Номер 350, страница 82, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 1. Понятие о проценте - номер 350, страница 82.

Условие 2023.

350 В математической олимпиаде для шестых классов 30 участников решили хотя бы по одной задаче. Арифметическую задачу решили 18 человек, геометрическую – 12, а логическую – 8. При этом все 3 задачи решили двое, только геометрическую и логическую – трое, а только арифметическую и логическую – один. Сколько участников решили только по одной задаче каждого вида? Сколько справились с двумя задачами – арифметической и геометрической?

Решение 2 (2023).

Для решения этой задачи удобно использовать диаграммы Эйлера-Венна. Введем обозначения для множеств участников, решивших разные типы задач:

• А – множество участников, решивших арифметическую задачу.
• Г – множество участников, решивших геометрическую задачу.
• Л – множество участников, решивших логическую задачу.

Также обозначим количество участников в каждой из возможных групп:

• $N_А$ – решили только арифметическую задачу.
• $N_Г$ – решили только геометрическую задачу.
• $N_Л$ – решили только логическую задачу.
• $N_{АГ}$ – решили только арифметическую и геометрическую задачи.
• $N_{АЛ}$ – решили только арифметическую и логическую задачи.
• $N_{ГЛ}$ – решили только геометрическую и логическую задачи.
• $N_{АГЛ}$ – решили все три задачи.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Всего участников: 30. Каждый решил хотя бы одну задачу, значит, $|А \cup Г \cup Л| = 30$.
• Всего решили арифметическую задачу: $|А| = 18$.
• Всего решили геометрическую задачу: $|Г| = 12$.
• Всего решили логическую задачу: $|Л| = 8$.
• Решили все 3 задачи: $N_{АГЛ} = 2$.
• Решили только геометрическую и логическую: $N_{ГЛ} = 3$.
• Решили только арифметическую и логическую: $N_{АЛ} = 1$.

Наша цель – найти $N_А, N_Г, N_Л$ и $N_{АГ}$.

1. Найдем количество участников, решивших только логическую задачу ($N_Л$).

Общее число решивших логическую задачу ($|Л|$) складывается из тех, кто решил только ее, кто решил ее вместе с одной другой задачей, и кто решил все три:

$|Л| = N_Л + N_{АЛ} + N_{ГЛ} + N_{АГЛ}$

Подставляем известные значения:

$8 = N_Л + 1 + 3 + 2$

$8 = N_Л + 6$

$N_Л = 8 - 6 = 2$

2. Теперь составим систему уравнений для остальных неизвестных.

Для арифметической задачи:

$|А| = N_А + N_{АГ} + N_{АЛ} + N_{АГЛ}$

$18 = N_А + N_{АГ} + 1 + 2$

$N_А + N_{АГ} = 15$ (1)

Для геометрической задачи:

$|Г| = N_Г + N_{АГ} + N_{ГЛ} + N_{АГЛ}$

$12 = N_Г + N_{АГ} + 3 + 2$

$N_Г + N_{АГ} = 7$ (2)

Общее число участников – это сумма всех непересекающихся групп:

$|А \cup Г \cup Л| = N_А + N_Г + N_Л + N_{АГ} + N_{АЛ} + N_{ГЛ} + N_{АГЛ}$

$30 = N_А + N_Г + 2 + N_{АГ} + 1 + 3 + 2$

$30 = (N_А + N_Г + N_{АГ}) + 8$

$N_А + N_Г + N_{АГ} = 22$ (3)

3. Решим полученную систему уравнений.

Из уравнения (1) мы знаем, что $N_А + N_{АГ} = 15$. Подставим это в уравнение (3):

$15 + N_Г = 22$

$N_Г = 22 - 15 = 7$

Теперь, зная $N_Г$, из уравнения (2) найдем $N_{АГ}$:

$7 + N_{АГ} = 7$

$N_{АГ} = 0$

Наконец, из уравнения (1) найдем $N_А$:

$N_А + 0 = 15$

$N_А = 15$

Теперь у нас есть все необходимые данные для ответа на вопросы.

Сколько участников решили только по одной задаче каждого вида?

На основе проведенных вычислений:

• Только арифметическую задачу решили $N_А = 15$ участников.
• Только геометрическую задачу решили $N_Г = 7$ участников.
• Только логическую задачу решили $N_Л = 2$ участника.

Ответ: 15 участников решили только арифметическую задачу, 7 – только геометрическую, и 2 – только логическую.

Сколько справились с двумя задачами – арифметической и геометрической?

Это количество соответствует числу участников, которые решили только эти две задачи, то есть $N_{АГ}$.

В ходе решения мы выяснили, что $N_{АГ} = 0$.

Ответ: 0 участников.

Условие 2010-2022.

350 В математической олимпиаде для 6-х классов 30 участников решили хотя бы по одной задаче. Арифметическую задачу решили 18 человек, геометрическую – 12, а логическую – 8. При этом все 3 задачи решили двое, только геометрическую и логическую – трое, а только арифметическую и логическую – один.

Сколько участников решили только по одной задаче каждого вида?

Сколько справились с двумя задачами – арифметической и геометрической?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).