Номер 273, страница 68, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Среднее арифметическое. Параграф 1. Числа и действия с ними. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 273, страница 68.

Условие 2023.

273 1) Какие остатки могут получаться при делении натурального числа на 5?

2) Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата натурального числа?

Решение 2 (2023).

1) При делении любого натурального числа $n$ на 5 результатом является частное $q$ и остаток $r$. Это можно записать в виде формулы: $n = 5q + r$. Согласно определению деления с остатком, остаток $r$ всегда является неотрицательным целым числом, которое строго меньше делителя. В данном случае делитель равен 5, следовательно, для остатка $r$ должно выполняться неравенство $0 \le r < 5$.
Таким образом, возможными остатками при делении на 5 являются целые числа 0, 1, 2, 3, 4.
Покажем, что все эти остатки действительно могут быть получены:

• Число 5 при делении на 5 дает остаток 0 ($5 = 5 \cdot 1 + 0$).
• Число 6 при делении на 5 дает остаток 1 ($6 = 5 \cdot 1 + 1$).
• Число 7 при делении на 5 дает остаток 2 ($7 = 5 \cdot 1 + 2$).
• Число 8 при делении на 5 дает остаток 3 ($8 = 5 \cdot 1 + 3$).
• Число 9 при делении на 5 дает остаток 4 ($9 = 5 \cdot 1 + 4$).

Следовательно, все пять значений возможны.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

2) Чтобы определить возможные остатки от деления квадрата натурального числа на 5, мы должны рассмотреть квадрат каждого из возможных остатков, полученных в пункте 1). Любое натуральное число $n$ можно представить в одной из следующих форм (где $k$ - целое неотрицательное число): $5k$, $5k+1$, $5k+2$, $5k+3$ или $5k+4$. Возведем в квадрат каждое из этих выражений и найдем остаток от деления на 5.

• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 0, то $n = 5k$.
  Тогда $n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5 \cdot (5k^2)$. Это число делится на 5 без остатка, значит, остаток равен 0.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 1, то $n = 5k+1$.
  Тогда $n^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2+2k) + 1$. Остаток от деления на 5 равен 1.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 2, то $n = 5k+2$.
  Тогда $n^2 = (5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2+4k) + 4$. Остаток от деления на 5 равен 4.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 3, то $n = 5k+3$.
  Тогда $n^2 = (5k+3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 25k^2 + 30k + 5 + 4 = 5(5k^2+6k+1) + 4$. Остаток от деления на 5 равен 4.
• Если остаток от деления $n$ на 5 равен 4, то $n = 5k+4$.
  Тогда $n^2 = (5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 25k^2 + 40k + 15 + 1 = 5(5k^2+8k+3) + 1$. Остаток от деления на 5 равен 1.

Проанализировав все случаи, мы видим, что остатками от деления квадрата натурального числа на 5 могут быть только числа 0, 1 и 4.
Ответ: 0, 1, 4.

Условие 2010-2022.

273 1) Какие остатки могут получаться при делении натурального числа на 5?

2) Какие остатки могут получаться при делении на 5 квадрата натурального числа?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).