Страница 88, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

367 Сколько процентов составляют:

а) 16 с от 50 с;

б) 37 р. от 10 р.;

в) 2,5 м от 20 м;

г) 15 г от 1 кг;

д) 3 мм от 6 дм;

е) 30 мин от 2 ч;

ж) 1,2 от 0,15;

з) 4 от 3;

и) 0,32 от $2\frac{2}{3}$;

к) $a$ от $b$;

л) $2a$ от $8a$;

м) $0.12b$ от $3b$?

а) Чтобы найти, сколько процентов составляет одно число от другого, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100. В данном случае делим 16 на 50 и умножаем на 100:
$\frac{16}{50} \cdot 100\% = 0,32 \cdot 100\% = 32\%$.
Ответ: 32%

б) Делим 37 на 10 и умножаем на 100:
$\frac{37}{10} \cdot 100\% = 3,7 \cdot 100\% = 370\%$.
Ответ: 370%

в) Делим 2,5 на 20 и умножаем на 100:
$\frac{2,5}{20} \cdot 100\% = 0,125 \cdot 100\% = 12,5\%$.
Ответ: 12,5%

г) Сначала приведем величины к одной единице измерения. В 1 килограмме 1000 граммов ($1$ кг $= 1000$ г). Теперь найдем, сколько процентов 15 г составляют от 1000 г:
$\frac{15}{1000} \cdot 100\% = 0,015 \cdot 100\% = 1,5\%$.
Ответ: 1,5%

д) Приведем величины к одной единице измерения. В 1 дециметре 100 миллиметров ($1$ дм $= 100$ мм), следовательно, $6$ дм $= 6 \cdot 100 = 600$ мм. Теперь найдем, сколько процентов 3 мм составляют от 600 мм:
$\frac{3}{600} \cdot 100\% = \frac{1}{200} \cdot 100\% = 0,5\%$.
Ответ: 0,5%

е) Приведем величины к одной единице измерения. В 1 часе 60 минут ($1$ ч $= 60$ мин), следовательно, $2$ ч $= 2 \cdot 60 = 120$ мин. Теперь найдем, сколько процентов 30 минут составляют от 120 минут:
$\frac{30}{120} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: 25%

ж) Делим 1,2 на 0,15 и умножаем на 100:
$\frac{1,2}{0,15} \cdot 100\% = \frac{120}{15} \cdot 100\% = 8 \cdot 100\% = 800\%$.
Ответ: 800%

з) Делим 4 на 3 и умножаем на 100:
$\frac{4}{3} \cdot 100\% = \frac{400}{3}\% = 133\frac{1}{3}\%$.
Ответ: $133\frac{1}{3}\%$

и) Сначала представим оба числа в виде дробей. $0,32 = \frac{32}{100} = \frac{8}{25}$. Смешанное число $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$. Теперь разделим первое число на второе и умножим на 100:
$(\frac{8}{25} : \frac{8}{3}) \cdot 100\% = (\frac{8}{25} \cdot \frac{3}{8}) \cdot 100\% = \frac{3}{25} \cdot 100\% = 12\%$.
Ответ: 12%

к) Чтобы найти, сколько процентов составляет число $a$ от числа $b$, нужно составить отношение $\frac{a}{b}$ и умножить его на 100%.
Ответ: $\frac{a}{b} \cdot 100\%$

л) Найдем отношение $2a$ к $8a$ и умножим на 100% (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{2a}{8a} \cdot 100\% = \frac{2}{8} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: 25%

м) Найдем отношение $0,12b$ к $3b$ и умножим на 100% (при условии, что $b \neq 0$):
$\frac{0,12b}{3b} \cdot 100\% = \frac{0,12}{3} \cdot 100\% = 0,04 \cdot 100\% = 4\%$.
Ответ: 4%

367 Сколько процентов составляют:

а) 16 с от 50 с;

б) 37 р. от 10 р.;

в) 2,5 м от 20 м;

г) 15 г от 1 кг;

д) 3 мм от 6 дм;

е) 30 мин от 2 ч;

ж) 1,2 от 0,15;

з) 4 от 3;

и) 0,32 от $2\frac{2}{3}$;

к) a от b;

л) 2a от 8a;

м) 0,12b от 3b?

368. В каком случае процентное отношение больше:

a) 8 отличников из 40 учащихся ($ \frac{8}{40} $) или 9 отличников из 50 учащихся ($ \frac{9}{50} $);

б) 6 разбитых лампочек из 20 ($ \frac{6}{20} $) или 7 разбитых лампочек из 30 ($ \frac{7}{30} $)?

а)

Чтобы определить, в каком случае процентное отношение больше, необходимо вычислить процент для каждого случая и сравнить результаты. Процентное отношение находится по формуле: $(\text{часть} / \text{целое}) \times 100\%$.

1. Найдем процентное отношение 8 отличников к 40 учащимся:

$(8 / 40) \times 100\% = (1 / 5) \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$.

2. Найдем процентное отношение 9 отличников к 50 учащимся:

$(9 / 50) \times 100\% = 0.18 \times 100\% = 18\%$.

3. Сравним полученные значения:

$20\% > 18\%$.

Следовательно, процентное отношение в первом случае больше.

Ответ: процентное отношение больше в случае 8 отличников из 40 учащихся.

б)

Аналогично выполним вычисления для второго пункта.

1. Найдем процентное отношение 6 разбитых лампочек к 20:

$(6 / 20) \times 100\% = (3 / 10) \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$.

2. Найдем процентное отношение 7 разбитых лампочек к 30:

$(7 / 30) \times 100\% = (70 / 3)\% = 23\frac{1}{3}\% \approx 23.33\%$.

3. Сравним полученные значения:

$30\% > 23\frac{1}{3}\%$.

Процентное отношение в первом случае больше.

Также можно сравнить дроби, приведя их к общему знаменателю. Сравним $6/20$ и $7/30$. Упростим первую дробь: $6/20 = 3/10$. Общий знаменатель для дробей $3/10$ и $7/30$ равен 30. Приведем дробь $3/10$ к знаменателю 30: $3/10 = (3 \times 3) / (10 \times 3) = 9/30$. Теперь сравним дроби $9/30$ и $7/30$. Поскольку $9 > 7$, то $9/30 > 7/30$, а значит и $6/20 > 7/30$.

Ответ: процентное отношение больше в случае 6 разбитых лампочек из 20.

368 В каком случае процентное отношение больше:

а) 8 отличников из 40 учащихся или 9 отличников из 50 учащихся;

б) 6 разбитых лампочек из 20 или 7 разбитых лампочек из 30?

369 1) В 5 тыс. из выпущенных 20 тыс. коробочек с жевательной резинкой находится сюрприз. Сколько процентов составили коробочки с сюрпризами?

2) При наблюдении в течение некоторого времени за дорожным движением было подсчитано, что из проехавших 250 машин 180 были легковыми, а остальные – грузовыми. Сколько процентов от числа проехавших машин составили грузовые машины?

1) Чтобы найти, какой процент составляют коробочки с сюрпризами от общего числа выпущенных коробочек, необходимо разделить количество коробочек с сюрпризами на общее количество коробочек и умножить полученное частное на 100%.

Общее количество выпущенных коробочек: 20 тыс. = 20 000.
Количество коробочек с сюрпризом: 5 тыс. = 5 000.
Доля коробочек с сюрпризами от общего числа составляет: $ \frac{5000}{20000} $.

Теперь переведем эту долю в проценты:

$ (\frac{5000}{20000}) \times 100\% = (\frac{5}{20}) \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% $.

Ответ: 25%.

2) Сначала необходимо найти количество грузовых машин. Для этого нужно из общего числа проехавших машин вычесть количество легковых машин.

Общее число машин: 250.
Число легковых машин: 180.
Число грузовых машин: $ 250 - 180 = 70 $.

Далее, чтобы найти, сколько процентов от общего числа проехавших машин составили грузовые машины, нужно разделить количество грузовых машин на общее число машин и умножить результат на 100%.

Доля грузовых машин: $ \frac{70}{250} $.

Переведем долю в проценты:

$ (\frac{70}{250}) \times 100\% = \frac{7}{25} \times 100\% = 0.28 \times 100\% = 28\% $.

Ответ: 28%.

369 1) В 5 тыс. из выпущенных 20 тыс. коробочек с жевательной резинкой находится сюрприз. Сколько процентов составили коробочки с сюрпризами?

2) При наблюдении в течение некоторого времени за дорожным движением было подсчитано, что из проехавших 250 машин 180 были легковыми, а остальные – грузовыми. Сколько процентов от числа проехавших машин составили грузовые машины?

370 На сколько процентов изменилась цена, если она:

а) была 100 р., а стала 250 р.;

б) была 250 р., а стала 100 р.;

в) была 60 р., а стала 40 р.;

г) была 40 р., а стала 60 р.?

Для того чтобы определить, на сколько процентов изменилась цена, мы используем следующую формулу:

$\text{Процентное изменение} = \frac{\text{Новая цена} - \text{Старая цена}}{\text{Старая цена}} \times 100\%$

Если результат получается положительным, то цена увеличилась. Если отрицательным — уменьшилась.

а)

Старая цена была 100 р., а новая стала 250 р.

1. Найдем разницу между новой и старой ценой: $250 - 100 = 150$ р.

2. Разделим разницу на старую цену и умножим на 100%, чтобы найти процентное изменение:

$\frac{150}{100} \times 100\% = 1.5 \times 100\% = 150\%$

Поскольку результат положительный, цена увеличилась.

Ответ: цена увеличилась на 150%.

б)

Старая цена была 250 р., а новая стала 100 р.

1. Найдем разницу между новой и старой ценой: $100 - 250 = -150$ р.

2. Разделим разницу на старую цену и умножим на 100%:

$\frac{-150}{250} \times 100\% = -0.6 \times 100\% = -60\%$

Знак "минус" показывает, что цена уменьшилась.

Ответ: цена уменьшилась на 60%.

в)

Старая цена была 60 р., а новая стала 40 р.

1. Найдем разницу между новой и старой ценой: $40 - 60 = -20$ р.

2. Разделим разницу на старую цену и умножим на 100%:

$\frac{-20}{60} \times 100\% = -\frac{1}{3} \times 100\% = -33 \frac{1}{3}\%$

Знак "минус" показывает, что цена уменьшилась.

Ответ: цена уменьшилась на $33 \frac{1}{3}\%$.

г)

Старая цена была 40 р., а новая стала 60 р.

1. Найдем разницу между новой и старой ценой: $60 - 40 = 20$ р.

2. Разделим разницу на старую цену и умножим на 100%:

$\frac{20}{40} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$

Поскольку результат положительный, цена увеличилась.

Ответ: цена увеличилась на 50%.

370 На сколько процентов изменилась цена, если она:

а) была 100 р., а стала 250 р.;

б) была 250 р., а стала 100 р.;

в) была 60 р., а стала 40 р.;

г) была 40 р., а стала 60 р.?

371 Какое изменение больше в процентном отношении:

а) подорожание с 400 р. до 500 р. или с 500 р. до 600 р.;

б) похудение со 100 кг до 90 кг или с 50 кг до 40 кг?

а) подорожание с 400 р. до 500 р. или с 500 р. до 600 р.;
Чтобы определить, какое изменение больше в процентном отношении, необходимо рассчитать процентное изменение для каждого случая. Процентное изменение находится по формуле: $ \frac{\text{разница между значениями}}{\text{начальное значение}} \times 100\% $.
1. Для подорожания с 400 р. до 500 р.:
Абсолютное изменение цены составляет $500 - 400 = 100$ р.
Начальная цена равна 400 р.
Процентное изменение: $ \frac{100}{400} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% $.
2. Для подорожания с 500 р. до 600 р.:
Абсолютное изменение цены составляет $600 - 500 = 100$ р.
Начальная цена равна 500 р.
Процентное изменение: $ \frac{100}{500} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\% $.
Сравнивая полученные значения, видим, что $25\% > 20\%$.
Ответ: подорожание с 400 р. до 500 р. больше в процентном отношении.

б) похудение со 100 кг до 90 кг или с 50 кг до 40 кг?
Аналогично, рассчитаем процентное изменение для каждого случая.
1. Для похудения со 100 кг до 90 кг:
Абсолютное изменение веса составляет $100 - 90 = 10$ кг.
Начальный вес равен 100 кг.
Процентное изменение: $ \frac{10}{100} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\% $.
2. Для похудения с 50 кг до 40 кг:
Абсолютное изменение веса составляет $50 - 40 = 10$ кг.
Начальный вес равен 50 кг.
Процентное изменение: $ \frac{10}{50} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\% $.
Сравнивая полученные значения, видим, что $20\% > 10\%$.
Ответ: похудение с 50 кг до 40 кг больше в процентном отношении.

371 Какое изменение больше в процентном отношении:

a) подорожание с $400$ р. до $500$ р. или с $500$ р. до $600$ р.;

б) похудение со $100$ кг до $90$ кг или с $50$ кг до $40$ кг?

372 1) Тарифы на проезд в наземном транспорте города N возросли с 8 р. до 10 р., а в городском метрополитене – с 15 р. до 18 р. Какие тарифы возросли больше в процентном отношении?

2) В одном банке вклад 12 000 р. через год превратился в 12 840 р., а в другом – вклад в 15 000 р. превратился в 15 900 р. В каком банке выгоднее хранить деньги?

1)

Чтобы определить, какие тарифы возросли больше в процентном отношении, необходимо найти, на сколько процентов увеличилась цена в каждом случае. Процентное изменение рассчитывается по формуле:

$ \text{Процентное изменение} = \frac{\text{Новая цена} - \text{Старая цена}}{\text{Старая цена}} \times 100\% $

Рассчитаем процентное увеличение для наземного транспорта:

Старый тариф: 8 р.

Новый тариф: 10 р.

Увеличение в процентах: $ \frac{10 - 8}{8} \times 100\% = \frac{2}{8} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\% $.

Рассчитаем процентное увеличение для городского метрополитена:

Старый тариф: 15 р.

Новый тариф: 18 р.

Увеличение в процентах: $ \frac{18 - 15}{15} \times 100\% = \frac{3}{15} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\% $.

Теперь сравним полученные процентные увеличения:

$ 25\% > 20\% $.

Таким образом, тарифы на проезд в наземном транспорте возросли больше в процентном отношении.

Ответ: Тарифы на проезд в наземном транспорте.

2)

Чтобы определить, в каком банке выгоднее хранить деньги, нужно сравнить годовую процентную ставку по вкладам. Чем выше процентная ставка, тем выгоднее вклад.

Рассчитаем годовую процентную ставку для первого банка:

Начальный вклад: 12 000 р.

Сумма через год: 12 840 р.

Доход за год составил: $ 12840 - 12000 = 840 $ р.

Процентная ставка: $ \frac{\text{Доход}}{\text{Начальный вклад}} \times 100\% = \frac{840}{12000} \times 100\% = 0,07 \times 100\% = 7\% $ годовых.

Рассчитаем годовую процентную ставку для второго банка:

Начальный вклад: 15 000 р.

Сумма через год: 15 900 р.

Доход за год составил: $ 15900 - 15000 = 900 $ р.

Процентная ставка: $ \frac{900}{15000} \times 100\% = 0,06 \times 100\% = 6\% $ годовых.

Сравним процентные ставки двух банков:

$ 7\% > 6\% $.

Процентная ставка в первом банке выше, следовательно, хранить деньги в нем выгоднее.

Ответ: В первом банке.

372 1) Тарифы на проезд в наземном транспорте города N возросли с 8 руб. до 10 р., а в городском метрополитене – с 15 р. до 18 р. Какие тарифы возросли больше в процентном отношении?

2) В одном банке вклад 12 000 р. через год превратился в 12 840 р., а в другом – вклад в 15 000 р. превратился в 15 900 р. В каком банке выгоднее хранить деньги?

373 В городе N единый проездной билет стоит 600 р. Сколько процентов от начисленной зар-платы составляет цена проездного билета, если после вычета $13\%$-го налога работником получено:

а) 10 440 р.;

б) 13 050 р.?

Для того чтобы найти, какой процент от начисленной (полной) зарплаты составляет цена проездного билета, нам сначала нужно вычислить саму начисленную зарплату. Зарплата, полученная работником, — это сумма после вычета 13%-го налога. Следовательно, полученная сумма составляет $100\% - 13\% = 87\%$ от начисленной зарплаты.

Пусть $ЗП_{нач}$ — это начисленная зарплата. Тогда зарплата, полученная на руки, составляет $ЗП_{нач} \times 0.87$. Исходя из этого, начисленную зарплату можно рассчитать по формуле: $ЗП_{нач} = \frac{\text{полученная зарплата}}{0.87}$.

а)

Работник получил 10 440 р. Найдем его начисленную зарплату:

$ЗП_{нач} = \frac{10440}{0.87} = 12000$ р.

Теперь определим, сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета (600 р.):

$\frac{600}{12000} \times 100\% = \frac{6}{120} \times 100\% = \frac{1}{20} \times 100\% = 5\%$.

Ответ: 5%.

б)

Работник получил 13 050 р. Найдем его начисленную зарплату:

$ЗП_{нач} = \frac{13050}{0.87} = 15000$ р.

Теперь определим, сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета:

$\frac{600}{15000} \times 100\% = \frac{6}{150} \times 100\% = \frac{1}{25} \times 100\% = 4\%$.

Ответ: 4%.

373. В городе N единый проездной билет стоит 600 р. Сколько процентов от начисленной зарплаты составляет цена проездного билета, если после вычета 13%-го налога работником получено:

а) 10 440 р.

$\frac{600}{\frac{10440}{1 - 0.13}} \times 100\%$

б) 13 050 р.?

$\frac{600}{\frac{13050}{1 - 0.13}} \times 100\%$

374 В десятых классах учится 100 человек. Успеваемость составляет 85 % от количества учеников. Сколько процентов составит успеваемость в случае, если:

а) придут ещё 10 двоечников;

б) придут 10 отличников? Ответ округли с точностью до десятых.

Для начала определим, сколько учеников являются успевающими.
Общее количество учеников: 100 человек.
Процент успеваемости: 85%.
Количество успевающих учеников = $100 \cdot \frac{85}{100} = 85$ человек.

а) придут ещё 10 двоечников

В этом случае общее количество учеников увеличится, а количество успевающих останется прежним, так как новые ученики — двоечники.
Новое общее количество учеников: $100 + 10 = 110$ человек.
Количество успевающих учеников: 85 человек.
Новый процент успеваемости рассчитывается как отношение количества успевающих учеников к новому общему количеству учеников, умноженное на 100%.
Новая успеваемость = $\frac{85}{110} \cdot 100\% \approx 0,7727... \cdot 100\% \approx 77,27\%$
Округлим результат с точностью до десятых: 77,3%.
Ответ: 77,3%

б) придут 10 отличников

В этом случае увеличится и общее количество учеников, и количество успевающих учеников, так как отличники являются успевающими.
Новое общее количество учеников: $100 + 10 = 110$ человек.
Новое количество успевающих учеников: $85 + 10 = 95$ человек.
Рассчитаем новый процент успеваемости:
Новая успеваемость = $\frac{95}{110} \cdot 100\% \approx 0,8636... \cdot 100\% \approx 86,36\%$
Округлим результат с точностью до десятых: 86,4%.
Ответ: 86,4%

374 В 10-х классах учится 100 человек. Успеваемость составляет 85% от количества учеников. Сколько процентов составит успеваемость в случае, если:

а) придут еще 10 двоечников;

б) придут 10 отличников?

Ответ округли с точностью до десятых.

375 Цена одной пластинки жевательной резинки составляет 4,5 р. Цена упаковки (10 пластинок) 36 р. На сколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки? На сколько процентов цена отдельной пластинки больше, чем цена пластинки в упаковке?

Сначала определим цену одной пластинки жевательной резинки при покупке целой упаковки. Упаковка из 10 пластинок стоит 36 рублей.

Цена одной пластинки в упаковке составляет: $36 \div 10 = 3,6$ р.

Таким образом, мы имеем две цены для сравнения:

• Цена отдельной пластинки: $C_{отд} = 4,5$ р.
• Цена пластинки в упаковке: $C_{упак} = 3,6$ р.

На сколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки?

В этом вопросе мы сравниваем цену пластинки в упаковке с ценой отдельной пластинки, поэтому за 100% (базовое значение) принимаем цену отдельной пластинки ($4,5$ р.).

Разница в цене составляет $4,5 - 3,6 = 0,9$ р.

Теперь найдем, какой процент эта разница составляет от цены отдельной пластинки:

$\frac{4,5 - 3,6}{4,5} \times 100\% = \frac{0,9}{4,5} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: цена пластинки в упаковке на 20% меньше, чем цена отдельной пластинки.

На сколько процентов цена отдельной пластинки больше, чем цена пластинки в упаковке?

Теперь за 100% (базовое значение) мы принимаем цену пластинки в упаковке ($3,6$ р.), так как сравнение идет с ней.

Разница в цене остается той же: $4,5 - 3,6 = 0,9$ р.

Найдем, какой процент эта разница составляет от цены пластинки в упаковке:

$\frac{4,5 - 3,6}{3,6} \times 100\% = \frac{0,9}{3,6} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$.

Ответ: цена отдельной пластинки на 25% больше, чем цена пластинки в упаковке.

375 Цена одной пластинки жевательной резинки составляет 4,5 р. Цена упаковки (10 пластинок) 36 р. На сколько процентов цена пластинки в упаковке меньше, чем цена отдельной пластинки? На сколько процентов цена отдельной пластинки больше, чем цена пластинки в упаковке?