Страница 82, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

345 Найди ответ задачи, а затем составь и реши две обратные задачи.

На предприятии 60 сотрудников. В конце месяца премию получили 15 % всех сотрудников. Сколько человек получили премию?

Решение основной задачи

В этой задаче нам известно общее количество сотрудников (целое) и процент тех, кто получил премию. Нам нужно найти количество сотрудников, получивших премию (часть от целого).

1. Переведем проценты в десятичную дробь: $15\% = 15 / 100 = 0,15$.

2. Чтобы найти часть от числа, нужно это число умножить на соответствующую дробь. Найдем 15% от 60:

$60 \cdot 0,15 = 9$ (человек)

Ответ: 9 человек получили премию.

Первая обратная задача (нахождение целого по его части)

Условие: В конце месяца премию получили 9 сотрудников, что составило 15% всех сотрудников предприятия. Сколько всего сотрудников на предприятии?

В этой задаче известна часть (9 человек) и какой процент она составляет (15%). Нам нужно найти общее количество сотрудников (целое).

1. Переведем проценты в десятичную дробь: $15\% = 0,15$.

2. Чтобы найти целое по его части, нужно эту часть разделить на соответствующую ей дробь:

$9 / 0,15 = 900 / 15 = 60$ (сотрудников)

Ответ: 60 сотрудников всего на предприятии.

Вторая обратная задача (нахождение процентного отношения)

Условие: На предприятии 60 сотрудников. В конце месяца премию получили 9 человек. Какой процент сотрудников получил премию?

В этой задаче известны целое (60 сотрудников) и его часть (9 сотрудников). Нам нужно найти, какой процент составляет часть от целого.

1. Найдем, какую часть составляют сотрудники, получившие премию, от общего числа сотрудников:

$\frac{9}{60}$

2. Чтобы выразить эту часть в процентах, умножим полученную дробь на 100%:

$\frac{9}{60} \cdot 100\% = \frac{3}{20} \cdot 100\% = \frac{300}{20}\% = 15\%$

Ответ: 15% сотрудников получили премию.

345 Найди ответ задачи, а затем составь и реши две обратные задачи.

На предприятии 60 сотрудников. В конце месяца премию получили $15\%$ всех сотрудников. Сколько человек получили премию?

346 Из всех предприятий, зарегистрированных городской регистрационной палатой в течение месяца, $50 \%$ составили муниципальные предприятия, $10 \%$ – индивидуальные предприниматели, остальные – акционерные общества (АО), причём $75 \%$ всех АО – закрытые акционерные общества. Сколько процентов составили закрытые акционерные общества:

а) от всех предприятий;

б) от муниципальных предприятий?

Для решения задачи примем общее количество зарегистрированных предприятий за 100%.

1. Сначала найдем, какой процент от всех предприятий составляют акционерные общества (АО).
Доля муниципальных предприятий и индивидуальных предпринимателей вместе составляет:
$50\% + 10\% = 60\%$.
Следовательно, на долю акционерных обществ приходится:
$100\% - 60\% = 40\%$.

2. Теперь найдем, какой процент от всех предприятий составляют закрытые акционерные общества (ЗАО).
По условию, ЗАО составляют 75% от всех АО. Доля АО от всех предприятий равна 40%.
Найдем 75% от 40%:
$0.75 \times 40\% = 30\%$.
Таким образом, закрытые акционерные общества составляют 30% от всех зарегистрированных предприятий.

Как мы вычислили в пункте 2, закрытые акционерные общества составляют 30% от всех зарегистрированных предприятий.
Ответ: 30%.

Чтобы найти, сколько процентов составляют ЗАО от муниципальных предприятий, нужно составить пропорцию. Доля ЗАО от общего числа предприятий составляет 30%, а доля муниципальных предприятий — 50%. Теперь найдем отношение доли ЗАО к доле муниципальных предприятий и выразим его в процентах:
$\frac{\text{доля ЗАО}}{\text{доля муниципальных предприятий}} \times 100\% = \frac{30\%}{50\%} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\%$.
Ответ: 60%.

346 Из всех предприятий, зарегистрированных городской регистрационной палатой в течение месяца, $50\%$ составили муниципальные предприятия, $10\%$ – индивидуальные предприниматели, остальные – акционерные общества (АО), причем $75\%$ всех АО – закрытые акционерные общества. Сколько процентов составили закрытые акционерные общества:

а) от всех предприятий;

б) от муниципальных предприятий?

C 347 Расшифруй ребусы.

1) $\frac{K}{2}$

2) $\frac{ЯК}{3}$

3) $\frac{A}{РОК}$

4) $\frac{КА}{ХОД}$

5) $\frac{МО}{КО}$

6) А ЧА

7) Я Ц

8) С Аяя

9) А ТА 2

10) А ПРЕ

11) ” ”

12) ОБЖ 4 5 3 5 4 ” ” Мурзик пушок

1) На изображении буква "К" разделена чертой с цифрой "2". В ребусах это часто читается как "ПОЛ" (половина) + буква. Получаем ПОЛ-К.
Ответ: ПОЛК

2) Здесь мы видим слог "ЯК" над цифрой "3" (три). Дробная черта в данном случае означает "треть". Получается "треть от ЯК".
Ответ: ТРЕТЬЯК

3) Буква "А" находится над слогом "РОК". Предлог "над" или "на" в ребусах часто заменяется на "под". Читаем: "ПОД" + "А" + "РОК".
Ответ: ПОДАРОК

4) Слог "КА" находится на слове "ХОД". Это читается как "на ХОД КА".
Ответ: НАХОДКА

5) Слог "МО" стоит над слогом "КО". В данном типе ребусов черта между слогами может заменять другой слог, в данном случае "ЛО". Получается МО-ЛО-КО.
Ответ: МОЛОКО

6) Внутри большой буквы "А" находится слог "ЧА". Это читается как "в А ЧА". Ребус также является загадкой-намёком: перед нами ЗАДАЧА, в которой "в букве А находится ЧА". Если же следовать более формальной логике, буква А своей формой напоминает дом или дачу. Тогда получается "ЗА-ДАЧА".
Ответ: ЗАДАЧА

7) Буква "Я" перевернута, что означает, что перед ней нужно поставить слог "ЗА" (от "задом наперёд"). Рядом стоит буква "Ц". Собираем вместе: "ЗА" + "Я" + "Ц".
Ответ: ЗАЯЦ

8) Внутри буквы "С" находятся буква "А" и три буквы "Я". Это читается как "в С А три Я". Если переставить части, чтобы получилось слово, выйдет "А" + "в" + "С" + "ТРИ Я". Предлог "в" опускается.
Ответ: АВСТРИЯ

9) Внутри большой буквы "А" находится ребус "ТА/2". Дробь $ \frac{ТА}{2} $ читается как "ПОЛ-ТА". Всё вместе читается как "ПОЛТА в А".
Ответ: ПОЛТАВА

10) Сверху буква "А". Под ней слог "ПРЕ" и изображение ели. Ель добавляет слог "ЕЛЬ". Собираем части вместе: "А" + "ПРЕ" + "ЕЛЬ".
Ответ: АПРЕЛЬ

11) Первый рисунок — часы. Запятая перед словом "ЧАСЫ" означает, что нужно убрать первую букву, получаем "АСЫ". Второй рисунок — тигр. Две запятые после слова "ТИГР" означают, что нужно убрать две последние буквы, получаем "ТИ". Соединяем части: "АСЫ" + "ТИ". Вероятно, имелось в виду слово "ЧАС", тогда получается "АС" + "ТИ".
Ответ: АСТИ

12) Этот ребус состоит из нескольких частей.
1. Певица поет ноту "ФА". Берем слог "ФА".
2. Тетрадь. Цифры 4 и 5 указывают на четвертую и пятую буквы в слове "ТЕТ**РА**ДЬ". Получаем "РА".
3. Два кота ("кот" в единственном числе - это "он"). Берем слог "ОН".
Собираем все части вместе: "ФА" + "РА" + "ОН".
Ответ: ФАРАОН

C 347 Расшифруй ребусы:

1) $\frac{К}{2}$

2) $\frac{ЯК}{3}$

3) $\frac{А}{РОК}$

4) $\frac{КА}{ХОД}$

5) $\frac{МО}{КО}$

6) Большая буква А, за ней частично скрыт прямоугольник с буквами ЧА.

7) Стилизованная буква Я, рядом с её основанием маленькая буква Ц.

8) Большая буква С, внутри неё буква А, рядом буквы яяя.

9) Большая буква А, состоящая из точек. Внутри неё символ $\Delta$ и дробь $\frac{ТА}{2}$.

10) Большая буква А. Под ней символ $\Delta$ с буквами ТА над чертой и ПРЕ под чертой.

11) Часы с одной кавычкой, тигр с двумя кавычками.

12) Девочка с надписью ОХ, поющая ноты. Рядом открытая книга с цифрами 4, 5, 5, 3, 5, 4. Далее две кавычки и два кота с надписью МУРЗИК ЛУШОК.

348 Весёлый турист отправился на слёт, предполагая каждый день проходить треть всего пути, чтобы через 3 дня прибыть на место. В первый день он прошёл треть пути. Но во второй день, устав, он прошёл не треть пути, а треть остатка. И в третий день он прошёл треть нового остатка. В результате ему осталось пройти ещё 32 км. Сколько километров от дома до места слёта?

Пусть $S$ — искомое расстояние от дома до места слёта в километрах.

В первый день турист прошёл $\frac{1}{3}$ всего пути, то есть $\frac{1}{3}S$. Остаток пути после первого дня составил: $S - \frac{1}{3}S = \frac{2}{3}S$.

Во второй день он прошёл $\frac{1}{3}$ от этого остатка, то есть $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}S = \frac{2}{9}S$. После второго дня осталось пройти: $\frac{2}{3}S - \frac{2}{9}S = \frac{6}{9}S - \frac{2}{9}S = \frac{4}{9}S$.

В третий день он прошёл $\frac{1}{3}$ от нового остатка, то есть $\frac{1}{3} \times \frac{4}{9}S = \frac{4}{27}S$. После трёх дней пути ему осталось пройти: $\frac{4}{9}S - \frac{4}{27}S = \frac{12}{27}S - \frac{4}{27}S = \frac{8}{27}S$.

По условию задачи, это оставшееся расстояние равно 32 км. Мы можем составить уравнение:

$\frac{8}{27}S = 32$

Теперь найдём весь путь $S$, решив это уравнение:

$S = 32 \div \frac{8}{27}$

$S = 32 \times \frac{27}{8}$

$S = 4 \times 27$

$S = 108$ км.

Ответ: 108 км.

348 Веселый турист отправился на слет, предполагая каждый день проходить треть всего пути, чтобы через 3 дня прибыть на место. В первый день он прошел треть пути. Но во второй день, устав, он прошел не треть пути, а треть остатка. И в третий день он прошел треть нового остатка. В результате ему осталось пройти еще 32 км. Сколько километров от дома до места слета?

349 Антоше подарили весы, и он начал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком – 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят машину?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие вес каждой игрушки:

• Пусть $М$ – вес машины.
• Пусть $Я$ – вес мяча.
• Пусть $К$ – вес одного кубика.

Согласно условию, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Машину уравновесили мяч и 2 кубика. Это означает, что вес машины равен сумме веса мяча и двух кубиков.

$М = Я + 2К$

2. Машину с кубиком уравновесили 2 мяча. Это означает, что вес машины и одного кубика равен весу двух мячей.

$М + К = 2Я$

Нам необходимо найти, сколько кубиков уравновесят машину, то есть выразить вес машины $М$ через вес кубика $К$. Для этого решим полученную систему уравнений.

Из первого уравнения выразим вес мяча ($Я$):

$Я = М - 2К$

Теперь подставим это выражение для $Я$ во второе уравнение:

$М + К = 2 \cdot (М - 2К)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$М + К = 2М - 4К$

Теперь сгруппируем слагаемые с $М$ в одной стороне уравнения, а слагаемые с $К$ – в другой. Для этого перенесём $М$ вправо, а $4К$ влево, изменяя их знаки при переносе:

$К + 4К = 2М - М$

Упростим обе части уравнения:

$5К = М$

Полученное равенство показывает, что вес одной машины равен весу пяти кубиков.

Ответ: 5 кубиков.

349 Антоше подарили весы, и он начал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком – 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят машину?

350 В математической олимпиаде для шестых классов 30 участников решили хотя бы по одной задаче. Арифметическую задачу решили 18 человек, геометрическую – 12, а логическую – 8. При этом все 3 задачи решили двое, только геометрическую и логическую – трое, а только арифметическую и логическую – один. Сколько участников решили только по одной задаче каждого вида? Сколько справились с двумя задачами – арифметической и геометрической?

Для решения этой задачи удобно использовать диаграммы Эйлера-Венна. Введем обозначения для множеств участников, решивших разные типы задач:

• А – множество участников, решивших арифметическую задачу.
• Г – множество участников, решивших геометрическую задачу.
• Л – множество участников, решивших логическую задачу.

Также обозначим количество участников в каждой из возможных групп:

• $N_А$ – решили только арифметическую задачу.
• $N_Г$ – решили только геометрическую задачу.
• $N_Л$ – решили только логическую задачу.
• $N_{АГ}$ – решили только арифметическую и геометрическую задачи.
• $N_{АЛ}$ – решили только арифметическую и логическую задачи.
• $N_{ГЛ}$ – решили только геометрическую и логическую задачи.
• $N_{АГЛ}$ – решили все три задачи.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Всего участников: 30. Каждый решил хотя бы одну задачу, значит, $|А \cup Г \cup Л| = 30$.
• Всего решили арифметическую задачу: $|А| = 18$.
• Всего решили геометрическую задачу: $|Г| = 12$.
• Всего решили логическую задачу: $|Л| = 8$.
• Решили все 3 задачи: $N_{АГЛ} = 2$.
• Решили только геометрическую и логическую: $N_{ГЛ} = 3$.
• Решили только арифметическую и логическую: $N_{АЛ} = 1$.

Наша цель – найти $N_А, N_Г, N_Л$ и $N_{АГ}$.

1. Найдем количество участников, решивших только логическую задачу ($N_Л$).

Общее число решивших логическую задачу ($|Л|$) складывается из тех, кто решил только ее, кто решил ее вместе с одной другой задачей, и кто решил все три:

$|Л| = N_Л + N_{АЛ} + N_{ГЛ} + N_{АГЛ}$

Подставляем известные значения:

$8 = N_Л + 1 + 3 + 2$

$8 = N_Л + 6$

$N_Л = 8 - 6 = 2$

2. Теперь составим систему уравнений для остальных неизвестных.

Для арифметической задачи:

$|А| = N_А + N_{АГ} + N_{АЛ} + N_{АГЛ}$

$18 = N_А + N_{АГ} + 1 + 2$

$N_А + N_{АГ} = 15$ (1)

Для геометрической задачи:

$|Г| = N_Г + N_{АГ} + N_{ГЛ} + N_{АГЛ}$

$12 = N_Г + N_{АГ} + 3 + 2$

$N_Г + N_{АГ} = 7$ (2)

Общее число участников – это сумма всех непересекающихся групп:

$|А \cup Г \cup Л| = N_А + N_Г + N_Л + N_{АГ} + N_{АЛ} + N_{ГЛ} + N_{АГЛ}$

$30 = N_А + N_Г + 2 + N_{АГ} + 1 + 3 + 2$

$30 = (N_А + N_Г + N_{АГ}) + 8$

$N_А + N_Г + N_{АГ} = 22$ (3)

3. Решим полученную систему уравнений.

Из уравнения (1) мы знаем, что $N_А + N_{АГ} = 15$. Подставим это в уравнение (3):

$15 + N_Г = 22$

$N_Г = 22 - 15 = 7$

Теперь, зная $N_Г$, из уравнения (2) найдем $N_{АГ}$:

$7 + N_{АГ} = 7$

$N_{АГ} = 0$

Наконец, из уравнения (1) найдем $N_А$:

$N_А + 0 = 15$

$N_А = 15$

Теперь у нас есть все необходимые данные для ответа на вопросы.

Сколько участников решили только по одной задаче каждого вида?

На основе проведенных вычислений:

• Только арифметическую задачу решили $N_А = 15$ участников.
• Только геометрическую задачу решили $N_Г = 7$ участников.
• Только логическую задачу решили $N_Л = 2$ участника.

Ответ: 15 участников решили только арифметическую задачу, 7 – только геометрическую, и 2 – только логическую.

Сколько справились с двумя задачами – арифметической и геометрической?

Это количество соответствует числу участников, которые решили только эти две задачи, то есть $N_{АГ}$.

В ходе решения мы выяснили, что $N_{АГ} = 0$.

Ответ: 0 участников.

350 В математической олимпиаде для 6-х классов 30 участников решили хотя бы по одной задаче. Арифметическую задачу решили 18 человек, геометрическую – 12, а логическую – 8. При этом все 3 задачи решили двое, только геометрическую и логическую – трое, а только арифметическую и логическую – один.

Сколько участников решили только по одной задаче каждого вида?

Сколько справились с двумя задачами – арифметической и геометрической?

360 1) А – множество целых чисел, модуль которых меньше 4; В – множество целых чисел, модуль которых меньше или равен 4; С – множество натуральных чисел, модуль которых меньше или равен 4. Запиши множества А, В и С с помощью фигурных скобок и отметь их элементы на координатной прямой. Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств А, В и С.

2) Е – множество целых чисел, модуль которых больше 2; F – множество целых чисел, модуль которых больше или равен 2; М – множество отрицательных целых чисел, модуль которых больше или равен 2. Запиши множества Е, F и М с помощью фигурных скобок и сделай рисунки. Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств Е, F и М.

A – множество целых чисел, модуль которых меньше 4. Это целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $|x| < 4$, то есть $-4 < x < 4$.

$A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

B – множество целых чисел, модуль которых меньше или равен 4. Это целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $|x| \le 4$, то есть $-4 \le x \le 4$.

$B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

C – множество натуральных чисел, модуль которых меньше или равен 4. Натуральные числа – это положительные целые числа $\{1, 2, 3, ...\}$. Условие $|x| \le 4$ для натуральных чисел эквивалентно $1 \le x \le 4$.

$C = \{1, 2, 3, 4\}$

Отметим элементы множеств A, B и C на координатной прямой:

Построим диаграмму Эйлера – Венна. Проанализируем отношения между множествами:

• Все элементы множества A входят в множество B, значит $A \subset B$.
• Все элементы множества C входят в множество B, значит $C \subset B$.
• Множества A и C пересекаются, их общие элементы: $A \cap C = \{1, 2, 3\}$.

Ответ: $A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$, $B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$, $C = \{1, 2, 3, 4\}$. Рисунки и диаграмма представлены выше.

E – множество целых чисел, модуль которых больше 2. Это целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $|x| > 2$, то есть $x > 2$ или $x < -2$.

$E = \{..., -5, -4, -3, 3, 4, 5, ...\}$

F – множество целых чисел, модуль которых больше или равен 2. Это целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $|x| \ge 2$, то есть $x \ge 2$ или $x \le -2$.

$F = \{..., -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5, ...\}$

M – множество отрицательных целых чисел, модуль которых больше или равен 2. Это целые числа $x$, удовлетворяющие двум условиям: $x < 0$ и $|x| \ge 2$. Совмещая эти условия, получаем $x \le -2$.

$M = \{..., -5, -4, -3, -2\}$

Сделаем рисунки (отметим элементы на координатной прямой):

Построим диаграмму Эйлера – Венна. Проанализируем отношения между множествами:

• Все элементы множества E входят в множество F, значит $E \subset F$.
• Все элементы множества M входят в множество F, значит $M \subset F$.
• Множества E и M пересекаются. Их пересечение $E \cap M$ — это множество отрицательных целых чисел, меньших -2.
• Разность $M \setminus E$ содержит один элемент: $\{-2\}$.
• Разность $E \setminus M$ содержит все целые числа, большие 2: $\{3, 4, 5, ...\}$.
• Разность $F \setminus (E \cup M)$ содержит один элемент: $\{2\}$.

Ответ: $E = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| > 2\}$, $F = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \ge 2\}$, $M = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -2\}$. Рисунки и диаграмма представлены выше.

360 1) A – множество целых чисел, модуль которых $\vert x \vert \lt 4$; B – множество целых чисел, модуль которых $\vert x \vert \le 4$; C – множество натуральных чисел, модуль которых $\vert x \vert \le 4$. Запиши множества A, B и C с помощью фигурных скобок и отметь их элементы на координатной прямой. Построй диаграмму Эйлера–Венна множеств A, B и C.

2) E – множество целых чисел, модуль которых $\vert x \vert \gt 2$; F – множество целых чисел, модуль которых $\vert x \vert \ge 2$; M – множество отрицательных целых чисел, модуль которых $\vert x \vert \ge 2$. Запиши множества E, F и M с помощью фигурных скобок и сделай рисунки. Построй диаграмму Эйлера–Венна множеств E, F и M.

361 Найди множество всех целых чисел, удовлетворяющих неравенств, и сделай рисунки.

а) $|x| < 3$

б) $|x| \le 3$

в) $|x| > 3$

г) $|x| \ge 3$

д) $5 > |y|$

е) $2 \ge |y|$

ж) $1 < |y|$

з) $6 \le |y|$

и) $|z| < 1,8$

к) $|z| \le 1,8$

л) $|z| > 1,8$

м) $|z| \ge 1,8$

н) $1 < |t| < 4$

о) $1 \le |t| < 4$

п) $1 < |t| \le 4$

р) $1 \le |t| \le 4$

Образец:

$2 \le |a| < 5$

$\{-4; -3; -2; 2; 3; 4\}$

а)

Неравенство $|x| < 3$ равносильно двойному неравенству $-3 < x < 3$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: $\{-2; -1; 0; 1; 2\}$

б)

Неравенство $|x| \le 3$ равносильно двойному неравенству $-3 \le x \le 3$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: $\{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$

в)

Неравенство $|x| > 3$ равносильно совокупности двух неравенств: $x > 3$ или $x < -3$.

Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -5, -4, а также 4, 5, ...

Ответ: $\{x \in \mathbb{Z} \mid x < -3 \text{ или } x > 3\} = \{..., -5, -4, 4, 5, ...\}$

г)

Неравенство $|x| \ge 3$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 3$ или $x \le -3$.

Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -4, -3, а также 3, 4, ...

Ответ: $\{x \in \mathbb{Z} \mid x \le -3 \text{ или } x \ge 3\} = \{..., -4, -3, 3, 4, ...\}$

д)

Неравенство $5 > |y|$ можно переписать как $|y| < 5$. Оно равносильно двойному неравенству $-5 < y < 5$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: $\{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4\}$

е)

Неравенство $2 \ge |y|$ можно переписать как $|y| \le 2$. Оно равносильно двойному неравенству $-2 \le y \le 2$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: $\{-2; -1; 0; 1; 2\}$

ж)

Неравенство $1 < |y|$ можно переписать как $|y| > 1$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $y > 1$ или $y < -1$.

Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -3, -2, а также 2, 3, ...

Ответ: $\{y \in \mathbb{Z} \mid y < -1 \text{ или } y > 1\} = \{..., -3, -2, 2, 3, ...\}$

з)

Неравенство $6 \le |y|$ можно переписать как $|y| \ge 6$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $y \ge 6$ или $y \le -6$.

Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -7, -6, а также 6, 7, ...

Ответ: $\{y \in \mathbb{Z} \mid y \le -6 \text{ или } y \ge 6\} = \{..., -7, -6, 6, 7, ...\}$

и)

Неравенство $|z| < 1.8$ равносильно двойному неравенству $-1.8 < z < 1.8$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -1, 0, 1.

Ответ: $\{-1; 0; 1\}$

к)

Неравенство $|z| \le 1.8$ равносильно двойному неравенству $-1.8 \le z \le 1.8$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -1, 0, 1.

Ответ: $\{-1; 0; 1\}$

л)

Неравенство $|z| > 1.8$ равносильно совокупности двух неравенств: $z > 1.8$ или $z < -1.8$. Целые решения: $z \ge 2$ или $z \le -2$.

Множество целых чисел: ..., -3, -2, а также 2, 3, ...

Ответ: $\{z \in \mathbb{Z} \mid z \le -2 \text{ или } z \ge 2\} = \{..., -3, -2, 2, 3, ...\}$

м)

Неравенство $|z| \ge 1.8$ равносильно совокупности двух неравенств: $z \ge 1.8$ или $z \le -1.8$. Целые решения: $z \ge 2$ или $z \le -2$.

Множество целых чисел: ..., -3, -2, а также 2, 3, ...

Ответ: $\{z \in \mathbb{Z} \mid z \le -2 \text{ или } z \ge 2\} = \{..., -3, -2, 2, 3, ...\}$

н)

Неравенство $1 < |t| < 4$ равносильно совокупности: $1 < t < 4$ или $-4 < t < -1$.

Целые решения: 2, 3, а также -3, -2.

Ответ: $\{-3; -2; 2; 3\}$

о)

Неравенство $1 \le |t| < 4$ равносильно совокупности: $1 \le t < 4$ или $-4 < t \le -1$.

Целые решения: 1, 2, 3, а также -3, -2, -1.

Ответ: $\{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}$

п)

Неравенство $1 < |t| \le 4$ равносильно совокупности: $1 < t \le 4$ или $-4 \le t < -1$.

Целые решения: 2, 3, 4, а также -4, -3, -2.

Ответ: $\{-4; -3; -2; 2; 3; 4\}$

р)

Неравенство $1 \le |t| \le 4$ равносильно совокупности: $1 \le t \le 4$ или $-4 \le t \le -1$.

Целые решения: 1, 2, 3, 4, а также -4, -3, -2, -1.

Ответ: $\{-4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4\}$

361 Найди множество всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству, и сделай рисунки.

а) $ |x| < 3; $

б) $ |x| \le 3; $

в) $ |x| > 3; $

г) $ |x| \ge 3; $

д) $ 5 > |y|; $

е) $ 2 \ge |y|; $

ж) $ 1 < |y|; $

з) $ 6 \le |y|; $

и) $ |z| < 1.8; $

к) $ |z| \le 1.8; $

л) $ |z| > 1.8; $

м) $ |z| \ge 1.8; $

н) $ 1 < |t| < 4; $

о) $ 1 \le |t| < 4; $

п) $ 1 < |t| \le 4; $

р) $ 1 \le |t| \le 4. $

Образец:

$ 2 \le |a| < 5 $

$ \{-4; -3; -2; 2; 3; 4\} $

362 Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков:

a) $-(+7);$

б) $-(-5);$

в) $-(-\frac{4}{11});$

г) $-(+3,2);$

д) $+(+2);$

е) $+(-1);$

ж) $+(+\frac{3}{4});$

з) $+(-0,5);$

и) $-(-6);$

к) $-(+4);$

л) $+(-\frac{2}{7});$

м) $+(+1,6);$

н) $+(-(+3));$

о) $-(+(+5));$

п) $+(+(-(-7)));$

р) $-(+(-(+9))).$

Для раскрытия скобок воспользуемся правилами знаков:

• Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются: $+(+a) = +a$, $+(-b) = -b$.
• Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные: $-(+a) = -a$, $-(-b) = +b$.

а) В выражении $-(+7)$ знак минус стоит перед скобкой с положительным числом. Минус на плюс дает минус.

$-(+7) = -7$

Ответ: $-7$

б) В выражении $-(-5)$ знак минус стоит перед скобкой с отрицательным числом. Минус на минус дает плюс.

$-(-5) = 5$

Ответ: $5$

в) В выражении $-(- \frac{4}{11})$ знак минус стоит перед скобкой с отрицательным числом. Минус на минус дает плюс.

$-(- \frac{4}{11}) = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

г) В выражении $-(+3,2)$ знак минус стоит перед скобкой с положительным числом. Минус на плюс дает минус.

$-(+3,2) = -3,2$

Ответ: $-3,2$

д) В выражении $+(+2)$ знак плюс стоит перед скобкой с положительным числом. Плюс на плюс дает плюс.

$+(+2) = 2$

Ответ: $2$

е) В выражении $+(-1)$ знак плюс стоит перед скобкой с отрицательным числом. Плюс на минус дает минус.

$+(-1) = -1$

Ответ: $-1$

ж) В выражении $+(+ \frac{3}{4})$ знак плюс стоит перед скобкой с положительным числом. Плюс на плюс дает плюс.

$+(+ \frac{3}{4}) = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

з) В выражении $+(-0,5)$ знак плюс стоит перед скобкой с отрицательным числом. Плюс на минус дает минус.

$+(-0,5) = -0,5$

Ответ: $-0,5$

и) В выражении $-(-6)$ знак минус стоит перед скобкой с отрицательным числом. Минус на минус дает плюс.

$-(-6) = 6$

Ответ: $6$

к) В выражении $-(+4)$ знак минус стоит перед скобкой с положительным числом. Минус на плюс дает минус.

$-(+4) = -4$

Ответ: $-4$

л) В выражении $+(- \frac{2}{7})$ знак плюс стоит перед скобкой с отрицательным числом. Плюс на минус дает минус.

$+(- \frac{2}{7}) = - \frac{2}{7}$

Ответ: $- \frac{2}{7}$

м) В выражении $+(+1,6)$ знак плюс стоит перед скобкой с положительным числом. Плюс на плюс дает плюс.

$+(+1,6) = 1,6$

Ответ: $1,6$

н) Раскроем скобки последовательно, начиная с внутренних. Сначала раскрываем внутренние скобки: $-(+3) = -3$. Затем раскрываем внешние: $+(-3) = -3$.

$+(-(+3)) = +(-3) = -3$

Ответ: $-3$

о) Раскроем скобки изнутри. Сначала $+(+5) = +5$. Теперь выражение выглядит как $-(+5)$. Минус перед плюсом дает минус.

$-(+(+5)) = -(+5) = -5$

Ответ: $-5$

п) Раскроем скобки последовательно изнутри. Сначала $-(-7) = +7$. Выражение становится $+(+(+7))$. Далее, $+(+7) = +7$. И, наконец, $+(+7) = +7$.

$+(+(-(-7))) = +(+(+7)) = 7$

Ответ: $7$

р) Раскроем скобки последовательно изнутри. Сначала $-(+9) = -9$. Выражение становится $-(+(-9))$. Далее, $+(-9) = -9$. И, наконец, $-(-9) = +9$.

$-(+(-(+9))) = -(-(-9)) = -(-9) = 9$

Ответ: $9$

362 Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков:

а) $-(+7);$

б) $-(-5);$

в) $-(-\frac{4}{11});$

г) $-(+3,2);$

д) $+(+2);$

е) $+(-1);$

ж) $+(+\frac{3}{4});$

з) $+(-0,5);$

и) $-(-6);$

к) $-(+4);$

л) $+(-\frac{2}{7});$

м) $+(+1,6);$

н) $+(-(+3));$

о) $-(+(+5));$

п) $+(+(-(-7)));$

р) $-(+(-(+9)));$

П 363 Вычисли устно и продолжи ряд ответов на два числа, сохраняя закономерность.

1) $(1,8) \xrightarrow{\text{· 5}} ( ) \xrightarrow{\text{- 3,6}} ( ) \xrightarrow{\text{: 0,9}} ( ) \xrightarrow{\text{· 0,2}} ( ) \xrightarrow{\text{+ 0,05}} ( ? )$

2) $(2) \xrightarrow{\text{: 3}} ( ) \xrightarrow{\text{· } \frac{3}{4}} ( ) \xrightarrow{\text{+ 0,5}} ( ) \xrightarrow{\text{- } \frac{4}{9}} ( ) \xrightarrow{\text{· 4,5}} ( ? )$

3) $(2,3) \xrightarrow{\text{+ 1,7}} ( ) \xrightarrow{\text{: 5}} ( ) \xrightarrow{\text{· 0,1}} ( ) \xrightarrow{\text{- 0,03}} ( ) \xrightarrow{\text{: 0,01}} ( ? )$

4) $(\frac{1}{3}) \xrightarrow{\text{+ 0,2}} ( ) \xrightarrow{\text{: } \frac{2}{15}} ( ) \xrightarrow{\text{· } \frac{3}{4}} ( ) \xrightarrow{\text{- } 1\frac{1}{3}} ( ) \xrightarrow{\text{· 6}} ( ? )$

1)

$1,8 \cdot 5 = 9$
$9 - 3,6 = 5,4$
$5,4 : 0,9 = 54 : 9 = 6$
$6 \cdot 0,2 = 1,2$
$1,2 + 0,05 = 1,25$

Ответ: 1,25

2)

$2 : 3 = \frac{2}{3}$
$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} + 0,5 = 0,5 + 0,5 = 1$
$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
$\frac{5}{9} \cdot 4,5 = \frac{5}{9} \cdot \frac{45}{10} = \frac{5}{9} \cdot \frac{9}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5

3)

$2,3 + 1,7 = 4$
$4 : 5 = \frac{4}{5} = 0,8$
$0,8 \cdot 0,1 = 0,08$
$0,08 - 0,03 = 0,05$
$0,05 : 0,01 = 5 : 1 = 5$

Ответ: 5

4)

$\frac{1}{3} + 0,2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{10} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$
$\frac{8}{15} : \frac{2}{15} = \frac{8}{15} \cdot \frac{15}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$4 \cdot \frac{3}{4} = 3$
$3 - 1\frac{1}{3} = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9}{3} - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$
$\frac{5}{3} \cdot 6 = 5 \cdot \frac{6}{3} = 5 \cdot 2 = 10$

Ответ: 10

В результате вычислений получился ряд ответов: 1,25; 2,5; 5; 10.

Закономерность этого ряда заключается в том, что каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего. Это геометрическая прогрессия со знаменателем 2.
$1,25 \cdot 2 = 2,5$
$2,5 \cdot 2 = 5$
$5 \cdot 2 = 10$

Чтобы продолжить ряд, найдем два следующих числа, умножая каждый раз на 2:
$10 \cdot 2 = 20$
$20 \cdot 2 = 40$

Ответ: Следующие два числа в ряду — 20 и 40.

П 363 Вычисли устно и продолжи ряд ответов на два числа, сохраняя закономерность:

1) $1,8$, $\cdot 5$, $-3,6$, $: 0,9$, $\cdot 0,2$, $+0,05$, ?

2) $2$, $: 3$, $\cdot \frac{3}{4}$, $+0,5$, $-\frac{4}{9}$, $\cdot 4,5$, ?

3) $2,3$, $+1,7$, $: 5$, $\cdot 0,1$, $-0,03$, $: 0,01$, ?

4) $\frac{1}{3}$, $+0,2$, $: \frac{2}{15}$, $\cdot \frac{3}{4}$, $-1\frac{1}{3}$, $\cdot 6$, ?

358 a) Построй отрезок $AB$, равный 5 см. Затем проведи две дуги радиусом 4 см и центрами в точках $A$ и $B$ до их пересечения в точке $C$. Соедини точки $A$, $B$ и $C$ отрезками и определи вид треугольника $ABC$.

Измерь с помощью транспортира углы получившегося треугольника. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. На какие виды треугольников её можно распространить?

а)

1. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной 5 см.

2. С помощью циркуля из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом 4 см.

3. Не меняя раствора циркуля, из точки $B$ как из центра проводим вторую дугу радиусом 4 см так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения дуг обозначаем буквой $C$.

4. Соединяем отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$. Получаем треугольник $ABC$.

Определим вид треугольника. По построению мы имеем следующие длины сторон:
- $AB = 5$ см (задано)
- $AC = 4$ см (радиус дуги с центром в A)
- $BC = 4$ см (радиус дуги с центром в B)

Поскольку две стороны треугольника равны ($AC = BC$), то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.
Ответ: Треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Измерив углы получившегося треугольника с помощью транспортира, мы получим примерные значения: $\angle A \approx 51^\circ$, $\angle B \approx 51^\circ$, $\angle C \approx 78^\circ$.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что углы при основании $AB$ равны между собой: $\angle A = \angle B$.

Сформулируй гипотезу.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

На какие виды треугольников её можно распространить?
Эта гипотеза верна для всех равнобедренных треугольников. Также её можно распространить на равносторонние треугольники, так как они являются частным случаем равнобедренных (у них равны не две, а все три стороны, и, следовательно, все три угла).
Ответ: Гипотезу можно распространить на все равнобедренные и равносторонние треугольники.

Построй отрезок $AB$, равный $5 \text{ см}$. Затем проведи две дуги радиусом $4 \text{ см}$ и центрами в точках $A$ и $B$ до их пересечения в точке $C$. Соедини точки $A$, $B$ и $C$ отрезками и определи вид треугольника $ABC$.

Измерь с помощью транспортира углы получившегося треугольника. Что ты замечаешь?

Сформулируй гипотезу. На какие виды треугольников ее можно распространить?

359. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Рассмотри все возможные случаи и сделай рисунки. Является ли это разбиение классификацией?

Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяется расстоянием от центра окружности до прямой. В зависимости от этого расстояния, прямая и окружность могут иметь ноль, одну или две общие точки. Рассмотрим все три случая.

Пусть $r$ — радиус окружности, а $d$ — расстояние от ее центра до прямой.

Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности ($d > r$). Прямая проходит "мимо" окружности, не задевая ее.

Ответ: 0 общих точек.

Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности ($d = r$). Такая прямая называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой касания.

Ответ: 1 общая точка.

Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ($d < r$). Такая прямая называется секущей по отношению к окружности.

Ответ: 2 общие точки.

Да, данное разбиение на три случая является классификацией. Классификация — это разделение множества объектов на непересекающиеся подмножества, которые в совокупности исчерпывают все множество. В данном случае:

• Исчерпываемость: Любое возможное взаимное расположение прямой и окружности на плоскости обязательно попадет в один из трех рассмотренных случаев (расстояние $d$ не может быть ничем иным, кроме как больше, равно или меньше радиуса $r$).
• Непересекаемость: Никакое конкретное расположение прямой и окружности не может одновременно принадлежать двум разным случаям (например, прямая не может одновременно и касаться окружности, и пересекать ее в двух точках). Условия $d > r$, $d = r$ и $d < r$ являются взаимоисключающими.

Ответ: Да, является.

359. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Рассмотри все возможные случаи и сделай рисунки. Является ли это разбиение классификацией?

360 Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с этой окружностью одну общую точку. Начерти прямую, касательную к окружности, и проведи радиус в точку касания. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли распространить её на секущие к окружности? Почему?

Чтобы ответить на поставленные вопросы, сначала выполним построение, описанное в задаче.
1. Начертим окружность с центром в точке $O$.
2. Выберем на окружности произвольную точку $A$.
3. Проведем через точку $A$ прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку. Эта прямая является касательной к окружности.
4. Соединим центр окружности $O$ с точкой касания $A$. Отрезок $OA$ — это радиус, проведенный в точку касания.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Визуально можно заметить, что угол между радиусом $OA$ и касательной прямой в точке $A$ является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

На основе этого наблюдения можно сформулировать следующую гипотезу:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: Я замечаю, что радиус, проведенный в точку касания, и касательная образуют прямой угол. Гипотеза: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Можно ли распространить её на секущие к окружности? Почему?

Нет, эту гипотезу нельзя распространить на секущие к окружности. Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Приведем объяснение.
Пусть прямая $b$ пересекает окружность с центром в точке $O$ в двух точках — $B$ и $C$. Проведем радиусы $OB$ и $OC$ к этим точкам пересечения.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Стороны $OB$ и $OC$ равны, так как являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC = r$). Это означает, что треугольник $\triangle OBC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Эти углы и есть углы между секущей и радиусами, проведенными в точки пересечения.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Если бы углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ были прямыми (по $90^\circ$ каждый), то их сумма составила бы $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. В этом случае на третий угол, $\angle BOC$, пришлось бы $0^\circ$, что невозможно, так как точки $B$ и $C$ — разные. Следовательно, углы между секущей и радиусами, проведенными в точки пересечения, не могут быть прямыми.

Ответ: Нет, нельзя. Потому что секущая пересекает окружность в двух точках, и радиусы, проведенные в эти точки, образуют с секущей острые углы, а не прямые.

360 Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с этой окружностью одну общую точку. Начерти прямую, касательную к окружности, и проведи радиус в точку касания. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли распространить ее на секущие к окружности? Почему?

Π 361 Какие из окружностей на рисунке являются вписанными в треугольник, а какие — описанными около него? Выяви существенные признаки вписанной и описанной окружностей и предложи свой вариант определений этих понятий.

1) 2) 3) 4)

Какие из окружностей на рисунке являются вписанными в треугольник, а какие – описанными около него?

Чтобы определить тип окружности, воспользуемся стандартными определениями:

• Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
• Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Проанализировав изображения, можно сделать следующие выводы:

• На рисунках 1 и 4 все три вершины треугольников лежат на окружности. Следовательно, эти окружности являются описанными.
• На рисунках 2 и 3 окружности касаются всех трех сторон треугольников. Следовательно, эти окружности являются вписанными.

Ответ: Вписанные окружности изображены на рисунках 2 и 3. Описанные окружности изображены на рисунках 1 и 4.

Выяви существенные признаки вписанной и описанной окружностей

Существенные признаки вписанной окружности:

• Главный признак: окружность касается всех трёх сторон треугольника.
• Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.
• Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу $R$.

Существенные признаки описанной окружности:

• Главный признак: окружность проходит через все три вершины треугольника.
• Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
• Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника. Расстояние от центра до любой вершины равно радиусу $R$.

Ответ: Существенный признак вписанной окружности — касание всех сторон треугольника. Существенный признак описанной окружности — прохождение через все вершины треугольника.

предложи свой вариант определений этих понятий

Основываясь на свойствах центров этих окружностей, можно дать следующие определения:

Вариант определения для вписанной окружности:

Вписанной в треугольник называется окружность, центр которой является точкой пересечения биссектрис углов этого треугольника, а радиус равен длине перпендикуляра, проведенного из центра к любой из его сторон.

Вариант определения для описанной окружности:

Описанной около треугольника называется окружность, центр которой является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника, а радиус равен расстоянию от центра до любой из его вершин.

Ответ: См. предложенные варианты определений выше.

$\Pi$ 361 Какие из окружностей на рисунке являются вписанными в треугольник, а какие – описанными около него? Выяви существенные признаки вписанной и описанной окружностей и предложи свой вариант определений этих понятий.

1) 2) 3) 4)

362 Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй общенаучное понятие. Что оно означает?

3 $ \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{15} $

Т $ \frac{5}{12} \cdot \left(-2\frac{4}{7}\right) $

П $ 8 : \left(-1\frac{7}{9}\right) $

Г $ 2\frac{5}{11} \cdot \left(-4\frac{8}{9}\right) $

О $ -9 \cdot \frac{16}{45} $

А $ -\frac{2}{9} \cdot (-3,6) $

И $ -5 : 0,6 $

Е $ -\frac{4}{9} : \left(-2\frac{21}{3}\right) $

Для того чтобы расшифровать слово, необходимо решить каждый пример и найти его ответ.

З

$ \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 15} = \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 5} = \frac{4}{35} $

Ответ: $ \frac{4}{35} $

Т

$ \frac{5}{12} \cdot (-2\frac{4}{7}) = \frac{5}{12} \cdot (-\frac{2 \cdot 7 + 4}{7}) = \frac{5}{12} \cdot (-\frac{18}{7}) = -\frac{5 \cdot 18}{12 \cdot 7} = -\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 7} = -\frac{15}{14} = -1\frac{1}{14} $

Ответ: $ -1\frac{1}{14} $

П

$ 8 : (-1\frac{7}{9}) = 8 : (-\frac{1 \cdot 9 + 7}{9}) = 8 : (-\frac{16}{9}) = 8 \cdot (-\frac{9}{16}) = -\frac{8 \cdot 9}{16} = -\frac{1 \cdot 9}{2} = -\frac{9}{2} = -4,5 $

Ответ: $ -4,5 $

Г

$ 2\frac{5}{11} \cdot (-4\frac{8}{9}) = \frac{2 \cdot 11 + 5}{11} \cdot (-\frac{4 \cdot 9 + 8}{9}) = \frac{27}{11} \cdot (-\frac{44}{9}) = -\frac{27 \cdot 44}{11 \cdot 9} = -\frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 1} = -12 $

Ответ: $ -12 $

О

$ -9 \cdot \frac{16}{45} = -\frac{9 \cdot 16}{45} = -\frac{1 \cdot 16}{5} = -\frac{16}{5} = -3,2 $

Ответ: $ -3,2 $

А

$ -\frac{2}{9} \cdot (-3,6) = \frac{2}{9} \cdot 3,6 = \frac{2}{9} \cdot \frac{36}{10} = \frac{2 \cdot 36}{9 \cdot 10} = \frac{2 \cdot 4}{10} = \frac{8}{10} = 0,8 $

Ответ: $ 0,8 $

И

$ -5 : 0,6 = -5 : \frac{6}{10} = -5 \cdot \frac{10}{6} = -\frac{50}{6} = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} $

Ответ: $ -8\frac{1}{3} $

Е

$ -\frac{4}{9} : (-2\frac{1}{3}) = -\frac{4}{9} : (-\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{9} : (-\frac{7}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 7} = \frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21} $

Ответ: $ \frac{4}{21} $

Теперь расположим полученные ответы в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

• Г: $ -12 $
• И: $ -8\frac{1}{3} \approx -8,33 $
• П: $ -4,5 $
• О: $ -3,2 $
• Т: $ -1\frac{1}{14} \approx -1,07 $
• З: $ \frac{4}{35} \approx 0,114 $
• Е: $ \frac{4}{21} \approx 0,190 $
• А: $ 0,8 $

Итоговый порядок: $ -12 < -8\frac{1}{3} < -4,5 < -3,2 < -1\frac{1}{14} < \frac{4}{35} < \frac{4}{21} < 0,8 $.

Сопоставив буквам ответы, получим последовательность: Г, И, П, О, Т, З, Е, А. Это дает слово "ГИПОТЗЕА", которое не является общенаучным понятием. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если поменять местами ответы для букв З и Е (которые близки по значению), то получится слово ГИПОТЕЗА.

Что означает слово "гипотеза"?

Гипотеза — это научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-либо явлений, которое требует проверки на опыте и теоретического обоснования для того, чтобы стать достоверной научной теорией. Иными словами, это обоснованная догадка, которая ещё не доказана, но служит отправной точкой для дальнейших исследований и экспериментов.

362 Расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй общенаучное понятие. Что оно означает?

З $\frac{3}{7} \cdot \frac{4}{15}$

Т $\frac{5}{12} \cdot \left(-2 \frac{4}{7}\right)$

П $8 : \left(-1 \frac{1}{9}\right)$

Г $2 \frac{5}{11} \cdot \left(-4 \frac{8}{9}\right)$

О $-9 \cdot \frac{16}{45}$

А $-\frac{2}{9} \cdot (-3,6)$

И $-5 : 0,6$

Е $-\frac{4}{9} : \left(-2 \frac{21}{3}\right)$

363 Прочитай предложения. Определениями каких понятий они могут служить? Почему? Поясни их с помощью диаграмм Эйлера – Венна и проиллюстрируй примерами из разных областей знания:

1) $A \subset B \iff (a \in A \implies a \in B);$

2) $x \in A \cap B \iff x \in A \text{ и } x \in B;$

3) $x \in A \cup B \iff x \in A \text{ или } x \in B.$

Представленные предложения являются формальными определениями основных понятий и операций теории множеств. Они служат определениями, поскольку используют знак логической эквивалентности ($ \Leftrightarrow $, "тогда и только тогда, когда"), который устанавливает точное и однозначное соответствие между определяемым понятием (слева) и его условиями (справа).

1) $A \subset B \Leftrightarrow (a \in A \Rightarrow a \in B)$

Это определение понятия "подмножество". Оно гласит: множество A является подмножеством множества B тогда и только тогда, когда каждый элемент множества A также является элементом множества B.

Диаграмма Эйлера-Венна:

На диаграмме круг, представляющий множество A, полностью находится внутри круга, представляющего множество B.

Примеры:
• Биология: Множество всех китов (A) является подмножеством множества всех млекопитающих (B), так как каждый кит является млекопитающим.
• География: Множество городов Московской области (A) является подмножеством множества всех городов России (B).

Ответ: Данное предложение является определением понятия "подмножество".

2) $x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \text{ и } x \in B$

Это определение операции "пересечение множеств". Оно гласит: элемент x принадлежит пересечению множеств A и B тогда и только тогда, когда x принадлежит и множеству A, и множеству B.

Диаграмма Эйлера-Венна:

На диаграмме пересечение — это общая закрашенная область, где два круга (множества A и B) накладываются друг на друга.

Примеры:
• Лингвистика: Пусть A — множество существительных в предложении, а B — множество слов, начинающихся на букву "с". Пересечением $A \cap B$ будет множество существительных в этом предложении, которые начинаются на букву "с".
• Хобби: Пусть A — множество людей, которые любят читать книги, а B — множество людей, которые любят смотреть фильмы. Пересечением $A \cap B$ будет множество людей, которые любят и читать книги, и смотреть фильмы.

Ответ: Данное предложение является определением операции "пересечение множеств".

3) $x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \text{ или } x \in B$

Это определение операции "объединение множеств". Оно гласит: элемент x принадлежит объединению множеств A и B тогда и только тогда, когда x принадлежит множеству A, или множеству B, или им обоим одновременно.

Диаграмма Эйлера-Венна:

На диаграмме объединение — это вся область, занимаемая обоими кругами, включая их общую часть.

Примеры:
• Образование: В школе есть кружок по математике (множество учеников A) и кружок по физике (множество учеников B). Объединением $A \cup B$ будет множество всех учеников, которые посещают хотя бы один из этих кружков.
• Транспорт: Пусть A — множество городов, куда можно долететь прямым рейсом из Москвы, а B — множество городов, куда можно долететь прямым рейсом из Санкт-Петербурга. Объединение $A \cup B$ — это множество всех городов, в которые можно попасть прямым рейсом либо из Москвы, либо из Санкт-Петербурга.

Ответ: Данное предложение является определением операции "объединение множеств".

363 Прочитай предложения. Определениями каких понятий они могут служить? Почему? Поясни их с помощью диаграмм Эйлера-Венна и проиллюстрируй примерами из разных областей знания:

1) $A \subset B \Leftrightarrow (a \in A \Rightarrow a \in B);$

2) $x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \text{ и } x \in B;$

3) $x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \text{ или } x \in B.$

364 Прочитай высказывания и проиллюстрируй их с помощью диаграмм Эйлера–Венна. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

1) $A \subset B \text{ и } B \subset C \implies A \subset C$;

2) $A \subset C \text{ и } B \subset C \implies A \subset B$;

3) $x \in A \text{ и } A \subset B \implies x \in B$;

4) $x \in B \text{ и } A \subset B \implies x \in A$.

1) $A \subset B$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset C$

Это высказывание истинно. Оно выражает свойство транзитивности для отношения включения множеств. Если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$ (что означает $A \subset B$), и каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $C$ (что означает $B \subset C$), то из этого логически следует, что каждый элемент множества $A$ является элементом множества $C$ (то есть $A \subset C$).

Иллюстрация с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

Как видно из диаграммы, если область $A$ полностью находится внутри области $B$, а область $B$ полностью находится внутри области $C$, то область $A$ также полностью находится внутри области $C$.

Ответ: Высказывание истинно.

2) $A \subset C$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset B$

Это высказывание ложно. То, что два множества являются подмножествами третьего, не означает, что одно из них обязано быть подмножеством другого. Они могут быть непересекающимися, пересекающимися или даже совпадать, но следствие $A \subset B$ не является обязательным.

Иллюстрация (контрпример) с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме показана ситуация, где $A \subset C$ и $B \subset C$, но при этом $A$ не является подмножеством $B$ (и $B$ не является подмножеством $A$).

Построение отрицания и обоснование его истинности:
Отрицанием импликации $P \Rightarrow Q$ является конъюнкция $P \land \neg Q$. В данном случае отрицание звучит так: "Существуют такие множества $A, B, C$, что ($A \subset C$ и $B \subset C$), и при этом $A \not\subset B$".

Это отрицание истинно. Для его обоснования достаточно привести контрпример. Пусть универсальное множество $C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, множество $A = \{1, 2\}$ и множество $B = \{3, 4\}$. Тогда условия $A \subset C$ (т.к. $\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$) и $B \subset C$ (т.к. $\{3, 4\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$) выполнены. Однако, $A \not\subset B$, так как элемент $1 \in A$, но $1 \notin B$. Поскольку мы нашли контрпример, исходное высказывание ложно.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существуют множества $A, B, C$ такие, что $(A \subset C) \land (B \subset C) \land (A \not\subset B)$", и это отрицание истинно.

3) $x \in A$ и $A \subset B \Rightarrow x \in B$

Это высказывание истинно. Оно следует непосредственно из определения подмножества. Запись $A \subset B$ означает, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. Поэтому, если элемент $x$ принадлежит $A$, он по определению должен принадлежать и $B$.

Иллюстрация с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

Диаграмма показывает, что если точка $x$ находится в области $A$, а область $A$ полностью находится в области $B$, то точка $x$ автоматически оказывается и в области $B$.

Ответ: Высказывание истинно.

4) $x \in B$ и $A \subset B \Rightarrow x \in A$

Это высказывание ложно. Если $A$ является подмножеством $B$, это означает, что все элементы $A$ есть в $B$, но не обязательно, что все элементы $B$ есть в $A$ (это было бы верно только в случае $A=B$). В общем случае в множестве $B$ могут существовать элементы, которые не принадлежат $A$.

Иллюстрация (контрпример) с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме показана ситуация, где $A \subset B$ и $x \in B$, но при этом $x$ находится вне области $A$, то есть $x \notin A$.

Построение отрицания и обоснование его истинности:
Отрицанием импликации $P \Rightarrow Q$ является $P \land \neg Q$. В данном случае отрицание звучит так: "Существуют такие множества $A, B$ и элемент $x$, что ($x \in B$ и $A \subset B$), и при этом $x \notin A$".

Это отрицание истинно. Для обоснования приведем контрпример. Пусть $B = \{1, 2, 3\}$, $A = \{1, 2\}$ и $x = 3$. Тогда условия $A \subset B$ и $x \in B$ (поскольку $3 \in \{1, 2, 3\}$) выполнены. Однако, $x \notin A$, так как $3 \notin \{1, 2\}$. Поскольку мы нашли контрпример, исходное высказывание ложно.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существуют множество $A$, множество $B$ и элемент $x$ такие, что $(x \in B) \land (A \subset B) \land (x \notin A)$", и это отрицание истинно.

364 Прочитай высказывания и проиллюстрируй их с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

1) $A \subset B$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset C$;

2) $A \subset C$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset B$;

3) $x \in A$ и $A \subset B \Rightarrow x \in B$;

4) $x \in B$ и $A \subset B \Rightarrow x \in A$.