Страница 53, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

D 204 Выполни действия и расшифруй фамилию известного исторического деятеля. Что ты о нём знаешь?

Н $7\frac{3}{8} - 2,35;$

А $5,7 : 6\frac{1}{3};$

Р $42,14 \cdot 1\frac{3}{7};$

Б $1\frac{4}{5} + 3,755;$

И $\frac{0,56 \cdot 0,9 \cdot 3,6}{1,8 \cdot 0,42};$

Т $\frac{4\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{7}}{3\frac{1}{3} \cdot 3\frac{3}{5} \cdot 5\frac{4}{7}};$

О $\frac{3,6 \cdot 1\frac{13}{15} \cdot 0,3}{4\frac{1}{5} \cdot 0,16};$

Г $\frac{9,8 \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,11 \cdot 12,5}{5\frac{5}{6} \cdot 0,77}.$

5,555 0,9 8 60,2 0,9 1 2,4 3 5,025

Н. $7\frac{3}{8} - 2,35$

Для решения переведем оба числа в десятичные дроби. Дробь $\frac{3}{8}$ равна $0,375$.

$7\frac{3}{8} = 7 + 0,375 = 7,375$

$7,375 - 2,35 = 5,025$

Ответ: 5,025

А. $5,7 : 6\frac{1}{3}$

Переведем оба числа в обыкновенные дроби.

$5,7 = \frac{57}{10}$

$6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3}$

Теперь выполним деление:

$\frac{57}{10} : \frac{19}{3} = \frac{57}{10} \cdot \frac{3}{19} = \frac{57 \cdot 3}{10 \cdot 19} = \frac{3 \cdot 19 \cdot 3}{10 \cdot 19} = \frac{9}{10} = 0,9$

Ответ: 0,9

Р. $42,14 \cdot 1\frac{3}{7}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь.

$1\frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 1 + 3}{7} = \frac{10}{7}$

$42,14 \cdot \frac{10}{7} = \frac{421,4}{7} = 60,2$

Ответ: 60,2

Б. $1\frac{4}{5} + 3,755$

Переведем смешанное число в десятичную дробь. Дробь $\frac{4}{5}$ равна $0,8$.

$1\frac{4}{5} = 1,8$

$1,8 + 3,755 = 5,555$

Ответ: 5,555

И. $\frac{0,56 \cdot 0,9 \cdot 3,6}{1,8 \cdot 0,42}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители:

$\frac{3,6}{1,8} = 2$

$\frac{0,56}{0,42} = \frac{56}{42} = \frac{8 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\frac{4}{3} \cdot 0,9 \cdot 2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{10} \cdot 2 = \frac{4 \cdot 9 \cdot 2}{3 \cdot 10} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{10} = \frac{24}{10} = 2,4$

Ответ: 2,4

Т. $\frac{4\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{7}}{3\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot 5\frac{4}{7}}$

Переведем все смешанные числа в неправильные дроби:

Числитель: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$; $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$; $2\frac{1}{7} = \frac{15}{7}$

Знаменатель: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $\frac{3}{5}$; $5\frac{4}{7} = \frac{39}{7}$

$\frac{\frac{13}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{15}{7}}{\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{39}{7}} = \frac{13 \cdot 6 \cdot 15}{3 \cdot 5 \cdot 7} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{10 \cdot 3 \cdot 39} = \frac{13 \cdot 6 \cdot 15}{10 \cdot 3 \cdot 39} = \frac{13 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5)}{(2 \cdot 5) \cdot 3 \cdot (3 \cdot 13)} = 1$

Ответ: 1

О. $\frac{3,6 \cdot 1\frac{13}{15} \cdot 0,3}{4\frac{1}{5} \cdot 0,16}$

Переведем все числа в обыкновенные дроби:

$3,6 = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$; $1\frac{13}{15} = \frac{28}{15}$; $0,3 = \frac{3}{10}$

$4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$; $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$

$\frac{\frac{18}{5} \cdot \frac{28}{15} \cdot \frac{3}{10}}{\frac{21}{5} \cdot \frac{4}{25}} = \frac{18 \cdot 28 \cdot 3}{5 \cdot 15 \cdot 10} \cdot \frac{5 \cdot 25}{21 \cdot 4} = \frac{18 \cdot 28 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 25}{5 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 21 \cdot 4} = \frac{9 \cdot 1}{1} \cdot \frac{1}{3} = 3$

Ответ: 3

Г. $\frac{9,8 \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,11 \cdot 12,5}{5\frac{5}{6} \cdot 0,77}$

Переведем все числа в обыкновенные дроби:

$9,8 = \frac{98}{10} = \frac{49}{5}$; $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$; $0,11 = \frac{11}{100}$; $12,5 = \frac{125}{10} = \frac{25}{2}$

$5\frac{5}{6} = \frac{35}{6}$; $0,77 = \frac{77}{100}$

$\frac{\frac{49}{5} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{11}{100} \cdot \frac{25}{2}}{\frac{35}{6} \cdot \frac{77}{100}} = \frac{49 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 25}{5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 100} \cdot \frac{6 \cdot 100}{35 \cdot 77} = \frac{49 \cdot 8 \cdot 11 \cdot 25 \cdot 6}{30 \cdot 35 \cdot 77} = \frac{(7^2) \cdot 8 \cdot 11 \cdot 25 \cdot 6}{30 \cdot (5 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 11)} = \frac{8 \cdot 25 \cdot 6}{30 \cdot 5} = \frac{1200}{150} = 8$

Ответ: 8

Сопоставив полученные ответы с буквами и подставив их в таблицу, мы расшифруем фамилию:

5,555 → Б; 0,9 → А; 8 → Г; 60,2 → Р; 0,9 → А; 1 → Т; 2,4 → И; 3 → О; 5,025 → Н.

Полученная фамилия: БАГРАТИОН.

Пётр Иванович Багратион (1765—1812) — выдающийся российский полководец, князь, генерал от инфантерии. Он был учеником великого русского полководца Александра Суворова. Багратион прославился как герой Отечественной войны 1812 года, командуя 2-й Западной армией. В Бородинском сражении он командовал левым флангом русской армии, который принял на себя основной удар наполеоновских войск. В этом сражении он был смертельно ранен. Его имя навсегда вошло в историю России как символ храбрости, самоотверженности и любви к Родине.

204 Выполни действия и расшифруй фамилию известного исторического деятеля. Что ты о нем знаешь?

Н $7\frac{3}{8} - 2,35;$

А $5,7 : 6\frac{1}{3};$

Р $42,14 \cdot 1\frac{3}{7};$

Б $1\frac{4}{5} + 3,755;$

И $\frac{0,56 \cdot 0,9 \cdot 3,6}{1,8 \cdot 0,42};$

Т $\frac{4\frac{1}{3} \cdot 1\frac{1}{5} \cdot 2\frac{1}{7}}{3\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot 5\frac{4}{7}};$

О $\frac{3,6 \cdot 1\frac{13}{15} \cdot 0,3}{\frac{4}{5} \cdot 0,16};$

Г $\frac{9,8 \cdot 2\frac{2}{3} \cdot 0,11 \cdot 12,5}{5\frac{5}{6} \cdot 0,77}.$

205 1) $ (1\frac{2}{13} \cdot 0,42 + 0,78 \cdot 1\frac{2}{13}) \cdot 1\frac{4}{9} : 0,6 - 0,5 \cdot 5\frac{2}{3}; $

2) $ (1\frac{1}{4} + 2,25 - 1\frac{12}{24}) : 4\frac{2}{3} \cdot (2\frac{9}{25} - 0,36 + 0,625) \cdot (10,6 + 1\frac{2}{5}). $

Решим пример по действиям, соблюдая порядок операций (сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание).

1. Вычислим выражение в скобках: $(1\frac{2}{13} \cdot 0,42 + 0,78 \cdot 1\frac{2}{13})$. Используем распределительное свойство умножения, вынеся общий множитель $1\frac{2}{13}$ за скобки: $1\frac{2}{13} \cdot (0,42 + 0,78) = 1\frac{2}{13} \cdot 1,2$. Переведем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби для удобства вычисления: $1\frac{2}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{15}{13}$;
$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$\frac{15}{13} \cdot \frac{6}{5} = \frac{15 \cdot 6}{13 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 6}{13} = \frac{18}{13}$.

2. Умножим полученный результат на $1\frac{4}{9}$: $1\frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$. $\frac{18}{13} \cdot \frac{13}{9} = \frac{18 \cdot 13}{13 \cdot 9} = \frac{18}{9} = 2$.

3. Разделим результат на $0,6$: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. $2 : \frac{3}{5} = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$.

4. Вычислим произведение $0,5 \cdot 5\frac{2}{3}$: $0,5 = \frac{1}{2}$;
$5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{17}{3} = \frac{17}{6}$.

5. Выполним последнее действие - вычитание: $\frac{10}{3} - \frac{17}{6}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{17}{6} = \frac{20}{6} - \frac{17}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0,5$

Решим пример по действиям.

1. Вычислим значение первого выражения в скобках: $(1\frac{1}{4} + 2,25 - 1\frac{12}{24})$. Для удобства переведем все числа в десятичные дроби: $1\frac{1}{4} = 1,25$;
$1\frac{12}{24} = 1\frac{1}{2} = 1,5$.
$1,25 + 2,25 - 1,5 = 3,5 - 1,5 = 2$.

2. Вычислим значение второго выражения в скобках: $(2\frac{9}{25} - 0,36 + 0,625)$. Также переведем в десятичные дроби: $2\frac{9}{25} = 2 + \frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 2 + \frac{36}{100} = 2,36$.
$2,36 - 0,36 + 0,625 = 2 + 0,625 = 2,625$.

3. Вычислим значение третьего выражения в скобках: $(10,6 + 1\frac{2}{5})$: $1\frac{2}{5} = 1\frac{4}{10} = 1,4$.
$10,6 + 1,4 = 12$.

4. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $2 : 4\frac{2}{3} \cdot 2,625 \cdot 12$.
Выполним оставшиеся действия слева направо. Для этого переведем все числа в обыкновенные дроби: $4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$;
$2,625 = 2\frac{625}{1000} = 2\frac{5}{8} = \frac{21}{8}$.
Выражение принимает вид: $2 : \frac{14}{3} \cdot \frac{21}{8} \cdot 12$.

5. Выполняем деление: $2 : \frac{14}{3} = 2 \cdot \frac{3}{14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.

6. Выполняем первое умножение: $\frac{3}{7} \cdot \frac{21}{8} = \frac{3 \cdot 21}{7 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 3}{8} = \frac{9}{8}$.

7. Выполняем второе умножение: $\frac{9}{8} \cdot 12 = \frac{9 \cdot 12}{8} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2}$.

8. Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{27}{2} = 13,5$.

Ответ: $13,5$

205 1) $(1\frac{2}{13} \cdot 0,42 + 0,78 \cdot 1\frac{2}{13}) \cdot 1\frac{4}{9} : 0,6 - 0,5 \cdot 5\frac{2}{3};$

2) $(1\frac{1}{4} + 2,25 - 1\frac{11}{24}) : 4\frac{2}{3} : (2\frac{9}{25} - 0,36 + 0,625) \cdot (10,6 + 1\frac{2}{5}).$

206 1) $\frac{0,25 : 2,4 \cdot 0,9 \cdot 2,1}{3,5 \cdot 0,04 : 3,2}$

2) $\frac{0,28 : 0,03 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1,4}{3 \frac{2}{3} \cdot 0,36 \cdot 4,9 : 3,3}$

3) $\frac{1 \frac{3}{7} - \frac{1}{3} : 2,8 \cdot 3 \frac{3}{5}}{(2,375 - \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{12}) \cdot 0,8}$

1)

Вычислим значение выражения $ \frac{0,25 : 2,4 \cdot 0,9 \cdot 2,1}{3,5 \cdot 0,04 : 3,2} $.

Для удобства вычислений преобразуем все десятичные дроби в обыкновенные.

Числитель:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

$0,9 = \frac{9}{10}$

$2,1 = \frac{21}{10}$

Знаменатель:

$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

$3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$

Теперь выполним действия в числителе слева направо:

$0,25 : 2,4 \cdot 0,9 \cdot 2,1 = \frac{1}{4} : \frac{12}{5} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{21}{10} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{12} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{21}{10} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 21}{4 \cdot 12 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{945}{4800}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$ \frac{945 : 15}{4800 : 15} = \frac{63}{320} $

Далее выполним действия в знаменателе слева направо:

$3,5 \cdot 0,04 : 3,2 = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{25} : \frac{16}{5} = \frac{7}{50} : \frac{16}{5} = \frac{7}{50} \cdot \frac{5}{16} = \frac{7 \cdot 5}{50 \cdot 16} = \frac{35}{800}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$ \frac{35 : 5}{800 : 5} = \frac{7}{160} $

Наконец, разделим значение числителя на значение знаменателя:

$ \frac{63}{320} : \frac{7}{160} = \frac{63}{320} \cdot \frac{160}{7} = \frac{63 \cdot 160}{320 \cdot 7} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 160}{2 \cdot 160 \cdot 7} = \frac{9}{2} = 4,5 $

Ответ: 4,5

2)

Вычислим значение выражения $ \frac{0,28 : 0,03 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1,4}{3\frac{2}{3} \cdot 0,36 \cdot 4,9 : 3,3} $.

Преобразуем смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные.

Числитель: $0,28 = \frac{7}{25}$; $0,03 = \frac{3}{100}$; $1,4 = \frac{7}{5}$.

Знаменатель: $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$; $0,36 = \frac{9}{25}$; $4,9 = \frac{49}{10}$; $3,3 = \frac{33}{10}$.

Вычислим значение числителя:

$0,28 : 0,03 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1,4 = \frac{7}{25} : \frac{3}{100} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5} = \frac{7}{25} \cdot \frac{100}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{5}$

Сократим дроби, используя то, что $100 = 25 \cdot 4$:

$ \frac{7 \cdot 100 \cdot 3 \cdot 7}{25 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{7 \cdot (25 \cdot 4) \cdot 3 \cdot 7}{25 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 7}{5} = \frac{49}{5} $

Вычислим значение знаменателя:

$3\frac{2}{3} \cdot 0,36 \cdot 4,9 : 3,3 = \frac{11}{3} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{49}{10} : \frac{33}{10} = \frac{11}{3} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{10}{33}$

Сократим дроби, используя то, что $9 = 3 \cdot 3$ и $33 = 3 \cdot 11$:

$ \frac{11 \cdot 9 \cdot 49 \cdot 10}{3 \cdot 25 \cdot 10 \cdot 33} = \frac{11 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 49 \cdot 10}{3 \cdot 25 \cdot 10 \cdot (3 \cdot 11)} = \frac{49}{25} $

Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$ \frac{49}{5} : \frac{49}{25} = \frac{49}{5} \cdot \frac{25}{49} = \frac{25}{5} = 5 $

Ответ: 5

3)

Вычислим значение выражения $ \frac{1\frac{3}{7} - \frac{1}{3} : 2,8 \cdot 3\frac{3}{5}}{(2,375 - \frac{1}{3} + 1\frac{1}{12}) \cdot 0,8} $.

Решим по действиям, сначала вычислим числитель, затем знаменатель.

1. Вычислим числитель: $1\frac{3}{7} - \frac{1}{3} : 2,8 \cdot 3\frac{3}{5}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление и умножение слева направо. Преобразуем числа в неправильные дроби:

$1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$; $2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$; $3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$

$\frac{1}{3} : \frac{14}{5} \cdot \frac{18}{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{18}{5} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 18}{3 \cdot 14 \cdot 5} = \frac{18}{42} = \frac{3}{7}$

Теперь выполняем вычитание:

$\frac{10}{7} - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} = 1$

Значение числителя равно 1.

2. Вычислим знаменатель: $(2,375 - \frac{1}{3} + 1\frac{1}{12}) \cdot 0,8$

Сначала выполним действия в скобках. Преобразуем числа в дроби:

$2,375 = 2\frac{375}{1000} = 2\frac{3}{8} = \frac{19}{8}$; $1\frac{1}{12} = \frac{13}{12}$

$\frac{19}{8} - \frac{1}{3} + \frac{13}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{19 \cdot 3}{24} - \frac{1 \cdot 8}{24} + \frac{13 \cdot 2}{24} = \frac{57 - 8 + 26}{24} = \frac{49 + 26}{24} = \frac{75}{24}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{75 : 3}{24 : 3} = \frac{25}{8}$

Теперь умножим результат на 0,8. Преобразуем $0,8$ в дробь: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\frac{25}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{25 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{100}{40} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Значение знаменателя равно $\frac{5}{2}$.

3. Найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$1 : \frac{5}{2} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: 0,4

206 1) $ \frac{0,25 : 2,4 \cdot 0,9 \cdot 2,1}{3,5 \cdot 0,04 : 3,2};$

2) $ \frac{0,28 : 0,03 \cdot \frac{3}{4} \cdot 1,4}{3\frac{2}{3} \cdot 0,36 \cdot 4,9 : 3,3};$

3) $ \frac{1\frac{3}{7} - \frac{1}{3} : 2,8 \cdot 3\frac{3}{5}}{(2,375 - \frac{1}{3} + 1\frac{1}{12}) \cdot 0,8}.$

207 Найди 75 % от числа:

1) $\frac{\left(1.75 \cdot 3\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1.75\right) : 0.1 \cdot \frac{4}{7} - 21\frac{1}{3}}{0.4 \cdot 4\frac{5}{6} \cdot 2.5 - 9 : \left(5\frac{4}{5} \cdot 0.1 + 1.42\right)};$

2) $\frac{\left[\left(4.2 : 0.14 - \frac{2}{3} \cdot 121.2 \cdot 0.1\right) \cdot 0.5 + 0.04\right] : 1\frac{3}{8}}{\left(3.74 + 4.5 \cdot 1\frac{1}{3} + 0.26\right) \cdot \left(9.6 : 9\frac{3}{5}\right)}.$

Сначала найдем значение выражения:

$$ \frac{(1,75 \cdot 3\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1,75) : 0,1 \cdot \frac{4}{7} - 21\frac{1}{3}}{0,4 \cdot 4\frac{5}{6} \cdot 2,5 - 9 : (5\frac{4}{5} \cdot 0,1 + 1,42)} $$

Решим по действиям.

1. Вычислим числитель:

1.1. Вынесем общий множитель за скобки: $1,75 \cdot (3\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 1,75 \cdot 4 = 7$.

1.2. Выполним деление: $7 : 0,1 = 70$.

1.3. Выполним умножение: $70 \cdot \frac{4}{7} = \frac{70 \cdot 4}{7} = 10 \cdot 4 = 40$.

1.4. Выполним вычитание: $40 - 21\frac{1}{3} = 39\frac{3}{3} - 21\frac{1}{3} = 18\frac{2}{3} = \frac{56}{3}$.

Числитель равен $\frac{56}{3}$.

2. Вычислим знаменатель:

2.1. Выполним умножение в первом члене: $0,4 \cdot 4\frac{5}{6} \cdot 2,5 = (0,4 \cdot 2,5) \cdot 4\frac{5}{6} = 1 \cdot 4\frac{5}{6} = 4\frac{5}{6} = \frac{29}{6}$.

2.2. Вычислим выражение в скобках: $5\frac{4}{5} \cdot 0,1 + 1,42 = 5,8 \cdot 0,1 + 1,42 = 0,58 + 1,42 = 2$.

2.3. Выполним деление во втором члене: $9 : 2 = 4,5 = \frac{9}{2}$.

2.4. Выполним вычитание: $\frac{29}{6} - \frac{9}{2} = \frac{29}{6} - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{29 - 27}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Знаменатель равен $\frac{1}{3}$.

3. Найдем значение всей дроби:

$$ \frac{\frac{56}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{56}{3} \cdot \frac{3}{1} = 56 $$

4. Теперь найдем 75% от полученного числа:

$56 \cdot 75\% = 56 \cdot \frac{75}{100} = 56 \cdot \frac{3}{4} = \frac{56 \cdot 3}{4} = 14 \cdot 3 = 42$.

Ответ: 42

Сначала найдем значение выражения:

$$ \frac{[(4,2 : 0,14 - \frac{2}{3} \cdot 121,2 \cdot 0,1) \cdot 0,5 + 0,04] : 1\frac{3}{8}}{(3,74 + 4,5 \cdot 1\frac{1}{3} + 0,26) \cdot (9,6 : 9\frac{3}{5})} $$

Решим по действиям.

1. Вычислим числитель:

1.1. Вычислим выражение в скобках: $4,2 : 0,14 - \frac{2}{3} \cdot 121,2 \cdot 0,1$.

1.1.1. $4,2 : 0,14 = 420 : 14 = 30$.

1.1.2. $\frac{2}{3} \cdot 121,2 \cdot 0,1 = \frac{2}{3} \cdot 12,12 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1212}{100} = \frac{2 \cdot 404}{100} = \frac{808}{100} = 8,08$.

1.1.3. $30 - 8,08 = 21,92$.

1.2. Вычислим выражение в квадратных скобках: $21,92 \cdot 0,5 + 0,04 = 10,96 + 0,04 = 11$.

1.3. Выполним деление: $11 : 1\frac{3}{8} = 11 : \frac{11}{8} = 11 \cdot \frac{8}{11} = 8$.

Числитель равен 8.

2. Вычислим знаменатель:

2.1. Вычислим выражение в первой скобке: $3,74 + 4,5 \cdot 1\frac{1}{3} + 0,26$.

2.1.1. $4,5 \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$.

2.1.2. $3,74 + 6 + 0,26 = (3,74 + 0,26) + 6 = 4 + 6 = 10$.

2.2. Вычислим выражение во второй скобке: $9,6 : 9\frac{3}{5} = \frac{96}{10} : \frac{48}{5} = \frac{48}{5} : \frac{48}{5} = 1$.

2.3. Выполним умножение: $10 \cdot 1 = 10$.

Знаменатель равен 10.

3. Найдем значение всей дроби:

$$ \frac{8}{10} = 0,8 $$

4. Теперь найдем 75% от полученного числа:

$0,8 \cdot 75\% = 0,8 \cdot \frac{75}{100} = 0,8 \cdot 0,75 = 0,6$.

Ответ: 0,6

207 Найди 75% от числа:

1) $\frac{(1.75 \cdot 3\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1.75) : 0.1 \cdot \frac{4}{7} - 21\frac{1}{3}}{0.4 \cdot 4\frac{5}{6} \cdot 2.5 - 9 : (5\frac{4}{5} \cdot 0.1 + 1.42)};$

2) $\frac{[(4.2 : 0.14 - \frac{2}{3} \cdot 121.2 \cdot 0.1) \cdot 0.5 + 0.04] : 1\frac{3}{8}}{(3.74 + 4.5 \cdot 1\frac{1}{3} + 0.26) \cdot (9.6 : 9\frac{3}{5})}.$

199 Определи вид зависимости между величинами в задачах и реши их способом пропорций.

1) Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает с той же скоростью 300 страниц?

2) В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150 г?

3) Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40 л, если расход бензина на 1 км останется прежним?

4) На первой из двух сцепляющихся шестерён 32 зубца, а на второй – 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов?

1) Зависимость между количеством напечатанных страниц и временем печати — прямая пропорциональность. Чем больше страниц нужно напечатать, тем больше времени это займет.
Составим пропорцию:
27 страниц — 4,5 мин
300 страниц — x мин
$ \frac{27}{300} = \frac{4,5}{x} $
$ x = \frac{300 \cdot 4,5}{27} = \frac{1350}{27} = 50 $ мин
Ответ: 50 минут.

2) Зависимость между весом одной пачки чая и количеством пачек, которое можно получить из общего веса, — обратная пропорциональность. Чем меньше вес одной пачки, тем больше пачек получится.
Составим пропорцию:
48 пачек — 250 г
x пачек — 150 г
$ \frac{48}{x} = \frac{150}{250} $
$ x = \frac{48 \cdot 250}{150} = \frac{12000}{150} = 80 $ пачек
Ответ: 80 пачек.

3) Зависимость между расстоянием, которое может проехать автомобиль, и количеством бензина в баке — прямая пропорциональность. Чем больше бензина, тем большее расстояние можно проехать.
Составим пропорцию:
310 км — 25 л
x км — 40 л
$ \frac{310}{x} = \frac{25}{40} $
$ x = \frac{310 \cdot 40}{25} = \frac{12400}{25} = 496 $ км
Ответ: 496 км.

4) Зависимость между количеством зубцов на шестерне и количеством ее оборотов за определенное время — обратная пропорциональность. Чем больше зубцов на шестерне, тем меньше оборотов она сделает за то же время, что и сцепленная с ней шестерня.
Составим пропорцию:
Первая шестерня: 32 зубца — 215 оборотов
Вторая шестерня: 40 зубцов — x оборотов
$ \frac{32}{40} = \frac{x}{215} $
$ x = \frac{32 \cdot 215}{40} = \frac{6880}{40} = 172 $ оборота
Ответ: 172 оборота.

199 Определи вид зависимости между величинами в задачах и реши их способом пропорций.

1) Принтер распечатывает 27 страниц за 4,5 мин. За сколько времени он распечатает с той же скоростью 300 страниц?

2) В коробке 48 пачек чая по 250 г в каждой. Сколько получится из этого чая пачек по 150 г?

3) Автомобиль проехал 310 км, истратив 25 л бензина. Какое расстояние может проехать автомобиль на полном баке, вмещающем 40 л, если расход бензина на 1 км останется прежним?

4) На первой из двух сцепляющихся шестерен 32 зуба, а на второй — 40. Сколько оборотов сделает вторая шестерня, в то время как первая сделает 215 оборотов?

Реши задачи на проценты способом пропорций.

1) Сколько серной кислоты в растворе массой 75 г, если концентрация раствора составляет $12 \%$?

2) В 80 т железной руды после её обогащения содержится 76 т железа. Какой процент железа в обогащённой руде?

3) Вкладчик положил деньги в банк под $6 \%$ годовых и получил через год доход 81 р. Какая сумма была положена в банк?

1) Для нахождения массы серной кислоты в растворе воспользуемся методом пропорций. Общая масса раствора (75 г) представляет собой 100%. Масса серной кислоты, которую мы ищем (обозначим её как $x$ г), составляет 12% от общей массы.

Составим пропорцию:

75 г — 100%

$x$ г — 12%

Из соотношения получаем уравнение: $ \frac{75}{x} = \frac{100}{12} $. Решим его, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$x \cdot 100 = 75 \cdot 12$

$x = \frac{75 \cdot 12}{100}$

$x = \frac{900}{100}$

$x = 9$

Таким образом, в растворе содержится 9 г серной кислоты.

Ответ: 9 г.

2) Чтобы найти процентное содержание железа в обогащённой руде, примем общую массу руды (80 т) за 100%. Масса железа в этой руде составляет 76 т. Искомый процент содержания железа обозначим как $x$ %.

Составим пропорцию:

80 т — 100%

76 т — $x$%

Запишем уравнение на основе пропорции: $ \frac{80}{76} = \frac{100}{x} $. Найдём $x$:

$x \cdot 80 = 76 \cdot 100$

$x = \frac{76 \cdot 100}{80}$

$x = \frac{7600}{80}$

$x = 95$

Следовательно, в обогащённой руде содержится 95% железа.

Ответ: 95 %.

3) В данной задаче доход в размере 81 рубля соответствует годовой процентной ставке 6%. Первоначальная сумма вклада, которую нам нужно найти, является целым (100%). Обозначим эту сумму как $x$ рублей.

Составим пропорцию:

$x$ р. — 100%

81 р. — 6%

Из пропорции следует уравнение: $ \frac{x}{81} = \frac{100}{6} $. Решим это уравнение относительно $x$:

$x \cdot 6 = 81 \cdot 100$

$x = \frac{81 \cdot 100}{6}$

$x = \frac{8100}{6}$

$x = 1350$

Значит, сумма, положенная в банк, составляла 1350 рублей.

Ответ: 1350 р.

200 Реши задачи на проценты способом пропорций.

1) Сколько серной кислоты в растворе массой 75 г, если концентрация раствора составляет 12%?

2) В 80 т железной руды после ее обогащения содержится 76 т железа. Какой процент железа в обогащенной руде?

3) Вкладчик положил деньги в банк под 6% годовых и получил через год доход 81 р. Какая сумма была положена в банк?

201 Определи, какие компоненты арифметических действий связаны прямой, а какие – обратной пропорциональной зависимостью. Используя способ пропорций, реши задачи.

1) Если некоторое число умножить на $9\frac{1}{3}$, то получится 3,5. Что получится, если умножить это же число на 0,8?

2) Если некоторое число разделить на $2\frac{1}{7}$, то получится 28. На сколько надо разделить это же число, чтобы получить в частном 0,6?

3) Если 7,68 разделить на некоторое число, то получится 240. Какое частное получится, если разделить на тот же делитель число 1,44?

Вначале определим тип зависимости между компонентами арифметических действий:

1. Умножение ($a \cdot b = c$):
- Если один из множителей (например, $a$) постоянен, то произведение ($c$) и другой множитель ($b$) связаны прямой пропорциональной зависимостью. Во сколько раз увеличится множитель $b$, во столько же раз увеличится и произведение $c$.

2. Деление ($a \div b = c$):
- Если делитель ($b$) постоянен, то делимое ($a$) и частное ($c$) связаны прямой пропорциональной зависимостью. Во сколько раз увеличится делимое $a$, во столько же раз увеличится и частное $c$.
- Если делимое ($a$) постоянно, то делитель ($b$) и частное ($c$) связаны обратной пропорциональной зависимостью. Во сколько раз увеличится делитель $b$, во столько же раз уменьшится частное $c$.

Теперь решим задачи, используя метод пропорций.

1)
В этой задаче неизвестное число является постоянным множителем. Следовательно, произведение и второй множитель связаны прямой пропорциональной зависимостью. Составим пропорцию:
второй множитель $9 \frac{1}{3}$ соответствует произведению $3,5$
второй множитель $0,8$ соответствует произведению $x$

Запишем уравнение пропорции:
$\frac{9 \frac{1}{3}}{0,8} = \frac{3,5}{x}$

Выразим $x$:
$x = \frac{0,8 \cdot 3,5}{9 \frac{1}{3}}$

Для удобства вычислений преобразуем числа в дроби:
$9 \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

Подставим значения в формулу:
$x = \frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{2}}{\frac{28}{3}} = \frac{\frac{28}{10}}{\frac{28}{3}} = \frac{14}{5} \div \frac{28}{3} = \frac{14}{5} \cdot \frac{3}{28} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: 0,3.

2)
В этой задаче делимое (некоторое число) постоянно. Следовательно, делитель и частное связаны обратной пропорциональной зависимостью. Составим пропорцию:
делитель $2 \frac{1}{7}$ соответствует частному $28$
делитель $x$ соответствует частному $0,6$

Для обратной пропорции уравнение будет выглядеть так (вторая дробь "перевернута"):
$\frac{2 \frac{1}{7}}{x} = \frac{0,6}{28}$

Выразим $x$:
$x \cdot 0,6 = 2 \frac{1}{7} \cdot 28$

Преобразуем числа:
$2 \frac{1}{7} = \frac{15}{7}$
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Подставим значения:
$x \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{7} \cdot 28$
$x \cdot \frac{3}{5} = 15 \cdot 4$
$x \cdot \frac{3}{5} = 60$
$x = 60 \div \frac{3}{5} = 60 \cdot \frac{5}{3} = 20 \cdot 5 = 100$

Ответ: 100.

3)
В этой задаче делитель постоянен. Следовательно, делимое и частное связаны прямой пропорциональной зависимостью. Составим пропорцию:
делимое $7,68$ соответствует частному $240$
делимое $1,44$ соответствует частному $x$

Запишем уравнение пропорции:
$\frac{7,68}{1,44} = \frac{240}{x}$

Выразим $x$:
$x = \frac{1,44 \cdot 240}{7,68}$

Сначала упростим дробь $\frac{1,44}{7,68}$, умножив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{144}{768}$
Сократим дробь. Оба числа делятся на 144 ($768 = 5 \cdot 144 + 48$, так не делится). Сократим поэтапно. Например, на 12:
$\frac{144 \div 12}{768 \div 12} = \frac{12}{64}$
Теперь сократим на 4:
$\frac{12 \div 4}{64 \div 4} = \frac{3}{16}$

Теперь вычислим $x$:
$x = \frac{3}{16} \cdot 240 = \frac{3 \cdot 240}{16}$
$240 \div 16 = 15$
$x = 3 \cdot 15 = 45$

Ответ: 45.

201 Определи, какие компоненты арифметических действий связаны прямой, а какие – обратной пропорциональной зависимостью. Используя способ пропорций, реши задачи.

1) Если некоторое число умножить на $9 \frac{1}{3}$, то получится 3,5. Что получится, если умножить это же число на 0,8?

2) Если некоторое число разделить на $2 \frac{1}{7}$, то получится 28. На сколько надо разделить это же число, чтобы получить в частном 0,6?

3) Если 7,68 разделить на некоторое число, то получится 240. Какое частное получится, если разделить на тот же делитель число 1,44?

202 Задача-шутка

Один петух разбудил своим пением двух человек. Сколько надо таких петухов, чтобы разбудить 10 человек?

Эта задача помечена как "задача-шутка", что означает, что её решение лежит не в области математических вычислений, а в логике и здравом смысле.

Если подходить к вопросу формально, можно было бы составить пропорцию: если 1 петух будит 2 человек, то чтобы разбудить 10 человек, потребуется $10 / 2 = 5$ петухов.

Однако, суть шутки в том, что пение петуха — это звук, который распространяется вокруг. Если один петух своим пением способен разбудить двух человек, это значит, что его достаточно громко слышно. Если 10 человек находятся в том же месте (в зоне слышимости), то тот же самый петух своим пением разбудит их всех. Количество людей, которых он может разбудить, зависит не от количества петухов, а от того, сколько людей находится в пределах слышимости.

Таким образом, для того чтобы разбудить 10 человек, достаточно того же одного петуха.

Ответ: 1 петух.

202 Задача-шутка.

Один петух разбудил своим пением двух человек. Сколько надо таких петухов, чтобы разбудить 10 человек?

203 Поп со своим работником Балдой возвращались с базара домой со скоростью 4,5 версты в час и прошли весь путь за $1\frac{2}{3}$ ч. С какой скоростью они должны были идти, чтобы вернуться домой на 10 мин раньше?

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: сначала найти расстояние от базара до дома, затем рассчитать новое время в пути и, наконец, вычислить необходимую скорость.

1. Найдём расстояние от базара до дома.
Расстояние $(S)$ равно произведению скорости $(v)$ на время $(t)$.
Известно, что скорость $v_1 = 4,5$ версты в час, а время в пути $t_1 = 1\frac{2}{3}$ часа.
Переведём смешанное число в неправильную дробь: $t_1 = 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$ часа.
Теперь можем вычислить расстояние:
$S = v_1 \cdot t_1 = 4,5 \cdot \frac{5}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{45}{6} = 7,5$ версты.

2. Определим новое время в пути.
По условию, вернуться нужно на 10 минут раньше. Сначала выразим первоначальное время в минутах:
$t_1 = 1\frac{2}{3}$ часа $= 1$ час $+ \frac{2}{3}$ часа $= 60$ минут $+ \frac{2}{3} \cdot 60$ минут $= 60 + 40 = 100$ минут.
Новое время $(t_2)$ будет на 10 минут меньше:
$t_2 = 100 - 10 = 90$ минут.
Для дальнейших расчётов переведём новое время обратно в часы:
$t_2 = 90$ минут $= \frac{90}{60}$ часа $= 1,5$ часа.

3. Вычислим необходимую скорость.
Чтобы найти новую скорость $(v_2)$, нужно разделить расстояние $(S)$ на новое время $(t_2)$.
$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{7,5}{1,5} = 5$ вёрст в час.

Ответ: 5 вёрст в час.

203 Поп со своим работником Балдой возвращались с базара домой со скоростью 4,5 версты в час и прошли весь путь за $1 \frac{2}{3}$ ч. С какой скоростью они должны были идти, чтобы вернуться домой на 10 мин раньше?

239 Упрости выражение, найди его коэффициент и буквенную часть:

а) $5a \cdot (-1,8b);$

б) $-4n \cdot (-0,7xy);$

в) $-3m \cdot \frac{1}{3}k \cdot 1,5m;$

г) $\frac{3}{4}c \cdot (-1,6d) \cdot (-0,5c);$

д) $-\frac{2}{9}ab \cdot 1,8b \cdot (-2,5a^2);$

е) $2x \cdot (-\frac{5}{13}x^2y) \cdot 1,3xz^2.$

а) $5a \cdot (-1,8b)$

Чтобы упростить выражение, нужно перемножить числовые коэффициенты и буквенные части отдельно, используя сочетательный и переместительный законы умножения.

$5a \cdot (-1,8b) = (5 \cdot (-1,8)) \cdot (a \cdot b)$

Произведение коэффициентов: $5 \cdot (-1,8) = -9$.

Произведение буквенных частей: $a \cdot b = ab$.

Соединяем результаты: $-9ab$.

Коэффициент выражения равен $-9$.

Буквенная часть выражения: $ab$.

Ответ: упрощенное выражение: $-9ab$; коэффициент: $-9$; буквенная часть: $ab$.

б) $-4n \cdot (-0,7xy)$

Перемножим числовые коэффициенты и буквенные части.

$-4n \cdot (-0,7xy) = (-4 \cdot (-0,7)) \cdot (n \cdot x \cdot y)$

Произведение коэффициентов: $-4 \cdot (-0,7) = 2,8$.

Произведение буквенных частей: $n \cdot x \cdot y = nxy$.

Соединяем результаты: $2,8nxy$.

Коэффициент выражения равен $2,8$.

Буквенная часть выражения: $nxy$.

Ответ: упрощенное выражение: $2,8nxy$; коэффициент: $2,8$; буквенная часть: $nxy$.

в) $-3m \cdot \frac{1}{3}k \cdot 1,5m$

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные.

$-3m \cdot \frac{1}{3}k \cdot 1,5m = (-3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1,5) \cdot (m \cdot k \cdot m)$

Произведение коэффициентов: $-3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1,5 = -1 \cdot 1,5 = -1,5$.

Произведение буквенных частей: $m \cdot k \cdot m = m^{1+1} \cdot k = m^2k$.

Соединяем результаты: $-1,5m^2k$.

Коэффициент выражения равен $-1,5$.

Буквенная часть выражения: $m^2k$.

Ответ: упрощенное выражение: $-1,5m^2k$; коэффициент: $-1,5$; буквенная часть: $m^2k$.

г) $\frac{3}{4}c \cdot (-1,6d) \cdot (-0,5c)$

Перемножим коэффициенты и переменные по отдельности.

$\frac{3}{4}c \cdot (-1,6d) \cdot (-0,5c) = (\frac{3}{4} \cdot (-1,6) \cdot (-0,5)) \cdot (c \cdot d \cdot c)$

Произведение коэффициентов: $\frac{3}{4} \cdot (-1,6) \cdot (-0,5)$. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $-1,6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}$ и $-0,5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$.

$\frac{3}{4} \cdot (-\frac{8}{5}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot 8 \cdot 1}{4 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5} = 0,6$.

Произведение буквенных частей: $c \cdot d \cdot c = c^{1+1} \cdot d = c^2d$.

Соединяем результаты: $0,6c^2d$.

Коэффициент выражения равен $0,6$.

Буквенная часть выражения: $c^2d$.

Ответ: упрощенное выражение: $0,6c^2d$; коэффициент: $0,6$; буквенная часть: $c^2d$.

д) $-\frac{2}{9}ab \cdot 1,8b \cdot (-2,5a^2)$

Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные.

$-\frac{2}{9}ab \cdot 1,8b \cdot (-2,5a^2) = (-\frac{2}{9} \cdot 1,8 \cdot (-2,5)) \cdot (a \cdot b \cdot b \cdot a^2)$

Произведение коэффициентов: $-\frac{2}{9} \cdot 1,8 \cdot (-2,5)$. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$ и $-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.

$-\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{5} \cdot (-\frac{5}{2}) = \frac{2 \cdot 9 \cdot 5}{9 \cdot 5 \cdot 2} = 1$.

Произведение буквенных частей: $a \cdot b \cdot b \cdot a^2 = (a \cdot a^2) \cdot (b \cdot b) = a^{1+2}b^{1+1} = a^3b^2$.

Соединяем результаты: $1 \cdot a^3b^2 = a^3b^2$.

Коэффициент выражения равен $1$.

Буквенная часть выражения: $a^3b^2$.

Ответ: упрощенное выражение: $a^3b^2$; коэффициент: $1$; буквенная часть: $a^3b^2$.

е) $2x \cdot (-\frac{5}{13}x^2y) \cdot 1,3xz^2$

Найдем произведение коэффициентов и произведение переменных.

$2x \cdot (-\frac{5}{13}x^2y) \cdot 1,3xz^2 = (2 \cdot (-\frac{5}{13}) \cdot 1,3) \cdot (x \cdot x^2y \cdot xz^2)$

Произведение коэффициентов: $2 \cdot (-\frac{5}{13}) \cdot 1,3$. Представим $1,3$ в виде обыкновенной дроби: $1,3 = \frac{13}{10}$.

$2 \cdot (-\frac{5}{13}) \cdot \frac{13}{10} = -\frac{2 \cdot 5 \cdot 13}{13 \cdot 10} = -\frac{10 \cdot 13}{13 \cdot 10} = -1$.

Произведение буквенных частей: $x \cdot x^2 \cdot y \cdot x \cdot z^2 = (x \cdot x^2 \cdot x) \cdot y \cdot z^2 = x^{1+2+1}yz^2 = x^4yz^2$.

Соединяем результаты: $-1 \cdot x^4yz^2 = -x^4yz^2$.

Коэффициент выражения равен $-1$.

Буквенная часть выражения: $x^4yz^2$.

Ответ: упрощенное выражение: $-x^4yz^2$; коэффициент: $-1$; буквенная часть: $x^4yz^2$.

239 Упрости выражение, найди его коэффициент и буквенную часть:

а) $5a \cdot (-1,8b);$

б) $-4n \cdot (-0,7xy);$

в) $-3m \cdot \frac{1}{3}k \cdot 1,5m;$

г) $\frac{3}{4}c \cdot (-1,6d) \cdot (-0,5c);$

д) $-\frac{2}{9}ab \cdot 1,8b \cdot (-2,5a^2);$

е) $2x \cdot \left(-\frac{5}{13}x^2y\right) \cdot 1,3xz^2.$

240 На дискотеке девочек было на 6 больше, чем мальчиков. Если число девочек увеличить на 100 %, а число мальчиков увеличить на 150 %, то девочек и мальчиков станет поровну. Сколько девочек и сколько мальчиков было на дискотеке?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это первоначальное количество мальчиков на дискотеке.

Согласно условию, девочек было на 6 больше, чем мальчиков, значит, первоначальное количество девочек было $x + 6$.

Далее, число девочек увеличили на 100%. Увеличить на 100% — это значит удвоить. Новое количество девочек стало равно $2 \cdot (x + 6)$.

Число мальчиков увеличили на 150%. Увеличить на 150% — это значит прибавить к исходному числу еще 150% от него. Новое количество мальчиков стало равно $x + 1.5x = 2.5x$.

После этого изменения количество девочек и мальчиков стало равным. Составим уравнение:

$2 \cdot (x + 6) = 2.5x$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$2x + 12 = 2.5x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$12 = 2.5x - 2x$

$12 = 0.5x$

Найдем $x$:

$x = 12 / 0.5$

$x = 24$

Итак, первоначально на дискотеке было 24 мальчика.

Теперь найдем, сколько было девочек:

$x + 6 = 24 + 6 = 30$

Проверим: если 30 девочек увеличить на 100%, их станет $30 \cdot 2 = 60$. Если 24 мальчика увеличить на 150%, их станет $24 \cdot 2.5 = 60$. Число совпадает.

Ответ: на дискотеке было 30 девочек и 24 мальчика.

240 На дискотеке девочек было на $6$ больше, чем мальчиков. Если число девочек увеличить на $100\%$, а число мальчиков увеличить на $150\%$, то девочек и мальчиков станет поровну. Сколько девочек и сколько мальчиков было на дискотеке?

241 Найди значения выражений:

a) $-3(\frac{5}{6} k + \frac{1}{3}) + 5(1,2k - 0,8)$, если $k = -\frac{2}{7}$;

б) $a(4a - 0,9b) - b(1,6a - 3b) - 1,5(a^2 + 2b^2)$, если $a = -0,6; b = -2,6$.

а) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

$-3(\frac{5}{6}k + \frac{1}{3}) + 5(1.2k - 0.8) = -3 \cdot \frac{5}{6}k - 3 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot 1.2k - 5 \cdot 0.8$

Выполним умножение и сократим дробь:

$-\frac{15}{6}k - 1 + 6k - 4 = -\frac{5}{2}k - 1 + 6k - 4$

Сгруппируем подобные члены:

$(-\frac{5}{2}k + 6k) + (-1 - 4) = (-\frac{5}{2} + \frac{12}{2})k - 5 = \frac{7}{2}k - 5$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $k = -\frac{2}{7}$:

$\frac{7}{2} \cdot (-\frac{2}{7}) - 5 = -\frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 7} - 5 = -1 - 5 = -6$

Ответ: -6

б) Сначала упростим выражение, раскрыв все скобки.

$a(4a - 0.9b) - b(1.6a - 3b) - 1.5(a^2 + 2b^2) = 4a^2 - 0.9ab - 1.6ab + 3b^2 - 1.5a^2 - 3b^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 1.5a^2) + (-0.9ab - 1.6ab) + (3b^2 - 3b^2) = 2.5a^2 - 2.5ab$

Для удобства вычислений можно вынести за скобки общий множитель $2.5a$: $2.5a(a-b)$.

Подставим в упрощенное выражение значения $a = -0.6$ и $b = -2.6$:

$2.5 \cdot (-0.6) \cdot (-0.6 - (-2.6))$

Выполним вычисления по шагам:

$2.5 \cdot (-0.6) \cdot (-0.6 + 2.6) = 2.5 \cdot (-0.6) \cdot 2$

$-1.5 \cdot 2 = -3$

Ответ: -3

241 Найди значения выражений:

а) $-3(\frac{5}{6}k + \frac{1}{3}) + 5(1,2k - 0,8)$, если $k = -\frac{2}{7}$;

б) $a(4a - 0,9b) - b(1,6a - 3b) - 1,5(a^2 + 2b^2)$, если $a = -0,6; b = -2,6$.

242 Запиши высказывание на математическом языке с помощью знака $ \Rightarrow $, подчеркни условие одной чертой, а заключение – двумя. Найди ложные высказывания. Как их опровергнуть?

а) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

б) Сумма двух правильных дробей является правильной дробью.

в) Разность двух целых чисел является целым числом.

г) Частное двух рациональных чисел – число рациональное.

а) Чтобы выделить условие (подчеркнуто одной чертой) и заключение (подчеркнуто двумя чертами), перефразируем высказывание в условную форму: "Если два числа являются отрицательными, то их произведение является положительным".
Запись на математическом языке, где $a$ и $b$ — два числа: $(a < 0 \text{ и } b < 0) \Rightarrow (a \cdot b > 0)$.
Это высказывание истинное, так как произведение двух чисел с одинаковыми знаками всегда положительно.
Ответ: $(a < 0 \text{ и } b < 0) \Rightarrow (a \cdot b > 0)$. Высказывание истинное.

б) Перефразируем высказывание: "Если две дроби являются правильными, то их сумма является правильной дробью".
Запись на математическом языке (для положительных правильных дробей $x$ и $y$): $(0 < x < 1 \text{ и } 0 < y < 1) \Rightarrow (x + y < 1)$.
Это высказывание ложное. Чтобы его опровергнуть, нужно привести контрпример — случай, когда условие выполняется (берутся две правильные дроби), а заключение нет (сумма оказывается неправильной дробью).
Например, возьмем две правильные дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$. Их сумма: $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$. Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной, так как она больше 1. Таким образом, утверждение опровергнуто.
Ответ: Высказывание ложное. Опровергнуть его можно контрпримером: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$ — правильные дроби, но их сумма $\frac{5}{4}$ — неправильная дробь.

в) Перефразируем высказывание: "Если два числа являются целыми, то их разность является целым числом".
Запись на математическом языке ($a, b \in \mathbb{Z}$ означает, что $a$ и $b$ — целые числа): $(a \in \mathbb{Z} \text{ и } b \in \mathbb{Z}) \Rightarrow (a - b \in \mathbb{Z})$.
Это высказывание истинное. Множество целых чисел является замкнутым относительно операции вычитания (разность любых двух целых чисел всегда будет целым числом).
Ответ: $(a \in \mathbb{Z} \text{ и } b \in \mathbb{Z}) \Rightarrow (a - b \in \mathbb{Z})$. Высказывание истинное.

г) Перефразируем высказывание: "Если два числа являются рациональными, то их частное является рациональным числом".
Запись на математическом языке ($a, b \in \mathbb{Q}$ означает, что $a$ и $b$ — рациональные числа): $(a \in \mathbb{Q} \text{ и } b \in \mathbb{Q}) \Rightarrow (\frac{a}{b} \in \mathbb{Q})$.
Это высказывание ложное. Оно неверно, потому что не учитывает случай деления на ноль. Ноль — это рациональное число ($0 = \frac{0}{1}$).
Чтобы опровергнуть утверждение, приведем контрпример. Возьмем два рациональных числа: $a = 5$ и $b = 0$. Частное $\frac{a}{b} = \frac{5}{0}$ не определено, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, результат не является рациональным числом.
Ответ: Высказывание ложное. Опровержение (контрпример): числа 5 и 0 являются рациональными, но их частное $\frac{5}{0}$ не определено.

D 242 Запиши высказывание на математическом языке с помощью знака $\Rightarrow$, подчеркни условие одной чертой, а заключение – двумя. Найди ложные высказывания. Как их опровергнуть?

а) Произведение двух отрицательных чисел положительно.

б) Сумма двух правильных дробей является правильной дробью.

в) Разность двух целых чисел является целым числом.

г) Частное двух рациональных чисел – число рациональное.

243 На мороженое Аня истратила $ \frac{4}{15} $ имевшихся у неё денег, а на блокнот $ \frac{3}{11} $ остатка. Сколько денег у неё осталось после этого, если за блокнот она заплатила 6 р.?

Для решения этой задачи удобно рассуждать в обратном порядке, начиная с известной стоимости блокнота.

1. Найдём, сколько денег было у Ани после покупки мороженого.
По условию, на блокнот она потратила $\frac{3}{11}$ от оставшихся после покупки мороженого денег, и эта сумма составила 6 рублей. Чтобы найти всю сумму остатка (целое) по его части (6 р.), нужно эту часть разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{3}{11}$):
$6 \div \frac{3}{11} = 6 \times \frac{11}{3} = \frac{6 \times 11}{3} = 2 \times 11 = 22$ (р.).
Таким образом, после покупки мороженого у Ани оставалось 22 рубля.

2. Найдём, сколько денег у неё осталось после покупки блокнота.
Мы знаем, что до покупки блокнота у Ани было 22 рубля. Из этой суммы она потратила 6 рублей на блокнот. Чтобы найти конечный остаток, нужно из суммы до второй покупки вычесть стоимость второй покупки:
$22 - 6 = 16$ (р.).

Ответ: 16 р.

243 На мороженое Аня истратила $\frac{4}{15}$ имевшихся у нее денег, а на блокнот – $\frac{3}{11}$ остатка. Сколько денег у нее осталось после этого, если за блокнот она заплатила 6 рублей?

244 Увеличь число на 40 %:

$\frac{(6.829 + \frac{14}{15} \cdot 0.7 - (5.629 - \frac{14}{15} \cdot 2.3)) - (-0.3)^2 \cdot 16\frac{2}{3}}{-1.25 : (-\frac{5}{12}) + 6 : 3\frac{11}{13} + 5.684 : (-1.4)}$

Для решения задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала вычислить значение числового выражения, а затем увеличить полученный результат на 40%.

1. Вычисление значения выражения

Исходное выражение: $ \frac{(6,829 + \frac{14}{15} \cdot 0,7 - (5,629 - \frac{14}{15} \cdot 2,3)) - (-0,3)^2 \cdot 16\frac{2}{3}}{-1,25 : (-\frac{5}{12}) + 6:3\frac{11}{13} + 5,684 : (-1,4)} $

Решим по действиям, отдельно для числителя и знаменателя.

Вычисление числителя:

1. Упростим выражение в больших скобках: $ (6,829 + \frac{14}{15} \cdot 0,7 - (5,629 - \frac{14}{15} \cdot 2,3)) $. Раскроем внутренние скобки и сгруппируем подобные члены:
$ 6,829 + \frac{14}{15} \cdot 0,7 - 5,629 + \frac{14}{15} \cdot 2,3 = (6,829 - 5,629) + \frac{14}{15} \cdot (0,7 + 2,3) = 1,2 + \frac{14}{15} \cdot 3 = 1,2 + \frac{14}{5} = 1,2 + 2,8 = 4 $.

2. Вычислим вторую часть числителя: $ (-0,3)^2 \cdot 16\frac{2}{3} $.
$ (-0,3)^2 = 0,09 $. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $ 16\frac{2}{3} = \frac{16 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{50}{3} $.
$ 0,09 \cdot \frac{50}{3} = \frac{9}{100} \cdot \frac{50}{3} = \frac{9 \cdot 50}{100 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5 $.

3. Найдем итоговое значение числителя, вычтя результат второго действия из результата первого:
$ 4 - 1,5 = 2,5 $.

Вычисление знаменателя:

1. $ -1,25 : (-\frac{5}{12}) = -\frac{125}{100} : (-\frac{5}{12}) = -\frac{5}{4} \cdot (-\frac{12}{5}) = \frac{5 \cdot 12}{4 \cdot 5} = 3 $.

2. $ 6 : 3\frac{11}{13} = 6 : \frac{3 \cdot 13 + 11}{13} = 6 : \frac{50}{13} = 6 \cdot \frac{13}{50} = \frac{78}{50} = 1,56 $.

3. $ 5,684 : (-1,4) = - (56,84 : 14) = -4,06 $.

4. Сложим полученные результаты, чтобы найти значение знаменателя:
$ 3 + 1,56 + (-4,06) = 4,56 - 4,06 = 0,5 $.

Нахождение значения дроби:

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:
$ \frac{2,5}{0,5} = 5 $.

2. Увеличение полученного числа на 40%

Мы получили число 5. Теперь его нужно увеличить на 40%.

Способ 1: Найти 40% от числа и прибавить к исходному.
Находим 40% от 5: $ 5 \cdot \frac{40}{100} = 5 \cdot 0,4 = 2 $.
Прибавляем к исходному числу: $ 5 + 2 = 7 $.

Способ 2: Умножить число на коэффициент увеличения.
Увеличение на 40% соответствует умножению на $ (1 + \frac{40}{100}) = 1,4 $.
$ 5 \cdot 1,4 = 7 $.

Ответ: 7.

244 Увеличь число на 40% :

$\frac{(6,829 + \frac{14}{15} \cdot 0,7 - (5,629 - \frac{14}{15} \cdot 2,3)) - (-0,3)^2 \cdot 16\frac{2}{3}}{-1,25 : (-\frac{5}{12}) + 6 : 3\frac{11}{13} + 5,684 : (-1,4)}$

C 245 Запиши в десятичной системе счисления числа: $1010101_2$, $1212_3$, $3210_4$, $4040_5$, $20406_7$, $1234_{12}$, $500_{56}$.

Для перевода числа из позиционной системы счисления с основанием $b$ в десятичную систему необходимо представить это число в виде суммы произведений его цифр на основание $b$ в степени, равной номеру разряда этой цифры (нумерация разрядов начинается с нуля, справа налево). Общая формула выглядит так: $(d_n d_{n-1} ... d_1 d_0)_b = d_n \cdot b^n + d_{n-1} \cdot b^{n-1} + ... + d_1 \cdot b^1 + d_0 \cdot b^0$.

1010101₂
Применяем формулу для основания $b=2$ (двоичная система). Разряды нумеруются справа налево от 0 до 6.
$1010101_2 = 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$
$= 1 \cdot 64 + 0 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1$
$= 64 + 16 + 4 + 1 = 85_{10}$.
Ответ: 85.

1212₃
Применяем формулу для основания $b=3$ (троичная система).
$1212_3 = 1 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0$
$= 1 \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1$
$= 27 + 18 + 3 + 2 = 50_{10}$.
Ответ: 50.

3210₄
Применяем формулу для основания $b=4$ (четверичная система).
$3210_4 = 3 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 1 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0$
$= 3 \cdot 64 + 2 \cdot 16 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1$
$= 192 + 32 + 4 + 0 = 228_{10}$.
Ответ: 228.

4040₅
Применяем формулу для основания $b=5$ (пятеричная система).
$4040_5 = 4 \cdot 5^3 + 0 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0$
$= 4 \cdot 125 + 0 \cdot 25 + 4 \cdot 5 + 0 \cdot 1$
$= 500 + 0 + 20 + 0 = 520_{10}$.
Ответ: 520.

20406₇
Применяем формулу для основания $b=7$ (семеричная система).
$20406_7 = 2 \cdot 7^4 + 0 \cdot 7^3 + 4 \cdot 7^2 + 0 \cdot 7^1 + 6 \cdot 7^0$
$= 2 \cdot 2401 + 0 \cdot 343 + 4 \cdot 49 + 0 \cdot 7 + 6 \cdot 1$
$= 4802 + 0 + 196 + 0 + 6 = 5004_{10}$.
Ответ: 5004.

1234₁₂
Применяем формулу для основания $b=12$ (двенадцатеричная система).
$1234_{12} = 1 \cdot 12^3 + 2 \cdot 12^2 + 3 \cdot 12^1 + 4 \cdot 12^0$
$= 1 \cdot 1728 + 2 \cdot 144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 1$
$= 1728 + 288 + 36 + 4 = 2056_{10}$.
Ответ: 2056.

500₅₆
Применяем формулу для основания $b=56$ (пятьдесятшестеричная система).
$500_{56} = 5 \cdot 56^2 + 0 \cdot 56^1 + 0 \cdot 56^0$
$= 5 \cdot 3136 + 0 \cdot 56 + 0 \cdot 1$
$= 15680 + 0 + 0 = 15680_{10}$.
Ответ: 15680.

C 245 Запиши в десятичной системе счисления числа: $1010101_2$, $1212_3$, $3210_4$, $4040_5$, $20406_7$, $1234_{12}$, $500_{56}$.