Страница 78, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

323 Три человека организовали предприятие и договорились, что первый из них будет получать $\frac{1}{3}$ прибыли, двое других – по $20\%$ прибыли, а оставшиеся деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия.

Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия? Запиши ответ, используя обыкновенные и десятичные дроби (с точностью до десятых).

Для того чтобы найти, сколько процентов от прибыли будет вкладываться в развитие предприятия, необходимо сначала определить общую долю прибыли, которую получают все три человека, а затем вычесть эту долю из 100% (или из 1, если считать в долях).

1. Выразим все доли в одном формате. Удобнее всего работать с обыкновенными дробями.
Доля первого человека: $ \frac{1}{3} $.
Доля второго человека: $ 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} $.
Доля третьего человека: $ 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} $.

2. Найдем суммарную долю прибыли, распределяемую между участниками, сложив их доли:
$ \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{1}{3} + \frac{2}{5} $
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$ \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15} $.
Эта часть прибыли уходит участникам.

3. Найдем оставшуюся часть прибыли, которая будет вложена в развитие. Вся прибыль – это 1 целая, или $ \frac{15}{15} $. Вычтем из нее долю участников:
$ 1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} $.

4. Переведем полученную долю в проценты, умножив ее на 100%:
$ \frac{4}{15} \cdot 100\% = \frac{400}{15}\% $.
Сократим дробь на 5:
$ \frac{400 \div 5}{15 \div 5}\% = \frac{80}{3}\% $.

Теперь запишем ответ в двух требуемых формах, как указано в условии.

Обыкновенные дроби

Для записи ответа с использованием обыкновенной дроби, представим полученный процент $ \frac{80}{3}\% $ в виде смешанного числа:
$ 80 \div 3 = 26 $ с остатком $ 2 $, следовательно $ \frac{80}{3}\% = 26\frac{2}{3}\% $.
Ответ: $ 26\frac{2}{3}\% $.

Десятичные дроби (с точностью до десятых)

Для записи ответа с использованием десятичной дроби, разделим 80 на 3 и округлим результат до десятых:
$ \frac{80}{3}\% = 26.666...\% $.
Округляя до десятых, получаем $ 26.7\% $.
Ответ: $ 26.7\% $.

323 Три человека организовали предприятие и договорились, что первый из них будет получать третью часть прибыли ($1/3$), двое других – по $20\%$ прибыли, а оставшиеся деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия?

Запиши ответ, используя обыкновенные и десятичные дроби (с точностью до десятых).

324 Выплачена ли вся сумма, если:

a) в первый раз выплачено $75\%$ всей суммы, а во второй – $20\%$ всей суммы;

б) в первый раз выплачено $75\%$ всей суммы, а во второй – $25\%$ остатка?

Сделай чертёж. В каком случае выплачено больше?

а) в первый раз выплачено 75% всей суммы, а во второй – 20% всей суммы;

Примем всю сумму за 100%. В данном случае оба платежа рассчитываются от всей суммы. Чтобы узнать, какая часть суммы была выплачена в итоге, нужно сложить проценты двух платежей.
1. Находим общую выплаченную часть в процентах:
$75\% + 20\% = 95\%$
2. Сравниваем полученный результат со 100%:
$95\% < 100\%$
Так как общая выплаченная часть меньше 100%, не вся сумма была выплачена. Осталось выплатить $100\% - 95\% = 5\%$.
Ответ: не вся сумма выплачена.

б) в первый раз выплачено 75% всей суммы, а во второй – 25% остатка?

В этом случае второй платеж рассчитывается не от всей суммы, а от остатка после первого платежа.
1. Находим остаток после первого платежа. Вся сумма — 100%, первый платеж — 75%.
$100\% - 75\% = 25\%$
Остаток составляет 25% от всей суммы.
2. Находим, какую часть от всей суммы составил второй платеж. Второй платеж — это 25% от остатка, то есть 25% от 25%.
$25\% \text{ от } 25\% = 0.25 \times 25\% = 6.25\%$
Таким образом, второй платеж составляет 6.25% от всей первоначальной суммы.
3. Находим общую выплаченную часть, складывая первый и второй платежи:
$75\% + 6.25\% = 81.25\%$
4. Сравниваем полученный результат со 100%:
$81.25\% < 100\%$
Не вся сумма была выплачена. Осталось выплатить $100\% - 81.25\% = 18.75\%$.
Ответ: не вся сумма выплачена.

Сделай чертёж. В каком случае выплачено больше?

Изобразим оба случая в виде диаграмм, где вся длина полосы представляет 100% суммы.

Теперь сравним, в каком случае было выплачено больше. Для этого сравним итоговые выплаченные проценты в обоих случаях:
Случай а): выплачено 95%.
Случай б): выплачено 81.25%.
$95\% > 81.25\%$
Следовательно, в первом случае (а) было выплачено больше.
Ответ: больше выплачено в первом случае.

324 Выплачена ли вся сумма, если:

а) в первый раз выплачено $75\%$ всей суммы, а во второй – $20\%$ всей суммы;

б) в первый раз выплачено $75\%$ всей суммы, а во второй – $25\%$ остатка?

Сделай чертеж. В каком случае выплачено больше?

325 В автобусном парке $50\%$ составляют городские автобусы, $80\%$ остальных – автобусы междугородного класса. Каких автобусов больше – городских или междугородного класса?

Для решения задачи примем общее количество автобусов в парке за 100%.

1. Находим долю городских автобусов.
Согласно условию задачи, городские автобусы составляют 50% от общего числа автобусов.

2. Находим долю остальных автобусов.
Если городские автобусы составляют 50%, то доля остальных автобусов в парке равна:
$100\% - 50\% = 50\%$

3. Находим долю автобусов междугородного класса.
В условии сказано, что автобусы междугородного класса составляют 80% от остальных автобусов. Остальные автобусы, как мы выяснили, составляют 50% от всего парка. Таким образом, нам нужно найти 80% от 50%.
Для этого переведем 80% в десятичную дробь ($80\% = 0.8$) и умножим на 50%:
$0.8 \times 50\% = 40\%$
Следовательно, автобусы междугородного класса составляют 40% от общего числа автобусов в парке.

4. Сравниваем количество городских и междугородных автобусов.
Доля городских автобусов составляет 50%.
Доля междугородных автобусов составляет 40%.
Сравниваем эти две величины:
$50\% > 40\%$
Так как процент городских автобусов больше, чем процент междугородных, то и их количество в парке больше.

Ответ: городских автобусов больше.

325 В автобусном парке 50% составляют городские автобусы, 80% остальных – автобусы междугородного класса. Каких автобусов больше – городских или междугородного класса?

326 1) В классе мальчиков на 25 % больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков?

2) В первом квартале доля продажи товаров отечественных производителей увеличилась с 20 % до 25 %, а во втором – с 25 % до 30 %. В каком квартале процент увеличения был больше? (Процент увеличения – это отношение прироста в процентах к первоначальной доле в процентах.)

1) Пусть $Д$ — количество девочек, а $М$ — количество мальчиков. Согласно условию, число мальчиков на 25% больше числа девочек, что можно выразить формулой: $М = Д + 0.25 \times Д = 1.25Д$. Чтобы найти, на сколько процентов девочек меньше, чем мальчиков, необходимо вычислить разницу между их количеством и отнести ее к количеству мальчиков (которое принимается за 100%). Формула для расчета: $\frac{М - Д}{М} \times 100\%$. Подставим в нее выражение $М = 1.25Д$: $\frac{1.25Д - Д}{1.25Д} \times 100\% = \frac{0.25Д}{1.25Д} \times 100\%$. Сократив $Д$, получаем: $\frac{0.25}{1.25} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.
Ответ: на 20%.

2) Определим процент увеличения для каждого квартала, используя данное в условии определение: отношение прироста в процентах к первоначальной доле в процентах. В первом квартале доля увеличилась с 20% до 25%. Прирост составил $25 - 20 = 5$ процентных пунктов. Процент увеличения равен: $\frac{5}{20} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$. Во втором квартале доля увеличилась с 25% до 30%. Прирост также составил $30 - 25 = 5$ процентных пунктов. Процент увеличения для второго квартала равен: $\frac{5}{25} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$. Сравнивая результаты, $25\% > 20\%$, видим, что процент увеличения был больше в первом квартале.
Ответ: в первом квартале.

326 1) В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе меньше, чем мальчиков?

2) В первом квартале доля продажи товаров отечественных производителей увеличилась с 20% до 25%, а во втором – с 25% до 30%. В каком квартале процент увеличения был больше? ($\text{Процент увеличения} = \frac{\text{прирост в процентах}}{\text{первоначальная доля в процентах}}$.)

327 Согласно статистике, в городе N ежедневно 60 % жителей пользуются метрополитеном, 30 % – наземным общественным транспортом и 10 % каждый день ездят на личных автомобилях. Можно ли утверждать, что все жители города ежедневно пользуются каким-либо видом транспорта?

Чтобы определить, можно ли утверждать, что все жители города пользуются транспортом, необходимо проанализировать предоставленные статистические данные.

Сложим процентные доли жителей, использующих каждый вид транспорта:

$60\% + 30\% + 10\% = 100\%$

Сумма процентов равна $100\%$. Однако это не означает, что все жители пользуются транспортом. Данные статистики учитывают пользователей каждого вида транспорта по отдельности. В реальности один и тот же человек может в течение дня пользоваться несколькими видами транспорта. Например, доехать на личном автомобиле до станции метро, а затем поехать на метро. Или доехать на автобусе до метро.

В таких случаях один и тот же человек будет учтен в статистике несколько раз: и как пользователь метро, и как пользователь наземного транспорта или личного автомобиля. Если такие люди есть, то множества пользователей разных видов транспорта пересекаются.

Например, если предположить, что $5\%$ жителей пользуются и метро, и наземным транспортом, то общее число жителей, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта, будет меньше $100\%$. В этом гипотетическом случае, общее число уникальных пользователей составит $100\% - 5\% = 95\%$. Это означает, что $5\%$ жителей вообще не пользуются перечисленными видами транспорта (например, ходят пешком).

Поскольку в условии задачи не сказано, что эти три группы жителей не пересекаются (то есть, что каждый житель пользуется строго одним видом транспорта), мы не можем сделать однозначный вывод. Существование людей, использующих несколько видов транспорта, не исключено.

Ответ: Нет, утверждать, что все жители города ежедневно пользуются каким-либо видом транспорта, нельзя. Это было бы верно только в том случае, если бы группы пользователей не пересекались, а условие задачи этого не гарантирует.

327 Согласно статистике, в городе N ежедневно 60% жителей пользуются метрополитеном, 30% – наземным общественным транспортом и 10% каждый день ездят на личных автомобилях. Можно ли утверждать, что все жители города ежедневно пользуются каким-либо видом транспорта?

328 Фонд общественного мнения города N опубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов.

Телесериал № 1

Время эфира: 11.30, 21.30

Зрители телесериала (в процентах к общему числу зрителей): 45 %, 67 %

Телесериал № 2

Время эфира: 10.05, 20.45

Зрители телесериала (в процентах к общему числу зрителей): 48 %, 35,6 %

Можно ли на основании этих данных утверждать, что:

1) хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

2) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 1;

3) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 2;

4) телесериал № 2 смотрит меньшее число жителей города N, чем телесериал № 1?

Для ответа на вопросы проанализируем данные из таблицы, используя теорию множеств. Пусть $T$ – общее число телезрителей в городе $N$. Проценты в таблице указаны относительно этой величины.

Обозначим:

• $A_1$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №1 в 11.30. Их доля: $P(A_1) = 45\%$.
• $A_2$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №1 в 21.30. Их доля: $P(A_2) = 67\%$.
• $B_1$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №2 в 10.05. Их доля: $P(B_1) = 48\%$.
• $B_2$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №2 в 20.45. Их доля: $P(B_2) = 35,6\%$.

Общее число зрителей телесериала №1 – это объединение множеств $A_1$ и $A_2$, то есть $S_1 = A_1 \cup A_2$.
Общее число зрителей телесериала №2 – это объединение множеств $B_1$ и $B_2$, то есть $S_2 = B_1 \cup B_2$.

1) хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

Нужно проверить, можно ли утверждать, что пересечение множеств $S_1$ и $S_2$ непустое, то есть $|S_1 \cap S_2| > 0$.
Сначала найдем минимально возможную долю зрителей для каждого сериала. Доля зрителей, смотрящих хотя бы один выпуск сериала, равна $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Минимальное значение объединения множеств равно размеру наибольшего из них.

Минимальная доля зрителей телесериала №1:
$P(S_1)_{min} = P(A_1 \cup A_2)_{min} = \max(P(A_1), P(A_2)) = \max(45\%, 67\%) = 67\%$.

Минимальная доля зрителей телесериала №2:
$P(S_2)_{min} = P(B_1 \cup B_2)_{min} = \max(P(B_1), P(B_2)) = \max(48\%, 35,6\%) = 48\%$.

Теперь оценим минимальный размер пересечения аудиторий двух сериалов $P(S_1 \cap S_2)$. Используем формулу включений-исключений: $P(S_1 \cup S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cap S_2)$.
Поскольку общая аудитория всех зрителей не может превышать 100%, то $P(S_1 \cup S_2) \le 100\%$.
Следовательно, $P(S_1 \cap S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cup S_2) \ge P(S_1)_{min} + P(S_2)_{min} - 100\%$.
$P(S_1 \cap S_2) \ge 67\% + 48\% - 100\% = 115\% - 100\% = 15\%$.
Минимальная доля зрителей, которые смотрят оба сериала, составляет 15%. Так как это значение больше нуля, мы можем утверждать, что хотя бы один житель смотрит оба телесериала.
Ответ: да, можно.

2) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 1;

Нужно проверить, обязательно ли есть пересечение у множеств $A_1$ и $A_2$, то есть $P(A_1 \cap A_2) > 0$.
Суммарная доля зрителей двух показов телесериала №1 составляет $P(A_1) + P(A_2) = 45\% + 67\% = 112\%$.
Так как общая доля зрителей телесериала №1, $P(A_1 \cup A_2)$, не может быть больше 100%, то должно быть пересечение.
Из формулы $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$ следует:
$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cup A_2)$.
Поскольку $P(A_1 \cup A_2) \le 100\%$, то минимальный размер пересечения:
$P(A_1 \cap A_2)_{min} \ge 112\% - 100\% = 12\%$.
Минимум 12% зрителей смотрят телесериал №1 дважды в день. Это больше нуля, следовательно, утверждение верно.
Ответ: да, можно.

3) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 2;

Аналогично пункту 2, нужно проверить, обязательно ли $P(B_1 \cap B_2) > 0$.
Суммарная доля зрителей двух показов телесериала №2 составляет $P(B_1) + P(B_2) = 48\% + 35,6\% = 83,6\%$.
Эта сумма меньше 100%. Это означает, что множества зрителей $B_1$ и $B_2$ могут не пересекаться. Например, 48% жителей смотрят сериал утром, а другие 35,6% жителей смотрят его вечером. В этом случае $P(B_1 \cap B_2) = 0$.
Поскольку возможно, что никто не смотрит телесериал №2 дважды, утверждать это на основании имеющихся данных нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

4) телесериал № 2 смотрит меньшее число жителей города N, чем телесериал № 1?

Нужно сравнить общие аудитории сериалов: $P(S_1) = P(A_1 \cup A_2)$ и $P(S_2) = P(B_1 \cup B_2)$. Для этого найдем возможные диапазоны значений для каждой величины.
Для телесериала №1: $P(S_1) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) = 112\% - P(A_1 \cap A_2)$.
Мы знаем, что $12\% \le P(A_1 \cap A_2) \le \min(45\%, 67\%) = 45\%$.
Максимальная аудитория: $P(S_1)_{max} = 112\% - 12\% = 100\%$.
Минимальная аудитория: $P(S_1)_{min} = 112\% - 45\% = 67\%$.
Итак, $P(S_1)$ находится в диапазоне $[67\%, 100\%]$.

Для телесериала №2: $P(S_2) = P(B_1) + P(B_2) - P(B_1 \cap B_2) = 83,6\% - P(B_1 \cap B_2)$.
Мы знаем, что $0\% \le P(B_1 \cap B_2) \le \min(48\%, 35,6\%) = 35,6\%$.
Максимальная аудитория: $P(S_2)_{max} = 83,6\% - 0\% = 83,6\%$.
Минимальная аудитория: $P(S_2)_{min} = 83,6\% - 35,6\% = 48\%$.
Итак, $P(S_2)$ находится в диапазоне $[48\%, 83,6\%]$.

Сравним диапазоны: $P(S_1) \in [67\%, 100\%]$ и $P(S_2) \in [48\%, 83,6\%]$.
Эти диапазоны пересекаются. Например, возможна ситуация, когда аудитория телесериала №1 равна 70% (что входит в его диапазон), а аудитория телесериала №2 равна 80% (что входит в его диапазон). В этом случае телесериал №2 смотрит большее число жителей.
Поскольку нельзя однозначно утверждать, что $P(S_2) < P(S_1)$, данное утверждение не может быть сделано на основе предоставленных данных.
Ответ: нет, нельзя.

328 Фонд общественного мнения города N опубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов:

Время эфира

"Петербургские тайны": 11.30, 21.30

"Возвращение Мухтара": 10.05, 20.45

Зрители телесериала (в процентах к общему числу зрителей)

"Петербургские тайны": 45% (для 11.30), 67% (для 21.30)

"Возвращение Мухтара": 48% (для 10.05), 35,6% (для 20.45)

Можно ли на основании этих данных утверждать, что:

1) хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

2) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал “Петербургские тайны”;

3) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал “Возвращение Мухтара”;

4) телесериал “Возвращение Мухтара” смотрит меньшее число жителей города N;

5) телесериал “Петербургские тайны” смотрит большее число жителей города N?

Какие еще выводы позволяют сделать приведенные данные?

338 Вычисли:

1) $(5,884 + 5,96 \cdot 20,5) : 3,2 – 30,144;$

2) $$ \frac{(2,7 - 2,45 + 3\frac{2}{15} + 1\frac{4}{20}) \cdot 4\frac{1}{11}}{6,125 : 6\frac{1}{8} - (0,59 \cdot \frac{7}{40} + 0,41 \cdot \frac{7}{40}) : 0,35} $$

Решим данный пример, соблюдая порядок действий: сначала действия в скобках (умножение, затем сложение), потом деление и в конце вычитание.

1. Выполним умножение в скобках:
$5,96 \cdot 20,5 = 122,18$

2. Выполним сложение в скобках:
$5,884 + 122,18 = 128,064$

3. Выполним деление результата, полученного в скобках:
$128,064 : 3,2 = 40,02$

4. Выполним вычитание:
$40,02 - 30,144 = 9,876$

Таким образом, $(5,884 + 5,96 \cdot 20,5) : 3,2 - 30,144 = 9,876$.

Ответ: 9,876.

Для решения этого примера вычислим отдельно значение числителя и знаменателя дроби, а затем разделим первое на второе.

Вычисление числителя: $(2,7 - 2,45 + 3\frac{2}{15} + 1\frac{4}{20}) \cdot 4\frac{4}{11}$

1. Сначала вычислим выражение в первых скобках. Для точности преобразуем все числа в обыкновенные дроби:
$2,7 = \frac{27}{10}$
$2,45 = \frac{245}{100} = \frac{49}{20}$
$3\frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{47}{15}$
$1\frac{4}{20} = 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$
Теперь найдем значение выражения, приведя дроби к общему знаменателю 60:
$\frac{27}{10} - \frac{49}{20} + \frac{47}{15} + \frac{6}{5} = \frac{27 \cdot 6}{60} - \frac{49 \cdot 3}{60} + \frac{47 \cdot 4}{60} + \frac{6 \cdot 12}{60} = \frac{162 - 147 + 188 + 72}{60} = \frac{15 + 188 + 72}{60} = \frac{275}{60}$
Сократим полученную дробь: $\frac{275}{60} = \frac{55}{12}$.

2. Преобразуем второй множитель в неправильную дробь:
$4\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 11 + 4}{11} = \frac{48}{11}$

3. Перемножим полученные дроби:
$\frac{55}{12} \cdot \frac{48}{11} = \frac{55 \cdot 48}{12 \cdot 11} = \frac{5 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 12}{12 \cdot 11} = 5 \cdot 4 = 20$
Итак, значение числителя равно 20.

Вычисление знаменателя: $6,125 : 6\frac{1}{8} - (0,59 \cdot \frac{7}{40} + 0,41 \cdot \frac{7}{40}) : 0,35$

1. Выполним первое деление. Преобразуем десятичную дробь в смешанное число:
$6,125 = 6\frac{125}{1000} = 6\frac{1}{8}$
Следовательно, $6\frac{1}{8} : 6\frac{1}{8} = 1$.

2. Вычислим выражение в скобках, вынеся общий множитель $\frac{7}{40}$ за скобки:
$0,59 \cdot \frac{7}{40} + 0,41 \cdot \frac{7}{40} = (0,59 + 0,41) \cdot \frac{7}{40} = 1 \cdot \frac{7}{40} = \frac{7}{40}$

3. Выполним деление результата из скобок на 0,35. Преобразуем 0,35 в обыкновенную дробь:
$0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$
$\frac{7}{40} : \frac{7}{20} = \frac{7}{40} \cdot \frac{20}{7} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

4. Выполним вычитание:
$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Итак, значение знаменателя равно $\frac{1}{2}$.

Итоговое вычисление:

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{20}{\frac{1}{2}} = 20 : \frac{1}{2} = 20 \cdot 2 = 40$

Ответ: 40.

338 Вычисли:

1) $(5.884 + 5.96 \cdot 20.5) / 3.2 - 30.144;$

2) $\frac{(2.7 - 2.45 + 3\frac{2}{15} + 1\frac{4}{20}) \cdot 4\frac{4}{11}}{6.125 / 6\frac{1}{8} - (0.59 \cdot \frac{7}{40} + 0.41 \cdot \frac{7}{40}) / 0.35}$

339* Отцу 45 лет, а сыну 10 лет. Через сколько лет их возрасты будут относиться как $9 : 4$?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть через $x$ лет возрасты отца и сына будут относиться как 9:4.

Текущий возраст отца — 45 лет, а сына — 10 лет.

Через $x$ лет возраст отца будет $45 + x$ лет.

Через $x$ лет возраст сына будет $10 + x$ лет.

Согласно условию, отношение их возрастов в будущем будет равно 9:4. Можем составить пропорцию:

$\frac{45 + x}{10 + x} = \frac{9}{4}$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$4 \cdot (45 + x) = 9 \cdot (10 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4 \cdot 45 + 4 \cdot x = 9 \cdot 10 + 9 \cdot x$

$180 + 4x = 90 + 9x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой. Перенесем $4x$ вправо, а 90 — влево, изменив их знаки:

$180 - 90 = 9x - 4x$

$90 = 5x$

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{90}{5}$

$x = 18$

Таким образом, через 18 лет возрасты отца и сына будут относиться как 9:4.

Проверка:
Через 18 лет отцу будет $45 + 18 = 63$ года.
Сыну будет $10 + 18 = 28$ лет.
Отношение их возрастов: $\frac{63}{28}$. Сократив дробь на 7, получим $\frac{9}{4}$, что соответствует условию 9:4.

Ответ: через 18 лет.

C 339

Отцу 45 лет, а сыну 10. Через сколько лет их возрасты будут относиться как $9:4$?

340 Разрежь каждую фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части.

A

B

C

Для решения этой задачи необходимо сначала определить общее количество клеток в каждой фигуре, а затем разделить его на 4, чтобы узнать, сколько клеток должна содержать каждая из четырех одинаковых частей. После этого нужно найти такую форму (полимино), которой можно замостить всю исходную фигуру, используя четыре одинаковых экземпляра этой формы (допускаются повороты и отражения).

A

Фигура A состоит из 16 квадратных клеток. Следовательно, каждая из четырех одинаковых частей должна состоять из $16 / 4 = 4$ клеток. Такая фигура называется тетромино.

Фигуру A можно разрезать на четыре одинаковые части, имеющие форму "P-тетромино" (квадрат 2x2 без одной угловой клетки). Разрезание показано на схеме ниже, где каждая часть обозначена своим цветом и буквой.

Ответ: Фигуру A можно разрезать на четыре одинаковых P-образных тетромино, как показано на схеме.

B

Фигура B состоит из 20 квадратных клеток. Следовательно, каждая из четырех одинаковых частей должна состоять из $20 / 4 = 5$ клеток. Такая фигура называется пентамино.

Фигуру B можно разрезать на четыре одинаковые части, имеющие форму "Y-пентамино" (линия из 4 клеток с одной присоединенной сбоку ко второй клетке). Разрезание показано на схеме ниже.

Ответ: Фигуру B можно разрезать на четыре одинаковых Y-образных пентамино, как показано на схеме.

C

Фигура C состоит из 32 квадратных клеток. Хотя ее очертания могут показаться сложными, ее можно представить как квадрат 6x6, у которого удалены четыре угловые клетки. Общая площадь такой фигуры $6 \times 6 - 4 \times 1 = 32$ клетки. Следовательно, каждая из четырех одинаковых частей должна состоять из $32 / 4 = 8$ клеток. Такая фигура называется октомино.

Эту фигуру можно разрезать на четыре одинаковые части простыми разрезами по центральным осям. Каждая часть будет иметь форму квадрата 3x3 без одной угловой клетки.

Ответ: Фигуру C можно разрезать на четыре одинаковые части, каждая из которых представляет собой квадрат 3x3 без одного угла, как показано на схеме.

340. Разрежь каждую фигуру по линиям сетки на четыре одинаковые части.

А

Б

С

341 *

1) Царь Дадон затеял построить 8 городов и соединить их прямыми дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 4 дороги и никакие две дороги не пересекались. Помоги царю Дадону нарисовать схему расположения дорог и городов.

2) Царь Салтан решил построить для своих вассалов шесть замков и соединить каждые два из них дорогами. Но он хочет, чтобы было только 3 перекрёстка и на каждом из них пересекались ровно две дороги. Сможешь ли ты нарисовать такую схему расположения дорог и замков?

1)

Задача состоит в том, чтобы найти и нарисовать схему, которая представляет собой граф с 8 вершинами (городами), где каждая вершина имеет степень 4 (из каждого города выходит 4 дороги). Кроме того, граф должен быть планарным, то есть его можно нарисовать на плоскости так, чтобы рёбра (дороги) не пересекались.

Математически нам нужен планарный 4-регулярный граф с 8 вершинами. Таким графом является скелет (вершины и рёбра) квадратной антипризмы. Квадратная антипризма — это многогранник, у которого две параллельные грани являются квадратами, а остальные 8 граней — треугольники.

Вот как можно нарисовать схему такого расположения городов и дорог:

1. Расположите четыре города в виде большого квадрата. Назовём их A, B, C, D.
2. Расположите остальные четыре города в виде малого квадрата в центре большого, повёрнутого на 45 градусов. Назовём их a, b, c, d.
3. Соедините дорогими города большого квадрата по периметру: A-B, B-C, C-D, D-A.
4. Соедините дорогими города малого квадрата по периметру: a-b, b-c, c-d, d-a.
5. Теперь соедините каждый город большого квадрата с двумя ближайшими городами малого квадрата. Например: A с a и d; B с a и b; C с b и c; D с c и d.

В результате получается схема, где из каждого города выходит ровно 4 дороги (две к городам в своём квадрате и две к городам в другом квадрате), и ни одна дорога не пересекает другую.

Ниже представлена визуализация этой схемы:

Ответ: Да, помочь царю Дадону можно. Схема представляет собой вершины и рёбра квадратной антипризмы, как показано на рисунке выше.

2)

Задача состоит в том, чтобы нарисовать схему с 6 замками, где каждые два замка соединены дорогой, и при этом существует ровно 3 перекрёстка, на каждом из которых пересекаются ровно две дороги.

В терминах теории графов это означает, что нам нужно нарисовать полный граф $K_6$ (граф с 6 вершинами, где каждая вершина соединена с каждой другой) так, чтобы число пересечений рёбер было равно 3.

Известно, что минимальное число пересечений для полного графа $K_n$, обозначаемое как $cr(K_n)$, можно вычислить по формуле: $cr(K_n) = \frac{1}{4}\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor$

Для 6 замков ($n=6$): $cr(K_6) = \frac{1}{4}\left\lfloor\frac{6}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{5}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{4}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{3}{2}\right\rfloor = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = \frac{12}{4} = 3$

Минимальное возможное число перекрёстков для 6 замков, соединённых попарно, как раз равно трём. Следовательно, нарисовать такую схему возможно.

Один из способов расположить замки и дороги, чтобы получить ровно 3 перекрёстка, следующий:

1. Расположите три замка (A, B, C) по вершинам большого равностороннего треугольника.
2. Расположите остальные три замка (D, E, F) по вершинам малого равностороннего треугольника, расположенного в центре большого и ориентированного так же.
3. Соедините все пары замков прямыми дорогами.

При таком расположении пересекаться будут только три пары дорог:

• Дорога A-E пересечётся с дорогой B-D.
• Дорога B-F пересечётся с дорогой C-E.
• Дорога C-D пересечётся с дорогой A-F.

Схематичное изображение такого расположения:

Ответ: Да, нарисовать такую схему возможно. Один из вариантов — расположить три замка по вершинам большого треугольника, а три других — по вершинам малого треугольника в его центре.

341 1) Царь Дадон затеял построить 8 городов и соединить их прямыми дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 4 дороги и никакие две дороги не пересекались. Помоги царю Дадону нарисовать схему расположения дорог и городов.

2) Царь Салтан решил построить для своих вассалов шесть замков и соединить каждые два из них дорогами. Но он хочет, чтобы было только 3 перекрестка и на каждом из них пересекались ровно две дороги. Сможешь ли ты нарисовать такую схему расположения дорог и замков?

345 Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй математические термины. Найди в тексте учебника и запиши в тетрадь их определения.

Т $ \frac{4}{9} + \frac{7}{18} $

Ж $ 1 - \frac{3}{7} $

А $ -2 + \frac{1}{3} $

Р $ 3\frac{8}{11} - 5\frac{2}{11} $

Е $ -\frac{5}{21} - \frac{3}{7} $

У $ \frac{2}{9} - 1 $

Х $ \frac{9}{11} - 4 $

О $ -1\frac{4}{15} - 2\frac{5}{6} $

3 $ \frac{5}{8} - \frac{2}{3} $

К $ -1 - \frac{1}{5} $

Н $ -1\frac{1}{4} - 3 $

Д $ 4\frac{4}{35} - 3\frac{3}{14} $

$-4,1$ $ \frac{5}{6} $ $ -1\frac{5}{11} $ $ \frac{2}{3} $ $ -\frac{1}{24} $ $-4,1$ $-1,2$

$ -3\frac{2}{11} $ $-4,1$ $ -1\frac{5}{11} $ $0,9$ $ -1\frac{2}{3} $

Сначала выполним все действия для каждой буквы:

• Т

  Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю 18.

  $\frac{4}{9} + \frac{7}{18} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{7}{18} = \frac{8}{18} + \frac{7}{18} = \frac{8+7}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$

  Ответ: $\frac{5}{6}$.

• Ж

  Представим 1 в виде дроби со знаменателем 7.

  $1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{7-3}{7} = \frac{4}{7}$

  Ответ: $\frac{4}{7}$.

• А

  Выполним сложение целого числа и дроби.

  $-2 + \frac{1}{3} = -1\frac{3}{3} + \frac{1}{3} = -1\frac{2}{3}$

  Ответ: $-1\frac{2}{3}$.

• Р

  Вычтем целые и дробные части по отдельности.

  $3\frac{8}{11} - 5\frac{2}{11} = (3-5) + (\frac{8}{11} - \frac{2}{11}) = -2 + \frac{6}{11} = -1\frac{11}{11} + \frac{6}{11} = -1\frac{5}{11}$

  Ответ: $-1\frac{5}{11}$.

• Е

  Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю 21.

  $-\frac{5}{21} - \frac{3}{7} = -\frac{5}{21} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{5}{21} - \frac{9}{21} = \frac{-5-9}{21} = -\frac{14}{21} = -\frac{2}{3}$

  Ответ: $-\frac{2}{3}$.

• У

  Представим 1 в виде дроби со знаменателем 9.

  $\frac{2}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = \frac{2-9}{9} = -\frac{7}{9}$

  Ответ: $-\frac{7}{9}$.

• Х

  Представим 4 в виде смешанного числа, чтобы выполнить вычитание.

  $\frac{9}{11} - 4 = \frac{9}{11} - 3\frac{11}{11} = -3\frac{11-9}{11} = -3\frac{2}{11}$

  Ответ: $-3\frac{2}{11}$.

• О

  Сложим два отрицательных смешанных числа, приведя их дробные части к общему знаменателю 30.

  $-1\frac{4}{15} - 2\frac{5}{6} = -(1\frac{4}{15} + 2\frac{5}{6}) = -( (1+2) + (\frac{4 \cdot 2}{30} + \frac{5 \cdot 5}{30}) ) = -(3 + \frac{8+25}{30}) = -(3 + \frac{33}{30}) = -(3 + 1\frac{3}{30}) = -4\frac{3}{30} = -4\frac{1}{10} = -4,1$

  Ответ: $-4,1$.

• З

  Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю 24.

  $\frac{5}{8} - \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{15}{24} - \frac{16}{24} = \frac{15-16}{24} = -\frac{1}{24}$

  Ответ: $-\frac{1}{24}$.

• К

  Сложим два отрицательных числа.

  $-1 - \frac{1}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$

  Ответ: $-1,2$.

• Н

  Сложим два отрицательных числа.

  $-1\frac{1}{4} - 3 = -(1\frac{1}{4} + 3) = -4\frac{1}{4} = -4,25$

  Ответ: $-4,25$.

• Д

  Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю 70.

  $4\frac{4}{35} - 3\frac{3}{14} = 4\frac{4 \cdot 2}{35 \cdot 2} - 3\frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5} = 4\frac{8}{70} - 3\frac{15}{70} = 3\frac{70+8}{70} - 3\frac{15}{70} = 3\frac{78}{70} - 3\frac{15}{70} = \frac{63}{70} = \frac{9}{10} = 0,9$

  Ответ: $0,9$.

Теперь сопоставим полученные ответы с числами в таблицах и расшифруем слова. (Примечание: в условии задачи, вероятно, есть опечатки. Ответ для Е равен $-\frac{2}{3}$, а в таблице $\frac{2}{3}$; ответ для З равен $-\frac{1}{24}$, а в таблице $\frac{1}{24}$. Будем считать, что знаки в таблице указаны неверно).

Первое слово:

Второе слово:

Расшифрованные математические термины и их определения:

• ОТРЕЗОК — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
• ХОРДА — это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

345 Выполни действия, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй математические термины. Найди в тексте учебника и запиши в тетрадь их определения.

Т $ \frac{4}{9} + \frac{7}{18} $

Е $ -\frac{5}{21} - \frac{3}{7} $

З $ \frac{5}{8} - \frac{2}{3} $

Ж $ 1 - \frac{3}{7} $

У $ \frac{2}{9} - 1 $

К $ -1 - \frac{1}{5} $

А $ -2 + \frac{1}{3} $

Х $ \frac{9}{11} - 4 $

Н $ -1\frac{1}{4} - 3 $

Р $ 3\frac{8}{11} - 5\frac{2}{11} $

О $ -1\frac{4}{15} - 2\frac{5}{6} $

Д $ 4\frac{4}{35} - 3\frac{3}{14} $

346 Реши уравнение:

a) $ \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 3; $

б) $ \frac{y}{3} - 2 = \frac{y}{5}; $

в) $ \frac{z}{4} + 1 = -\frac{3z}{8} - 4. $

а) $\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 3$

Чтобы решить уравнение, избавимся от дробей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель чисел 2 и 6, который равен 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{x}{6}) = 6 \cdot 3$

Раскроем скобки:

$\frac{6x}{2} - \frac{6x}{6} = 18$

Сократим дроби:

$3x - x = 18$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x = 18$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Ответ: $x=9$.

б) $\frac{y}{3} - 2 = \frac{y}{5}$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть уравнения, а свободные члены (числа) — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$\frac{y}{3} - \frac{y}{5} = 2$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель чисел 3 и 5, который равен 15:

$15 \cdot (\frac{y}{3} - \frac{y}{5}) = 15 \cdot 2$

$\frac{15y}{3} - \frac{15y}{5} = 30$

Сократим дроби:

$5y - 3y = 30$

Приведем подобные слагаемые:

$2y = 30$

Найдем $y$, разделив обе части на 2:

$y = \frac{30}{2}$

$y = 15$

Ответ: $y=15$.

в) $\frac{z}{4} + 1 = -\frac{3z}{8} - 4$

Сгруппируем слагаемые с переменной $z$ в левой части уравнения, а числовые слагаемые — в правой:

$\frac{z}{4} + \frac{3z}{8} = -4 - 1$

$\frac{z}{4} + \frac{3z}{8} = -5$

Теперь умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель чисел 4 и 8, который равен 8:

$8 \cdot (\frac{z}{4} + \frac{3z}{8}) = 8 \cdot (-5)$

$\frac{8z}{4} + \frac{8 \cdot 3z}{8} = -40$

Сократим дроби:

$2z + 3z = -40$

Приведем подобные слагаемые:

$5z = -40$

Найдем $z$, разделив обе части на 5:

$z = \frac{-40}{5}$

$z = -8$

Ответ: $z=-8$.

346 Реши уравнения:

а) $ \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 3; $

б) $ \frac{y}{3} - 2 = \frac{y}{5}; $

в) $ \frac{z}{4} + 1 = -\frac{3z}{8} - 4. $

347 Найди число, 24 % которого составляют:

$$\frac{-1\frac{1}{3} \cdot (2+0.9 \cdot (-\frac{5}{9})) : (-\frac{4}{9}) - 2.7}{(-2\frac{4}{7} \cdot 0.58 - 0.42 \cdot 2\frac{4}{7}) \cdot 1\frac{5}{9} : (-2\frac{2}{3})}$$

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала вычислить значение сложного числового выражения, а затем найти число, 24% от которого равно полученному значению.

1. Вычисление значения выражения

Сначала найдем значение дроби: $\frac{-1\frac{1}{3}\cdot(2+0,9\cdot(-\frac{5}{9})):(-\frac{4}{9})-2,7}{(-2\frac{4}{7}\cdot 0,58 - 0,42\cdot 2\frac{4}{7})\cdot 1\frac{5}{9}:(-2\frac{2}{3})}$.

Для этого вычислим поочерёдно числитель и знаменатель.

Вычисление числителя:

Выполним действия в выражении $-1\frac{1}{3}\cdot(2+0,9\cdot(-\frac{5}{9})):(-\frac{4}{9})-2,7$ в соответствии с их приоритетом:

1. $0,9\cdot(-\frac{5}{9}) = \frac{9}{10}\cdot(-\frac{5}{9}) = -\frac{9\cdot5}{10\cdot9} = -\frac{5}{10} = -0,5$
2. $2+(-0,5) = 1,5$
3. $-1\frac{1}{3}\cdot 1,5 = -\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2} = -\frac{4\cdot3}{3\cdot2} = -2$
4. $-2:(-\frac{4}{9}) = -2\cdot(-\frac{9}{4}) = \frac{2\cdot9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5$
5. $4,5 - 2,7 = 1,8$

Таким образом, значение числителя равно $1,8$.

Вычисление знаменателя:

Выполним действия в выражении $(-2\frac{4}{7}\cdot 0,58 - 0,42\cdot 2\frac{4}{7})\cdot 1\frac{5}{9}:(-2\frac{2}{3})$:

1. Упростим выражение в первых скобках, вынеся за них общий множитель $-2\frac{4}{7}$:
   $-2\frac{4}{7}\cdot 0,58 - 0,42\cdot 2\frac{4}{7} = -2\frac{4}{7}\cdot(0,58+0,42) = -2\frac{4}{7}\cdot 1 = -2\frac{4}{7}$
2. $-2\frac{4}{7}\cdot 1\frac{5}{9} = -\frac{18}{7}\cdot\frac{14}{9} = -\frac{18\cdot14}{7\cdot9} = -(2\cdot2) = -4$
3. $-4:(-2\frac{2}{3}) = -4:(-\frac{8}{3}) = -4\cdot(-\frac{3}{8}) = \frac{4\cdot3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, значение знаменателя равно $1,5$.

Нахождение значения всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{1,8}{1,5} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} = 1,2$

2. Нахождение искомого числа

По условию, найденное значение $1,2$ составляет $24\%$ от искомого числа. Обозначим искомое число через $x$. Тогда можно составить уравнение:

$0,24 \cdot x = 1,2$

Чтобы найти $x$, разделим $1,2$ на $0,24$:

$x = \frac{1,2}{0,24} = \frac{120}{24} = 5$

Ответ: 5

347. Найди число, 24% которого составляют:

$$\frac{-1\frac{1}{3} \cdot (2+0.9 \cdot (-\frac{5}{9})) : (-\frac{4}{9}) - 2.7}{(-2\frac{4}{7} \cdot 0.58 - 0.42 \cdot 2\frac{4}{7}) \cdot 1\frac{5}{9} : (-2\frac{2}{3})}$$

348 Реши задачу разными способами.

Автобус проходит расстояние от города до озера за 3 ч. Автомобиль, скорость которого на 12 км/ч больше скорости автобуса, проходит это же расстояние на 30 мин быстрее. Чему равно расстояние от города до озера?

Способ 1 (алгебраический)

Пусть скорость автобуса равна $v$ км/ч. Тогда скорость автомобиля, которая на 12 км/ч больше, равна $(v + 12)$ км/ч.

Время в пути для автобуса составляет 3 часа.

Автомобиль проезжает то же расстояние на 30 минут (то есть на 0,5 часа) быстрее. Значит, время в пути для автомобиля:

$3 - 0,5 = 2,5$ часа.

Расстояние ($S$) от города до озера одинаково для автобуса и автомобиля. Составим уравнение, используя формулу расстояния $S = \text{скорость} \times \text{время}$.

Расстояние, пройденное автобусом: $S = v \cdot 3$

Расстояние, пройденное автомобилем: $S = (v + 12) \cdot 2,5$

Поскольку расстояния равны, приравняем выражения:

$3v = 2,5 \cdot (v + 12)$

Теперь решим полученное уравнение:

$3v = 2,5v + 2,5 \cdot 12$

$3v = 2,5v + 30$

$3v - 2,5v = 30$

$0,5v = 30$

$v = 30 / 0,5$

$v = 60$

Таким образом, скорость автобуса равна 60 км/ч.

Чтобы найти расстояние от города до озера, умножим скорость автобуса на его время в пути:

$S = 60 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 180$ км.

Ответ: 180 км.

Способ 2 (арифметический)

1. Сначала определим время, которое автомобиль был в пути. Он был в пути на 30 минут (0,5 часа) меньше, чем автобус:

$3 \text{ ч} - 0,5 \text{ ч} = 2,5$ ч.

2. Скорость автомобиля на 12 км/ч больше, чем скорость автобуса. Это значит, что за 2,5 часа своего пути автомобиль проехал на определённое расстояние больше, чем проехал бы автобус за то же самое время. Найдем это "дополнительное" расстояние:

$12 \text{ км/ч} \cdot 2,5 \text{ ч} = 30$ км.

3. Эти 30 км и есть то расстояние, которое автобус проезжает за те 30 минут (0,5 часа), на которые он ехал дольше автомобиля. Ведь именно за счет этого отрезка пути, который автобус еще не проехал, автомобиль и прибыл раньше.

4. Теперь мы можем найти скорость автобуса, зная, что он проезжает 30 км за 0,5 часа:

$v_{\text{автобуса}} = 30 \text{ км} / 0,5 \text{ ч} = 60$ км/ч.

5. Зная скорость автобуса (60 км/ч) и общее время его пути (3 ч), мы можем найти искомое расстояние от города до озера:

$S = 60 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 180$ км.

Ответ: 180 км.

348 Реши задачу разными способами:

Автобус проходит расстояние от города до озера за 3 часа. Автомобиль, скорость которого на 12 км/ч больше скорости автобуса, проходит это же расстояние на 30 мин быстрее. Чему равно расстояние от города до озера?

349* Сколько диагоналей можно провести в четырёхугольнике? А в треугольнике, пятиугольнике, шестиугольнике, n-угольнике?

Для того чтобы определить количество диагоналей в многоугольнике, необходимо сначала понять, что такое диагональ, а затем вывести общую формулу для её нахождения. Диагональ — это отрезок, который соединяет две несоседние вершины многоугольника.

Рассмотрим произвольный многоугольник, у которого $n$ вершин (и, соответственно, $n$ сторон). Из каждой вершины можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам. Однако два из этих отрезков будут являться сторонами многоугольника (те, что соединяют данную вершину с двумя соседними), а не диагоналями. Таким образом, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то, умножив количество вершин на число диагоналей, выходящих из каждой, мы получим $n(n-3)$. В этом произведении каждая диагональ посчитана дважды (например, диагональ AC и диагональ CA — это один и тот же отрезок). Поэтому, чтобы найти истинное число диагоналей, результат нужно разделить на 2.

Таким образом, общая формула для вычисления количества диагоналей $D$ в $n$-угольнике выглядит следующим образом: $$D = \frac{n(n-3)}{2}$$

Теперь, используя эту формулу, найдём количество диагоналей для каждого из указанных многоугольников.

В четырёхугольнике

Для четырёхугольника число вершин $n=4$. Подставляем это значение в нашу формулу: $D = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: 2.

В треугольнике

Для треугольника число вершин $n=3$. Подставляем это значение в формулу: $D = \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0$. В треугольнике все вершины являются соседними, поэтому диагоналей в нём нет.

Ответ: 0.

В пятиугольнике

Для пятиугольника число вершин $n=5$. Подставляем это значение в формулу: $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Ответ: 5.

В шестиугольнике

Для шестиугольника число вершин $n=6$. Подставляем это значение в формулу: $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

Ответ: 9.

В n-угольнике

Для произвольного $n$-угольника, где $n$ — это количество его вершин, количество диагоналей $D$ определяется по общей формуле, которая была выведена в начале решения: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.

C 349 Сколько диагоналей можно провести в четырехугольнике? А в треугольнике, пятиугольнике, шестиугольнике, n-угольнике?

350* Сколько возникает на окружности дуг, если на ней поставлены две точки? А если точек 3, 4, 10, $n$?

Любые две точки, расположенные на окружности, делят её на две части, которые называются дугами. Если отметить на окружности точки A и B, то они образуют две дуги: одну меньшую (дуга AB) и одну большую (также с концами в точках A и B). Таким образом, две точки всегда образуют ровно две дуги.

Ответ: 2.

А если точек 3, 4, 10, n?

Чтобы найти общее количество дуг, нужно определить, сколько всего можно составить уникальных пар точек, так как каждая пара точек является концами двух дуг.

Количество способов выбрать 2 точки из $n$ имеющихся — это число сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Поскольку каждая такая пара точек образует 2 дуги, общее количество дуг будет в два раза больше, чем количество пар:

Количество дуг = $2 \times C_n^2 = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$.

Теперь применим эту формулу для каждого случая:

• Для 3 точек:

  Количество дуг = $3 \times (3-1) = 3 \times 2 = 6$.

• Для 4 точек:

  Количество дуг = $4 \times (4-1) = 4 \times 3 = 12$.

• Для 10 точек:

  Количество дуг = $10 \times (10-1) = 10 \times 9 = 90$.

• Для n точек:

  Количество дуг = $n(n-1)$.

Ответ: для 3 точек – 6 дуг; для 4 точек – 12 дуг; для 10 точек – 90 дуг; для $n$ точек – $n(n-1)$ дуг.

350 Сколько возникает на окружности дуг, если на ней поставлены две точки?

А если точек 3, 4, 10, $n$?