Номер 248, страница 62, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 2. Задачи на движение по реке - номер 248, страница 62.

Условие 2023.

248 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи её, при условии, что значения всех переменных отличны от нуля:

1) $ \frac{m}{3} - \frac{3}{m} $;

2) $ 2a + \frac{b}{5} $;

3) $ \frac{x^2}{9} \cdot \frac{6}{xy} $;

4) $ (5c) : \frac{c^2}{d} $.

Решение 2 (2023).

1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $ \frac{m}{3} $ и $ \frac{3}{m} $ равен $ 3m $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ m $, а второй — на $ 3 $.

$ \frac{m}{3} - \frac{3}{m} = \frac{m \cdot m}{3 \cdot m} - \frac{3 \cdot 3}{m \cdot 3} = \frac{m^2}{3m} - \frac{9}{3m} = \frac{m^2 - 9}{3m} $

Числитель можно разложить по формуле разности квадратов: $ m^2 - 9 = (m-3)(m+3) $. Получаем дробь $ \frac{(m-3)(m+3)}{3m} $. Так как в числителе и знаменателе нет общих множителей, дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{m^2 - 9}{3m} $.

2) Чтобы сложить целое выражение и дробь, представим целое выражение в виде дроби и приведем их к общему знаменателю. Представим $ 2a $ как $ \frac{2a}{1} $. Общий знаменатель равен $ 5 $.

$ 2a + \frac{b}{5} = \frac{2a}{1} + \frac{b}{5} = \frac{2a \cdot 5}{1 \cdot 5} + \frac{b}{5} = \frac{10a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{10a + b}{5} $

Сократить полученную дробь нельзя.

Ответ: $ \frac{10a + b}{5} $.

3) При умножении дробей их числители и знаменатели перемножаются соответственно.

$ \frac{x^2}{9} \cdot \frac{6}{xy} = \frac{x^2 \cdot 6}{9 \cdot xy} = \frac{6x^2}{9xy} $

Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты на $ 3 $ ($ 6 \div 3 = 2 $, $ 9 \div 3 = 3 $) и переменные на $ x $ ($ x^2 \div x = x $).

$ \frac{6x^2}{9xy} = \frac{2 \cdot 3 \cdot x \cdot x}{3 \cdot 3 \cdot x \cdot y} = \frac{2x}{3y} $

Ответ: $ \frac{2x}{3y} $.

4) Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Представим выражение $ 5c $ в виде дроби $ \frac{5c}{1} $.

$ (5c) : \frac{c^2}{d} = \frac{5c}{1} \cdot \frac{d}{c^2} = \frac{5c \cdot d}{1 \cdot c^2} = \frac{5cd}{c^2} $

Сократим полученную дробь на $ c $.

$ \frac{5cd}{c^2} = \frac{5d}{c} $

Ответ: $ \frac{5d}{c} $.

Условие 2010-2022.

248 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи ее, если значения всех переменных отличны от нуля:

1) $ \frac{m}{3} - \frac{3}{m} $;

2) $ 2a + \frac{b}{5} $;

3) $ \frac{x^2}{9} \cdot \frac{6}{xy} $;

4) $ (5c) : \frac{c^2}{d} $.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).