Номер 241, страница 61, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 2. Задачи на движение по реке - номер 241, страница 61.

Условие 2023.

241 Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, $28^{\circ}$ и $90^{\circ}$. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений?

1) 2) 3)

Решение 2 (2023).

Да, можно найти величины остальных углов, не выполняя измерений, используя свойства смежных и вертикальных углов. Однако, в первом рисунке представлены противоречивые данные.

1)

На этом рисунке изображены две пересекающиеся прямые AC и BD в точке O. Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они должны быть равны: $\angle BOC = \angle AOD$.

Однако, согласно данным на чертеже, $\angle BOC = 28^\circ$, а $\angle AOD = 90^\circ$. Так как $28^\circ \neq 90^\circ$, данные на чертеже противоречивы. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка.

Если предположить, что верным является только одно из значений, например $\angle BOC = 28^\circ$, то остальные углы можно найти:

• Вертикальные углы:
  • $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные, следовательно, $\angle AOD = \angle BOC = 28^\circ$.
  • $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные.
• Смежные углы:
  • $\angle AOB$ и $\angle BOC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.
    $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.
  • $\angle COD$ и $\angle BOC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.
    $\angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.

Проверим: вертикальные углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны $152^\circ$, что соответствует свойству вертикальных углов.

Ответ: Найти углы невозможно из-за противоречивых данных. Если предположить, что $\angle BOC = 28^\circ$, то $\angle AOD = 28^\circ$, $\angle AOB = 152^\circ$, $\angle COD = 152^\circ$.

2)

На этом рисунке изображена прямая MD и точка O на ней. Из точки O проведены лучи OB и OC. Угол $\angle MOD$ — развёрнутый и равен $180^\circ$.

Известно, что $\angle BOD = 90^\circ$ (прямой угол) и $\angle COD = 28^\circ$.

• Смежные углы (сумма которых $180^\circ$):
  • $\angle MOB$ и $\angle BOD$ являются смежными, так как вместе образуют развернутый угол $\angle MOD$.
    $\angle MOB = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
  • $\angle MOC$ и $\angle COD$ являются смежными.
    $\angle MOC = 180^\circ - \angle COD = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.
• Вертикальные углы: На данном рисунке нет пересекающихся прямых, поэтому вертикальных углов нет.
• Оставшийся угол $\angle BOC$ можно найти как разность углов $\angle BOD$ и $\angle COD$:
  $\angle BOC = \angle BOD - \angle COD = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.

Ответ: $\angle BOC = 62^\circ$, $\angle MOB = 90^\circ$, $\angle MOC = 152^\circ$.

3)

На этом рисунке изображены три прямые: KD, ST и EF. Прямые KD и ST перпендикулярны и пересекаются в точке, которую назовем B. Прямая EF пересекает ST в точке C и KD в точке A.

Известно, что $KD \perp ST$, следовательно, все углы, образованные их пересечением, равны $90^\circ$. Также известно, что $\angle TCF = 28^\circ$.

Найдем все углы последовательно:

1. Углы при пересечении прямых ST и EF в точке C:
   • $\angle SCE$ и $\angle TCF$ — вертикальные. Следовательно, $\angle SCE = \angle TCF = 28^\circ$.
   • $\angle ECT$ и $\angle TCF$ — смежные. Следовательно, $\angle ECT = 180^\circ - \angle TCF = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$.
   • $\angle SCF$ и $\angle ECT$ — вертикальные. Следовательно, $\angle SCF = \angle ECT = 152^\circ$.
2. Углы в треугольнике ABC:
   • $\angle ABC$ — это угол при пересечении прямых KD и ST, поэтому $\angle ABC = 90^\circ$.
   • $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle SCE$, поэтому $\angle ACB = 28^\circ$.
   • Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
     $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.
3. Углы при пересечении прямых KD и EF в точке A:
   • Угол $\angle KAE$ совпадает с углом $\angle BAC$, поэтому $\angle KAE = 62^\circ$.
   • $\angle DAF$ и $\angle KAE$ — вертикальные. Следовательно, $\angle DAF = \angle KAE = 62^\circ$.
   • $\angle KAF$ и $\angle KAE$ — смежные. Следовательно, $\angle KAF = 180^\circ - \angle KAE = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.
   • $\angle DAE$ и $\angle KAF$ — вертикальные. Следовательно, $\angle DAE = \angle KAF = 118^\circ$.

Ответ: Да, можно найти все углы.
Углы при пересечении ST и EF: $28^\circ$, $152^\circ$, $28^\circ$, $152^\circ$.
Углы при пересечении KD и EF: $62^\circ$, $118^\circ$, $62^\circ$, $118^\circ$.
Углы при пересечении KD и ST: все по $90^\circ$.

Условие 2010-2022.

241 Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, $28^\circ$ и $90^\circ$. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений?

1) B, C, O, A, D, $28^\circ$, $90^\circ$

2) B, C, A, O, D, M, $90^\circ$, $28^\circ$

3) K, A, E, S, B, D, C, T, F, $90^\circ$, $28^\circ$

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).