Номер 278, страница 69, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 3. Среднее арифметическое - номер 278, страница 69.

Условие 2023.

278 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists a \in N: \frac{a}{7}$ – несократимая дробь;

2) $\forall a \in N:$ НОД $(a, 7) = 1;$

3) $\forall b, n \in N: b^n = bn;$

4) $\exists b, n \in N: b^n = bn.$

Решение 2 (2023).

1) Высказывание $ \exists a \in N: \frac{a}{7} $ — несократимая дробь, читается как: «существует такое натуральное число $a$, что дробь $ \frac{a}{7} $ является несократимой». Дробь является несократимой, если наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя равен 1. То есть, нужно проверить, существует ли натуральное $a$, для которого $ \text{НОД}(a, 7) = 1 $.

Поскольку 7 — простое число, его делителями являются только 1 и 7. Следовательно, для того чтобы $ \text{НОД}(a, 7) = 1 $, число $a$ не должно быть кратно 7. Мы можем легко найти такое натуральное число, например, $a=1$. Для $a=1$, $ \text{НОД}(1, 7) = 1 $, значит, дробь $ \frac{1}{7} $ несократимая. Так как мы нашли хотя бы одно такое число $a$, высказывание является истинным.

Ответ: Истинно.

2) Высказывание $ \forall a \in N: \text{НОД}(a, 7) = 1 $ читается как: «для любого натурального числа $a$ наибольший общий делитель чисел $a$ и 7 равен 1». Это означает, что любое натуральное число является взаимно простым с числом 7.

Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример, то есть такое натуральное число $a$, для которого $ \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $. Возьмем $a=7$. Тогда $ \text{НОД}(7, 7) = 7 $, что не равно 1. Следовательно, высказывание ложно.

Построим отрицание для ложного высказывания. Отрицанием для $ \forall a \in N: P(a) $ является $ \exists a \in N: \neg P(a) $. В данном случае $ P(a) $ — это $ \text{НОД}(a, 7) = 1 $, а $ \neg P(a) $ — это $ \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $. Таким образом, отрицание выглядит так: $ \exists a \in N: \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists a \in N: \text{НОД}(a, 7) \neq 1 $.

3) Высказывание $ \forall b, n \in N: b^n = bn $ читается как: «для любых натуральных чисел $b$ и $n$ выполняется равенство $ b^n = bn $».

Это универсальное высказывание, для его опровержения достаточно найти один контрпример. Возьмем, например, $b=2$ и $n=3$. Подставим эти значения в равенство: $ b^n = 2^3 = 8 $ и $ bn = 2 \cdot 3 = 6 $. Поскольку $ 8 \neq 6 $, равенство не выполняется. Следовательно, высказывание ложно.

Построим отрицание. Отрицанием для $ \forall b, n \in N: P(b, n) $ является $ \exists b, n \in N: \neg P(b, n) $. В данном случае $ P(b, n) $ — это $ b^n = bn $, а $ \neg P(b, n) $ — это $ b^n \neq bn $. Таким образом, отрицание: $ \exists b, n \in N: b^n \neq bn $.

Ответ: Ложно. Отрицание: $ \exists b, n \in N: b^n \neq bn $.

4) Высказывание $ \exists b, n \in N: b^n = bn $ читается как: «существуют такие натуральные числа $b$ и $n$, для которых выполняется равенство $ b^n = bn $».

Это экзистенциальное высказывание, для его подтверждения достаточно найти хотя бы одну пару натуральных чисел $ (b, n) $, удовлетворяющую равенству. Например, если взять $n=1$, то равенство принимает вид $b^1 = b \cdot 1$, или $b=b$. Это равенство верно для любого натурального $b$. Так, пара $ (b, n) = (5, 1) $ является решением. Также, пара $ (b, n) = (2, 2) $ является решением, так как $ 2^2 = 2 \cdot 2 $ (то есть $4=4$). Поскольку мы нашли примеры, для которых равенство выполняется, высказывание является истинным.

Ответ: Истинно.

Условие 2010-2022.

278 Прочитай высказывания и определи их истинность или ложность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\exists a \in N: \frac{a}{7}$ - несократимая дробь;

2) $\forall a \in N:$ НОД $(a, 7) = 1$;

3) $\forall b, n \in N: b^n = bn$;

4) $\exists b, n \in N: b^n = bn$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).