Страница 84, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

371 1) Скорости двух пешеходов относятся как $5:4$. На сколько процентов скорость первого пешехода больше скорости второго? На сколько процентов скорость второго пешехода меньше скорости первого?

2) Скорости двух лыжников относятся как $9:10$. На сколько процентов скорость первого лыжника меньше скорости второго? На сколько процентов скорость второго лыжника больше скорости первого?

1) Скорости двух пешеходов относятся как 5 : 4. На сколько процентов скорость первого пешехода больше скорости второго? На сколько процентов скорость второго пешехода меньше скорости первого?

Пусть скорость первого пешехода будет $v_1$, а второго — $v_2$. По условию, их скорости относятся как 5 к 4, то есть $\frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{4}$. Для удобства расчетов можно принять, что $v_1 = 5$ условных единиц скорости, а $v_2 = 4$ условные единицы скорости.

Чтобы найти, на сколько процентов скорость первого пешехода больше скорости второго, необходимо найти разницу скоростей и разделить ее на скорость второго пешехода (с которой мы сравниваем), а затем умножить на 100%.
Разница скоростей: $v_1 - v_2 = 5 - 4 = 1$.
Процентное отношение: $\frac{v_1 - v_2}{v_2} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$.

Чтобы найти, на сколько процентов скорость второго пешехода меньше скорости первого, необходимо найти разницу скоростей и разделить ее на скорость первого пешехода (теперь мы сравниваем с ней), а затем умножить на 100%.
Разница скоростей та же: $v_1 - v_2 = 1$.
Процентное отношение: $\frac{v_1 - v_2}{v_1} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.

Ответ: Скорость первого пешехода на 25% больше скорости второго, а скорость второго пешехода на 20% меньше скорости первого.

2) Скорости двух лыжников относятся как 9 : 10. На сколько процентов скорость первого лыжника меньше скорости второго? На сколько процентов скорость второго лыжника больше скорости первого?

Пусть скорость первого лыжника будет $v_1$, а второго — $v_2$. По условию, их скорости относятся как 9 к 10, то есть $\frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{10}$. Примем, что $v_1 = 9$ условных единиц скорости, а $v_2 = 10$ условных единиц скорости.

Чтобы найти, на сколько процентов скорость первого лыжника меньше скорости второго, мы сравниваем разницу скоростей со скоростью второго лыжника ($v_2$).
Разница скоростей: $v_2 - v_1 = 10 - 9 = 1$.
Процентное отношение: $\frac{v_2 - v_1}{v_2} \times 100\% = \frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$.

Чтобы найти, на сколько процентов скорость второго лыжника больше скорости первого, мы сравниваем разницу скоростей со скоростью первого лыжника ($v_1$).
Разница скоростей та же: $v_2 - v_1 = 1$.
Процентное отношение: $\frac{v_2 - v_1}{v_1} \times 100\% = \frac{1}{9} \times 100\% = 11 \frac{1}{9}\%$.

Ответ: Скорость первого лыжника на 10% меньше скорости второго, а скорость второго лыжника на $11 \frac{1}{9}\%$ больше скорости первого.

371 1) Скорости двух пешеходов относятся как $5 : 4$. На сколько процентов скорость первого пешехода больше скорости второго? На сколько процентов скорость второго пешехода меньше скорости первого?

2) Скорости двух лыжников относятся как $9 : 10$. На сколько процентов скорость первого лыжника меньше скорости второго? На сколько процентов скорость второго лыжника больше скорости первого?

372 Из двух городов, расстояние между которыми равно 18 км, выехали одновременно в противоположных направлениях два автомобиля. Через 1 ч 45 мин после выезда расстояние между ними было равно 270 км. На сколько километров в час скорость первого автомобиля меньше скорости второго, если их скорости относятся как $5 : 7$?

1. Найдем суммарное расстояние, которое проехали оба автомобиля. Изначально между ними было 18 км, а в конце стало 270 км. Поскольку они двигались в противоположных направлениях, общее расстояние, которое они преодолели, равно разнице между конечным и начальным расстоянием между ними.

$S_{пройденное} = 270 - 18 = 252$ км.

2. Переведем время движения в часы. 1 час 45 минут это:

$t = 1 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 1 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 1.75$ ч.

3. Найдем общую скорость автомобилей (скорость удаления). Для этого разделим общее пройденное расстояние на время в пути.

$v_{общая} = v_1 + v_2 = \frac{S_{пройденное}}{t} = \frac{252}{1.75} = 144$ км/ч.

4. Согласно условию, скорости автомобилей относятся как 5:7. Пусть $x$ — это одна часть скорости. Тогда скорость первого автомобиля $v_1 = 5x$, а скорость второго автомобиля $v_2 = 7x$. Составим уравнение, используя их общую скорость:

$5x + 7x = 144$

$12x = 144$

$x = \frac{144}{12}$

$x = 12$

5. Теперь найдем скорости каждого автомобиля:

Скорость первого автомобиля: $v_1 = 5 \cdot 12 = 60$ км/ч.

Скорость второго автомобиля: $v_2 = 7 \cdot 12 = 84$ км/ч.

6. Найдем, на сколько скорость первого автомобиля меньше скорости второго, вычислив их разницу:

$v_2 - v_1 = 84 - 60 = 24$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля меньше скорости второго на 24 км/ч.

372 Из двух городов, расстояние между которыми равно 18 км, выехали одновременно в противоположных направлениях два автомобиля. Через 1 ч 45 мин после выезда расстояние между ними было равно 270 км. На сколько километров в час скорость первого автомобиля меньше скорости второго, если их скорости относятся как $5 : 7$?

373. В 8 ч 50 мин из деревни в село вышел пешеход. Через $1/3$ ч навстречу ему из села в деревню вышел другой пешеход, и в 10 ч 10 мин пешеходы встретились. Скорость второго пешехода была на 50 % больше скорости первого, и поэтому первый, хотя вышел раньше, до встречи прошёл на 0,5 км меньше второго. Чему равно расстояние между селом и деревней?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ — скорость первого пешехода (км/ч).
• $v_2$ — скорость второго пешехода (км/ч).
• $t_1$ — время в пути первого пешехода до встречи (ч).
• $t_2$ — время в пути второго пешехода до встречи (ч).
• $s_1$ — расстояние, пройденное первым пешеходом до встречи (км).
• $s_2$ — расстояние, пройденное вторым пешеходом до встречи (км).
• $S$ — искомое расстояние между селом и деревней (км).

1. Определим время в пути для каждого пешехода

Первый пешеход вышел в 8 ч 50 мин и шел до встречи, которая состоялась в 10 ч 10 мин. Найдем, сколько времени он был в пути:

$t_1 = 10 \text{ ч } 10 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 1 \text{ час } 20 \text{ мин}$

Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$. Таким образом, $t_1 = 1\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3} \text{ ч}$.

Второй пешеход вышел на $\frac{1}{3}$ часа (20 минут) позже первого и был в пути до того же времени (10 ч 10 мин). Значит, его время в пути меньше на $\frac{1}{3}$ часа:

$t_2 = t_1 - \frac{1}{3} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ час.

2. Составим систему уравнений на основе условий задачи

По условию, скорость второго пешехода была на 50% больше скорости первого:

$v_2 = v_1 + 0.5 \cdot v_1 = 1.5 v_1$

Также известно, что первый пешеход прошёл на 0,5 км меньше второго:

$s_1 = s_2 - 0.5$

Расстояния, пройденные пешеходами, выражаются через скорость и время по формуле $s = v \cdot t$:

$s_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{4}{3}$

$s_2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot 1 = v_2$

3. Решим полученную систему уравнений

Подставим выражения для $s_1$ и $s_2$ в уравнение, связывающее расстояния:

$\frac{4}{3} v_1 = v_2 - 0.5$

Теперь в это уравнение подставим выражение для $v_2$ через $v_1$ ($v_2 = 1.5 v_1$):

$\frac{4}{3} v_1 = 1.5 v_1 - 0.5$

Для удобства представим 1.5 в виде дроби $\frac{3}{2}$:

$\frac{4}{3} v_1 = \frac{3}{2} v_1 - 0.5$

Перенесем слагаемые с переменной $v_1$ в одну часть уравнения:

$0.5 = \frac{3}{2} v_1 - \frac{4}{3} v_1$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$0.5 = (\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}) v_1$

$0.5 = (\frac{9}{6} - \frac{8}{6}) v_1$

$0.5 = \frac{1}{6} v_1$

Отсюда находим скорость первого пешехода:

$v_1 = 0.5 \cdot 6 = 3$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго пешехода:

$v_2 = 1.5 \cdot v_1 = 1.5 \cdot 3 = 4.5$ км/ч.

4. Найдем искомое расстояние между селом и деревней

Рассчитаем расстояния, которые прошел каждый пешеход до встречи:

$s_1 = v_1 \cdot t_1 = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$ км.

$s_2 = v_2 \cdot t_2 = 4.5 \cdot 1 = 4.5$ км.

Общее расстояние $S$ между селом и деревней равно сумме расстояний, пройденных пешеходами навстречу друг другу до момента их встречи:

$S = s_1 + s_2 = 4 + 4.5 = 8.5$ км.

Ответ: 8,5 км.

373 В 8 ч 50 мин из деревни в село вышел пешеход. Через $\frac{1}{3}$ ч навстречу ему из села в деревню вышел другой пешеход, и в 10 ч 10 мин пешеходы встретились. Скорость второго пешехода была на 50% больше скорости первого, и поэтому первый, хотя вышел раньше, до встречи прошел на 0,5 км меньше второго. Чему равно расстояние между селом и деревней?

374 Найди расстояние между объектами через 0,3 ч после начала движения, считая, что в течение этого времени вид движения не менялся. Придай значения переменным и найди ответ.

1) $m\ \text{км/ч}$

$n\ \text{км/ч}$

$a\ \text{км}$

$d_{0,3} = a + (n - m) \cdot 0.3$

2) $m\ \text{км/ч}$

$n\ \text{км/ч}$

$a\ \text{км}$

$d_{0,3} = a + (m + n) \cdot 0.3$

3) $m\ \text{км/ч}$

$n\ \text{км/ч}$

$a\ \text{км}$

$d_{0,3} = a - (m + n) \cdot 0.3$

4) $m\ \text{км/ч}$

$n\ \text{км/ч}$

$a\ \text{км}$

$d_{0,3} = a + (n - m) \cdot 0.3$

В задаче требуется найти расстояние между объектами через 0,3 часа после начала движения, придав значения переменным. Обозначим искомое расстояние через $d_{0,3}$.

1) В этом случае объекты движутся в одном направлении, причем первый объект (скорость $m$) находится позади и догоняет второй (скорость $n$). Это движение вдогонку. Начальное расстояние между ними – $a$ км. Расстояние между ними через время $t$ вычисляется по формуле: $d_t = a + (n - m) \cdot t$. Если $m > n$, то расстояние будет сокращаться.
Придадим переменным значения: пусть начальное расстояние $a = 25$ км, скорость первого объекта $m = 80$ км/ч, а скорость второго $n = 60$ км/ч.
Подставим значения в формулу:
$d_{0,3} = 25 + (60 - 80) \cdot 0,3 = 25 + (-20) \cdot 0,3 = 25 - 6 = 19$ (км).
Ответ: 19 км.

2) Здесь объекты движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга. Начальное расстояние между ними – $a$ км. Скорость их удаления равна сумме их скоростей. Расстояние между ними через время $t$ вычисляется по формуле: $d_t = a + (m + n) \cdot t$.
Придадим переменным значения: пусть начальное расстояние $a = 10$ км, скорость первого объекта $m = 50$ км/ч, а скорость второго $n = 70$ км/ч.
Подставим значения в формулу:
$d_{0,3} = 10 + (50 + 70) \cdot 0,3 = 10 + 120 \cdot 0,3 = 10 + 36 = 46$ (км).
Ответ: 46 км.

3) Это встречное движение. Объекты движутся навстречу друг другу с начальным расстоянием $a$ км. Скорость их сближения равна сумме скоростей. Расстояние между ними через время $t$ (до их встречи) вычисляется по формуле: $d_t = a - (m + n) \cdot t$.
Придадим переменным значения: пусть начальное расстояние $a = 100$ км, скорость первого объекта $m = 90$ км/ч, а скорость второго $n = 80$ км/ч.
Подставим значения в формулу:
$d_{0,3} = 100 - (90 + 80) \cdot 0,3 = 100 - 170 \cdot 0,3 = 100 - 51 = 49$ (км).
Ответ: 49 км.

4) В этом случае объекты движутся в одном направлении, но второй объект (скорость $n$) находится позади и догоняет первый (скорость $m$). Это также движение вдогонку. Начальное расстояние между ними – $a$ км. Расстояние между ними через время $t$ вычисляется по формуле: $d_t = a + (m - n) \cdot t$. Если $n > m$, то расстояние будет сокращаться.
Придадим переменным значения: пусть начальное расстояние $a = 12$ км, скорость первого объекта $m = 40$ км/ч, а скорость второго $n = 70$ км/ч.
Подставим значения в формулу:
$d_{0,3} = 12 + (40 - 70) \cdot 0,3 = 12 + (-30) \cdot 0,3 = 12 - 9 = 3$ (км).
Ответ: 3 км.

374 Найди расстояние между объектами через $0,3$ ч после начала движения, считая, что в течение этого времени вид движения не менялся. Придай значения переменным и найди ответ.

1) $m$ км/ч $\quad n$ км/ч

$a$ км $\quad d_{0,3} = ?$

2) $m$ км/ч $\quad n$ км/ч

$a$ км $\quad d_{0,3} = ?$

3) $m$ км/ч $\quad n$ км/ч

$a$ км $\quad d_{0,3} = ?$

4) $m$ км/ч $\quad n$ км/ч

$a$ км $\quad d_{0,3} = ?$

375 Представь выражения в виде дроби при ненулевых значениях переменных:

1) $\frac{a}{3} + \frac{2a}{15}$;

2) $\frac{5b}{12} - \frac{7b}{18}$;

3) $\frac{1}{ab} - \frac{1}{bc}$;

4) $\frac{n}{4a^2} + \frac{1}{an}$;

5) $\frac{2a}{y} - 3$;

6) $b - \frac{2c}{3}$;

7) $\frac{5y}{x} \cdot 6x^2 \cdot \frac{1}{2y^2}$;

8) $45ac^2 : \frac{10c}{a} \cdot \frac{d}{6a^2}$.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{3}$ и $\frac{2a}{15}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 15 — это 15. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 5:

$\frac{a}{3} + \frac{2a}{15} = \frac{a \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2a}{15} = \frac{5a}{15} + \frac{2a}{15}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{5a + 2a}{15} = \frac{7a}{15}$

Ответ: $\frac{7a}{15}$

2) Чтобы вычесть дробь $\frac{7b}{18}$ из дроби $\frac{5b}{12}$, найдем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 12 и 18 — это 36. Домножим первую дробь на 3 ($36:12=3$), а вторую на 2 ($36:18=2$):

$\frac{5b}{12} - \frac{7b}{18} = \frac{5b \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{7b \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{15b}{36} - \frac{14b}{36}$

Теперь вычтем числители:

$\frac{15b - 14b}{36} = \frac{b}{36}$

Ответ: $\frac{b}{36}$

3) Для вычитания дробей $\frac{1}{ab} - \frac{1}{bc}$ найдем общий знаменатель, который равен $abc$. Домножим первую дробь на $c$, а вторую на $a$:

$\frac{1 \cdot c}{ab \cdot c} - \frac{1 \cdot a}{bc \cdot a} = \frac{c}{abc} - \frac{a}{abc}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{c - a}{abc}$

Ответ: $\frac{c - a}{abc}$

4) Чтобы сложить дроби $\frac{n}{4a^2}$ и $\frac{1}{an^2}$, найдем общий знаменатель. Он равен $4a^2n^2$. Домножим первую дробь на $n^2$, а вторую на $4a$:

$\frac{n \cdot n^2}{4a^2 \cdot n^2} + \frac{1 \cdot 4a}{an^2 \cdot 4a} = \frac{n^3}{4a^2n^2} + \frac{4a}{4a^2n^2}$

Сложим числители:

$\frac{n^3 + 4a}{4a^2n^2}$

Ответ: $\frac{n^3 + 4a}{4a^2n^2}$

5) Чтобы представить выражение $\frac{2a}{y} - 3$ в виде дроби, представим 3 как дробь со знаменателем $y$:

$\frac{2a}{y} - 3 = \frac{2a}{y} - \frac{3 \cdot y}{y} = \frac{2a - 3y}{y}$

Ответ: $\frac{2a - 3y}{y}$

6) Чтобы представить выражение $b - \frac{2c}{3}$ в виде дроби, представим $b$ как дробь со знаменателем 3:

$b - \frac{2c}{3} = \frac{b \cdot 3}{3} - \frac{2c}{3} = \frac{3b - 2c}{3}$

Ответ: $\frac{3b - 2c}{3}$

7) Чтобы перемножить выражения $\frac{5y}{x} \cdot 6x^2 \cdot \frac{1}{2y^2}$, представим $6x^2$ в виде дроби $\frac{6x^2}{1}$ и выполним умножение числителей и знаменателей:

$\frac{5y}{x} \cdot \frac{6x^2}{1} \cdot \frac{1}{2y^2} = \frac{5y \cdot 6x^2 \cdot 1}{x \cdot 1 \cdot 2y^2} = \frac{30x^2y}{2xy^2}$

Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты ($30$ и $2$ на $2$), переменные $x$ ($x^2$ и $x$ на $x$) и $y$ ($y$ и $y^2$ на $y$):

$\frac{30x^2y}{2xy^2} = \frac{15x}{y}$

Ответ: $\frac{15x}{y}$

8) Выполним действия по порядку: сначала деление, затем умножение. Представим $45ac^2$ в виде дроби $\frac{45ac^2}{1}$. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь:

$45ac^2 : \frac{10c}{a} \cdot \frac{d}{6a^2} = \left( \frac{45ac^2}{1} \cdot \frac{a}{10c} \right) \cdot \frac{d}{6a^2} = \frac{45a^2c^2}{10c} \cdot \frac{d}{6a^2}$

Сократим первую дробь в скобках ($\frac{45}{10} = \frac{9}{2}$ и $\frac{c^2}{c} = c$):

$\frac{9a^2c}{2} \cdot \frac{d}{6a^2}$

Теперь перемножим дроби:

$\frac{9a^2c \cdot d}{2 \cdot 6a^2} = \frac{9a^2cd}{12a^2}$

Сократим полученную дробь. Сокращаем $a^2$ в числителе и знаменателе, а также числовые коэффициенты ($\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$):

$\frac{3cd}{4}$

Ответ: $\frac{3cd}{4}$

375 Представь выражения в виде дроби при ненулевых значениях переменных:

1) $\frac{a}{3} + \frac{2a}{15}$;

2) $\frac{5b}{12} - \frac{7b}{18}$;

3) $\frac{1}{ab} - \frac{1}{bc}$;

4) $\frac{n}{4a^2} + \frac{1}{an}$;

5) $\frac{2a}{y} - 3$;

6) $b - \frac{2c}{3}$;

7) $\frac{5y}{x} \cdot 6x^2 \cdot \frac{1}{3y^2}$;

8) $45ac^2 : \frac{10c}{a} \cdot \frac{d}{6a^2}$.

369 1) На бумаге в клетку отмечены шесть точек (рис. 29). Выпиши все треугольники, вершины которых могут быть в этих точках.

2) Подчеркни разными цветами треугольники, которые являются:

а) остроугольными

б) прямоугольными

в) тупоугольными

г) равнобедренными.

370 Переведи с математического языка на русский

1) На бумаге в клетку отмечены шесть точек (рис. 29). Выпиши все треугольники, вершины которых могут быть в этих точках.

Всего дано 6 точек: A, B, C, D, K, M. Треугольник образуется выбором трех точек, не лежащих на одной прямой. Общее число способов выбрать 3 точки из 6 равно числу сочетаний $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Необходимо исключить тройки точек, которые лежат на одной прямой (коллинеарные точки), так как они не могут быть вершинами треугольника. На рисунке видно две такие тройки:

1. Точки D, K, M лежат на одной горизонтальной прямой.
2. Точки A, C, K лежат на одной вертикальной прямой.

Таким образом, из 20 возможных комбинаций нужно вычесть эти 2. Итоговое количество треугольников: $20 - 2 = 18$.

Список всех возможных треугольников:

ABC, ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, ADK, ADM, AKM, BCD, BCK, BCM, BDK, BDM, BKM, CDK, CDM, CKM.

Ответ: ABC, ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, ADK, ADM, AKM, BCD, BCK, BCM, BDK, BDM, BKM, CDK, CDM, CKM.

2) Подчеркни разными цветами треугольники, которые являются: а) остроугольными; б) прямоугольными; в) тупоугольными; г) равнобедренными.

Для классификации треугольников введем систему координат. Пусть точка D будет началом координат D(0, 0), а длина стороны клетки сетки будет равна 1. Тогда координаты остальных точек:

A(1, 4), B(0, 2), C(1, 2), K(1, 0), M(2, 0).

Для каждого треугольника вычислим квадраты длин его сторон по формуле $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$. Затем, используя теорему, обратную теореме Пифагора, определим вид треугольника: если $a^2+b^2=c^2$ — прямоугольный, если $a^2+b^2>c^2$ — остроугольный, если $a^2+b^2<c^2$ — тупоугольный (где $c$ — наибольшая сторона). Равенство длин двух сторон означает, что треугольник равнобедренный.

а) остроугольные:

Треугольники, у которых все углы острые (меньше 90°).

ADM, CDM

Ответ: ADM, CDM.

б) прямоугольные:

Треугольники, у которых один из углов прямой (равен 90°).

ABC, ADK, AKM, BCD, BCK, BDK, BDM, CDK, CKM

Ответ: ABC, ADK, AKM, BCD, BCK, BDK, BDM, CDK, CKM.

в) тупоугольные:

Треугольники, у которых один из углов тупой (больше 90°).

ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, BCM, BKM

Ответ: ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, BCM, BKM.

г) равнобедренные:

Треугольники, у которых две стороны имеют одинаковую длину. Они могут одновременно относиться и к одной из предыдущих категорий.

ABK (тупоугольный), ADM (остроугольный), BDM (прямоугольный), CDM (остроугольный).

Ответ: ABK, ADM, BDM, CDM.

D 369

1) На бумаге в клетку отмечены шесть точек (рис. 29). Выпиши все треугольники, вершины которых могут быть в этих точках.

2) Подчеркни разными цветами треугольники, которые являются:

а) остроугольными;

б) прямоугольными;

в) тупоугольными;

г) равнобедренными.

370 Переведи с математического языка на русский

370 Переведи с математического языка на русский определение касательной к окружности:

Рис. 29

Прямая $a$ – касательная к окружности $(O; r)$ в точке $A$ def $\Leftrightarrow$ $a \cap (O; r) = \{A\}$.

Сколько касательных к окружности можно провести из точки, лежащей вне окружности? А из точки, лежащей на окружности? Сделай рисунки и сформулируй гипотезу. Можем ли мы считать её верной для всех окружностей на основании выполненных построений и измерений?

Перевод определения с математического языка на русский:

Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с этой окружностью ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания.

Математическая запись $a \cap (O; r) = \{A\}$ означает, что пересечение (символ $\cap$) прямой $a$ и окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$ (обозначение $(O; r)$) является множеством, состоящим из одного элемента — точки $A$.

Сколько касательных к окружности можно провести из точки, лежащей вне окружности?

Из точки, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к этой окружности.

Построение и объяснение:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $P$, лежащая вне окружности. Соединим точки $O$ и $P$ отрезком. Построим окружность, для которой отрезок $OP$ является диаметром. Эта новая окружность пересечет исходную в двух точках, назовем их $T_1$ и $T_2$. Прямые $PT_1$ и $PT_2$ будут касательными к исходной окружности. Это следует из того, что углы $\angle OT_1P$ и $\angle OT_2P$ являются вписанными в новую окружность и опираются на ее диаметр $OP$, а значит, они прямые (равны $90^\circ$). А так как радиусы $OT_1$ и $OT_2$ перпендикулярны прямым $PT_1$ и $PT_2$ в точках, лежащих на окружности, то эти прямые по определению являются касательными.

Ответ: две касательные.

А из точки, лежащей на окружности?

Из точки, лежащей на окружности, можно провести только одну касательную к этой окружности.

Построение и объяснение:

Пусть точка $A$ лежит на окружности с центром в точке $O$. Проведем радиус $OA$. Через точку $A$ можно провести единственную прямую, перпендикулярную радиусу $OA$. Эта прямая и будет касательной к окружности в точке $A$. Любая другая прямая, проходящая через точку $A$, не будет перпендикулярна радиусу и будет пересекать окружность в еще одной точке, то есть будет являться секущей.

Ответ: одну касательную.

Сделай рисунки и сформулируй гипотезу.

Описание рисунков:

1. Точка вне окружности: Нарисована окружность с центром $O$. Вне ее отмечена точка $P$. Из точки $P$ к окружности проведены два отрезка, которые касаются окружности в точках $T_1$ и $T_2$. Также проведены радиусы $OT_1$ и $OT_2$, которые перпендикулярны соответствующим касательным.
2. Точка на окружности: Нарисована окружность с центром $O$. На ней отмечена точка $A$. Через точку $A$ проведена прямая, касающаяся окружности. Также проведен радиус $OA$, который перпендикулярен этой прямой в точке $A$.

Гипотеза:

Количество касательных, которые можно провести к окружности из некоторой точки, зависит от расположения этой точки относительно окружности:

• Если точка лежит вне окружности, из нее можно провести две касательные.
• Если точка лежит на окружности, из нее можно провести одну касательную.
• (Дополнительно) Если точка лежит внутри окружности, из нее нельзя провести ни одной касательной.

Ответ: Гипотеза сформулирована выше.

Можем ли мы считать её верной для всех окружностей на основании выполненных построений и измерений?

Нет, не можем. Построения и измерения, выполненные на одном или нескольких конкретных примерах, лишь помогают выдвинуть гипотезу. Они демонстрируют, что утверждение выполняется для данных частных случаев, но не доказывают его истинность для всех без исключения окружностей и точек. Математическое утверждение считается верным (становится теоремой) только после того, как будет представлено строгое логическое доказательство, которое справедливо для любой окружности и любой точки, а не только для тех, что изображены на чертеже.

Ответ: Нет, так как построения и измерения являются иллюстрацией для частных случаев и не могут служить универсальным доказательством в геометрии.

370 Переведи с математического языка на русский определение касательной к окружности:

Рис. 29

Прямая $a$ – касательная к окружности $(O; r)$ в точке $A \overset{def}{\longleftrightarrow} a \cap (O; r) = \{A\}.$

Сколько касательных к окружности можно провести из точки, лежащей вне окружности? А из точки, лежащей на окружности? Сделай рисунки и сформулируй гипотезу. Можем ли мы считать ее верной для всех окружностей на основании выполненных построений и измерений?

371 Учеников шестых классов попросили высказать своё мнение об утверждении:

«Чтобы хорошо учиться по математике, надо заучивать текст учебника».

Распределение их мнений приведено на круговой диаграмме. Сколько шестиклассников высказали то или иное мнение, если всего в опросе приняли участие 160 человек? А что по этому поводу думаешь ты?

«Согласен» $35 \, \%$

«Не согласен» $57,5 \, \%$

«Затрудняюсь ответить» $7,5 \, \%$

Для того чтобы найти, сколько шестиклассников высказали то или иное мнение, необходимо вычислить соответствующий процент от общего числа опрошенных, которое составляет 160 человек. 100% — это 160 человек.

«Согласен»

С утверждением согласились 35% учеников. Найдем количество человек, которое соответствует этому проценту:

$160 \times \frac{35}{100} = 160 \times 0,35 = 56$ (человек)

Ответ: 56 шестиклассников.

«Не согласен»

С утверждением не согласились 57,5% учеников. Найдем количество человек:

$160 \times \frac{57,5}{100} = 160 \times 0,575 = 92$ (человека)

Ответ: 92 шестиклассника.

«Затрудняюсь ответить»

Затруднились ответить 7,5% учеников. Найдем количество человек:

$160 \times \frac{7,5}{100} = 160 \times 0,075 = 12$ (человек)

Ответ: 12 шестиклассников.

Для проверки можно сложить полученные значения: $56 + 92 + 12 = 160$. Общее количество сходится.

А что по этому поводу думаешь ты?

Я считаю, что утверждение «Чтобы хорошо учиться по математике, надо заучивать текст учебника» является неверным. Математика — это наука, которая требует в первую очередь глубокого понимания концепций, логического мышления и умения применять знания для решения задач, а не механического запоминания. Заучивание формул и определений без понимания их смысла бесполезно, так как не позволяет применять их в новых или нестандартных ситуациях. Гораздо важнее научиться рассуждать, анализировать условия задачи и выстраивать последовательность решения. Безусловно, запоминание некоторых основных формул и правил необходимо, но это должно быть следствием понимания и практики, а не самоцелью. Основа успеха в математике — это понимание, а не "зубрёжка".

371 Учеников шестых классов попросили высказать свое мнение об утверждении: «Чтобы хорошо учиться по математике, надо заучивать текст учебника». Распределение их мнений приведено на круговой диаграмме. Сколько шестиклассников высказали то или иное мнение, если всего в опросе приняли участие 160 человек? А что по этому поводу думаешь ты?

Мнения:

«Согласен»: $35\%$ или $160 \cdot 0.35 = 56$ человек.

«Не согласен»: $57.5\%$ или $160 \cdot 0.575 = 92$ человека.

«Затрудняюсь ответить»: $7.5\%$ или $160 \cdot 0.075 = 12$ человек.

372 В трёх школах посёлка 1260 учеников. Число учащихся первой школы на $10\%$ меньше, чем второй, а число учащихся второй школы составляет $80\%$ от числа учащихся третьей школы. Сколько учащихся в каждой из этих трёх школ?

Для решения задачи обозначим количество учеников в третьей школе через $x$.

Согласно условию, число учащихся во второй школе составляет 80% от числа учащихся третьей школы. Чтобы найти 80% от числа, нужно умножить это число на 0,8. Таким образом, количество учеников во второй школе составляет:
$0.8x$

Число учащихся первой школы на 10% меньше, чем во второй. Это означает, что оно составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от числа учащихся второй школы. Количество учеников в первой школе равно:
$0.9 \times (0.8x) = 0.72x$

Общее число учеников в трех школах равно 1260. Составим уравнение, сложив количество учеников в каждой школе:
$z + y + x = 1260$
$0.72x + 0.8x + x = 1260$

Теперь решим полученное уравнение:
$2.52x = 1260$
$x = \frac{1260}{2.52}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{126000}{252} = 500$
Таким образом, в третьей школе 500 учащихся.

Теперь найдем количество учащихся в первой и второй школах:
- Число учащихся во второй школе: $0.8x = 0.8 \times 500 = 400$ учеников.
- Число учащихся в первой школе: $0.72x = 0.72 \times 500 = 360$ учеников.

Проверим правильность решения, сложив количество учеников во всех школах:
$360 + 400 + 500 = 1260$
Общее количество совпадает с условием задачи.

Ответ: в первой школе 360 учащихся, во второй — 400 учащихся, в третьей — 500 учащихся.

372 В трех школах поселка 1260 учеников. Число учащихся первой школы на 10% меньше, чем второй, а число учащихся второй школы составляет 80% от числа учащихся третьей школы. Сколько учащихся в каждой из этих трех школ?

373 Расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй название геометрической фигуры. Начерти эту фигуру и придумай её определение.

П $(-\frac{2}{5})^2$

Р $-1,9 + 2\frac{4}{5}$

Я $9\frac{3}{4} : (-3)$

Ц $-1\frac{1}{15} : 1\frac{3}{5}$

А $-\frac{5}{6} + 1\frac{4}{9}$

И $1\frac{3}{7} \cdot (-1,4)$

Т $-1\frac{3}{8} \cdot (-4)$

Е $2\frac{6}{7} : (-6\frac{2}{3})$

Для решения задачи сначала вычислим значение каждого примера.

П

Возводим дробь в квадрат: $(-\frac{2}{5})^2 = (-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{4}{25}$. Переводим в десятичную дробь для удобства сравнения: $\frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 0,16$.

Ответ: $0,16$.

Р

Переводим смешанное число $2\frac{4}{5}$ в десятичную дробь $2,8$ и выполняем сложение: $-1,9 + 2,8 = 0,9$.

Ответ: $0,9$.

Я

Переводим смешанное число $9\frac{3}{4}$ в неправильную дробь $\frac{39}{4}$. Затем делим на $-3$: $\frac{39}{4} : (-3) = \frac{39}{4} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{13}{4} = -3,25$.

Ответ: $-3,25$.

Ц

Переводим смешанные числа в неправильные дроби: $-1\frac{1}{15} = -\frac{16}{15}$ и $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$. Выполняем деление: $-\frac{16}{15} : \frac{8}{5} = -\frac{16}{15} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

А

Для сложения $-\frac{5}{6}$ и $1\frac{4}{9}$ приводим дроби к общему знаменателю 18: $-\frac{5}{6} + \frac{13}{9} = -\frac{15}{18} + \frac{26}{18} = \frac{11}{18}$.

Ответ: $\frac{11}{18}$.

И

Переводим оба множителя в обыкновенные дроби: $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$ и $-1,4 = -1\frac{4}{10} = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5}$. Выполняем умножение: $\frac{10}{7} \cdot (-\frac{7}{5}) = -2$.

Ответ: $-2$.

Т

Переводим смешанное число в неправильную дробь $-\frac{11}{8}$ и умножаем на $-4$: $-\frac{11}{8} \cdot (-4) = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5,5$.

Ответ: $5,5$.

Е

Переводим смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{6}{7} = \frac{20}{7}$ и $-6\frac{2}{3} = -\frac{20}{3}$. Выполняем деление: $\frac{20}{7} : (-\frac{20}{3}) = \frac{20}{7} \cdot (-\frac{3}{20}) = -\frac{3}{7}$.

Ответ: $-\frac{3}{7}$.

Теперь расположим полученные ответы в порядке убывания (от большего к меньшему). Для удобства сравнения представим все числа в виде десятичных дробей (приблизительно):

• Т = $5,5$
• Р = $0,9$
• А = $\frac{11}{18} \approx 0,61$
• П = $0,16$
• Е = $-\frac{3}{7} \approx -0,43$
• Ц = $-\frac{2}{3} \approx -0,67$
• И = $-2$
• Я = $-3,25$

Порядок убывания значений: $5,5 > 0,9 > \frac{11}{18} > 0,16 > -\frac{3}{7} > -\frac{2}{3} > -2 > -3,25$.

Сопоставив этому порядку буквы, получаем слово: ТРАПЕЦИЯ.

Изображение трапеции:

Определение трапеции:

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами.

373 Расположи ответы примеров в порядке убывания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй название геометрической фигуры. Начерти эту фигуру и придумай ее определение:

П $ \left(-\frac{2}{5}\right)^2 $

Р $ -1,9 + 2\frac{4}{5} $

Я $ 9\frac{3}{4} : (-3) $

Ц $ -1\frac{1}{15} : 1\frac{3}{5} $

А $ -\frac{5}{6} + 1\frac{4}{9} $

И $ 1\frac{3}{7} \cdot (-1,4) $

Т $ -1\frac{3}{8} \cdot (-4) $

Е $ 2\frac{6}{7} : \left(-6\frac{2}{3}\right) $