Номер 238, страница 60, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 2. Задачи на движение по реке - номер 238, страница 60.

Условие 2023.

238 Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению:

1) $3x + y^2 = 19;$

2) $x^2 = 20 - y^2;$

3) $(x - 2y)(y + 2x) = 12.$

Решение 2 (2023).

1) Дано уравнение $3x + y^2 = 19$, где $x$ и $y$ – натуральные числа (положительные целые числа).

Методом перебора найдем все подходящие пары $(x, y)$. Выразим $x$ из уравнения: $3x = 19 - y^2$.

Поскольку $x$ и $y$ – натуральные числа, $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Из $3x \ge 3$ следует, что $19 - y^2 \ge 3$, откуда $y^2 \le 16$.

Значит, возможные натуральные значения для $y$: 1, 2, 3, 4. Проверим каждое из них.

Также необходимо, чтобы $19 - y^2$ делилось на 3, так как $x$ должно быть целым числом.

- Если $y = 1$, то $3x = 19 - 1^2 = 18$. Отсюда $x = 6$. Пара $(6, 1)$ является решением.

- Если $y = 2$, то $3x = 19 - 2^2 = 19 - 4 = 15$. Отсюда $x = 5$. Пара $(5, 2)$ является решением.

- Если $y = 3$, то $3x = 19 - 3^2 = 19 - 9 = 10$. Число 10 не делится на 3, поэтому $x$ не будет целым числом.

- Если $y = 4$, то $3x = 19 - 4^2 = 19 - 16 = 3$. Отсюда $x = 1$. Пара $(1, 4)$ является решением.

При $y > 4$, $y^2 > 16$, и $19 - y^2$ будет меньше 3, что невозможно для натурального $x$.

Ответ: $\{(6, 1), (5, 2), (1, 4)\}$.

2) Дано уравнение $x^2 = 20 - y^2$, которое можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 20$. Ищем натуральные решения $x$ и $y$.

Поскольку $x$ и $y$ – натуральные числа, $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Из уравнения следует, что $y^2 < 20$. Возможные натуральные значения для $y$: 1, 2, 3, 4 (так как $5^2 = 25 > 20$).

Будем перебирать значения $y$ и проверять, является ли соответствующее значение $x$ натуральным числом.

- Если $y = 1$, то $x^2 = 20 - 1^2 = 19$. $x = \sqrt{19}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 2$, то $x^2 = 20 - 2^2 = 20 - 4 = 16$. $x = \sqrt{16} = 4$. Пара $(4, 2)$ является решением.

- Если $y = 3$, то $x^2 = 20 - 3^2 = 20 - 9 = 11$. $x = \sqrt{11}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 4$, то $x^2 = 20 - 4^2 = 20 - 16 = 4$. $x = \sqrt{4} = 2$. Пара $(2, 4)$ является решением.

Из-за симметрии уравнения относительно $x$ и $y$ можно было бы перебирать значения $x$ и получить те же пары.

Ответ: $\{(4, 2), (2, 4)\}$.

3) Дано уравнение $(x - 2y)(y + 2x) = 12$. Ищем натуральные решения $x$ и $y$.

Оба множителя $(x - 2y)$ и $(y + 2x)$ должны быть целыми числами.

Поскольку $x \ge 1$ и $y \ge 1$, второй множитель $y + 2x \ge 1 + 2(1) = 3$.

Так как произведение равно положительному числу 12, а второй множитель положителен, то и первый множитель $(x - 2y)$ должен быть положительным. Отсюда следует $x - 2y > 0$, или $x > 2y$.

Рассмотрим все пары целых положительных множителей числа 12: $(1, 12)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(6, 2)$, $(12, 1)$.

Учитывая, что второй множитель $y + 2x \ge 3$, проверим следующие системы уравнений:

- Случай 1: $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ y + 2x = 12 \end{cases}$. Из первого уравнения $x = 1 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(1 + 2y) = 12 \Rightarrow y + 2 + 4y = 12 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$. Тогда $x = 1 + 2(2) = 5$. Пара $(5, 2)$ состоит из натуральных чисел. Проверяем условие $x > 2y$: $5 > 2(2)$, то есть $5 > 4$. Верно. Пара $(5, 2)$ является решением.

- Случай 2: $\begin{cases} x - 2y = 2 \\ y + 2x = 6 \end{cases}$. Из первого уравнения $x = 2 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(2 + 2y) = 6 \Rightarrow y + 4 + 4y = 6 \Rightarrow 5y = 2 \Rightarrow y = 2/5$. Не является натуральным числом.

- Случай 3: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ y + 2x = 4 \end{cases}$. Из первого уравнения $x = 3 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(3 + 2y) = 4 \Rightarrow y + 6 + 4y = 4 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = -2/5$. Не является натуральным числом.

- Случай 4: $\begin{cases} x - 2y = 4 \\ y + 2x = 3 \end{cases}$. Этот случай невозможен, так как мы установили, что $y + 2x \ge 3$. Здесь $y+2x=3$ возможно только при $y=1, x=1$, но тогда $x-2y = 1-2(1)=-1 \ne 4$. Решим систему: из первого уравнения $x = 4 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(4 + 2y) = 3 \Rightarrow y + 8 + 4y = 3 \Rightarrow 5y = -5 \Rightarrow y = -1$. Не является натуральным числом.

Единственная пара, удовлетворяющая условиям, – это $(5, 2)$.

Ответ: $\{(5, 2)\}$.

Условие 2010-2022.

238 Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел $x$ и $y$,

удовлетворяющих уравнению:

1) $3x + y^2 = 19;$

2) $x^2 = 20 - y^2;$

3) $(x - 2y)(y + 2x) = 12.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).