Номер 343, страница 81, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 1. Понятие о проценте - номер 343, страница 81.

Условие 2023.

343 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $\frac{324}{576}$;

2) $\frac{72 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{39 \cdot 75 \cdot 40 \cdot 28}$;

3) $\frac{34 \cdot 85 - 34 \cdot 15}{15 \cdot 34 + 34 \cdot 85}$;

4) $\frac{9a^2}{30ab}$;

5) $\frac{x - 2}{5x - 10}$.

Решение 2 (2023).

1) Чтобы сократить дробь $\frac{324}{576}$, найдем общие делители числителя и знаменателя. Можно заметить, что оба числа являются полными квадратами: $324 = 18^2$ и $576 = 24^2$.
Тогда дробь можно переписать как:
$\frac{324}{576} = \frac{18^2}{24^2} = (\frac{18}{24})^2$.
Теперь сократим дробь $\frac{18}{24}$. Наибольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.
$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$.
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.
Ответ: $\frac{9}{16}$.

2) Чтобы сократить данную дробь, не будем перемножать числа в числителе и знаменателе, а сразу будем сокращать общие множители.
$\frac{72 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{39 \cdot 75 \cdot 40 \cdot 28}$
Представим числа в виде произведения их множителей для удобства сокращения:
$72 = 8 \cdot 9$
$39 = 3 \cdot 13$
$75 = 3 \cdot 25$
$40 = 5 \cdot 8$
$28 = 4 \cdot 7$
Подставим это в дробь:
$\frac{(8 \cdot 9) \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{(3 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 25) \cdot (5 \cdot 8) \cdot (4 \cdot 7)}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: 8, 25, 13.
$\frac{9 \cdot 16}{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 7}$
Поскольку $3 \cdot 3 = 9$, сокращаем 9 в числителе и знаменателе:
$\frac{16}{5 \cdot 4 \cdot 7}$
Сокращаем 16 и 4 на 4:
$\frac{4}{5 \cdot 7} = \frac{4}{35}$.
Ответ: $\frac{4}{35}$.

3) В числителе и знаменателе дроби вынесем общий множитель за скобки.
$\frac{34 \cdot 85 - 34 \cdot 15}{15 \cdot 34 + 34 \cdot 85}$
В числителе общий множитель — 34. Выносим его: $34 \cdot (85 - 15) = 34 \cdot 70$.
В знаменателе общий множитель — 34. Выносим его: $34 \cdot (15 + 85) = 34 \cdot 100$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{34 \cdot 70}{34 \cdot 100}$.
Сокращаем общий множитель 34:
$\frac{70}{100}$.
Сокращаем полученную дробь на 10:
$\frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$.

4) Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{9a^2}{30ab}$, сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.
Сократим числовой коэффициент $\frac{9}{30}$. Наибольший общий делитель чисел 9 и 30 равен 3.
$\frac{9}{30} = \frac{9 \div 3}{30 \div 3} = \frac{3}{10}$.
Сократим переменные. Запишем $a^2$ как $a \cdot a$: $\frac{a^2}{ab} = \frac{a \cdot a}{a \cdot b}$.
Сокращаем общий множитель $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{a}{b}$.
Объединяем результаты:
$\frac{9a^2}{30ab} = \frac{3a}{10b}$.
Ответ: $\frac{3a}{10b}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{x-2}{5x-10}$, необходимо разложить знаменатель на множители.
Знаменатель: $5x - 10$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5x - 10 = 5(x-2)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{x-2}{5(x-2)}$.
Числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x-2)$. Сократим на него (при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$):
$\frac{1 \cdot (x-2)}{5 \cdot (x-2)} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

Условие 2010-2022.

343 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $ \frac{324}{576} $;

2) $ \frac{72 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{39 \cdot 75 \cdot 40 \cdot 28} $;

3) $ \frac{34 \cdot 85 - 34 \cdot 15}{15 \cdot 34 + 34 \cdot 85} $;

4) $ \frac{9a^2}{30ab} $;

5) $ \frac{x - 2}{5x - 10} $.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).