Номер 237, страница 60, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 2. Задачи на движение по реке - номер 237, страница 60.

Условие 2023.

237 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи её (значения всех переменных отличны от нуля):

1) $\frac{3}{a} - \frac{b}{2a}$;

2) $\frac{c}{2d} + \frac{1}{cd}$;

3) $\frac{4}{x^2} + \frac{y}{2x}$;

4) $\frac{2b}{n} - 3$;

5) $\frac{a}{4b^2} \cdot \frac{2b}{a}$;

6) $\frac{3xy}{k} : \frac{6x^2}{7k}$;

7) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$;

8) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$.

Решение 2 (2023).

1) $\frac{3}{a} - \frac{b}{2a}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a$ и $2a$ это $2a$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{3 \cdot 2}{a \cdot 2} - \frac{b}{2a} = \frac{6}{2a} - \frac{b}{2a}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{6 - b}{2a}$

Дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{6 - b}{2a}$

2) $\frac{c}{2d} + \frac{1}{cd}$

Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $2d$ и $cd$. Наименьший общий знаменатель - это $2cd$. Умножим первую дробь на недостающий множитель $c$, а вторую на 2:

$\frac{c \cdot c}{2d \cdot c} + \frac{1 \cdot 2}{cd \cdot 2} = \frac{c^2}{2cd} + \frac{2}{2cd}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{c^2 + 2}{2cd}$

Дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{c^2 + 2}{2cd}$

3) $\frac{4}{x^2} + \frac{y}{2x}$

Общим знаменателем для $x^2$ и $2x$ является $2x^2$. Домножим первую дробь на 2, а вторую на $x$:

$\frac{4 \cdot 2}{x^2 \cdot 2} + \frac{y \cdot x}{2x \cdot x} = \frac{8}{2x^2} + \frac{xy}{2x^2}$

Складываем числители:

$\frac{8 + xy}{2x^2}$

Ответ: $\frac{8 + xy}{2x^2}$

4) $\frac{2b}{n} - 3$

Представим число 3 в виде дроби со знаменателем $n$: $3 = \frac{3n}{n}$.

$\frac{2b}{n} - \frac{3n}{n}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{2b - 3n}{n}$

Ответ: $\frac{2b - 3n}{n}$

5) $\frac{a}{4b^2} \cdot \frac{2b}{a}$

При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели:

$\frac{a \cdot 2b}{4b^2 \cdot a} = \frac{2ab}{4ab^2}$

Сократим полученную дробь. Числовой коэффициент $\frac{2}{4}$ сокращается до $\frac{1}{2}$. Переменную $a$ можно сократить. Переменную $b$ можно сократить, при этом в знаменателе останется $b$ в первой степени:

$\frac{\cancel{2}\cancel{a}\cancel{b}}{4_2 \cancel{a} b^{\cancel{2}}} = \frac{1}{2b}$

Ответ: $\frac{1}{2b}$

6) $\frac{3xy}{k} : \frac{6x^2}{7k}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{3xy}{k} \cdot \frac{7k}{6x^2} = \frac{3xy \cdot 7k}{k \cdot 6x^2} = \frac{21xyk}{6kx^2}$

Сократим дробь. Числовой коэффициент $\frac{21}{6}$ сокращается на 3 и становится $\frac{7}{2}$. Переменную $k$ можно сократить. Переменную $x$ можно сократить, при этом в знаменателе останется $x$ в первой степени:

$\frac{21^{\;7} \cancel{x} y \cancel{k}}{6_{\;2} \cancel{k} x^{\cancel{2}}} = \frac{7y}{2x}$

Ответ: $\frac{7y}{2x}$

7) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$

Представим выражение $mn$ в виде дроби $\frac{mn}{1}$:

$\frac{m}{3n} \cdot \frac{mn}{1} = \frac{m \cdot mn}{3n \cdot 1} = \frac{m^2n}{3n}$

Сократим дробь на $n$ (по условию все переменные не равны нулю):

$\frac{m^2\cancel{n}}{3\cancel{n}} = \frac{m^2}{3}$

Ответ: $\frac{m^2}{3}$

8) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$

Данное выражение идентично выражению из предыдущего пункта.

$\frac{m}{3n} \cdot (mn) = \frac{m \cdot mn}{3n} = \frac{m^2n}{3n}$

Сокращаем на $n$:

$\frac{m^2}{3}$

Ответ: $\frac{m^2}{3}$

Условие 2010-2022.

237 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи ее (значения всех переменных отличны от нуля):

1) $\frac{3}{a} - \frac{b}{2a}$;

2) $\frac{c}{2d} + \frac{1}{cd}$;

3) $\frac{4}{x^2} + \frac{y}{2x}$;

4) $\frac{2b}{n} - 3$;

5) $\frac{a}{4b^2} \cdot \frac{2b}{a}$;

6) $\frac{3xy}{k} : \frac{6x^2}{7k}$;

7) $\frac{m}{3n} : (mn)$;

8) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).