Номер 380, страница 89, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 2. Задачи на проценты - номер 380, страница 89.

Условие 2023.

380 1) Длину прямоугольника увеличили на $20 \%$, а ширину – на $25 \%$. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

2) Длину прямоугольника увеличили на $60 \%$, а ширину уменьшили на $60 \%$. Как изменилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

3) Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Длину уменьшили на $20 \%$, а ширину уменьшили на $40 \%$. На сколько процентов уменьшился периметр прямоугольника?

4) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на $10 \%$, а ширину уменьшили на $20 \%$. Как и на сколько процентов изменился периметр прямоугольника?

Решение 2 (2023).

1)Пусть исходная длина прямоугольника равна $L$, а ширина равна $W$. Тогда его первоначальная площадь $S = L \cdot W$.После увеличения длина стала $L_1 = L + 0.20L = 1.2L$.Ширина стала $W_1 = W + 0.25W = 1.25W$.Новая площадь прямоугольника $S_1 = L_1 \cdot W_1 = (1.2L) \cdot (1.25W) = 1.5 \cdot (L \cdot W) = 1.5S$.Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем отношение изменения площади к исходной площади:$\frac{S_1 - S}{S} \cdot 100\% = \frac{1.5S - S}{S} \cdot 100\% = \frac{0.5S}{S} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$.
Ответ: площадь прямоугольника увеличилась на 50%.

2)Пусть исходная длина равна $L$, а ширина – $W$. Исходная площадь $S = L \cdot W$.Длину увеличили на 60%, новая длина $L_1 = L + 0.6L = 1.6L$.Ширину уменьшили на 60%, новая ширина $W_1 = W - 0.6W = 0.4W$.Новая площадь $S_1 = L_1 \cdot W_1 = (1.6L) \cdot (0.4W) = 0.64 \cdot (L \cdot W) = 0.64S$.Так как новая площадь составляет 0.64 от старой, то она уменьшилась.Найдем процентное уменьшение:$\frac{S - S_1}{S} \cdot 100\% = \frac{S - 0.64S}{S} \cdot 100\% = \frac{0.36S}{S} \cdot 100\% = 0.36 \cdot 100\% = 36\%$.
Ответ: площадь прямоугольника уменьшилась на 36%.

3)Пусть исходная ширина прямоугольника равна $W$. Тогда, по условию, длина $L = 3W$.Исходный периметр $P = 2(L + W) = 2(3W + W) = 2(4W) = 8W$.Длину уменьшили на 20%, новая длина $L_1 = L - 0.2L = 0.8L = 0.8(3W) = 2.4W$.Ширину уменьшили на 40%, новая ширина $W_1 = W - 0.4W = 0.6W$.Новый периметр $P_1 = 2(L_1 + W_1) = 2(2.4W + 0.6W) = 2(3W) = 6W$.Найдем, на сколько процентов уменьшился периметр:$\frac{P - P_1}{P} \cdot 100\% = \frac{8W - 6W}{8W} \cdot 100\% = \frac{2W}{8W} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: периметр прямоугольника уменьшился на 25%.

4)Пусть исходная длина прямоугольника равна $L$. Тогда, по условию, ширина $W = \frac{L}{4}$.Исходный периметр $P = 2(L + W) = 2(L + \frac{L}{4}) = 2(\frac{5L}{4}) = \frac{5L}{2} = 2.5L$.Длину увеличили на 10%, новая длина $L_1 = L + 0.1L = 1.1L$.Ширину уменьшили на 20%, новая ширина $W_1 = W - 0.2W = 0.8W = 0.8(\frac{L}{4}) = 0.2L$.Новый периметр $P_1 = 2(L_1 + W_1) = 2(1.1L + 0.2L) = 2(1.3L) = 2.6L$.Так как $P_1 > P$, периметр увеличился.Найдем, на сколько процентов увеличился периметр:$\frac{P_1 - P}{P} \cdot 100\% = \frac{2.6L - 2.5L}{2.5L} \cdot 100\% = \frac{0.1L}{2.5L} \cdot 100\% = \frac{1}{25} \cdot 100\% = 4\%$.
Ответ: периметр прямоугольника увеличился на 4%.

Условие 2010-2022.

380 1) Длину прямоугольника увеличили на 20% , а ширину – на 25%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

2) Длину прямоугольника увеличили на 60% , а ширину уменьшили на 60%. Как изменилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

3) Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Длину уменьшили на 20% , а ширину уменьшили на 40%. На сколько процентов уменьшился периметр прямоугольника?

4) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 10% , а ширину уменьшили на 20%. Как и на сколько процентов изменился периметр прямоугольника?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).