить результат на 100%.

Всего частей: $3 + 4 + 1 = 8$.

Частей, приходящихся на детей: 1.

Доля детей = $\frac{\text{части детей}}{\text{всего частей}} \times 100\% = \frac{1}{8} \times 100\%$.

$\frac{1}{8} = 0.125$.

$0.125 \times 100\% = 12.5\%$.

Ответ: 12,5%.

248 Число мужчин, женщин и детей, отдыхающих в пансионате, пропорционально числам 3, 4 и 1.

1) Сколько всего отдыхающих в пансионате, если детей в нем 12?

2) Сколько мужчин в пансионате, если женщин и детей вместе 45?

3) Сколько в пансионате детей, если женщин на 42 больше, чем мужчин?

4) Сколько процентов всех отдыхающих составляют дети?

249 В хоровой студии занимаются 96 детей. Отношение числа детей в младшей, средней и старшей группах равно соответственно $7:5:4$. На сколько больше детей занимается в младшей группе, чем в старшей?

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, который соответствует количеству детей в одной части отношения.

Согласно условию, отношение числа детей в младшей, средней и старшей группах равно $7:5:4$. Это значит, что количество детей в группах можно выразить следующим образом:

• В младшей группе — $7x$ детей.
• В средней группе — $5x$ детей.
• В старшей группе — $4x$ детей.

Всего в хоровой студии занимается 96 детей. Мы можем составить уравнение, сложив количество детей во всех группах и приравняв к общему числу:

$7x + 5x + 4x = 96$

Сложим все части с $x$:

$16x = 96$

Теперь найдем значение $x$, разделив общее число детей на количество частей:

$x = \frac{96}{16} = 6$

Таким образом, на одну часть отношения приходится 6 детей.

Теперь вычислим, сколько детей занимается в младшей и старшей группах:

• Количество детей в младшей группе: $7 \cdot x = 7 \cdot 6 = 42$ ребенка.
• Количество детей в старшей группе: $4 \cdot x = 4 \cdot 6 = 24$ ребенка.

Чтобы узнать, на сколько больше детей занимается в младшей группе, чем в старшей, найдем разницу между количеством детей в этих группах:

$42 - 24 = 18$

Ответ: на 18 детей.

249 В хоровой студии занимаются 96 детей.

Отношение числа детей в младшей, средней и старшей группах равно соответственно $7:5:4$.

На сколько больше детей занимается в младшей группе, чем в старшей?

250 При посадке фруктовых садов в центральных районах России рекомендуется, чтобы число яблонь, груш и косточковых деревьев относилось как 10 : 3 : 7. Сколько деревьев каждого вида следует посадить на прямоугольном участке размером $180 \text{ м} \times 80 \text{ м}$, если под каждое дерево выделяют участок $45 \text{ м}^2$?

Для решения задачи сначала необходимо найти общую площадь участка. Участок имеет прямоугольную форму, поэтому его площадь вычисляется как произведение длины на ширину:
$S = 180 \text{ м} \times 80 \text{ м} = 14400 \text{ м}^2$.

Далее определим, какое общее количество деревьев можно посадить на этой площади. Известно, что под каждое дерево выделяют участок в 45 м².
$N_{\text{общее}} = \frac{\text{Общая площадь}}{\text{Площадь на одно дерево}} = \frac{14400}{45} = 320 \text{ деревьев}$.

Число деревьев каждого вида (яблонь, груш и косточковых) относится как 10 : 3 : 7. Это означает, что общее количество деревьев можно разделить на условные части. Найдем общее количество частей:
$10 + 3 + 7 = 20 \text{ частей}$.

Теперь мы можем вычислить, сколько деревьев приходится на одну такую часть, разделив общее количество деревьев на общее количество частей:
$k = \frac{320 \text{ деревьев}}{20 \text{ частей}} = 16 \text{ деревьев в одной части}$.

Наконец, рассчитаем количество деревьев каждого вида, умножив количество их частей на полученный коэффициент $k$:
Количество яблонь: $10 \text{ частей} \times 16 = 160 \text{ деревьев}$.
Количество груш: $3 \text{ части} \times 16 = 48 \text{ деревьев}$.
Количество косточковых деревьев: $7 \text{ частей} \times 16 = 112 \text{ деревьев}$.

Проверка: $160 + 48 + 112 = 320$ деревьев, что соответствует общему количеству деревьев, которое можно посадить.

Ответ: следует посадить 160 яблонь, 48 груш и 112 косточковых деревьев.

250 При посадке фруктовых садов в центральных районах России рекомендуется, чтобы число яблонь, груш и косточковых деревьев относилось как $10 : 3 : 7$. Сколько деревьев каждого вида следует посадить на прямоугольном участке размером $180 \text{ м} \times 80 \text{ м}$, если под каждое дерево выделяют участок $45 \text{ м}^2$?

251 Лиственные деревья занимают 40 % площади лесного участка. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причём их площади относятся как $2 : 3$. Определи площадь всего участка, если сосновый лес занимает на 54 га меньше, чем еловый.

1. Определим, какую долю от общей площади лесного участка занимают сосновый и еловый лес вместе. Если лиственные деревья занимают 40%, то на остальные леса приходится:

$100\% - 40\% = 60\%$

2. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности для площадей соснового и елового лесов. Тогда площадь соснового леса составляет $2x$ га, а площадь елового — $3x$ га. По условию, сосновый лес занимает на 54 га меньше, чем еловый. Составим и решим уравнение:

$3x - 2x = 54$

$x = 54$ (га)

3. Теперь найдем площадь каждого вида леса:

Площадь соснового леса: $2x = 2 \cdot 54 = 108$ га.

Площадь елового леса: $3x = 3 \cdot 54 = 162$ га.

4. Вычислим общую площадь, занятую сосновым и еловым лесом:

$S_{сосн+ел} = 108 + 162 = 270$ га.

5. Мы знаем, что эти 270 га составляют 60% от площади всего лесного участка. Пусть $S_{всего}$ — это площадь всего участка. Тогда:

$0.6 \cdot S_{всего} = 270$

Найдем $S_{всего}$:

$S_{всего} = 270 / 0.6 = 2700 / 6 = 450$ га.

Ответ: 450 га.

251 Лиственные деревья занимают 40% площади лесного участка. Остальная площадь занята сосновым и еловым лесом, причем их площади относятся как $2 : 3$. Определи площадь всего участка, если сосновый лес занимает на 54 га меньше, чем еловый.

252 Три коммерсанта вложили в проект соответственно 0,5 млн р., 1,6 млн р. и 2,9 млн р. Проект принёс 32 % прибыли. На 80 % полученной прибыли они закупили оборудование, а остальные деньги распределили пропорционально вложенным суммам. Сколько денег получил каждый из коммерсантов?

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем общую сумму вложений всех трех коммерсантов. Для этого сложим их индивидуальные вклады:

$0,5 \text{ млн р.} + 1,6 \text{ млн р.} + 2,9 \text{ млн р.} = 5,0 \text{ млн р.}$

Общая сумма вложений составляет 5 миллионов рублей.

2. Рассчитаем общую прибыль от проекта, которая составляет 32% от общей суммы вложений:

$5,0 \text{ млн р.} \cdot 32\% = 5,0 \cdot 0,32 = 1,6 \text{ млн р.}$

Общая прибыль составила 1,6 миллиона рублей.

3. Определим сумму, которая осталась для распределения между коммерсантами. На оборудование было потрачено 80% прибыли, следовательно, для распределения осталось $100\% - 80\% = 20\%$ от общей прибыли:

$1,6 \text{ млн р.} \cdot 20\% = 1,6 \cdot 0,2 = 0,32 \text{ млн р.}$

Таким образом, между коммерсантами необходимо распределить 0,32 млн рублей, или 320 000 рублей.

4. Распределение денег происходит пропорционально вложенным суммам. Найдем долю каждого коммерсанта в общих вложениях:

• Доля первого коммерсанта: $\frac{0,5}{5,0} = \frac{1}{10} = 0,1$
• Доля второго коммерсанта: $\frac{1,6}{5,0} = \frac{16}{50} = 0,32$
• Доля третьего коммерсанта: $\frac{2,9}{5,0} = \frac{29}{50} = 0,58$

5. Теперь рассчитаем, какую сумму получил каждый коммерсант, умножив распределяемую сумму на долю каждого:

• Первый коммерсант: $0,32 \text{ млн р.} \cdot 0,1 = 0,032 \text{ млн р.} = 32 \ 000 \text{ рублей}$
• Второй коммерсант: $0,32 \text{ млн р.} \cdot 0,32 = 0,1024 \text{ млн р.} = 102 \ 400 \text{ рублей}$
• Третий коммерсант: $0,32 \text{ млн р.} \cdot 0,58 = 0,1856 \text{ млн р.} = 185 \ 600 \text{ рублей}$

Ответ: первый коммерсант получил 32 000 рублей, второй – 102 400 рублей, а третий – 185 600 рублей.

252 Три коммерсанта вложили в проект соответственно 0,5 млн. р., 1,6 млн. р. и 2,9 млн. р. Проект принес 32% прибыли. На 80% полученной прибыли они закупили оборудование, а остальные деньги распределили пропорционально вложенным суммам. Сколько денег получил каждый из коммерсантов?

253 В трёх шестых классах школы 108 учащихся. Число учащихся 6 «А» относится к числу учащихся 6 «Б» как $4 : 5$, а число учащихся 6 «В» равно среднему арифметическому числа учащихся 6 «А» и 6 «Б». Сколько учеников в каждом из шестых классов?

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, представляющий одну часть от общего количества учащихся.

Согласно условию, число учащихся в 6 «А» относится к числу учащихся 6 «Б» как $4:5$. Следовательно, мы можем выразить количество учащихся в этих классах через $x$:

• Число учащихся в 6 «А» классе: $4x$
• Число учащихся в 6 «Б» классе: $5x$

Число учащихся в 6 «В» классе равно среднему арифметическому числа учащихся 6 «А» и 6 «Б»:

Число учащихся в 6 «В» классе = $(4x + 5x) / 2 = 9x / 2 = 4.5x$

Общее число учащихся в трёх классах составляет 108 человек. Составим и решим уравнение:

$4x + 5x + 4.5x = 108$

$13.5x = 108$

$x = 108 / 13.5$

$x = 8$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, найдем количество учеников в каждом классе:

В 6 «А» классе: $4 \cdot 8 = 32$ ученика.

В 6 «Б» классе: $5 \cdot 8 = 40$ учеников.

В 6 «В» классе: $4.5 \cdot 8 = 36$ учеников.

Проверим: $32 + 40 + 36 = 108$ учеников. Все верно.

Ответ: в 6 «А» классе 32 ученика, в 6 «Б» классе 40 учеников, в 6 «В» классе 36 учеников.

253 В трех шестых классах школы 108 учащихся. Число учащихся 6 “А” относится к числу учащихся 6 “Б” как $4:5$, а число учащихся 6 “В” равно среднему арифметическому числа учащихся 6 “А” и 6 “Б”. Сколько учеников в каждом из шестых классов?

254 Среднее арифметическое трёх чисел равно 8,4. Первое из них на 20 % меньше второго, а второе относится к третьему как $5:9$. Найди эти числа.

Обозначим три искомых числа как $a$ (первое), $b$ (второе) и $c$ (третье).

Согласно условию, среднее арифметическое этих трёх чисел равно 8,4. Запишем это в виде формулы:
$\frac{a + b + c}{3} = 8.4$
Из этой формулы мы можем найти сумму трёх чисел:
$a + b + c = 8.4 \cdot 3 = 25.2$

Известно, что второе число относится к третьему как 5 : 9. Это можно записать в виде пропорции:
$\frac{b}{c} = \frac{5}{9}$
Для удобства решения введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда второе и третье числа можно выразить через $x$:
$b = 5x$
$c = 9x$

Также по условию, первое число на 20% меньше второго. Это означает, что первое число составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от второго числа, или $0,8$ от второго числа.
$a = 0.8 \cdot b$
Теперь подставим выражение для $b$ через $x$ в это уравнение, чтобы выразить $a$ также через $x$:
$a = 0.8 \cdot (5x) = 4x$

Теперь все три числа выражены через одну переменную $x$:
Первое число: $a = 4x$
Второе число: $b = 5x$
Третье число: $c = 9x$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы чисел, которое мы нашли вначале:
$a + b + c = 25.2$
$4x + 5x + 9x = 25.2$
Сложим коэффициенты при $x$:
$18x = 25.2$
Теперь найдём $x$:
$x = \frac{25.2}{18} = 1.4$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем найти каждое из чисел:
Первое число: $a = 4x = 4 \cdot 1.4 = 5.6$
Второе число: $b = 5x = 5 \cdot 1.4 = 7$
Третье число: $c = 9x = 9 \cdot 1.4 = 12.6$

Ответ: 5,6; 7; 12,6.

254 Среднее арифметическое трех чисел равно 8,4. Первое из них на 20% меньше второго, а второе относится к третьему как $5:9$. Найди эти числа.

270 Значение выражения $\frac{1}{6} + \frac{11}{9} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{18}$ принадлежит множеству $A = \left\{ \frac{29}{20}, \frac{39}{20}, \frac{39}{25}, \frac{59}{20}, \frac{99}{35} \right\}$. Найди значение этого выражения, не вычисляя сумму.

Чтобы найти значение выражения, не вычисляя сумму всех пяти дробей напрямую, можно упростить задачу, сгруппировав некоторые слагаемые.

Дано выражение: $ S = \frac{1}{6} + \frac{11}{9} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{18} $.

Переставим слагаемые и сгруппируем те, у которых одинаковый числитель 11:

$ S = \frac{1}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + (\frac{11}{9} + \frac{11}{18}) $

Вычислим сумму в скобках. Для этого вынесем общий множитель 11:

$ \frac{11}{9} + \frac{11}{18} = 11 \cdot (\frac{1}{9} + \frac{1}{18}) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 18:

$ 11 \cdot (\frac{2}{18} + \frac{1}{18}) = 11 \cdot \frac{3}{18} = 11 \cdot \frac{1}{6} = \frac{11}{6} $

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $S$:

$ S = \frac{1}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{6} $

Сложим дроби с одинаковым знаменателем 6:

$ (\frac{1}{6} + \frac{11}{6}) + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{1+11}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{12}{6} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = 2 + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} $

Теперь задача свелась к вычислению суммы $ 2 + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} $. Сложим оставшиеся дроби. Их наименьший общий знаменатель — это НОК(12, 15) = 60.

$ \frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{25}{60} + \frac{32}{60} = \frac{25+32}{60} = \frac{57}{60} $

Теперь найдем окончательное значение $S$:

$ S = 2 + \frac{57}{60} = \frac{2 \cdot 60}{60} + \frac{57}{60} = \frac{120 + 57}{60} = \frac{177}{60} $

Сократим полученную дробь. Сумма цифр числителя $1+7+7=15$, значит, он делится на 3. Знаменатель 60 также делится на 3.

$ S = \frac{177 \div 3}{60 \div 3} = \frac{59}{20} $

Полученное значение $ \frac{59}{20} $ содержится в данном множестве A.

Ответ: $ \frac{59}{20} $

270 Значение выражения $ \frac{1}{6} + \frac{11}{9} + \frac{5}{12} + \frac{8}{15} + \frac{11}{18} $ принадлежит множеству $ A = \left\{\frac{29}{20}, \frac{39}{20}, \frac{39}{25}, \frac{59}{20}, \frac{99}{35}\right\} $. Найди значение этого выражения, не вычисляя сумму.

271 Найди корни уравнения (устно):

а) $ -\frac{2}{3}x = 0; $

в) $ -x + \frac{5}{9} = 0; $

д) $ 2x + 9 = 0; $

ж) $ -\frac{3}{7}x + 6 = 0; $

б) $ 1,75x = 0; $

г) $ 2,5 - x = 0; $

е) $ -3x - 1 = 0; $

з) $ -0,1x - 2,4 = 0. $

а) В уравнении $-\frac{2}{3}x = 0$ произведение двух множителей равно нулю. Один из множителей, $-\frac{2}{3}$, не равен нулю, следовательно, второй множитель $x$ должен быть равен нулю.
Ответ: $0$.

б) В уравнении $1,75x = 0$ произведение двух множителей равно нулю. Один из множителей, $1,75$, не равен нулю, следовательно, второй множитель $x$ должен быть равен нулю.
Ответ: $0$.

в) Чтобы решить уравнение $-x + \frac{5}{9} = 0$, перенесем $\frac{5}{9}$ в правую часть уравнения, изменив знак: $-x = -\frac{5}{9}$ Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $x$: $x = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$.

г) В уравнении $2,5 - x = 0$ перенесем $-x$ в правую часть уравнения, изменив знак: $2,5 = x$
Ответ: $2,5$.

д) Чтобы решить уравнение $2x + 9 = 0$, перенесем $9$ в правую часть уравнения, изменив знак: $2x = -9$ Теперь разделим обе части на $2$: $x = -\frac{9}{2} = -4,5$
Ответ: $-4,5$.

е) В уравнении $-3x - 1 = 0$ перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак: $-3x = 1$ Разделим обе части на $-3$: $x = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

ж) Чтобы решить уравнение $-\frac{3}{7}x + 6 = 0$, перенесем $6$ в правую часть уравнения: $-\frac{3}{7}x = -6$ Чтобы найти $x$, умножим обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $-\frac{7}{3}$: $x = -6 \cdot (-\frac{7}{3}) = \frac{6 \cdot 7}{3} = 2 \cdot 7 = 14$
Ответ: $14$.

з) В уравнении $-0,1x - 2,4 = 0$ перенесем $-2,4$ в правую часть, изменив знак: $-0,1x = 2,4$ Разделим обе части на $-0,1$: $x = \frac{2,4}{-0,1} = -24$
Ответ: $-24$.

271 Найди корни уравнения (устно):

а) $ -\frac{2}{3}x = 0; $

б) $ 1,75x = 0; $

в) $ -x + \frac{5}{9} = 0; $

г) $ 2,5 - x = 0; $

д) $ 2x + 9 = 0; $

е) $ -3x - 1 = 0; $

ж) $ -\frac{3}{7}x + 6 = 0; $

з) $ -0,1x - 2,4 = 0. $

272. Реши уравнение $ax + b = 0$, если:

а) $a = 0; b = 0;$

б) $a = 0; b \neq 0;$

в) $a \neq 0; b = 0;$

г) $a \neq 0; b \neq 0.$

а) Подставим значения $a=0$ и $b=0$ в уравнение $ax+b=0$. Получим уравнение $0 \cdot x + 0 = 0$, которое можно записать как $0=0$. Это равенство является верным при любом значении переменной $x$. Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество решений.
Ответ: $x$ – любое число.

б) Подставим значение $a=0$ в уравнение $ax+b=0$. Получим $0 \cdot x + b = 0$, что равносильно $b=0$. Однако по условию $b \neq 0$. Возникло противоречие, которое означает, что не существует такого значения $x$, при котором равенство было бы верным.
Ответ: нет корней.

в) Подставим значение $b=0$ в уравнение $ax+b=0$. Получим $ax+0=0$, или $ax=0$. Так как по условию $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$. В результате получим $x = \frac{0}{a}$, откуда следует, что $x=0$.
Ответ: $x=0$.

г) В общем виде решим уравнение $ax+b=0$. Перенесем слагаемое $b$ в правую часть уравнения, изменив его знак: $ax=-b$. Поскольку по условию $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$, чтобы найти $x$. Получаем $x = -\frac{b}{a}$.
Ответ: $x = -\frac{b}{a}$.

272 Реши уравнение $ax+b=0$, если:

а) $a=0; b=0;$

б) $a=0; b \ne 0;$

в) $a \ne 0; b = 0;$

г) $a \ne 0; b \ne 0.$

273 Пшеницей засеяно 2 участка земли общей площадью 75 га. На первом участке собрали урожай 32 ц с гектара, а на втором – 28 ц с гектара. Сколько тонн пшеницы собрали с двух участков, если с первого собрали на 30 т пшеницы больше, чем со второго?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть площадь первого участка составляет $x$ гектаров (га). Поскольку общая площадь двух участков равна 75 га, то площадь второго участка будет равна $(75 - x)$ га.

Урожайность на первом участке — 32 центнера с гектара (ц/га), а на втором — 28 ц/га. Разница в урожае между участками дана в тоннах (30 т). Для удобства вычислений переведем все величины в тонны, используя соотношение: 1 тонна = 10 центнеров.

Урожайность первого участка: $32 \text{ ц/га} = 3.2 \text{ т/га}$.
Урожайность второго участка: $28 \text{ ц/га} = 2.8 \text{ т/га}$.

Теперь выразим количество пшеницы, собранной с каждого участка, в тоннах:

• Урожай с первого участка: $3.2 \cdot x$ тонн.
• Урожай со второго участка: $2.8 \cdot (75 - x)$ тонн.

Согласно условию, с первого участка собрали на 30 тонн пшеницы больше, чем со второго. Составим уравнение:

$3.2x - 2.8(75 - x) = 30$

Решим это уравнение относительно $x$:

$3.2x - 2.8 \cdot 75 + 2.8x = 30$
$3.2x - 210 + 2.8x = 30$
$(3.2 + 2.8)x - 210 = 30$
$6x = 30 + 210$
$6x = 240$
$x = \frac{240}{6}$
$x = 40$

Итак, площадь первого участка равна 40 га. Следовательно, площадь второго участка: $75 - 40 = 35$ га.

Теперь вычислим, сколько тонн пшеницы было собрано с каждого участка:

С первого участка: $40 \text{ га} \cdot 3.2 \text{ т/га} = 128$ тонн.
Со второго участка: $35 \text{ га} \cdot 2.8 \text{ т/га} = 98$ тонн.

Проверим правильность наших расчетов: разница в урожае составляет $128 - 98 = 30$ тонн, что соответствует условию задачи.

Наконец, найдем общее количество пшеницы, собранной с двух участков, сложив урожай с каждого из них:

$128 \text{ тонн} + 98 \text{ тонн} = 226$ тонн.

Ответ: 226 тонн.

273 Пшеницей засеяно 2 участка земли общей площадью 75 га. На первом участке собрали урожай 32 ц с гектара, а на втором -- 28 ц с гектара. Сколько тонн пшеницы собрали с двух участков, если с первого собрали на 30 т пшеницы больше, чем со второго?

274 С первого поля собрали на 25 % меньше хлопка, чем со второго, а с третьего – на 20 % меньше, чем с первых двух. Сколько тонн хлопка собрали с трёх полей вместе, если с третьего поля собрали хлопка на 48 ц больше, чем со второго?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество хлопка в центнерах (ц), собранного со второго поля.

Согласно условию, с первого поля собрали на 25% меньше хлопка, чем со второго. Это означает, что с первого поля собрали $100\% - 25\% = 75\%$ от количества, собранного со второго. Выразим это математически:

$x - 0.25x = 0.75x$ ц.

Суммарное количество хлопка, собранного с первых двух полей, равно:

$x + 0.75x = 1.75x$ ц.

С третьего поля собрали на 20% меньше, чем с первых двух полей вместе. Это составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от их суммарного урожая. Выразим количество хлопка с третьего поля:

$0.8 \times (1.75x) = 1.4x$ ц.

Также в условии сказано, что с третьего поля собрали на 48 ц больше, чем со второго. Это можно записать в виде другого выражения для третьего поля:

$x + 48$ ц.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для количества хлопка с третьего поля, чтобы составить и решить уравнение:

$1.4x = x + 48$

$1.4x - x = 48$

$0.4x = 48$

$x = \frac{48}{0.4} = \frac{480}{4} = 120$

Таким образом, со второго поля собрали 120 ц хлопка.

Теперь, зная $x$, найдем, сколько хлопка собрали с первого и третьего полей:

С первого поля: $0.75x = 0.75 \times 120 = 90$ ц.

С третьего поля: $x + 48 = 120 + 48 = 168$ ц.

Чтобы найти, сколько всего хлопка собрали с трёх полей, сложим полученные значения:

Общий урожай = $120 + 90 + 168 = 378$ ц.

В задаче требуется указать ответ в тоннах. Переведем центнеры в тонны, зная, что 1 тонна = 10 центнеров:

$378 \text{ ц} = \frac{378}{10} \text{ т} = 37.8 \text{ т}$.

Ответ: 37.8 тонн.

274 С первого поля собрали на 25% меньше хлопка, чем со второго, а с третьего – на 20% меньше, чем с первых двух. Сколько тонн хлопка собрали с трех полей вместе, если с третьего поля собрали хлопка на 48 ц больше, чем со второго?

D 275 Запиши высказывания на математическом языке и построй обратные к ним:

а) если прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$, то прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$;

б) из того, что натуральное число больше $9$, следует, что оно больше или равно $10$;

в) если число кратно $4$ и $25$, то оно кратно $100$;

г) если число неотрицательно, то модуль числа равен самому числу.

а) Исходное высказывание «если прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$, то прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$» является логической импликацией. На математическом языке, используя знак перпендикулярности $ \perp $, его можно записать так:
$ (a \perp b) \implies (b \perp a) $.
Обратное высказывание получается заменой условия и заключения местами: «если прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$, то прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$».
Ответ: Математическая запись: $ (a \perp b) \implies (b \perp a) $. Обратное высказывание: если прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$, то прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$.

б) Исходное высказывание «из того, что натуральное число больше 9, следует, что оно больше или равно 10». Пусть $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда высказывание на математическом языке записывается так:
$ (n > 9) \implies (n \ge 10) $.
Обратное высказывание: «если натуральное число больше или равно 10, то оно больше 9».
Ответ: Математическая запись: $ (n > 9) \implies (n \ge 10) $, где $n \in \mathbb{N}$. Обратное высказывание: если натуральное число больше или равно 10, то оно больше 9.

в) Исходное высказывание «если число кратно 4 и 25, то оно кратно 100». Пусть $x$ — некоторое число, а знак $ \vdots $ означает кратность (делимость нацело). Тогда высказывание на математическом языке записывается так:
$ (x \vdots 4 \text{ и } x \vdots 25) \implies (x \vdots 100) $.
Обратное высказывание: «если число кратно 100, то оно кратно 4 и 25».
Ответ: Математическая запись: $ (x \vdots 4 \text{ и } x \vdots 25) \implies (x \vdots 100) $. Обратное высказывание: если число кратно 100, то оно кратно 4 и 25.

г) Исходное высказывание «если число неотрицательно, то модуль числа равен самому числу». Пусть $x$ — некоторое число. Неотрицательное число — это число, которое больше или равно нулю ($x \ge 0$). Высказывание на математическом языке записывается так:
$ (x \ge 0) \implies (|x| = x) $.
Обратное высказывание: «если модуль числа равен самому числу, то это число неотрицательно».
Ответ: Математическая запись: $ (x \ge 0) \implies (|x| = x) $. Обратное высказывание: если модуль числа равен самому числу, то это число неотрицательно.

D 275 Запиши высказывания на математическом языке и построй обратные к ним:

а) $a \perp b \implies b \perp a$;

б) $(n \in \mathbb{N} \land n > 9) \implies n \ge 10$;

в) $(4|x \land 25|x) \implies 100|x$;

г) $x \ge 0 \implies |x| = x$.

276 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания:

a) если число кратно 10, то оно кратно 2;

Математическое выражение: $10|N \implies 2|N$

б) если число больше 4, то оно больше или равно 3;

Математическое выражение: $x > 4 \implies x \ge 3$

в) равные фигуры имеют равные площади;

Математическое выражение: $F_1 = F_2 \implies S(F_1) = S(F_2)$

г) сумма двух неправильных дробей – неправильная дробь.

Математическое выражение: $(\frac{a}{b} \ge 1 \land \frac{c}{d} \ge 1) \implies (\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ge 1)$

а) если число кратно 10, то оно кратно 2;

1. Запись на математическом языке.

Пусть $A(x)$ — высказывание «число $x$ кратно 10», а $B(x)$ — высказывание «число $x$ кратно 2». Тогда исходное высказывание для любого целого числа $x$ можно записать в виде импликации: $A(x) \Rightarrow B(x)$. Используя знаки делимости, это выглядит так: $(\forall x \in \mathbb{Z})(x \vdots 10 \Rightarrow x \vdots 2)$.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если число кратно 2, то оно кратно 10», то есть $B(x) \Rightarrow A(x)$.

Это высказывание ложно. Чтобы доказать ложность, достаточно привести один контрпример. Возьмем число 4. Условие «число кратно 2» для него истинно ($4 \vdots 2$), а заключение «оно кратно 10» — ложно ($4 \not\vdots 10$). Следовательно, обратное высказывание неверно.

3. Построение отрицания.

Отрицанием импликации $A \Rightarrow B$ является конъюнкция $A \land \neg B$. На естественном языке это звучит так: «Существует число, которое кратно 10 и при этом не кратно 2».

Ответ: Математическая запись: $(\forall x \in \mathbb{Z})(x \vdots 10 \Rightarrow x \vdots 2)$. Обратное высказывание: «если число кратно 2, то оно кратно 10» — ложно (контрпример: 4). Отрицание: «Существует число, которое кратно 10, но не кратно 2».

б) если число больше 4, то оно больше или равно 3;

1. Запись на математическом языке.

Пусть $x$ — произвольное число. Исходное высказывание можно записать в виде неравенства-импликации: $(\forall x \in \mathbb{R})(x > 4 \Rightarrow x \ge 3)$.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если число больше или равно 3, то оно больше 4», то есть $x \ge 3 \Rightarrow x > 4$.

Это высказывание ложно. Контрпример: число 3.5. Неравенство $3.5 \ge 3$ верно, но неравенство $3.5 > 4$ ложно. Таким образом, обратное высказывание неверно.

3. Построение отрицания.

Отрицанием высказывания $x > 4 \Rightarrow x \ge 3$ является $x > 4 \land \neg(x \ge 3)$, что равносильно $x > 4 \land x < 3$. На естественном языке: «Существует число, которое больше 4 и одновременно меньше 3».

Ответ: Математическая запись: $(\forall x \in \mathbb{R})(x > 4 \Rightarrow x \ge 3)$. Обратное высказывание: «если число больше или равно 3, то оно больше 4» — ложно (контрпример: 3.5). Отрицание: «Существует число, которое больше 4 и меньше 3».

в) равные фигуры имеют равные площади;

1. Запись на математическом языке.

В геометрии «равные фигуры» означает «конгруэнтные фигуры». Высказывание можно переформулировать: «если две фигуры конгруэнтны, то их площади равны». Пусть $F_1$ и $F_2$ — две фигуры, а $S(F)$ — площадь фигуры $F$. Тогда: $(\forall F_1, F_2)(F_1 \cong F_2 \Rightarrow S(F_1) = S(F_2))$, где знак $\cong$ означает конгруэнтность.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если площади двух фигур равны, то эти фигуры конгруэнтны», то есть $S(F_1) = S(F_2) \Rightarrow F_1 \cong F_2$.

Это высказывание ложно. Контрпример: квадрат со стороной 2 см и прямоугольник со сторонами 1 см и 4 см. Их площади равны: $S_{квадрата} = 2^2 = 4$ см², $S_{прямоугольника} = 1 \cdot 4 = 4$ см². Однако эти фигуры не являются конгруэнтными. Следовательно, обратное высказывание ложно.

3. Построение отрицания.

Отрицание: «Существуют две конгруэнтные фигуры, площади которых не равны». Математически: $(\exists F_1, F_2)(F_1 \cong F_2 \land S(F_1) \ne S(F_2))$.

Ответ: Математическая запись: $(\forall F_1, F_2)(F_1 \cong F_2 \Rightarrow S(F_1) = S(F_2))$. Обратное высказывание: «если площади двух фигур равны, то фигуры конгруэнтны» — ложно (контрпример: квадрат $2 \times 2$ и прямоугольник $1 \times 4$). Отрицание: «Существуют конгруэнтные фигуры с неравными площадями».

г) сумма двух неправильных дробей – неправильная дробь.

1. Запись на математическом языке.

Неправильная положительная дробь — это дробь, которая больше или равна 1. Переформулируем высказывание: «если две (положительные) дроби $x$ и $y$ неправильные, то их сумма $x+y$ — тоже неправильная дробь». Для любых положительных рациональных чисел $x$ и $y$: $(x \ge 1 \land y \ge 1) \Rightarrow (x+y \ge 1)$.

2. Обратное высказывание и доказательство его ложности.

Обратное высказывание: «если сумма двух (положительных) дробей является неправильной дробью, то каждая из этих дробей является неправильной». Математически: $(x+y \ge 1) \Rightarrow (x \ge 1 \land y \ge 1)$.

Это высказывание ложно. Контрпример: возьмем две правильные дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{3}{4}$. Их сумма равна $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Сумма $\frac{3}{2}$ является неправильной дробью ($3>2$, т.е. $\frac{3}{2} > 1$), однако исходные дроби $\frac{3}{4}$ были правильными ($3<4$, т.е. $\frac{3}{4} < 1$).

3. Построение отрицания.

Отрицание исходного утверждения: «Существуют две неправильные дроби, сумма которых является правильной дробью». Математически: $(\exists x,y \in \mathbb{Q}_{\ge 1})((x \ge 1 \land y \ge 1) \land (x+y < 1))$.

Ответ: Математическая запись: $(\forall x,y \in \mathbb{Q}_{\ge 1})((x \ge 1 \land y \ge 1) \Rightarrow (x+y \ge 1))$. Обратное высказывание: «если сумма двух дробей — неправильная дробь, то и слагаемые — неправильные дроби» — ложно (контрпример: $\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$). Отрицание: «Существуют две неправильные дроби, сумма которых является правильной дробью».

276 Запиши высказывания на математическом языке. Докажи, что обратные к ним высказывания ложны, и построй их отрицания:

а) если число кратно 10, то оно кратно 2; $10 \mid n \implies 2 \mid n$

б) если число больше 4, то оно больше или равно 3; $x > 4 \implies x \ge 3$

в) равные фигуры имеют равные площади; $F_1 = F_2 \implies S(F_1) = S(F_2)$

г) сумма двух неправильных дробей -- неправильная дробь. $I(f_1) \land I(f_2) \implies I(f_1 + f_2)$

277 Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) 24 и 80;

б) 25, 90 и 105;

в) 108 и 972;

г) 176 и 875.

а) 24 и 80

Разложим данные числа на простые множители:
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
$80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$

Наибольший общий делитель (НОД) находится как произведение общих простых множителей с наименьшим показателем степени.
НОД(24, 80) = $2^3 = 8$.

Наименьшее общее кратное (НОК) находится как произведение всех простых множителей из разложений с наибольшим показателем степени.
НОК(24, 80) = $2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$.

Ответ: разложение: $24 = 2^3 \cdot 3$, $80 = 2^4 \cdot 5$; НОД = 8; НОК = 240.

б) 25, 90 и 105

Разложим числа на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$
$105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

НОД — это произведение общих для всех чисел простых множителей с наименьшей степенью. Общий множитель — 5.
НОД(25, 90, 105) = $5^1 = 5$.

НОК — это произведение всех простых множителей из всех разложений с наибольшей степенью.
НОК(25, 90, 105) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 7 = 3150$.

Ответ: разложение: $25 = 5^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$; НОД = 5; НОК = 3150.

в) 108 и 972

Разложим числа на простые множители:
$108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$
$972 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^5$

Находим НОД, перемножая общие множители в наименьшей степени:
НОД(108, 972) = $2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.

Находим НОК, перемножая все множители в наибольшей степени:
НОК(108, 972) = $2^2 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
(Заметим, что 972 делится на 108, поэтому их НОД равен меньшему числу, а НОК — большему).

Ответ: разложение: $108 = 2^2 \cdot 3^3$, $972 = 2^2 \cdot 3^5$; НОД = 108; НОК = 972.

г) 176 и 875

Разложим числа на простые множители:
$176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^4 \cdot 11$
$875 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^3 \cdot 7$

У данных чисел нет общих простых множителей, следовательно, они взаимно простые. Их НОД равен 1.
НОД(176, 875) = 1.

НОК взаимно простых чисел равно их произведению:
НОК(176, 875) = $176 \cdot 875 = 154000$.

Ответ: разложение: $176 = 2^4 \cdot 11$, $875 = 5^3 \cdot 7$; НОД = 1; НОК = 154000.

$277$ Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) $24$ и $80$;

б) $25$, $90$ и $105$;

в) $108$ и $972$;

г) $176$ и $875$.