Номер 242, страница 61, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Задачи на движение по реке. Параграф 1. Числа и действия с ними. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 242, страница 61.

Условие 2023.

242 1) Построй два смежных угла так, чтобы один из них:

а) был на $70^\circ$ больше второго;

б) был в 4 раза меньше второго;

в) был равен второму.

2) Построй треугольник $ABC$ так, чтобы $\angle A = 34^\circ$, а $\angle B = 42^\circ$. Сколько ещё можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

Решение 2 (2023).

1) Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим искомые углы как $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, $\alpha + \beta = 180^\circ$.

а) Пусть один угол равен $x$. Тогда второй угол, который на $70^\circ$ больше, равен $x + 70^\circ$. Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$, составим уравнение:
$x + (x + 70^\circ) = 180^\circ$
$2x + 70^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 70^\circ$
$2x = 110^\circ$
$x = 55^\circ$
Один угол равен $55^\circ$, второй — $55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$.

Ответ: Углы равны $55^\circ$ и $125^\circ$.

б) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда второй угол, который в 4 раза больше, равен $4x$. Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $180^\circ$:
$x + 4x = 180^\circ$
$5x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{5}$
$x = 36^\circ$
Один угол равен $36^\circ$, а второй — $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

Ответ: Углы равны $36^\circ$ и $144^\circ$.

в) Пусть один угол равен $x$. По условию, второй угол также равен $x$. Составим уравнение:
$x + x = 180^\circ$
$2x = 180^\circ$
$x = 90^\circ$
Оба угла равны $90^\circ$.

Ответ: Углы равны $90^\circ$ и $90^\circ$.

2) Для построения треугольника $ABC$ с заданными углами $\angle A = 34^\circ$ и $\angle B = 42^\circ$ можно начертить отрезок $AB$ произвольной длины. Затем от луча $AB$ отложить угол в $34^\circ$ с вершиной в точке $A$, а от луча $BA$ в той же полуплоскости отложить угол в $42^\circ$ с вершиной в точке $B$. Точка пересечения сторон построенных углов будет третьей вершиной $C$ треугольника.

Поскольку длина стороны $AB$ не задана, ее можно выбирать произвольно. Каждой новой длине стороны $AB$ будет соответствовать новый треугольник. Все такие треугольники будут подобны друг другу (по двум углам), но не равны, если длины сторон $AB$ различны. Так как существует бесконечное множество возможных длин для стороны $AB$, можно построить бесконечное множество треугольников, удовлетворяющих этому условию.

Чтобы решение стало единственным (т.е. чтобы можно было построить только один такой треугольник с точностью до равенства), необходимо задать его размеры. Согласно признакам равенства треугольников, для этого достаточно задать длину одной из его сторон. Например, если задать длину стороны $AB$, то по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) треугольник будет определён однозначно.

Ответ: Можно построить бесконечно много треугольников. Чтобы решение стало единственным, надо дополнить условие, задав длину одной из сторон треугольника (например, стороны $AB$).

Условие 2010-2022.

242 1) Построй два смежных угла так, чтобы один из них:

а) был на $70^\circ$ больше второго;

б) был в 4 раза меньше второго;

в) был равен второму.

2) Построй треугольник $ABC$ так, чтобы $\angle A = 34^\circ$, а $\angle B = 42^\circ$. Сколько еще можно построить треугольников, удовлетворяющих этому условию? Как надо дополнить условие, чтобы решение стало единственным?

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).