Номер 280, страница 69, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 3. Среднее арифметическое - номер 280, страница 69.

Условие 2023.

280 Пешеход вышел в 8 ч утра из села на станцию, удалённую от села на расстояние 15 км, со скоростью 3 км/ч. Через 1,5 ч из того же села по тому же маршруту вышел второй пешеход со скоростью 6 км/ч. Через 1 ч после своего выхода второй пешеход сделал получасовую остановку, а затем продолжил путь с прежней скоростью. Построй график движения пешеходов и ответь на вопросы.

1) В котором часу второй пешеход догнал первого?

2) Какое расстояние было между пешеходами в момент выхода второго пешехода? В 11 ч 30 мин?

3) В какие моменты времени расстояние между ними было равно 3 км?

Решение 2 (2023).

Для решения задачи введем систему координат. Пусть ось времени t (в часах) начинается в 8:00 утра ($t=0$). Ось расстояния S (в км) начинается в селе ($S=0$).

Уравнение движения первого пешехода (П1):

Он вышел в 8:00 ($t=0$) со скоростью $v_1 = 3$ км/ч. Его положение в любой момент времени t описывается уравнением:

$S_1(t) = 3t$

Уравнение движения второго пешехода (П2):

Он вышел через 1,5 часа, то есть в 9:30 ($t=1,5$), со скоростью $v_2 = 6$ км/ч.

• С 9:30 ($t=1,5$) до 10:30 ($t=2,5$): он шел 1 час. Расстояние: $S_2(t) = 6 \cdot (t - 1,5)$. В 10:30 он прошел $6 \cdot (2,5 - 1,5) = 6$ км.
• С 10:30 ($t=2,5$) до 11:00 ($t=3$): он стоял 0,5 часа. Его положение не менялось: $S_2(t) = 6$ км.
• После 11:00 ($t>3$): он продолжил движение со скоростью 6 км/ч с отметки 6 км. Его положение: $S_2(t) = 6 + 6 \cdot (t - 3) = 6 + 6t - 18 = 6t - 12$.

Таким образом, движение второго пешехода описывается системой:

$S_2(t) = \begin{cases} 0 & \text{при } 0 \le t < 1,5 \\ 6(t - 1,5) & \text{при } 1,5 \le t \le 2,5 \\ 6 & \text{при } 2,5 < t \le 3 \\ 6t - 12 & \text{при } t > 3 \end{cases}$

График движения пешеходов:

Для построения графика нужно нанести на координатную плоскость (ось X – время в часах от 8:00, ось Y – расстояние в км) две линии, соответствующие функциям $S_1(t)$ и $S_2(t)$.

• График П1: прямая линия, выходящая из точки (8:00, 0 км) и проходящая через точки (9:00, 3 км), (10:00, 6 км), (11:00, 9 км), (12:00, 12 км) и (13:00, 15 км).
• График П2: ломаная линия. Начинается в точке (9:30, 0 км), идет до точки (10:30, 6 км), затем горизонтальный участок до точки (11:00, 6 км), и далее снова поднимается, проходя через точку (12:00, 12 км) и достигая цели в точке (12:30, 15 км).

1) В котором часу второй пешеход догнал первого?

Встреча произойдет, когда их координаты совпадут, то есть $S_1(t) = S_2(t)$. Судя по графику, это произойдет после 11:00 ($t>3$). Приравниваем соответствующие уравнения:

$3t = 6t - 12$

$3t = 12$

$t = 4$ часа.

Время $t=4$ часа соответствует 4 часам после 8:00 утра. 8:00 + 4 часа = 12:00.

Проверим расстояние в этот момент: $S_1(4) = 3 \cdot 4 = 12$ км. $S_2(4) = 6 \cdot 4 - 12 = 12$ км. Все верно.

Ответ: Второй пешеход догнал первого в 12:00.

2) Какое расстояние было между пешеходами в момент выхода второго пешехода? В 11 ч 30 мин?

В момент выхода второго пешехода:

Второй пешеход вышел в 9:30, что соответствует $t = 1,5$ часа. В этот момент:

Положение П1: $S_1(1,5) = 3 \cdot 1,5 = 4,5$ км.

Положение П2: $S_2(1,5) = 0$ км.

Расстояние между ними: $\Delta S = 4,5 - 0 = 4,5$ км.

В 11 ч 30 мин:

Время 11:30 соответствует $t = 3,5$ часа (11,5 - 8). Этот момент времени попадает в интервал $t>3$.

Положение П1: $S_1(3,5) = 3 \cdot 3,5 = 10,5$ км.

Положение П2: $S_2(3,5) = 6 \cdot 3,5 - 12 = 21 - 12 = 9$ км.

Расстояние между ними: $\Delta S = 10,5 - 9 = 1,5$ км.

Ответ: В момент выхода второго пешехода расстояние было 4,5 км; в 11 ч 30 мин расстояние было 1,5 км.

3) В какие моменты времени расстояние между ними было равно 3 км?

Нужно решить уравнение $|S_1(t) - S_2(t)| = 3$. Поскольку до встречи первый пешеход всегда впереди, уравнение можно записать как $S_1(t) - S_2(t) = 3$. Рассмотрим разные интервалы времени:

Интервал 1: $0 \le t < 1,5$ (второй еще не вышел)

$S_1(t) - S_2(t) = 3t - 0 = 3 \implies t = 1$ час.

Время: 8:00 + 1 час = 9:00. Этот момент входит в интервал.

Интервал 2: $1,5 \le t \le 2,5$ (второй идет)

$S_1(t) - S_2(t) = 3t - 6(t - 1,5) = 3$

$3t - 6t + 9 = 3 \implies -3t = -6 \implies t = 2$ часа.

Время: 8:00 + 2 часа = 10:00. Этот момент входит в интервал.

Интервал 3: $2,5 < t \le 3$ (второй на остановке)

$S_1(t) - S_2(t) = 3t - 6 = 3 \implies 3t = 9 \implies t = 3$ часа.

Время: 8:00 + 3 часа = 11:00. Этот момент является границей интервала.

После 11:00 ($t > 3$), до встречи в 12:00 ($t = 4$), расстояние между ними ($S_1 - S_2 = 3t - (6t-12) = 12-3t$) уменьшается с 3 км (в 11:00) до 0 км (в 12:00), поэтому новых решений здесь нет.

После встречи ($t > 4$), второй пешеход обгоняет первого. Расстояние между ними $S_2(t) - S_1(t) = (6t-12) - 3t = 3t-12$. Проверим, будет ли оно равно 3 км.

$3t - 12 = 3 \implies 3t = 15 \implies t=5$ часов.

Время 8:00 + 5 часов = 13:00. В этот момент первый пешеход как раз прибывает на станцию ($S_1(5)=15$ км). Второй пешеход в это время уже прошел бы $S_2(5) = 6 \cdot 5 - 12 = 18$ км, что дальше станции. Однако второй пешеход прибыл на станцию (15 км) раньше, в 12:30 ($t=4,5$). После этого он остановился. В 13:00 они оба на станции, и расстояние между ними равно 0. Таким образом, после встречи расстояние между ними не достигало 3 км.

Ответ: Расстояние между ними было равно 3 км в 9:00, в 10:00 и в 11:00.

Условие 2010-2022.

280 Пешеход вышел в 8 ч утра из села на станцию, удаленную от села на расстояние 15 км, со скоростью 3 км/ч. Через 1,5 ч из того же села по тому же маршруту вышел второй пешеход со скоростью 6 км/ч. Через 1 ч после своего выхода второй пешеход сделал получасовую остановку, а затем продолжил путь с прежней скоростью. Построй график движения пешеходов и определи по графику:

1) В котором часу второй пешеход догнал первого?

2) Какое расстояние было между пешеходами в момент выхода второго пешехода? В 11 ч 30 мин?

3) В какие моменты времени расстояние между ними было равно 3 км?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).