Страница 86, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

351 Сколько составляют:

а) 8 % от 6 кг;

г) 0,4 % от 0,25 с;

ж) 20 % от 15,25;

к) 12 % от $a$;

б) 30 % от 15 м;

д) 1,25 % от 800 т;

з) 75 % от 80%;

л) 35,6 % от $b$;

в) 200 % от 72 л;

е) $33\frac{1}{3}$ % от 27 см³;

и) 0,1 % от 0,1 %;

м) $66\frac{2}{3}$ % от $c$?

Чтобы найти процент от числа, необходимо представить проценты в виде десятичной или обыкновенной дроби, а затем умножить данное число на эту дробь.

а) 8 % от 6 кг
Переведем проценты в десятичную дробь: $8\% = \frac{8}{100} = 0,08$.
Найдем значение: $0,08 \cdot 6 \text{ кг} = 0,48 \text{ кг}$.

Ответ: 0,48 кг.

б) 30 % от 15 м
Переведем проценты в десятичную дробь: $30\% = \frac{30}{100} = 0,3$.
Найдем значение: $0,3 \cdot 15 \text{ м} = 4,5 \text{ м}$.

Ответ: 4,5 м.

в) 200 % от 72 л
Переведем проценты в десятичную дробь: $200\% = \frac{200}{100} = 2$.
Найдем значение: $2 \cdot 72 \text{ л} = 144 \text{ л}$.

Ответ: 144 л.

г) 0,4 % от 0,25 с
Переведем проценты в десятичную дробь: $0,4\% = \frac{0,4}{100} = 0,004$.
Найдем значение: $0,004 \cdot 0,25 \text{ с} = 0,001 \text{ с}$.

Ответ: 0,001 с.

д) 1,25 % от 800 т
Переведем проценты в десятичную дробь: $1,25\% = \frac{1,25}{100} = 0,0125$.
Найдем значение: $0,0125 \cdot 800 \text{ т} = 10 \text{ т}$.

Ответ: 10 т.

е) $33\frac{1}{3}$ % от 27 см³
Переведем проценты в обыкновенную дробь: $33\frac{1}{3}\% = \frac{100}{3}\% = \frac{\frac{100}{3}}{100} = \frac{1}{3}$.
Найдем значение: $\frac{1}{3} \cdot 27 \text{ см}^3 = 9 \text{ см}^3$.

Ответ: 9 см³.

ж) 20 % от 15,25
Переведем проценты в десятичную дробь: $20\% = \frac{20}{100} = 0,2$.
Найдем значение: $0,2 \cdot 15,25 = 3,05$.

Ответ: 3,05.

з) 75 % от 80 %
Переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = \frac{75}{100} = 0,75$.
Найдем значение: $0,75 \cdot 80\% = 60\%$.

Ответ: 60 %.

и) 0,1 % от 0,1 %
Переведем проценты в десятичную дробь: $0,1\% = \frac{0,1}{100} = 0,001$.
Найдем значение: $0,001 \cdot 0,1\% = 0,0001\%$.

Ответ: 0,0001 %.

к) 12 % от $a$
Переведем проценты в десятичную дробь: $12\% = 0,12$.
Найдем значение: $0,12 \cdot a = 0,12a$.

Ответ: $0,12a$.

л) 35,6 % от $b$
Переведем проценты в десятичную дробь: $35,6\% = 0,356$.
Найдем значение: $0,356 \cdot b = 0,356b$.

Ответ: $0,356b$.

м) $66\frac{2}{3}$ % от $c$
Переведем проценты в обыкновенную дробь: $66\frac{2}{3}\% = \frac{200}{3}\% = \frac{\frac{200}{3}}{100} = \frac{2}{3}$.
Найдем значение: $\frac{2}{3} \cdot c = \frac{2}{3}c$.

Ответ: $\frac{2}{3}c$.

К 351 Сколько составляют:

а) $8\%$ от $6$ кг;

б) $30\%$ от $15$ м;

в) $200\%$ от $72$ л;

г) $0,4\%$ от $0,25$ с;

д) $1,25\%$ от $800$ т;

е) $33\frac{1}{3}\%$ от $27$ см³;

ж) $20\%$ от $15,25$;

з) $75\%$ от $80\%$;

и) $0,1\%$ от $0,1\%$;

к) $12\%$ от $a$;

л) $35,6\%$ от $b$;

м) $66\frac{2}{3}\%$ от $c$?

352. Что больше:

a) $15\%$ от $17$ или $17\%$ от $15$;

б) $1,2\%$ от $48$ или $12\%$ от $480$;

в) $147\%$ от $621$ или $125\%$ от $549$;

г) $72\%$ от $150$ или $70\%$ от $152$;

д) $80\%$ от $a$ или $40\%$ от $2a$;

е) $36\%$ от $2,5b$ или $1,5\%$ от $80b$?

а) 15% от 17 или 17% от 15

Чтобы найти процент от числа, необходимо умножить данное число на дробь, представляющую этот процент. Выражение "p% от числа A" математически записывается как $ \frac{p}{100} \cdot A $.

Первое выражение: 15% от 17, что равно $ \frac{15}{100} \cdot 17 $.

Второе выражение: 17% от 15, что равно $ \frac{17}{100} \cdot 15 $.

В силу коммутативности (переместительного закона) умножения, $ 15 \cdot 17 = 17 \cdot 15 $. Следовательно, и два исходных выражения равны.

$ \frac{15 \cdot 17}{100} = \frac{17 \cdot 15}{100} $

Проверим вычислением: $ 0.15 \cdot 17 = 2.55 $ и $ 0.17 \cdot 15 = 2.55 $.

Ответ: эти величины равны.

б) 1,2% от 48 или 12% от 480

Вычислим значение первого выражения: 1,2% от 48.

$ \frac{1.2}{100} \cdot 48 = 0.012 \cdot 48 = 0.576 $

Вычислим значение второго выражения: 12% от 480.

$ \frac{12}{100} \cdot 480 = 0.12 \cdot 480 = 57.6 $

Сравниваем полученные результаты: $ 0.576 < 57.6 $.

Ответ: 12% от 480 больше, чем 1,2% от 48.

в) 147% от 621 или 125% от 549

Вычислим значение первого выражения: 147% от 621.

$ \frac{147}{100} \cdot 621 = 1.47 \cdot 621 = 912.87 $

Вычислим значение второго выражения: 125% от 549.

$ \frac{125}{100} \cdot 549 = 1.25 \cdot 549 = 686.25 $

Сравниваем полученные результаты: $ 912.87 > 686.25 $.

Ответ: 147% от 621 больше, чем 125% от 549.

г) 72% от 150 или 70% от 152

Вычислим значение первого выражения: 72% от 150.

$ \frac{72}{100} \cdot 150 = 0.72 \cdot 150 = 108 $

Вычислим значение второго выражения: 70% от 152.

$ \frac{70}{100} \cdot 152 = 0.7 \cdot 152 = 106.4 $

Сравниваем полученные результаты: $ 108 > 106.4 $.

Ответ: 72% от 150 больше, чем 70% от 152.

д) 80% от a или 40% от 2a

Представим первое выражение в виде формулы: 80% от $a$.

$ \frac{80}{100} \cdot a = 0.8a $

Представим второе выражение в виде формулы: 40% от $2a$.

$ \frac{40}{100} \cdot 2a = 0.4 \cdot 2a = 0.8a $

Оба выражения равны $0.8a$, независимо от значения переменной $a$.

Ответ: эти величины равны.

е) 36% от 2,5b или 1,5% от 80b

Вычислим первое выражение: 36% от $2.5b$.

$ \frac{36}{100} \cdot 2.5b = 0.36 \cdot 2.5b = 0.9b $

Вычислим второе выражение: 1,5% от $80b$.

$ \frac{1.5}{100} \cdot 80b = 0.015 \cdot 80b = 1.2b $

Теперь необходимо сравнить $0.9b$ и $1.2b$. Результат сравнения зависит от знака переменной $b$.

1. Если $b > 0$, то $0.9b < 1.2b$. Значит, $1,5\% \text{ от } 80b$ больше.

2. Если $b < 0$, то неравенство меняет знак: $0.9b > 1.2b$. Значит, $36\% \text{ от } 2,5b$ больше.

3. Если $b = 0$, то оба выражения равны нулю.

В контексте школьных задач, если не указано иное, переменные обычно считаются положительными.

Ответ: если $b > 0$, то 1,5% от 80b больше; если $b < 0$, то 36% от 2,5b больше; если $b = 0$, то величины равны.

352 Что больше:

а) 15% от 17 или 17% от 15;

б) 1,2% от 48 или 12% от 480;

в) 147% от 621 или 125% от 549;

г) 72% от 150 или 70% от 152;

д) 80% от $a$ или 40% от $2a$;

е) 36% от $2,5b$ или 1,5% от $80b$?

353 1) Сколько соли получится при выпаривании:
а) 80 г $3\%$-го раствора соли;
б) 20 г $17\%$-го раствора соли;
в) 450 г $9\%$-го раствора соли;
г) 375 г $12\%$-го раствора соли?

2) Ракета «Ангара-А5» может вывести на околоземную орбиту до 24 т груза, а новая ракета «Ангара-А5В» сможет выводить на $56,25\%$ больше груза. чем «Ангара-А5». Какой груз сможет вывести на орбиту ракета «Ангара-А5В»?

1)

а) Чтобы найти массу соли, нужно общую массу раствора умножить на процентное содержание соли, выраженное в виде десятичной дроби.
3% в виде десятичной дроби — это 0,03.
$80 \text{ г} \cdot 0,03 = 2,4 \text{ г}$.
Ответ: 2,4 г.

б) 17% в виде десятичной дроби — это 0,17.
$20 \text{ г} \cdot 0,17 = 3,4 \text{ г}$.
Ответ: 3,4 г.

в) 9% в виде десятичной дроби — это 0,09.
$450 \text{ г} \cdot 0,09 = 40,5 \text{ г}$.
Ответ: 40,5 г.

г) 12% в виде десятичной дроби — это 0,12.
$375 \text{ г} \cdot 0,12 = 45 \text{ г}$.
Ответ: 45 г.

2)

Первоначальная грузоподъемность ракеты «Ангара-А5» составляет 24 тонны. Грузоподъемность новой ракеты «Ангара-А5В» на 56,25% больше.

Способ 1: Найдем, на сколько тонн увеличилась грузоподъемность, а затем прибавим это значение к исходной.
1. Находим 56,25% от 24 т. Для этого переводим проценты в десятичную дробь: $56,25\% = 0,5625$.
$24 \text{ т} \cdot 0,5625 = 13,5 \text{ т}$.
2. Находим новую грузоподъемность:
$24 \text{ т} + 13,5 \text{ т} = 37,5 \text{ т}$.

Способ 2: Сразу найдем новую грузоподъемность.
Исходная грузоподъемность — это 100%. Новая на 56,25% больше, то есть составляет $100\% + 56,25\% = 156,25\%$ от старой.
Переведем 156,25% в десятичную дробь: $156,25\% = 1,5625$.
$24 \text{ т} \cdot 1,5625 = 37,5 \text{ т}$.
Ответ: 37,5 т.

353 1) За поиск покупателей фирма предлагает своему агенту-дилеру вознаграждение в размере 6% от суммы заказа. На какое вознаграждение может рассчитывать дилер, если он нашел подходящий заказ на сумму 20 000 р.?

2) Сколько соли получится при выпаривании: а) 375 граммов 12%-го раствора соли; б) 450 граммов 9%-го раствора соли; в) 20 граммов 17%-го раствора соли; г) 80 граммов 3%-го раствора соли?

354. Сколько будет, если:

а) 100 р. увеличить на 300 %;

б) 500 р. уменьшить на 10 %;

в) a р. увеличить на 25%;

г) b р. уменьшить на 20 %?

а) Чтобы увеличить число на 300%, нужно к исходному числу прибавить 300% от этого числа.
1. Сначала найдем, сколько составляют 300% от 100 р. Для этого умножим 100 р. на 300 и разделим на 100:
$100 \text{ р.} \times \frac{300}{100} = 100 \times 3 = 300 \text{ р.}$
2. Теперь прибавим это значение к исходной сумме:
$100 \text{ р.} + 300 \text{ р.} = 400 \text{ р.}$
Альтернативный способ: исходное значение принимается за 100%. Увеличение на 300% означает, что новое значение будет составлять $100\% + 300\% = 400\%$ от исходного. Найдем 400% от 100 р.:
$100 \text{ р.} \times \frac{400}{100} = 100 \times 4 = 400 \text{ р.}$
Ответ: 400 р.

б) Чтобы уменьшить число на 10%, нужно из исходного числа вычесть 10% от этого числа.
1. Сначала найдем, сколько составляют 10% от 500 р.:
$500 \text{ р.} \times \frac{10}{100} = 500 \times 0.1 = 50 \text{ р.}$
2. Теперь вычтем это значение из исходной суммы:
$500 \text{ р.} - 50 \text{ р.} = 450 \text{ р.}$
Альтернативный способ: исходное значение — это 100%. Уменьшение на 10% означает, что новое значение будет составлять $100\% - 10\% = 90\%$ от исходного. Найдем 90% от 500 р.:
$500 \text{ р.} \times \frac{90}{100} = 500 \times 0.9 = 450 \text{ р.}$
Ответ: 450 р.

в) Увеличить значение $a$ на 25% означает прибавить к $a$ 25% от $a$.
Выразим 25% в виде десятичной дроби: $25\% = 0.25$.
Новое значение будет равно:
$a + a \times 0.25 = a \times (1 + 0.25) = 1.25a$
Иначе говоря, новое значение составит $100\% + 25\% = 125\%$ от исходного, или $1.25a$.
Ответ: $1.25a$ р.

г) Уменьшить значение $b$ на 20% означает вычесть из $b$ 20% от $b$.
Выразим 20% в виде десятичной дроби: $20\% = 0.2$.
Новое значение будет равно:
$b - b \times 0.2 = b \times (1 - 0.2) = 0.8b$
Иначе говоря, новое значение составит $100\% - 20\% = 80\%$ от исходного, или $0.8b$.
Ответ: $0.8b$ р.

354. Сколько будет, если:

а) 100 р. увеличить на 300%;

б) 500 р. уменьшить на 10%;

в) $a$ р. увеличить на 25%;

г) $b$ р. уменьшить на 20%?

355 Сравни результаты:

а) $150 \text{ р.}$ увеличили на $50 \text{ %}$ и $100 \text{ р.}$ увеличили на $100 \text{ %}$;

б) $100 \text{ р.}$ уменьшили на $50 \text{ %}$ и $150 \text{ р.}$ уменьшили на $60 \text{ %}$;

в) $a \text{ р.}$ уменьшили на $25 \text{ %}$ и $1.2a \text{ р.}$ уменьшили на $40 \text{ %}$;

г) $b \text{ р.}$ увеличили на $250 \text{ %}$ и $2b \text{ р.}$ увеличили на $50 \text{ %}$.

а) Для сравнения результатов выполним вычисления для каждого случая.
1) Увеличим 150 р. на 50%.
Находим 50% от 150 р.: $150 \cdot \frac{50}{100} = 150 \cdot 0.5 = 75$ р.
Новое значение: $150 + 75 = 225$ р.
2) Увеличим 100 р. на 100%.
Находим 100% от 100 р.: $100 \cdot \frac{100}{100} = 100 \cdot 1 = 100$ р.
Новое значение: $100 + 100 = 200$ р.
Сравниваем результаты: $225$ р. > $200$ р.
Ответ: первый результат больше второго.

б)
1) Уменьшим 100 р. на 50%.
Находим 50% от 100 р.: $100 \cdot 0.5 = 50$ р.
Новое значение: $100 - 50 = 50$ р.
2) Уменьшим 150 р. на 60%.
Находим 60% от 150 р.: $150 \cdot \frac{60}{100} = 150 \cdot 0.6 = 90$ р.
Новое значение: $150 - 90 = 60$ р.
Сравниваем результаты: $50$ р. < $60$ р.
Ответ: первый результат меньше второго.

в)
1) Уменьшим $a$ р. на 25%.
Уменьшение на 25% означает, что от первоначальной величины останется $100\% - 25\% = 75\%$.
Результат: $a \cdot (1 - 0.25) = 0.75a$ р.
2) Уменьшим $1.2a$ р. на 40%.
Уменьшение на 40% означает, что от первоначальной величины останется $100\% - 40\% = 60\%$.
Результат: $1.2a \cdot (1 - 0.4) = 1.2a \cdot 0.6 = 0.72a$ р.
Сравниваем результаты (при условии $a > 0$): $0.75a > 0.72a$.
Ответ: первый результат больше второго.

г)
1) Увеличим $b$ р. на 250%.
Увеличение на 250% означает, что к первоначальной величине ($100\%$) нужно прибавить еще 250%, т.е. получить $100\% + 250\% = 350\%$.
Результат: $b \cdot (1 + \frac{250}{100}) = b \cdot (1 + 2.5) = 3.5b$ р.
2) Увеличим $2b$ р. на 50%.
Увеличение на 50% означает получение $100\% + 50\% = 150\%$ от первоначальной величины.
Результат: $2b \cdot (1 + \frac{50}{100}) = 2b \cdot (1 + 0.5) = 2b \cdot 1.5 = 3b$ р.
Сравниваем результаты (при условии $b > 0$): $3.5b > 3b$.
Ответ: первый результат больше второго.

355 Сравни результаты:

а) 150 р. увеличили на $50\%$ и 100 р. увеличили на $100\%$;

б) 100 р. уменьшили на $50\%$ и 150 р. уменьшили на $60\%$;

в) $a$ р. уменьшили на $25\%$ и $1.2a$ р. уменьшили на $40\%$;

г) $b$ р. увеличили на $250\%$ и $2b$ р. увеличили на $50\%$.

356 1) В городе постоянно живут 10 тыс. граждан. Из них $85 \%$ ещё не достигли пенсионного возраста. Сколько граждан в этом городе достигли пенсионного возраста?

2) Вкладчик внёс в банк 1200 р. В какую сумму вклад превратится через год, если банк начисляет доход в размере $4 \%$ годовых?

1)

Всего в городе живет 10 тыс. граждан, что составляет 10 000 человек. Это 100% населения.
Известно, что 85% граждан еще не достигли пенсионного возраста. Чтобы найти процент граждан, которые достигли пенсионного возраста, нужно из общего процента вычесть процент тех, кто его не достиг:
$100\% - 85\% = 15\%$
Теперь найдем, сколько человек составляют эти 15%. Для этого нужно общее количество граждан умножить на долю пенсионеров (предварительно переведя проценты в десятичную дробь: $15\% = 0.15$):
$10000 \times 0.15 = 1500$ граждан.

Ответ: 1500 граждан.

2)

Первоначальная сумма вклада составляет 1200 р. Банк начисляет 4% годовых.
Сначала вычислим сумму дохода, которая будет начислена через год. Для этого найдем 4% от 1200 р. Переведем проценты в десятичную дробь ($4\% = 0.04$) и умножим на сумму вклада:
$1200 \times 0.04 = 48$ р.
Через год эта сумма добавится к первоначальному вкладу. Чтобы найти итоговую сумму на счете, нужно сложить первоначальный вклад и начисленный доход:
$1200 + 48 = 1248$ р.

Ответ: 1248 р.

356 1) В городе постоянно живут 10 тысяч граждан. Из них $85\%$ еще не достигли пенсионного возраста. Сколько граждан в этом городе достигли пенсионного возраста?

2) Вкладчик внес в банк 1200 р. В какую сумму вклад превратится через год, если банк начисляет доход в размере $4\%$ годовых?

357 1) Подоходный налог установлен в размере $13\%$ от начисленной зарплаты. Какую зарплату получит работник в кассе предприятия, если ему начислено 5000 р.?

2) В референдуме приняли участие $60\%$ всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют $83\%$?

1)

Начисленная зарплата составляет 5000 рублей. Подоходный налог равен 13% от этой суммы. Чтобы найти зарплату, которую работник получит на руки, нужно сначала вычислить сумму налога, а затем вычесть ее из начисленной зарплаты.

Шаг 1: Вычисляем сумму подоходного налога.

Для этого умножим начисленную зарплату на процентную ставку налога, выраженную в виде дроби:

$5000 \cdot 13\% = 5000 \cdot \frac{13}{100} = 50 \cdot 13 = 650$ рублей.

Шаг 2: Вычисляем зарплату к получению.

Вычитаем сумму налога из начисленной зарплаты:

$5000 - 650 = 4350$ рублей.

Ответ: 4350 р.

2)

Чтобы найти количество человек, принявших участие в референдуме, нужно выполнить два действия: сначала найти общее количество жителей с правом голоса, а затем из этого числа найти 60%.

Шаг 1: Находим количество жителей, имеющих право голоса.

В городе 150 тыс. жителей (150 000 человек), из них 83% имеют право голоса.

$150000 \cdot 83\% = 150000 \cdot \frac{83}{100} = 1500 \cdot 83 = 124500$ человек.

Шаг 2: Находим количество участников референдума.

В референдуме приняли участие 60% от числа жителей с правом голоса.

$124500 \cdot 60\% = 124500 \cdot \frac{60}{100} = 1245 \cdot 60 = 74700$ человек.

Ответ: 74700 человек.

357 1) Подоходный налог установлен в размере 13% от начисленной зарплаты. Какую зарплату получит работник в кассе предприятия, если ему начислено 5000 р. ?

2) В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?

358 Год назад Алексей сделал вклад в банке под 4 % годовых. В этом году после начисления процентов на его счёте стало 260 000 р.

а) Какую сумму Алексей внёс год назад?

б) Какая сумма будет на счёте ещё через год?

а) Какую сумму Алексей внёс год назад?

Обозначим первоначальную сумму вклада, которую Алексей внёс год назад, как $S_0$. Годовая процентная ставка составляет $r = 4\%$. Через год, после начисления процентов, сумма на счёте стала $S_1 = 260\ 000$ рублей. Связь между начальной и конечной суммой за один год описывается формулой:

$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{r}{100})$

Подставим в формулу известные значения, чтобы найти $S_0$:

$260\ 000 = S_0 \cdot (1 + \frac{4}{100})$
$260\ 000 = S_0 \cdot (1 + 0.04)$
$260\ 000 = S_0 \cdot 1.04$

Отсюда, первоначальная сумма равна:

$S_0 = \frac{260\ 000}{1.04} = 250\ 000$ рублей.

Ответ: 250 000 рублей.

б) Какая сумма будет на счёте ещё через год?

Текущая сумма на счёте составляет $S_1 = 260\ 000$ рублей. Ещё через год на эту сумму снова будут начислены проценты по той же ставке $r = 4\%$. Это означает, что текущая сумма увеличится на $4\%$. Новая сумма на счёте, $S_2$, будет рассчитана на основе текущей суммы $S_1$:

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{r}{100})$

Подставим известные значения:

$S_2 = 260\ 000 \cdot (1 + \frac{4}{100})$
$S_2 = 260\ 000 \cdot 1.04$
$S_2 = 270\ 400$ рублей.

Ответ: 270 400 рублей.

358 При выдаче наличных рублей по дорожным чекам American Express, выписываемых в долларах, банк удерживает 2% в качестве комиссионных. Какую сумму получит клиент в рублях, если он предъявит чеки на 400 долларов и курс обмена составит 33,5 р. за доллар?

383 Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков:

а) $-(+7);$

б) $-(-5);$

в) $+(+2);$

г) $+(-1);$

д) $-(-6);$

е) $-(+4);$

ж) $+(-(+3));$

з) $-(+(+5)).$

а) В выражении $-(+7)$ необходимо раскрыть скобки. Согласно правилу знаков, если перед скобкой стоит знак «минус», то знак числа внутри скобок меняется на противоположный. У числа $7$ в скобках знак «плюс», поэтому он меняется на «минус».
$-(+7) = -7$
Ответ: $-7$

б) В выражении $-(-5)$ перед скобкой стоит знак «минус». Знак числа $-5$ в скобках («минус») меняется на противоположный («плюс»).
$-(-5) = +5 = 5$
Ответ: $5$

в) В выражении $+(+2)$ перед скобкой стоит знак «плюс». Согласно правилу, если перед скобкой стоит «плюс», то знак числа в скобках сохраняется.
$+(+2) = +2 = 2$
Ответ: $2$

г) В выражении $+(-1)$ перед скобкой стоит знак «плюс». Знак числа $-1$ в скобках («минус») сохраняется.
$+(-1) = -1$
Ответ: $-1$

д) В выражении $-(-6)$ перед скобкой стоит знак «минус». Знак числа $-6$ в скобках меняется на противоположный.
$-(-6) = +6 = 6$
Ответ: $6$

е) В выражении $-(+4)$ перед скобкой стоит знак «минус». Знак числа $+4$ в скобках меняется на противоположный.
$-(+4) = -4$
Ответ: $-4$

ж) В выражении $+(-(+3))$ скобки раскрываются последовательно, начиная с внутренних. Сначала раскрываем внутренние скобки: $-(+3)$. Так как перед скобкой стоит «минус», знак меняется на противоположный: $-(+3) = -3$.
Теперь выражение выглядит так: $+(-3)$.
Далее раскрываем оставшиеся скобки. Так как перед скобкой стоит «плюс», знак сохраняется: $+(-3) = -3$.
Ответ: $-3$

з) В выражении $-(+(+5))$ скобки также раскрываются последовательно изнутри наружу. Сначала внутренние скобки: $+(+5)$. Так как перед скобкой стоит «плюс», знак сохраняется: $+(+5) = +5$.
Теперь выражение выглядит так: $-(+5)$.
Раскрываем оставшиеся скобки. Так как перед скобкой стоит «минус», знак меняется на противоположный: $-(+5) = -5$.
Ответ: $-5$

383 Раскрой скобки, пользуясь таблицей знаков:

а) $-(+7);$

б) $-(-5);$

в) $+(+2);$

г) $+(-1);$

д) $-(-6);$

е) $-(+4);$

ж) $+(-(+3));$

з) $-(-(+5)).$

384 Прочитай выражения и запиши их перевод с математического языка на русский. Найди значения этих выражений при $b = 12$, $c = 3$:

1) $2b - c^2$;

2) $2(b - c^2)$;

3) $2(b - c)^2$;

4) $(2b - c)^2$.

1) $2b - c²$

Перевод с математического языка на русский: разность удвоенного числа $b$ и квадрата числа $c$.

Найдем значение выражения при $b=12$ и $c=3$:

$2b - c² = 2 \cdot 12 - 3² = 24 - 9 = 15$.

Ответ: 15.

2) $2(b - c²)$

Перевод с математического языка на русский: удвоенная разность числа $b$ и квадрата числа $c$.

Найдем значение выражения при $b=12$ и $c=3$:

$2(b - c²) = 2 \cdot (12 - 3²) = 2 \cdot (12 - 9) = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6.

3) $2(b - c)²$

Перевод с математического языка на русский: произведение числа 2 и квадрата разности чисел $b$ и $c$.

Найдем значение выражения при $b=12$ и $c=3$:

$2(b - c)² = 2 \cdot (12 - 3)² = 2 \cdot 9² = 2 \cdot 81 = 162$.

Ответ: 162.

4) $(2b - c)²$

Перевод с математического языка на русский: квадрат разности удвоенного числа $b$ и числа $c$.

Найдем значение выражения при $b=12$ и $c=3$:

$(2b - c)² = (2 \cdot 12 - 3)² = (24 - 3)² = 21² = 441$.

Ответ: 441.

384 Прочитай выражения и запиши их перевод с математического языка на русский. Найди значения этих выражений при $b = 12, c = 3$:

1) $2b - c^2$;

2) $2(b - c^2)$;

3) $2(b - c)^2$;

4) $(2b - c)^2$.

385 В классе число мальчиков относится к числу девочек как $8 : 5$.

На сколько процентов мальчиков в классе больше, чем девочек?

На сколько процентов девочек меньше, чем мальчиков?

Пусть $M$ — число мальчиков, а $Д$ — число девочек. Из условия задачи известно, что их отношение равно $M : Д = 8 : 5$. Это означает, что мы можем принять число мальчиков за $8x$, а число девочек за $5x$, где $x$ — некоторая общая часть.

На сколько процентов мальчиков в классе больше, чем девочек?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы сравниваем количество мальчиков с количеством девочек. Поэтому за 100% принимается число девочек.

1. Находим абсолютную разницу между числом мальчиков и девочек:
$8x - 5x = 3x$

2. Находим, какую долю эта разница составляет от числа девочек:
$\frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$

3. Переводим полученное отношение в проценты, умножая на 100%:
$\frac{3}{5} \times 100\% = 0,6 \times 100\% = 60\%$

Ответ: на 60%.

На сколько процентов девочек меньше, чем мальчиков?

В этом вопросе сравнение идет с количеством мальчиков. Поэтому за 100% принимается число мальчиков.

1. Абсолютная разница остается той же:
$8x - 5x = 3x$

2. Находим, какую долю эта разница составляет от числа мальчиков:
$\frac{3x}{8x} = \frac{3}{8}$

3. Переводим полученное отношение в проценты:
$\frac{3}{8} \times 100\% = 0,375 \times 100\% = 37,5\%$

Ответ: на 37,5%.

385 В классе число мальчиков относится к числу девочек как $8:5$. На сколько процентов мальчиков в классе больше, чем девочек? На сколько процентов девочек меньше, чем мальчиков?

386 Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух по- сёлков, расстояние между которыми 27 км, и через 25 мин расстояние между ними стало равно 12 км. Скорости велосипедистов относятся как 5 : 4.

а) Через сколько времени после своего выезда они встретились?

б) Какое расстояние проехал до встречи каждый велосипедист?

Для решения задачи обозначим начальное расстояние между велосипедистами как $S = 27$ км, их скорости как $v_1$ и $v_2$. По условию, через $t = 25$ минут расстояние между ними стало $S_{ост} = 12$ км. Отношение скоростей $v_1 : v_2 = 5 : 4$.

1. Сначала найдем, какое расстояние велосипедисты проехали вместе за 25 минут.$S_{проехали} = S - S_{ост} = 27 - 12 = 15$ км.

2. Теперь найдем их общую скорость, или скорость сближения ($v_{сближения}$). Для этого переведем время из минут в часы:$t = 25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12}$ ч.Скорость сближения равна:$v_{сближения} = \frac{S_{проехали}}{t} = \frac{15 \text{ км}}{5/12 \text{ ч}} = 15 \cdot \frac{12}{5} = 3 \cdot 12 = 36$ км/ч.

3. Зная отношение скоростей, найдем скорость каждого велосипедиста. Пусть $v_1 = 5x$ и $v_2 = 4x$. Тогда их скорость сближения:$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 5x + 4x = 9x$.Поскольку мы уже вычислили, что $v_{сближения} = 36$ км/ч, составим уравнение:$9x = 36$$x = 4$Теперь найдем скорости:$v_1 = 5 \cdot 4 = 20$ км/ч.$v_2 = 4 \cdot 4 = 16$ км/ч.

Чтобы велосипедисты встретились, они должны вместе преодолеть всё начальное расстояние $S = 27$ км. Время до встречи ($t_{встречи}$) можно найти, разделив это расстояние на скорость сближения:$t_{встречи} = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ часа.Переведем это время в минуты:$t_{встречи} = \frac{3}{4} \cdot 60 = 45$ минут.

Ответ: велосипедисты встретились через 45 минут.

Чтобы найти расстояние, которое проехал каждый, умножим их индивидуальные скорости на время до встречи ($t_{встречи} = \frac{3}{4}$ часа).Расстояние, которое проехал первый велосипедист:$S_1 = v_1 \cdot t_{встречи} = 20 \text{ км/ч} \cdot \frac{3}{4} \text{ ч} = 15$ км.Расстояние, которое проехал второй велосипедист:$S_2 = v_2 \cdot t_{встречи} = 16 \text{ км/ч} \cdot \frac{3}{4} \text{ ч} = 12$ км.

Ответ: первый велосипедист проехал до встречи 15 км, а второй — 12 км.

386 Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 27 км, и через 25 мин расстояние между ними стало равно 12 км. Скорости велосипедистов относятся как $5 : 4$.

a) Через сколько времени после своего выезда они встретились?

б) Какое расстояние проехал до встречи каждый велосипедист?

387 Придумай задачу по схеме, считая, что в течение указанного времени вид движения не менялся. Придай переменным значения, соответствующие условию твоей задачи, и найди ответ.

1) $a \text{ км/ч}$ $b \text{ км/ч}$

$S \text{ км}$

$t = 2 \text{ ч}$

$d_2 = ?$

2) $a \text{ км/ч}$ $b \text{ км/ч}$

$S \text{ км}$

$t = 0,6 \text{ ч}$

$d_{0,6} = ?$

1)

Задача: Из города А выехал автомобиль со скоростью 90 км/ч. Одновременно с ним из города Б, находящегося на расстоянии 100 км от города А в том же направлении, выехал грузовик со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

В данной задаче мы имеем дело с движением вдогонку. Начальное расстояние между автомобилем и грузовиком составляет $s = 100$ км. Скорость автомобиля $a = 90$ км/ч, а скорость грузовика $b = 70$ км/ч.

1. Найдем скорость сближения. Поскольку автомобиль догоняет грузовик, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = a - b = 90 - 70 = 20$ км/ч.

2. Теперь найдем, на какое расстояние автомобили сблизятся за $t = 2$ часа. Для этого умножим скорость сближения на время:

$S_{сбл} = v_{сбл} \cdot t = 20 \cdot 2 = 40$ км.

3. Чтобы найти расстояние, которое будет между ними через 2 часа ($d_2$), нужно из начального расстояния вычесть то расстояние, на которое они сблизились:

$d_2 = s - S_{сбл} = 100 - 40 = 60$ км.

Ответ: через 2 часа расстояние между автомобилем и грузовиком будет 60 км.

2)

Задача: От пристани отошла баржа со скоростью 20 км/ч. Когда она отошла на 30 км, вслед за ней с той же пристани отправился катер со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 0,6 часа после выхода катера?

Решение:

Это также задача на движение вдогонку. Начальное расстояние между катером и баржей $s = 30$ км. Скорость катера $a = 45$ км/ч, скорость баржи $b = 20$ км/ч.

1. Найдем скорость сближения катера и баржи:

$v_{сбл} = a - b = 45 - 20 = 25$ км/ч.

2. Определим, на сколько сократится расстояние между ними за $t = 0,6$ часа:

$S_{сбл} = v_{сбл} \cdot t = 25 \cdot 0,6 = 15$ км.

3. Вычислим итоговое расстояние ($d_{0,6}$) между ними, вычтя из начального расстояния расстояние сближения:

$d_{0,6} = s - S_{сбл} = 30 - 15 = 15$ км.

Ответ: через 0,6 часа расстояние между катером и баржей будет 15 км.

387 Придумай задачу по схеме, считая, что в течение указанного времени вид движения не менялся. Придай переменным значения, соответствующие условию твоей задачи, и найди ответ.

1) $a \text{ км/ч}$

$b \text{ км/ч}$

$s \text{ км}$

$t = 2 \text{ ч}$

$d_2 = ?$

2) $a \text{ км/ч}$

$b \text{ км/ч}$

$s \text{ км}$

$t = 0,6 \text{ ч}$

$d_{0,6} = ?$

388 Найди значения выражений:

1) $0.9 : \left(3 \frac{2}{7} \cdot 2.8 - 2.79 + 7.2 : 2 \frac{4}{7} + 2.79\right)$;

2) $\frac{15.04 \cdot 2.5 - 2.4 \cdot (85.24 - 84.24 : 1.2)}{0.047 \cdot 16.9 - 0.9 \cdot 0.047}$.

1) $0,9 : (3\frac{2}{7} \cdot 2,8 - 2,79 + 7,2 : 2\frac{4}{7} + 2,79)$

Решим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что слагаемые $-2,79$ и $+2,79$ в сумме дают ноль и их можно сократить.

$(3\frac{2}{7} \cdot 2,8 - 2,79 + 7,2 : 2\frac{4}{7} + 2,79) = 3\frac{2}{7} \cdot 2,8 + 7,2 : 2\frac{4}{7}$

Для удобства вычислений представим десятичные и смешанные дроби в виде неправильных дробей.

$3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}$

$2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$

$7,2 = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$

$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$

Теперь выполним действия в скобках:

1. Умножение: $3\frac{2}{7} \cdot 2,8 = \frac{23}{7} \cdot \frac{14}{5} = \frac{23 \cdot 14}{7 \cdot 5} = \frac{23 \cdot 2}{5} = \frac{46}{5} = 9,2$.

2. Деление: $7,2 : 2\frac{4}{7} = \frac{36}{5} : \frac{18}{7} = \frac{36}{5} \cdot \frac{7}{18} = \frac{36 \cdot 7}{5 \cdot 18} = \frac{2 \cdot 7}{5} = \frac{14}{5} = 2,8$.

3. Сложение: $9,2 + 2,8 = 12$.

Теперь выполним последнее действие — деление за скобками:

4. $0,9 : 12 = \frac{9}{10} : 12 = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{12} = \frac{9}{120} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 40} = \frac{3}{40}$.

Переведем результат в десятичную дробь:

$\frac{3}{40} = \frac{3 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{75}{1000} = 0,075$.

Ответ: $0,075$.

2) $\frac{15,04 \cdot 2,5 - 2,4 \cdot (85,24 - 84,24 : 1,2)}{0,047 \cdot 16,9 - 0,9 \cdot 0,047}$

Решим это выражение по частям: сначала вычислим значение числителя, а затем — знаменателя.

Вычисление числителя: $15,04 \cdot 2,5 - 2,4 \cdot (85,24 - 84,24 : 1,2)$

1. Выполним деление в скобках:
$84,24 : 1,2 = 842,4 : 12 = 70,2$.

2. Выполним вычитание в скобках:
$85,24 - 70,2 = 15,04$.

3. Теперь выражение в числителе примет вид:
$15,04 \cdot 2,5 - 2,4 \cdot 15,04$.

4. Вынесем общий множитель $15,04$ за скобки, чтобы упростить вычисление:
$15,04 \cdot (2,5 - 2,4) = 15,04 \cdot 0,1 = 1,504$.
Таким образом, значение числителя равно $1,504$.

Вычисление знаменателя: $0,047 \cdot 16,9 - 0,9 \cdot 0,047$

1. Здесь также можно вынести общий множитель $0,047$ за скобки:
$0,047 \cdot (16,9 - 0,9) = 0,047 \cdot 16$.

2. Выполним умножение:
$0,047 \cdot 16 = 0,752$.
Таким образом, значение знаменателя равно $0,752$.

Найдем значение всей дроби:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{1,504}{0,752}$.

Чтобы разделить эти числа, можно избавиться от дробей, умножив числитель и знаменатель на 1000:

$\frac{1,504}{0,752} = \frac{1504}{752}$.

Можно заметить, что $752 \cdot 2 = 1504$. Следовательно:

$\frac{1504}{752} = 2$.

Ответ: $2$.

388 Найди значения выражений:

1) $0.9:\left(3\frac{2}{7} \cdot 2.8 - 2.79 + 7.2 : 2\frac{4}{7} + 2.79\right);$

2) $\frac{15.04 \cdot 2.5 - 2.4 \cdot (85.24 - 84.24 : 1.2)}{0.047 \cdot 16.9 - 0.9 \cdot 0.047}.$

C 389* Путешественник Вася, живущий в 50 км от мест проведения турнира Архимеда, решил поехать на турнир на велосипеде. Рассчитав время, он проехал первые 10 км с запланированной скоростью, но затем велосипед сломался и Васе пришлось пойти пешком. Через некоторое время Васе повезло, и последние 24 км он ехал на попутной машине. Удалось ли Васе приехать на турнир к запланированному сроку, если скорость Васиной ходьбы была в 2,5 раза меньше скорости велосипеда, а скорость машины – в 6 раз больше?

Решение

Для того чтобы определить, успел ли Вася на турнир, необходимо сравнить запланированное время в пути с фактическим временем.

1. Найдем запланированное время.

Пусть $v$ (км/ч) – это запланированная скорость Васи на велосипеде. Весь путь составляет 50 км. Запланированное время ($T_{план}$) можно выразить формулой: $T_{план} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{50}{v}$ часов.

2. Найдем фактическое время.

Фактический путь Васи состоял из трех участков. Рассчитаем время для каждого из них.

Участок 1: на велосипеде. Расстояние: $S_1 = 10$ км. Скорость: $v_1 = v$ км/ч. Время: $T_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{10}{v}$ часов.

Участок 2: на попутной машине. Расстояние: $S_2 = 24$ км. Скорость машины ($v_{маш}$) в 6 раз больше скорости велосипеда: $v_{маш} = 6v$ км/ч. Время: $T_2 = \frac{S_2}{v_{маш}} = \frac{24}{6v} = \frac{4}{v}$ часов.

Участок 3: пешком. Сначала найдем расстояние, которое Вася прошел пешком: $S_3 = S_{общ} - S_1 - S_2 = 50 - 10 - 24 = 16$ км. Скорость ходьбы ($v_{пеш}$) в 2,5 раза меньше скорости велосипеда: $v_{пеш} = \frac{v}{2.5}$ км/ч. Время: $T_3 = \frac{S_3}{v_{пеш}} = \frac{16}{v/2.5} = \frac{16 \cdot 2.5}{v} = \frac{40}{v}$ часов.

Теперь сложим время, затраченное на все три участка, чтобы найти общее фактическое время ($T_{факт}$): $T_{факт} = T_1 + T_2 + T_3 = \frac{10}{v} + \frac{4}{v} + \frac{40}{v} = \frac{10 + 4 + 40}{v} = \frac{54}{v}$ часов.

3. Сравним запланированное и фактическое время.

Запланированное время: $T_{план} = \frac{50}{v}$. Фактическое время: $T_{факт} = \frac{54}{v}$.

Поскольку $54 > 50$, то $\frac{54}{v} > \frac{50}{v}$. Это означает, что $T_{факт} > T_{план}$. Вася потратил на дорогу больше времени, чем планировал, следовательно, он опоздал.

Ответ: Нет, Васе не удалось приехать на турнир к запланированному сроку.

C 389 Путешественник Вася, живущий в 50 км от мест проведения турнира Архимеда, решил поехать на турнир на велосипеде. Рассчитав время, он проехал первые 10 км с запланированной скоростью, но затем велосипед сломался и Васе пришлось пойти пешком. Через некоторое время Васе повезло, и последние 24 км он ехал на попутной машине. Удалось ли Васе приехать на турнир к запланированному сроку, если скорость Васиной ходьбы была в 2,5 раза меньше скорости велосипеда, а скорость машины – в 6 раз больше?