Номер 270, страница 68, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 3. Среднее арифметическое - номер 270, страница 68.

Условие 2023.

270 Докажи или опровергни высказывания.

1) Среднее арифметическое нескольких равных чисел равно каждому из них.

2) Среднее арифметическое трёх последовательных натуральных чисел равно второму числу.

3) Среднее арифметическое двух чётных чисел есть число чётное.

4) Среднее арифметическое двух нечётных чисел есть число нечётное.

Решение 2 (2023).

1) Данное высказывание верно.
Доказательство:
Пусть у нас есть $n$ равных чисел, и каждое из них равно $a$. Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, делённая на их количество.
Сумма этих чисел равна: $\underbrace{a + a + \dots + a}_{n \text{ раз}} = n \times a$.
Количество чисел равно $n$.
Тогда среднее арифметическое равно: $\frac{n \times a}{n} = a$.
Среднее арифметическое равно $a$, то есть каждому из этих чисел.
Ответ: высказывание верно.

2) Данное высказывание верно.
Доказательство:
Возьмем три последовательных натуральных числа. Обозначим их как $n$, $n+1$ и $n+2$, где $n$ – натуральное число. Второе число в этой последовательности — $n+1$.
Найдем их среднее арифметическое:
$\frac{n + (n+1) + (n+2)}{3} = \frac{3n + 3}{3}$
Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:
$\frac{3(n+1)}{3}$
Сократим дробь на 3 и получим $n+1$.
Результат $n+1$ равен второму числу.
Ответ: высказывание верно.

3) Данное высказывание неверно.
Опровержение:
Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести один пример, который ему противоречит (контрпример).
Возьмем два чётных числа: 2 и 4.
Найдем их среднее арифметическое:
$\frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Результат, число 3, является нечётным. Таким образом, высказывание опровергнуто.
Ответ: высказывание неверно.

4) Данное высказывание неверно.
Опровержение:
Приведем контрпример. Возьмем два нечётных числа: 1 и 3.
Найдем их среднее арифметическое:
$\frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Результат, число 2, является чётным. Таким образом, высказывание опровергнуто.
Ответ: высказывание неверно.

Условие 2010-2022.

270 Докажи или опровергни высказывания:

1) Среднее арифметическое нескольких равных чисел равно каждому из них.

2) Среднее арифметическое трех последовательных натуральных чисел равно второму числу.

3) Среднее арифметическое двух четных чисел есть число четное.

4) Среднее арифметическое двух нечетных чисел есть число нечетное.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).