Страница 65, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

273 Пользуясь числовой прямой, найди ответы примеров:

1) $-2+3=?$

2) $-1-4=?$

3) $+2-5=?$

4) $-3+7=?$

1) На числовой прямой показана операция сложения. Начальная точка – $-2$. Стрелка показывает перемещение на 3 единицы вправо, что соответствует прибавлению числа 3. Отсчитав от $-2$ три единицы вправо ($-1$, $0$, $1$), мы попадаем в точку $1$. Следовательно, решением примера будет $1$.

$-2 + 3 = 1$

Ответ: 1

2) На числовой прямой показана операция вычитания. Начальная точка – $-1$. Стрелка показывает перемещение на 4 единицы влево, что соответствует вычитанию числа 4. Отсчитав от $-1$ четыре единицы влево ($-2$, $-3$, $-4$, $-5$), мы попадаем в точку $-5$. Следовательно, решением примера будет $-5$.

$-1 - 4 = -5$

Ответ: -5

3) На числовой прямой показана операция вычитания. Начальная точка – $2$. Стрелка показывает перемещение на 5 единиц влево, что соответствует вычитанию числа 5. Отсчитав от $2$ пять единиц влево ($1$, $0$, $-1$, $-2$, $-3$), мы попадаем в точку $-3$. Следовательно, решением примера будет $-3$.

$+2 - 5 = -3$

Ответ: -3

4) На числовой прямой показана операция сложения. Начальная точка – $-3$. Стрелка показывает перемещение на 7 единиц вправо, что соответствует прибавлению числа 7. Отсчитав от $-3$ семь единиц вправо ($-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$), мы попадаем в точку $4$. Следовательно, решением примера будет $4$.

$-3 + 7 = 4$

Ответ: 4

273 Пользуясь числовой прямой, найди ответы примеров:

1) +3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

$-2 + 3 = ?$

2) -4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

$-1 - 4 = ?$

3) -5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

$+2 - 5 = ?$

4) +7

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

$-3 + 7 = ?$

274 Реши примеры:

а) с помощью понятий доходов и расходов;

б) пользуясь числовой прямой.

1) $-1 + 4;$

2) $-3 + 2;$

3) $+1 - 5;$

4) $-1 - 2;$

5) $-4 + 8;$

6) $+3 - 9;$

7) $-2 - 5;$

8) $-8 + 6.$

1) $-1 + 4$: Рассматриваем $-1$ как расход (долг) в 1 единицу, а $+4$ как доход в 4 единицы. Если из дохода в 4 единицы покрыть расход в 1 единицу, останется 3 единицы прибыли. Таким образом, $-1 + 4 = 3$.
Ответ: 3

2) $-3 + 2$: Расход составляет 3 единицы, а доход – 2 единицы. Доход не покрывает весь расход. Остается долг: $3 - 2 = 1$. Итоговый результат $-1$. Таким образом, $-3 + 2 = -1$.
Ответ: -1

3) $+1 - 5$: Доход составляет 1 единицу, а расход – 5 единиц. Расход превышает доход, что приводит к образованию долга: $5 - 1 = 4$. Итоговый результат $-4$. Таким образом, $+1 - 5 = -4$.
Ответ: -4

4) $-1 - 2$: В данном случае у нас два расхода (или два долга): один в 1 единицу, другой в 2. Общий расход (долг) суммируется: $1 + 2 = 3$. Итоговый результат $-3$. Таким образом, $-1 - 2 = -3$.
Ответ: -3

5) $-4 + 8$: Расход составляет 4 единицы, а доход – 8 единиц. Доход полностью покрывает расход, и остается прибыль: $8 - 4 = 4$. Таким образом, $-4 + 8 = 4$.
Ответ: 4

6) $+3 - 9$: Доход составляет 3 единицы, а расход – 9 единиц. Расход превышает доход, образуется долг: $9 - 3 = 6$. Итоговый результат $-6$. Таким образом, $+3 - 9 = -6$.
Ответ: -6

7) $-2 - 5$: Два расхода на 2 и 5 единиц. Общий долг увеличивается: $2 + 5 = 7$. Итоговый результат $-7$. Таким образом, $-2 - 5 = -7$.
Ответ: -7

8) $-8 + 6$: Расход составляет 8 единиц, а доход – 6 единиц. Доход не покрывает весь расход. Остается долг: $8 - 6 = 2$. Итоговый результат $-2$. Таким образом, $-8 + 6 = -2$.
Ответ: -2

1) $-1 + 4$: На числовой прямой находим точку $-1$. Прибавление $+4$ означает смещение на 4 единицы вправо. Перемещаемся от $-1$ через точки $0, 1, 2$ и останавливаемся в точке $3$.
Ответ: 3

2) $-3 + 2$: Начинаем с точки $-3$ на числовой прямой. Прибавление $+2$ означает смещение на 2 единицы вправо. Перемещаемся от $-3$ через точку $-2$ и останавливаемся в точке $-1$.
Ответ: -1

3) $+1 - 5$: Начинаем с точки $1$. Вычитание $5$ означает смещение на 5 единиц влево. Перемещаемся от $1$ через точки $0, -1, -2, -3$ и останавливаемся в точке $-4$.
Ответ: -4

4) $-1 - 2$: Начинаем с точки $-1$. Вычитание $2$ означает смещение на 2 единицы влево. Перемещаемся от $-1$ через точку $-2$ и останавливаемся в точке $-3$.
Ответ: -3

5) $-4 + 8$: Начинаем с точки $-4$. Прибавление $+8$ означает смещение на 8 единиц вправо. Перемещаемся от $-4$ через точки $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ и останавливаемся в точке $4$.
Ответ: 4

6) $+3 - 9$: Начинаем с точки $3$. Вычитание $9$ означает смещение на 9 единиц влево. Перемещаемся от $3$ через точки $2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5$ и останавливаемся в точке $-6$.
Ответ: -6

7) $-2 - 5$: Начинаем с точки $-2$. Вычитание $5$ означает смещение на 5 единиц влево. Перемещаемся от $-2$ через точки $-3, -4, -5, -6$ и останавливаемся в точке $-7$.
Ответ: -7

8) $-8 + 6$: Начинаем с точки $-8$. Прибавление $+6$ означает смещение на 6 единиц вправо. Перемещаемся от $-8$ через точки $-7, -6, -5, -4, -3$ и останавливаемся в точке $-2$.
Ответ: -2

274 Реши примеры: а) с помощью понятий доходов и расходов; б) пользуясь числовой прямой.

1) $ -1 + 4; $3) $ +1 - 5; $5) $ -4 + 8; $7) $ -2 - 5; $

2) $ -3 + 2; $4) $ -1 - 2; $6) $ +3 - 9; $8) $ -8 + 6. $

Числовая прямая: -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

275 Раздели число:

а) 240 в отношении 4 : 11;

б) 7,2 в отношении 0,8 : $1\frac{1}{3}$;

в) 56 в отношении 2 : 3 : 9;

г) 12,5 в отношении $\frac{3}{4}$ : 1,5 : 4.

а) Чтобы разделить число 240 в отношении 4 : 11, нужно выполнить следующие действия:
1. Находим сумму частей отношения: $4 + 11 = 15$. Всего 15 частей.
2. Определяем, какое значение приходится на одну часть. Для этого делим исходное число на сумму частей: $240 / 15 = 16$.
3. Находим числа, которые составляют данное отношение, умножая значение одной части на соответствующее количество частей:
Первое число: $4 * 16 = 64$.
Второе число: $11 * 16 = 176$.
Для проверки можно сложить полученные числа: $64 + 176 = 240$.
Ответ: 64 и 176.

б) Чтобы разделить число 7,2 в отношении $0,8 : 1\frac{1}{3}$, сначала упростим отношение, приведя его к целым числам.
1. Представим оба числа в виде обыкновенных дробей:
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$1\frac{1}{3} = \frac{3*1+1}{3} = \frac{4}{3}$
Отношение принимает вид $\frac{4}{5} : \frac{4}{3}$.
2. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части отношения на их наименьший общий знаменатель, который равен 15:
$(\frac{4}{5} * 15) : (\frac{4}{3} * 15) = (4 * 3) : (4 * 5) = 12 : 20$.
3. Сократим полученное отношение, разделив обе части на их наибольший общий делитель, равный 4:
$12 / 4 = 3$
$20 / 4 = 5$
Таким образом, исходное отношение эквивалентно отношению $3 : 5$.
4. Теперь разделим число 7,2 в отношении 3 : 5. Сумма частей: $3 + 5 = 8$.
5. Значение одной части: $7,2 / 8 = 0,9$.
6. Находим искомые числа:
Первое число: $3 * 0,9 = 2,7$.
Второе число: $5 * 0,9 = 4,5$.
Проверка: $2,7 + 4,5 = 7,2$.
Ответ: 2,7 и 4,5.

в) Чтобы разделить число 56 в отношении 2 : 3 : 9, выполним следующие действия:
1. Находим сумму частей отношения: $2 + 3 + 9 = 14$.
2. Определяем значение одной части: $56 / 14 = 4$.
3. Находим искомые числа:
Первое число: $2 * 4 = 8$.
Второе число: $3 * 4 = 12$.
Третье число: $9 * 4 = 36$.
Проверка: $8 + 12 + 36 = 56$.
Ответ: 8, 12 и 36.

г) Чтобы разделить число 12,5 в отношении $\frac{3}{4} : 1,5 : 4$, сначала упростим отношение.
1. Представим все члены отношения в виде десятичных дробей:
$\frac{3}{4} = 0,75$.
Отношение принимает вид $0,75 : 1,5 : 4$.
2. Чтобы избавиться от дробей, умножим все части на 100 (так как максимальное число знаков после запятой равно двум):
$(0,75 * 100) : (1,5 * 100) : (4 * 100) = 75 : 150 : 400$.
3. Сократим полученное отношение. Все числа делятся на 25:
$75 / 25 = 3$
$150 / 25 = 6$
$400 / 25 = 16$
Упрощенное отношение: $3 : 6 : 16$.
4. Теперь разделим число 12,5 в этом отношении. Сумма частей: $3 + 6 + 16 = 25$.
5. Значение одной части: $12,5 / 25 = 0,5$.
6. Находим искомые числа:
Первое число: $3 * 0,5 = 1,5$.
Второе число: $6 * 0,5 = 3$.
Третье число: $16 * 0,5 = 8$.
Проверка: $1,5 + 3 + 8 = 12,5$.
Ответ: 1,5, 3 и 8.

D 275 Раздели число:

а) 240 в отношении 4 : 11;

б) 7,2 в отношении 0,8 : $1\frac{1}{3}$;

в) 56 в отношении 2 : 3 : 9;

г) 12,5 в отношении $\frac{3}{4}$ : 1,5 : 4.

276 1) Отрезок $AB$ длиной 15 см разделён точкой $C$ в отношении $3 : 7$. Найди длину каждой части.

2) Отрезок $MN$ разделён точкой $K$ в отношении $3,4 : 1\frac{8}{9}$, причём одна из частей отрезка на 8 м больше другой. Чему равна длина всего отрезка?

3) Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 6, а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм. Чему равен периметр треугольника?

1)

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности. Тогда длины частей, на которые точка C делит отрезок AB, будут равны $3x$ и $7x$. Сумма длин этих частей равна длине всего отрезка, то есть 15 см. Составим уравнение:

$3x + 7x = 15$

$10x = 15$

$x = \frac{15}{10} = 1,5$

Теперь найдем длину каждой части:

Длина первой части (AC): $3x = 3 \cdot 1,5 = 4,5$ см.

Длина второй части (CB): $7x = 7 \cdot 1,5 = 10,5$ см.

Проверим: $4,5 \text{ см} + 10,5 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Ответ: длины частей равны 4,5 см и 10,5 см.

2)

Сначала упростим отношение $3,4 : 1\frac{8}{9}$. Для этого представим оба числа в виде обыкновенных дробей:

$3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$

$1\frac{8}{9} = \frac{9+8}{9} = \frac{17}{9}$

Получаем отношение $\frac{17}{5} : \frac{17}{9}$. Разделив обе части на 17, получим $\frac{1}{5} : \frac{1}{9}$. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части на их наименьшее общее кратное, которое равно 45. Получим: $(\frac{1}{5} \cdot 45) : (\frac{1}{9} \cdot 45)$, что равно $9:5$.

Пусть одна часть отрезка равна $9x$ м, а вторая — $5x$ м. По условию, разница между ними составляет 8 м. Составим уравнение:

$9x - 5x = 8$

$4x = 8$

$x = 2$

Найдем длины частей:

Первая часть: $9x = 9 \cdot 2 = 18$ м.

Вторая часть: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ м.

Длина всего отрезка MN равна сумме длин его частей:

$18 \text{ м} + 10 \text{ м} = 28 \text{ м}$.

Ответ: длина всего отрезка равна 28 м.

3)

Пусть стороны треугольника равны $3k$, $4k$ и $6k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Наименьшая сторона равна $3k$, а наибольшая — $6k$.

Среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм. Переведем это значение в одну единицу измерения, например, в дециметры: $1 \text{ м } 8 \text{ дм} = 10 \text{ дм} + 8 \text{ дм} = 18 \text{ дм}$.

Составим уравнение, исходя из определения среднего арифметического:

$\frac{3k + 6k}{2} = 18$

$\frac{9k}{2} = 18$

$9k = 18 \cdot 2$

$9k = 36$

$k = 4$

Теперь найдем длины сторон треугольника в дециметрах:

Первая сторона: $3k = 3 \cdot 4 = 12$ дм.

Вторая сторона: $4k = 4 \cdot 4 = 16$ дм.

Третья сторона: $6k = 6 \cdot 4 = 24$ дм.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:

$P = 12 + 16 + 24 = 52$ дм.

Ответ: периметр треугольника равен 52 дм.

276 1) Отрезок $AB$ длиной 15 см разделен точкой $C$ в отношении $3 : 7$. Найди длину каждой части.

2) Отрезок $MN$ разделен точкой $K$ в отношении $3{,}4 : 1\frac{8}{9}$, причем одна из частей отрезка на 8 м больше другой. Чему равна длина всего отрезка?

3) Длины сторон треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 6, а среднее арифметическое его большей и меньшей сторон равно 1 м 8 дм. Чему равен периметр треугольника?

277 Число девочек в классе относится к числу мальчиков как $2:3$.

1) Сколько в классе девочек и сколько мальчиков, если всего в классе 35 человек?

2) Сколько в классе мальчиков, если девочек в нём 8?

3) Сколько в классе девочек, если мальчиков в нём 15?

1) Сколько в классе девочек и сколько мальчиков, если всего в классе 35 человек?

Обозначим одну часть учеников через $x$. Согласно условию, отношение числа девочек к числу мальчиков составляет $2:3$. Это значит, что количество девочек можно представить как $2x$, а количество мальчиков – как $3x$.

Всего в классе 35 человек, следовательно, можем составить уравнение, сложив части девочек и мальчиков:

$2x + 3x = 35$

Решим это уравнение:

$5x = 35$

$x = \frac{35}{5}$

$x = 7$

Теперь, зная, что одна часть равна 7 ученикам, найдем количество девочек и мальчиков:

Количество девочек: $2x = 2 \cdot 7 = 14$

Количество мальчиков: $3x = 3 \cdot 7 = 21$

Проверим: $14 + 21 = 35$ человек всего в классе. Отношение $14:21$ можно сократить на 7, получив $2:3$. Условия задачи выполнены.

Ответ: в классе 14 девочек и 21 мальчик.

2) Сколько в классе мальчиков, если девочек в нём 8?

Обозначим количество мальчиков за $М$. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно $2:3$. Учитывая, что в классе 8 девочек, составим пропорцию:

$\frac{\text{девочки}}{\text{мальчики}} = \frac{8}{М} = \frac{2}{3}$

Чтобы найти $М$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$8 \cdot 3 = М \cdot 2$

$24 = 2М$

$М = \frac{24}{2}$

$М = 12$

Ответ: в классе 12 мальчиков.

3) Сколько в классе девочек, если мальчиков в нём 15?

Обозначим количество девочек за $Д$. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно $2:3$. Учитывая, что в классе 15 мальчиков, составим пропорцию:

$\frac{\text{девочки}}{\text{мальчики}} = \frac{Д}{15} = \frac{2}{3}$

Воспользуемся основным свойством пропорции:

$Д \cdot 3 = 15 \cdot 2$

$3Д = 30$

$Д = \frac{30}{3}$

$Д = 10$

Ответ: в классе 10 девочек.

277 Число девочек в классе относится к числу мальчиков как $2:3$.

1) Сколько в классе девочек и сколько мальчиков, если всего в классе 35 человек?

2) Сколько в классе мальчиков, если девочек в нем 8?

3) Сколько в классе девочек, если мальчиков в нем 15?

278 Предприятие выпустило акции. Владельцами 40 % акций стали его работники, а остальные акции приобрели фирмы $M$ и $N$ в отношении $7 : 9$. У какой из этих фирм акций больше и на сколько, если работникам этого предприятия принадлежат 48 000 акций?

1. Сначала определим общее количество выпущенных акций. По условию задачи, 40% акций принадлежат работникам предприятия, и это составляет 48 000 акций. Пусть $X$ — общее количество выпущенных акций. Тогда можно составить пропорцию:

$48000$ акций — $40\%$
$X$ акций — $100\%$

Отсюда находим $X$:
$X = \frac{48000 \cdot 100}{40} = 120000$ акций.

2. Теперь найдем количество акций, которое приобрели фирмы M и N. Это оставшиеся акции, которые составляют $100\% - 40\% = 60\%$ от общего числа, или:
$120000 - 48000 = 72000$ акций.

3. Эти 72 000 акций были распределены между фирмами M и N в отношении $7:9$. Это означает, что общее количество акций можно разделить на $7 + 9 = 16$ равных частей. Найдем, сколько акций приходится на одну такую часть:
$\frac{72000}{16} = 4500$ акций.

4. Теперь мы можем рассчитать количество акций у каждой фирмы:
Фирма M получила 7 частей: $7 \cdot 4500 = 31500$ акций.
Фирма N получила 9 частей: $9 \cdot 4500 = 40500$ акций.

5. Сравнив полученные значения ($40500$ и $31500$), видим, что у фирмы N акций больше. Найдем, на сколько именно:
$40500 - 31500 = 9000$ акций.

Ответ: у фирмы N на 9 000 акций больше, чем у фирмы M.

278 Предприятие выпустило акции. Владельцами $40\%$ акций стали его работники, а остальные акции приобрели фирмы $M$ и $N$ в отношении $7:9$. У какой из этих фирм акций больше и на сколько, если работникам этого предприятия принадлежат 48 000 акций?

293 Вычисли сумму, представляя каждое слагаемое в виде разности дробей с числителями, равными 1:

а) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10}$

б) $\frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50}$

В основе решения лежит представление каждого слагаемого вида $ \frac{1}{n(n+1)} $ в виде разности двух дробей. Для этого воспользуемся тождеством:

$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $

Применим указанное выше тождество к каждому слагаемому в сумме:
$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} = $
$ = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10}) $
Раскрыв скобки, мы видим, что все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, так как они идут парами с противоположными знаками (например, $ -\frac{1}{2} $ и $ +\frac{1}{2} $). Этот прием называется телескопическим суммированием.
$ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} $
В результате остаются только первое и последнее слагаемые:
$ \frac{1}{1} - \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} $
Ответ: $ \frac{9}{10} $.

Используем то же самое тождество: $ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $.
Представим каждое слагаемое в виде разности дробей:
$ \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50} = $
$ = (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{48} - \frac{1}{49}) + (\frac{1}{49} - \frac{1}{50}) $
После раскрытия скобок все промежуточные слагаемые, от $ -\frac{1}{7} $ до $ +\frac{1}{49} $, сокращаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{50} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 50 это 150.
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 25}{6 \cdot 25} - \frac{1 \cdot 3}{50 \cdot 3} = \frac{25}{150} - \frac{3}{150} = \frac{25 - 3}{150} = \frac{22}{150} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{22}{150} = \frac{11}{75} $
Ответ: $ \frac{11}{75} $.

293 Вычисли сумму, представляя каждое слагаемое в виде разности дробей с числителями, равными 1:

а) $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 10} $

б) $ \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 8} + \dots + \frac{1}{48 \cdot 49} + \frac{1}{49 \cdot 50} $

Д 294

Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания.

Какие два взаимно обратных следования объединены в каждом предложении?

а) $x^2 = 49 \iff x = \dots$ или $x = \dots$;

б) $|x| = 2 \iff x = \dots$ или $x = \dots$;

в) $|x| < 5 \iff \dots < x < \dots$;

г) $|x| > 1 \iff x > \dots$ или $x < \dots$

а) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить уравнение $x^2 = 49$. Это уравнение имеет два корня, поскольку возведение в квадрат как положительного, так и отрицательного числа дает положительный результат. Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем $x = \sqrt{49}$ и $x = -\sqrt{49}$. Следовательно, решениями являются $x = 7$ и $x = -7$.
Завершенное предложение: $x^2 = 49 \Leftrightarrow x = 7$ или $x = -7$.
Это утверждение, обозначаемое символом $\Leftrightarrow$ (тогда и только тогда, когда), объединяет два взаимно обратных следования (импликации):
1. Прямое следование: если $x^2 = 49$, то $x = 7$ или $x = -7$.
2. Обратное следование: если $x = 7$ или $x = -7$, то $x^2 = 49$.
Ответ: $x^2 = 49 \Leftrightarrow x = 7$ или $x = -7$.

б) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить уравнение $|x| = 2$. По определению, модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Расстояние, равное 2, от нуля имеют два числа: 2 и -2.
Завершенное предложение: $|x| = 2 \Leftrightarrow x = 2$ или $x = -2$.
Это утверждение объединяет два взаимно обратных следования:
1. Прямое следование: если $|x| = 2$, то $x = 2$ или $x = -2$.
2. Обратное следование: если $x = 2$ или $x = -2$, то $|x| = 2$.
Ответ: $|x| = 2 \Leftrightarrow x = 2$ или $x = -2$.

в) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить неравенство $|x| < 5$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля на числовой прямой строго меньше 5. Этому условию удовлетворяют все числа, которые находятся в интервале от -5 до 5, не включая концы интервала.
Завершенное предложение: $|x| < 5 \Leftrightarrow -5 < x < 5$.
Это утверждение объединяет два взаимно обратных следования:
1. Прямое следование: если $|x| < 5$, то $-5 < x < 5$.
2. Обратное следование: если $-5 < x < 5$, то $|x| < 5$.
Ответ: $|x| < 5 \Leftrightarrow -5 < x < 5$.

г) Чтобы получить истинное высказывание, необходимо решить неравенство $|x| > 1$. Это неравенство означает, что расстояние от $x$ до нуля на числовой прямой строго больше 1. Этому условию удовлетворяют все числа, которые больше 1, а также все числа, которые меньше -1.
Завершенное предложение: $|x| > 1 \Leftrightarrow x > 1$ или $x < -1$.
Это утверждение объединяет два взаимно обратных следования:
1. Прямое следование: если $|x| > 1$, то $x > 1$ или $x < -1$.
2. Обратное следование: если $x > 1$ или $x < -1$, то $|x| > 1$.
Ответ: $|x| > 1 \Leftrightarrow x > 1$ или $x < -1$.

294 Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания.

Какие два взаимно обратных следования объединены в каждом предложении?

a) $x^2 = 49 \Leftrightarrow x = \ldots \text{ или } x = \ldots;$

б) $|x| = 2 \Leftrightarrow x = \ldots \text{ или } x = \ldots;$

в) $|x| < 5 \Leftrightarrow \ldots < x < \ldots;$

г) $|x| > 1 \Leftrightarrow x > \ldots \text{ или } x < \ldots$

295. Запиши решение уравнений, используя знак $\Leftrightarrow$:

а) $-3,2x - 1,2 + 1,4x = 7,8;$

б) $1,5x - 0,3x - 2,1x = -0,12.$

а) $-3,2x - 1,2 + 1,4x = 7,8$

Для начала сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и свободные члены):

$(-3,2x + 1,4x) - 1,2 = 7,8$

$\Leftrightarrow$ $(-3,2 + 1,4)x - 1,2 = 7,8$

$\Leftrightarrow$ $-1,8x - 1,2 = 7,8$

Теперь перенесем свободный член (-1,2) из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$\Leftrightarrow$ $-1,8x = 7,8 + 1,2$

$\Leftrightarrow$ $-1,8x = 9$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -1,8:

$\Leftrightarrow$ $x = \frac{9}{-1,8}$

$\Leftrightarrow$ $x = -\frac{90}{18}$

$\Leftrightarrow$ $x = -5$

Ответ: -5

б) $1,5x - 0,3x - 2,1x = -0,12$

В левой части уравнения все слагаемые являются подобными, так как содержат переменную $x$. Приведем их:

$\Leftrightarrow$ $(1,5 - 0,3 - 2,1)x = -0,12$

Выполним вычисления в скобках:

$1,5 - 0,3 = 1,2$

$1,2 - 2,1 = -0,9$

$\Leftrightarrow$ $-0,9x = -0,12$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -0,9:

$\Leftrightarrow$ $x = \frac{-0,12}{-0,9}$

$\Leftrightarrow$ $x = \frac{0,12}{0,9}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:

$\Leftrightarrow$ $x = \frac{12}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$\Leftrightarrow$ $x = \frac{12 \div 6}{90 \div 6}$

$\Leftrightarrow$ $x = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

295 Запиши решение уравнений, используя знак $\Leftrightarrow$:

a) $-3,2x - 1,2 + 1,4x = 7,8$;

б) $1,5x - 0,3x - 2,1x = -0,12$.

296 В 30 больших и маленьких коробок расфасовано 33 кг печенья. Сколько было коробок каждого вида, если в маленькую коробку помещалось $0,5 \text{ кг}$ печенья, а в большую – $1,5 \text{ кг}$ печенья?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество маленьких коробок, а $y$ — количество больших коробок.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

1. Всего было 30 коробок (больших и маленьких). Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 30$

2. Общий вес расфасованного печенья составляет 33 кг. В одной маленькой коробке 0,5 кг печенья, а в одной большой — 1,5 кг. Это дает нам второе уравнение:

$0,5x + 1,5y = 33$

Теперь у нас есть система уравнений, которую нужно решить:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ 0,5x + 1,5y = 33 \end{cases}$

Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 30 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$0,5(30 - y) + 1,5y = 33$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$15 - 0,5y + 1,5y = 33$

$15 + y = 33$

$y = 33 - 15$

$y = 18$

Мы нашли количество больших коробок — их было 18.

Теперь найдем количество маленьких коробок, подставив значение $y$ в выражение $x = 30 - y$:

$x = 30 - 18$

$x = 12$

Таким образом, маленьких коробок было 12.

Проверим правильность решения. Общее количество коробок: $12 + 18 = 30$. Общий вес печенья: $12 \cdot 0,5 + 18 \cdot 1,5 = 6 + 27 = 33$ кг. Все условия задачи выполнены.

Ответ: было 12 маленьких коробок и 18 больших коробок.

296 В 30 больших и маленьких коробок расфасовано 33 кг печенья. Сколько было коробок каждого вида, если в маленькую коробку помещалось 0,5 кг печенья, а в большую - 1,5 кг печенья?

297 Найди неизвестный член пропорции

$\frac{15.2 \cdot 0.25 - 48.51 : 14.7}{x} = \frac{\left(\frac{13}{44} - \frac{2}{11} - \frac{5}{66} : 2\frac{1}{2}\right) \cdot 1\frac{1}{5}}{3.2 + 0.8 \cdot \left(5\frac{1}{2} - 3.25\right)}$

Для нахождения неизвестного члена пропорции необходимо последовательно упростить левую и правую части уравнения.

Исходное уравнение:

$\frac{15,2 \cdot 0,25 - 48,51 : 14,7}{x} = \frac{(\frac{13}{44} - \frac{2}{11} - \frac{5}{66} : 2\frac{1}{2}) \cdot 1\frac{1}{5}}{3,2 + 0,8 \cdot (5\frac{1}{2} - 3,25)}$

1. Упростим числитель левой части пропорции.

Выполним действия в соответствии с их приоритетом (сначала умножение и деление, затем вычитание):

1) $15,2 \cdot 0,25 = 3,8$

2) $48,51 : 14,7 = 3,3$

3) $3,8 - 3,3 = 0,5$

Таким образом, левая часть пропорции принимает вид: $\frac{0,5}{x}$.

2. Упростим правую часть пропорции.

Сначала вычислим значение числителя: $(\frac{13}{44} - \frac{2}{11} - \frac{5}{66} : 2\frac{1}{2}) \cdot 1\frac{1}{5}$.

1) Выполним деление в скобках. Представим смешанные числа в виде неправильных дробей: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

$\frac{5}{66} : \frac{5}{2} = \frac{5}{66} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{66} = \frac{1}{33}$.

2) Выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 44, 11 и 33 это 132.

$\frac{13}{44} - \frac{2}{11} - \frac{1}{33} = \frac{13 \cdot 3}{132} - \frac{2 \cdot 12}{132} - \frac{1 \cdot 4}{132} = \frac{39 - 24 - 4}{132} = \frac{11}{132} = \frac{1}{12}$.

3) Выполним умножение. Представим $1\frac{1}{5}$ как $\frac{6}{5}$.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$.

Числитель правой части равен $\frac{1}{10}$.

Теперь вычислим значение знаменателя правой части: $3,2 + 0,8 \cdot (5\frac{1}{2} - 3,25)$.

1) Выполним вычитание в скобках. Представим $5\frac{1}{2}$ как $5,5$.

$5,5 - 3,25 = 2,25$.

2) Выполним умножение:

$0,8 \cdot 2,25 = 1,8$.

3) Выполним сложение:

$3,2 + 1,8 = 5$.

Знаменатель правой части равен 5.

Таким образом, вся правая часть пропорции равна $\frac{\frac{1}{10}}{5} = \frac{1}{10 \cdot 5} = \frac{1}{50}$.

3. Решим полученную пропорцию.

После всех упрощений мы получили пропорцию:

$\frac{0,5}{x} = \frac{1}{50}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), найдем $x$:

$x \cdot 1 = 0,5 \cdot 50$

$x = 25$

Ответ: 25

297 Найди неизвестный член пропорции:

$\frac{15,2 \cdot 0,25 - 48,51 : 14,7}{x} = \frac{\left(\frac{13}{44} - \frac{2}{11} - \frac{5}{66} : 2\frac{1}{2}\right) \cdot 1\frac{1}{5}}{3,2 + 0,8 \cdot \left(5\frac{1}{2} - 3,25\right)}$

C 298* Найди два числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.

Обозначим искомые числа как $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма, произведение и частное должны быть равны. Это можно записать в виде системы уравнений:

$x + y = x \cdot y = \frac{x}{y}$

Из этого тройного равенства можно составить два уравнения для решения:

1) $x \cdot y = \frac{x}{y}$

2) $x + y = x \cdot y$

Рассмотрим первое уравнение. Для того чтобы частное $\frac{x}{y}$ было определено, необходимо, чтобы $y \neq 0$. Если предположить, что $x=0$, то из второго уравнения ($0+y = 0 \cdot y$) следует, что $y=0$, что противоречит условию $y \neq 0$. Значит, $x$ также не может быть равен нулю ($x \neq 0$).

Так как $x \neq 0$, мы можем разделить обе части первого уравнения ($x \cdot y = \frac{x}{y}$) на $x$:

$y = \frac{1}{y}$

Умножив обе части на $y$, получим:

$y^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения: $y = 1$ и $y = -1$.

Теперь необходимо проверить каждое из этих значений, подставив их во второе уравнение ($x + y = x \cdot y$) для нахождения $x$.

Если $y = 1$, то уравнение принимает вид:

$x + 1 = x \cdot 1$

$x + 1 = x$

$1 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, $y=1$ не приводит к решению.

Если $y = -1$, то уравнение принимает вид:

$x + (-1) = x \cdot (-1)$

$x - 1 = -x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомые числа — это $\frac{1}{2}$ и $-1$.

Выполним проверку:

• Сумма: $\frac{1}{2} + (-1) = -\frac{1}{2}$
• Произведение: $\frac{1}{2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}$
• Частное: $\frac{1/2}{-1} = -\frac{1}{2}$

Все три значения равны $-\frac{1}{2}$, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $\frac{1}{2}$ и $-1$.

Найди два числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой.