Номер 328, страница 78, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 1. Понятие о проценте - номер 328, страница 78.

Условие 2023.

328 Фонд общественного мнения города N опубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов.

Телесериал № 1

Время эфира: 11.30, 21.30

Зрители телесериала (в процентах к общему числу зрителей): 45 %, 67 %

Телесериал № 2

Время эфира: 10.05, 20.45

Зрители телесериала (в процентах к общему числу зрителей): 48 %, 35,6 %

Можно ли на основании этих данных утверждать, что:

1) хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

2) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 1;

3) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 2;

4) телесериал № 2 смотрит меньшее число жителей города N, чем телесериал № 1?

Решение 2 (2023).

Для ответа на вопросы проанализируем данные из таблицы, используя теорию множеств. Пусть $T$ – общее число телезрителей в городе $N$. Проценты в таблице указаны относительно этой величины.

Обозначим:

• $A_1$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №1 в 11.30. Их доля: $P(A_1) = 45\%$.
• $A_2$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №1 в 21.30. Их доля: $P(A_2) = 67\%$.
• $B_1$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №2 в 10.05. Их доля: $P(B_1) = 48\%$.
• $B_2$ – множество зрителей, смотрящих телесериал №2 в 20.45. Их доля: $P(B_2) = 35,6\%$.

Общее число зрителей телесериала №1 – это объединение множеств $A_1$ и $A_2$, то есть $S_1 = A_1 \cup A_2$.
Общее число зрителей телесериала №2 – это объединение множеств $B_1$ и $B_2$, то есть $S_2 = B_1 \cup B_2$.

1) хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

Нужно проверить, можно ли утверждать, что пересечение множеств $S_1$ и $S_2$ непустое, то есть $|S_1 \cap S_2| > 0$.
Сначала найдем минимально возможную долю зрителей для каждого сериала. Доля зрителей, смотрящих хотя бы один выпуск сериала, равна $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Минимальное значение объединения множеств равно размеру наибольшего из них.

Минимальная доля зрителей телесериала №1:
$P(S_1)_{min} = P(A_1 \cup A_2)_{min} = \max(P(A_1), P(A_2)) = \max(45\%, 67\%) = 67\%$.

Минимальная доля зрителей телесериала №2:
$P(S_2)_{min} = P(B_1 \cup B_2)_{min} = \max(P(B_1), P(B_2)) = \max(48\%, 35,6\%) = 48\%$.

Теперь оценим минимальный размер пересечения аудиторий двух сериалов $P(S_1 \cap S_2)$. Используем формулу включений-исключений: $P(S_1 \cup S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cap S_2)$.
Поскольку общая аудитория всех зрителей не может превышать 100%, то $P(S_1 \cup S_2) \le 100\%$.
Следовательно, $P(S_1 \cap S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cup S_2) \ge P(S_1)_{min} + P(S_2)_{min} - 100\%$.
$P(S_1 \cap S_2) \ge 67\% + 48\% - 100\% = 115\% - 100\% = 15\%$.
Минимальная доля зрителей, которые смотрят оба сериала, составляет 15%. Так как это значение больше нуля, мы можем утверждать, что хотя бы один житель смотрит оба телесериала.
Ответ: да, можно.

2) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 1;

Нужно проверить, обязательно ли есть пересечение у множеств $A_1$ и $A_2$, то есть $P(A_1 \cap A_2) > 0$.
Суммарная доля зрителей двух показов телесериала №1 составляет $P(A_1) + P(A_2) = 45\% + 67\% = 112\%$.
Так как общая доля зрителей телесериала №1, $P(A_1 \cup A_2)$, не может быть больше 100%, то должно быть пересечение.
Из формулы $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$ следует:
$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cup A_2)$.
Поскольку $P(A_1 \cup A_2) \le 100\%$, то минимальный размер пересечения:
$P(A_1 \cap A_2)_{min} \ge 112\% - 100\% = 12\%$.
Минимум 12% зрителей смотрят телесериал №1 дважды в день. Это больше нуля, следовательно, утверждение верно.
Ответ: да, можно.

3) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал № 2;

Аналогично пункту 2, нужно проверить, обязательно ли $P(B_1 \cap B_2) > 0$.
Суммарная доля зрителей двух показов телесериала №2 составляет $P(B_1) + P(B_2) = 48\% + 35,6\% = 83,6\%$.
Эта сумма меньше 100%. Это означает, что множества зрителей $B_1$ и $B_2$ могут не пересекаться. Например, 48% жителей смотрят сериал утром, а другие 35,6% жителей смотрят его вечером. В этом случае $P(B_1 \cap B_2) = 0$.
Поскольку возможно, что никто не смотрит телесериал №2 дважды, утверждать это на основании имеющихся данных нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

4) телесериал № 2 смотрит меньшее число жителей города N, чем телесериал № 1?

Нужно сравнить общие аудитории сериалов: $P(S_1) = P(A_1 \cup A_2)$ и $P(S_2) = P(B_1 \cup B_2)$. Для этого найдем возможные диапазоны значений для каждой величины.
Для телесериала №1: $P(S_1) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) = 112\% - P(A_1 \cap A_2)$.
Мы знаем, что $12\% \le P(A_1 \cap A_2) \le \min(45\%, 67\%) = 45\%$.
Максимальная аудитория: $P(S_1)_{max} = 112\% - 12\% = 100\%$.
Минимальная аудитория: $P(S_1)_{min} = 112\% - 45\% = 67\%$.
Итак, $P(S_1)$ находится в диапазоне $[67\%, 100\%]$.

Для телесериала №2: $P(S_2) = P(B_1) + P(B_2) - P(B_1 \cap B_2) = 83,6\% - P(B_1 \cap B_2)$.
Мы знаем, что $0\% \le P(B_1 \cap B_2) \le \min(48\%, 35,6\%) = 35,6\%$.
Максимальная аудитория: $P(S_2)_{max} = 83,6\% - 0\% = 83,6\%$.
Минимальная аудитория: $P(S_2)_{min} = 83,6\% - 35,6\% = 48\%$.
Итак, $P(S_2)$ находится в диапазоне $[48\%, 83,6\%]$.

Сравним диапазоны: $P(S_1) \in [67\%, 100\%]$ и $P(S_2) \in [48\%, 83,6\%]$.
Эти диапазоны пересекаются. Например, возможна ситуация, когда аудитория телесериала №1 равна 70% (что входит в его диапазон), а аудитория телесериала №2 равна 80% (что входит в его диапазон). В этом случае телесериал №2 смотрит большее число жителей.
Поскольку нельзя однозначно утверждать, что $P(S_2) < P(S_1)$, данное утверждение не может быть сделано на основе предоставленных данных.
Ответ: нет, нельзя.

Условие 2010-2022.

328 Фонд общественного мнения города N опубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов:

Время эфира

"Петербургские тайны": 11.30, 21.30

"Возвращение Мухтара": 10.05, 20.45

Зрители телесериала (в процентах к общему числу зрителей)

"Петербургские тайны": 45% (для 11.30), 67% (для 21.30)

"Возвращение Мухтара": 48% (для 10.05), 35,6% (для 20.45)

Можно ли на основании этих данных утверждать, что:

1) хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

2) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал “Петербургские тайны”;

3) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал “Возвращение Мухтара”;

4) телесериал “Возвращение Мухтара” смотрит меньшее число жителей города N;

5) телесериал “Петербургские тайны” смотрит большее число жителей города N?

Какие еще выводы позволяют сделать приведенные данные?

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).