Номер 336, страница 79, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 1. Понятие о проценте - номер 336, страница 79.

Условие 2023.

336 В классе 24 ученика. Музыкой занимаются 12 человек, танцами – 10, два эти кружка посещают 3 человека, занимаются музыкой и поют в хоре – 6, поют в хоре и занимаются танцами – 2, а один ученик занимается во всех трёх кружках. Все остальные ученики класса посещают только занятия хора. Сколько всего учеников этого класса поют в хоре?

Решение 2 (2023).

Для решения этой задачи удобно использовать диаграммы Эйлера-Венна или формулу включений-исключений для множеств. Обозначим множества учеников, посещающих кружки:

• $М$ – множество учеников, занимающихся музыкой.
• $Т$ – множество учеников, занимающихся танцами.
• $Х$ – множество учеников, поющих в хоре.

Из условия задачи нам известны размеры этих множеств и их пересечений:

• Всего учеников в классе: 24.
• Количество учеников, занимающихся музыкой: $|М| = 12$.
• Количество учеников, занимающихся танцами: $|Т| = 10$.
• Количество учеников, занимающихся и музыкой, и танцами: $|М \cap Т| = 3$.
• Количество учеников, занимающихся музыкой и поющих в хоре: $|М \cap Х| = 6$.
• Количество учеников, поющих в хоре и занимающихся танцами: $|Х \cap Т| = 2$.
• Количество учеников, занимающихся во всех трёх кружках: $|М \cap Т \cap Х| = 1$.

Фраза "Все остальные ученики класса посещают только занятия хора" означает, что в классе нет учеников, не посещающих ни одного из трёх кружков. Таким образом, общее число учеников равно объединению всех трёх множеств: $|М \cup Т \cup Х| = 24$.

Для нахождения общего числа учеников, поющих в хоре ($|Х|$), воспользуемся формулой включений-исключений для трёх множеств:

$|М \cup Т \cup Х| = |М| + |Т| + |Х| - (|М \cap Т| + |М \cap Х| + |Т \cap Х|) + |М \cap Т \cap Х|$

Подставим в формулу все известные значения:

$24 = 12 + 10 + |Х| - (3 + 6 + 2) + 1$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $|Х|$:

$24 = 22 + |Х| - 11 + 1$

$24 = 12 + |Х|$

$|Х| = 24 - 12$

$|Х| = 12$

Таким образом, общее количество учеников, которые поют в хоре, составляет 12 человек.

Проверка:
Можно решить задачу, последовательно находя количество учеников в каждой из непересекающихся областей диаграммы Венна.

1. Только музыка и танцы (без хора): $|М \cap Т| - |М \cap Т \cap Х| = 3 - 1 = 2$ человека.
2. Только музыка и хор (без танцев): $|М \cap Х| - |М \cap Т \cap Х| = 6 - 1 = 5$ человек.
3. Только танцы и хор (без музыки): $|Т \cap Х| - |М \cap Т \cap Х| = 2 - 1 = 1$ человек.
4. Все три кружка: $1$ человек.
5. Только музыка: $|М| - (2 + 5 + 1) = 12 - 8 = 4$ человека.
6. Только танцы: $|Т| - (2 + 1 + 1) = 10 - 4 = 6$ человек.

Теперь найдём, сколько учеников занимаются только музыкой и/или танцами (без учёта тех, кто ходит только в хор):
$4 (\text{только М}) + 6 (\text{только Т}) + 2 (\text{М и Т}) + 5 (\text{М и Х}) + 1 (\text{Т и Х}) + 1 (\text{все три}) = 19$ человек.
Всего в классе 24 ученика. Значит, количество учеников, которые посещают только хор, равно:
$24 - 19 = 5$ человек.
Теперь можем найти общее число учеников в хоре, сложив все группы, которые его посещают:
$5 (\text{только Х}) + 5 (\text{М и Х}) + 1 (\text{Т и Х}) + 1 (\text{все три}) = 12$ человек.

Ответ: 12

Условие 2010-2022.

336 В классе 24 ученика. Музыкой занимаются 12 человек, танцами – 10, два эти кружка посещают 3 человека, занимаются музыкой и поют в хоре – 6, поют в хоре и занимаются танцами – 2, а один ученик занимается во всех трех кружках. Все остальные ученики класса посещают только занятия хора. Сколько всего учеников этого класса поют в хоре?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).