Номер 232, страница 59, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 2. Задачи на движение по реке - номер 232, страница 59.

Условие 2023.

232 1) Из пункта $A$ в пункт $B$ по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта $B$ в пункт $A$ вышел катер. Через сколько часов после выхода катер встретил плот, если катер прошёл всё расстояние между $A$ и $B$ за $6$ ч, а плот – за $30$ ч?

2) Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу вышли плот и катер. Катер встретил плот через $4$ ч после выхода, а ещё через $20$ мин прибыл в пункт $A$. Сколько времени плыл плот из $A$ в $B$?

Решение 2 (2023).

1) Пусть $S$ — это расстояние между пунктами А и В. Плот плывет из А в В по течению, а катер — из В в А против течения.
Скорость плота ($v_{п}$) равна скорости течения реки. Плот проходит расстояние $S$ за 30 часов, следовательно, его скорость составляет $v_{п} = \frac{S}{30}$.
Катер проходит то же расстояние $S$ против течения за 6 часов. Его скорость против течения ($v_{к}$) составляет $v_{к} = \frac{S}{6}$.
Поскольку плот и катер движутся навстречу друг другу, их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_{п} + v_{к} = \frac{S}{30} + \frac{S}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$v_{сбл} = \frac{S}{30} + \frac{5S}{30} = \frac{6S}{30} = \frac{S}{5}$
Чтобы найти время ($t$), через которое они встретятся, нужно разделить общее расстояние $S$ на скорость сближения:
$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{S}{S/5} = S \cdot \frac{5}{S} = 5$ часов.
Ответ: 5 часов.

2) Пусть $v_{п}$ — скорость плота, а $v_{к}$ — скорость катера против течения.
Плот и катер встретились через 4 часа. За это время плот, двигаясь из пункта А, проплыл расстояние $S_1 = v_{п} \cdot 4$.
Катер за те же 4 часа, двигаясь из пункта В, проплыл расстояние $S_2 = v_{к} \cdot 4$.
После встречи катеру, чтобы достичь пункта А, осталось проплыть расстояние $S_1$. По условию, он затратил на это 20 минут.
Переведем 20 минут в часы: 20 мин = $\frac{20}{60}$ ч = $\frac{1}{3}$ ч.
Значит, расстояние $S_1$ катер прошел за $\frac{1}{3}$ часа: $S_1 = v_{к} \cdot \frac{1}{3}$.
Теперь мы имеем два выражения для расстояния $S_1$:
$S_1 = 4v_{п}$ и $S_1 = \frac{1}{3}v_{к}$.
Приравняем правые части этих уравнений:
$4v_{п} = \frac{1}{3}v_{к}$
Из этого соотношения выразим скорость катера через скорость плота:
$v_{к} = 4v_{п} \cdot 3 = 12v_{п}$.
Общее расстояние между пунктами А и В ($S$) равно сумме расстояний, которые плот и катер прошли до встречи:
$S = S_1 + S_2 = 4v_{п} + 4v_{к}$.
Подставим в эту формулу найденное соотношение $v_{к} = 12v_{п}$:
$S = 4v_{п} + 4(12v_{п}) = 4v_{п} + 48v_{п} = 52v_{п}$.
Чтобы найти общее время ($T$), которое потребовалось плоту, чтобы проплыть все расстояние от А до В, разделим общее расстояние $S$ на скорость плота $v_{п}$:
$T = \frac{S}{v_{п}} = \frac{52v_{п}}{v_{п}} = 52$ часа.
Ответ: 52 часа.

Условие 2010-2022.

232 1) Из пункта $A$ в пункт $B$ по реке отплыл плот. Одновременно с ним из пункта $B$ в пункт $A$ вышел катер. Через сколько часов после выхода катер встретил плот, если катер прошел все расстояние между $A$ и $B$ за 6 ч, а плот – за 30 ч?

2) Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу вышли плот и катер. Катер встретил плот через 4 ч после выхода, а еще через 20 мин прибыл в пункт $A$. Сколько времени плыл плот из $A$ в $B$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).