Номер 337, страница 80, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 1. Понятие о проценте - номер 337, страница 80.

Условие 2023.

337 Расположи 5 точек в множествах $A$ и $B$, изображённых на рисунке, так, чтобы:

а) в одном из них было 2 точки, а в другом 4;

б) в каждом из них было по 3 точки;

в) в одном из них было 3 точки, а в другом 5;

г) в каждом из них было по 4 точки;

д) в одном из них было 2 точки, а в другом 5.

$A$ $B$

Решение 2 (2023).

Для решения задачи представим множества A и B в виде диаграммы Эйлера-Венна. Она состоит из трёх областей:

• область, принадлежащая только множеству A (точки только в A).
• область, принадлежащая только множеству B (точки только в B).
• область пересечения множеств A и B (точки, принадлежащие и A, и B).

Всего нужно расположить 5 точек. Обозначим количество точек в каждой области: $N_{A \setminus B}$ — количество точек только в A, $N_{B \setminus A}$ — количество точек только в B, и $N_{A \cap B}$ — количество точек в их пересечении. Сумма точек во всех областях должна быть равна 5:

$N_{A \setminus B} + N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

Количество точек во всём множестве A равно $N_A = N_{A \setminus B} + N_{A \cap B}$.

Количество точек во всём множестве B равно $N_B = N_{B \setminus A} + N_{A \cap B}$.

Рассмотрим каждый случай.

а) в одном из них было 2 точки, а в другом 4

Пусть в множестве A 2 точки ($N_A = 2$), а в множестве B 4 точки ($N_B = 4$).

Составим систему уравнений:

1) $N_{A \setminus B} + N_{A \cap B} = 2$

2) $N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 4$

3) $N_{A \setminus B} + N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

Из третьего уравнения, сгруппировав слагаемые, получим $N_{A \setminus B} + (N_{B \setminus A} + N_{A \cap B}) = 5$. Подставив сюда второе уравнение ($N_B = 4$), получим $N_{A \setminus B} + 4 = 5$. Отсюда находим $N_{A \setminus B} = 1$.

Теперь из первого уравнения найдем количество точек в пересечении: $1 + N_{A \cap B} = 2$, значит $N_{A \cap B} = 1$.

Наконец, из второго уравнения найдем количество точек только в B: $N_{B \setminus A} + 1 = 4$, значит $N_{B \setminus A} = 3$.

Проверим общее количество точек: $1 + 3 + 1 = 5$. Условия выполнены.

Ответ: нужно расположить 1 точку в области, принадлежащей только множеству A, 3 точки в области, принадлежащей только множеству B, и 1 точку в их пересечении.

б) в каждом из них было по 3 точки

В этом случае $N_A = 3$ и $N_B = 3$.

Система уравнений:

1) $N_{A \setminus B} + N_{A \cap B} = 3$

2) $N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 3$

3) $N_{A \setminus B} + N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

Из первого и второго уравнений следует, что $N_{A \setminus B} = N_{B \setminus A}$.

Подставим первое уравнение в третье: $(N_{A \setminus B} + N_{A \cap B}) + N_{B \setminus A} = 5$, что дает $3 + N_{B \setminus A} = 5$. Отсюда $N_{B \setminus A} = 2$.

Так как $N_{A \setminus B} = N_{B \setminus A}$, то $N_{A \setminus B} = 2$.

Теперь из первого уравнения найдем $N_{A \cap B}$: $2 + N_{A \cap B} = 3$, значит $N_{A \cap B} = 1$.

Проверим: $2 + 2 + 1 = 5$. Условия выполнены.

Ответ: нужно расположить 2 точки в области, принадлежащей только множеству A, 2 точки в области, принадлежащей только множеству B, и 1 точку в их пересечении.

в) в одном из них было 3 точки, а в другом 5

Пусть $N_A = 3$ и $N_B = 5$.

Система уравнений:

1) $N_{A \setminus B} + N_{A \cap B} = 3$

2) $N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

3) $N_{A \setminus B} + N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

Подставим второе уравнение в третье: $N_{A \setminus B} + 5 = 5$. Отсюда $N_{A \setminus B} = 0$.

Это означает, что все точки множества А находятся в пересечении с B.

Из первого уравнения: $0 + N_{A \cap B} = 3$, значит $N_{A \cap B} = 3$.

Из второго уравнения: $N_{B \setminus A} + 3 = 5$, значит $N_{B \setminus A} = 2$.

Проверим: $0 + 2 + 3 = 5$. Условия выполнены.

Ответ: нужно расположить 3 точки в пересечении множеств и 2 точки в области, принадлежащей только множеству B. В области, принадлежащей только множеству A, точек нет.

г) в каждом из них было по 4 точки

В этом случае $N_A = 4$ и $N_B = 4$.

Система уравнений:

1) $N_{A \setminus B} + N_{A \cap B} = 4$

2) $N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 4$

3) $N_{A \setminus B} + N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

Из первых двух уравнений следует, что $N_{A \setminus B} = N_{B \setminus A}$.

Подставим первое уравнение в третье: $4 + N_{B \setminus A} = 5$. Отсюда $N_{B \setminus A} = 1$.

Следовательно, $N_{A \setminus B} = 1$.

Теперь из первого уравнения найдем $N_{A \cap B}$: $1 + N_{A \cap B} = 4$, значит $N_{A \cap B} = 3$.

Проверим: $1 + 1 + 3 = 5$. Условия выполнены.

Ответ: нужно расположить 1 точку в области, принадлежащей только множеству A, 1 точку в области, принадлежащей только множеству B, и 3 точки в их пересечении.

д) в одном из них было 2 точки, а в другом 5

Пусть $N_A = 2$ и $N_B = 5$.

Система уравнений:

1) $N_{A \setminus B} + N_{A \cap B} = 2$

2) $N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

3) $N_{A \setminus B} + N_{B \setminus A} + N_{A \cap B} = 5$

Подставим второе уравнение в третье: $N_{A \setminus B} + 5 = 5$. Отсюда $N_{A \setminus B} = 0$.

Это снова означает, что все точки множества А находятся в пересечении с B.

Из первого уравнения: $0 + N_{A \cap B} = 2$, значит $N_{A \cap B} = 2$.

Из второго уравнения: $N_{B \setminus A} + 2 = 5$, значит $N_{B \setminus A} = 3$.

Проверим: $0 + 3 + 2 = 5$. Условия выполнены.

Ответ: нужно расположить 2 точки в пересечении множеств и 3 точки в области, принадлежащей только множеству B. В области, принадлежащей только множеству A, точек нет.

Условие 2010-2022.

337 Расположи 5 точек в множествах $A$ и $B$, изображенных на рисунке, так, чтобы:

а) в одном из них было 2 точки, а в другом 4;

б) в каждом из них было по 3 точки;

в) в одном из них было 3 точки, а в другом 5;

г) в каждом из них было по 4 точки;

д) в одном из них было 2 точки, а в другом 5.

$A$

$B$

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).