Страница 94, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

403 1) Туристы в первый день своего путешествия прошли 15,6 км, во второй день – 18,2 км, в третий день – 14,8 км, а в четвёртый – 21,4 км. Сколько километров прошли туристы в последний пятый день, если в среднем они проходили в день 17,6 км?

2) Смешали 0,2 л сиропа по цене 280 р. за литр с 2 л газированной воды по цене 16 р. за литр. Чему равна стоимость 0,25 л получившегося напитка?

1)

Для решения этой задачи нужно сначала найти общее расстояние, которое туристы прошли за все пять дней. Среднее расстояние в день — это общее расстояние, поделённое на количество дней. Следовательно, общее расстояние равно среднему расстоянию, умноженному на количество дней.

1. Найдем общее расстояние за 5 дней:
$17,6 \text{ км/день} \times 5 \text{ дней} = 88 \text{ км}$.

2. Теперь найдем расстояние, которое туристы прошли за первые четыре дня, сложив известные значения:
$15,6 \text{ км} + 18,2 \text{ км} + 14,8 \text{ км} + 21,4 \text{ км} = 70 \text{ км}$.

3. Чтобы найти расстояние, пройденное в пятый день, вычтем из общего расстояния за пять дней расстояние за первые четыре дня:
$88 \text{ км} - 70 \text{ км} = 18 \text{ км}$.

Ответ: 18 км.

2)

Чтобы определить стоимость 0,25 л напитка, сначала нужно найти общую стоимость и общий объем получившейся смеси, а затем вычислить цену за один литр напитка.

1. Найдем стоимость сиропа:
$0,2 \text{ л} \times 280 \text{ р./л} = 56 \text{ р}$.

2. Найдем стоимость газированной воды:
$2 \text{ л} \times 16 \text{ р./л} = 32 \text{ р}$.

3. Найдем общую стоимость всего напитка, сложив стоимость сиропа и воды:
$56 \text{ р.} + 32 \text{ р.} = 88 \text{ р}$.

4. Найдем общий объем получившегося напитка:
$0,2 \text{ л} + 2 \text{ л} = 2,2 \text{ л}$.

5. Теперь вычислим стоимость одного литра напитка, разделив общую стоимость на общий объем:
$88 \text{ р.} \div 2,2 \text{ л} = 40 \text{ р./л}$.

6. Наконец, найдем стоимость 0,25 л напитка, умножив цену за литр на требуемый объем:
$40 \text{ р./л} \times 0,25 \text{ л} = 10 \text{ р}$.

Ответ: 10 р.

403 1) Туристы в первый день своего путешествия прошли 15,6 км, во второй день – 18,2 км, в третий день – 14,8 км, а в четвертый – 21,4 км. Сколько километров прошли туристы в последний пятый день, если в среднем они проходили в день 17,6 км?

2) Смешали 0,2 литра сиропа по цене 280 р. за литр с 2 литрами газированной воды по цене 16 р. за литр. Чему равна стоимость 0,25 л получившегося напитка?

404 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями треугольников:

$PT$

$MQ$

$NV$

3) Сколько средних линий можно провести в треугольнике?

4) Построй треугольник $ABC$ и проведи его среднюю линию, соединяющую середины сторон $AB$ и $BC$. Найди отношение длины стороны $AC$ к длине средней линии. Повтори эксперимент ещё 2 раза. Сформулируй гипотезу.

5) Рассмотри расположение средней линии треугольника и стороны $AC$ на чертежах к предыдущему заданию. Сформулируй гипотезу.

6) Построй треугольник $ABC$ и проведи все его средние линии. Измерь углы треугольника $ABC$ и углы треугольника, образованного средними линиями. Сформулируй гипотезу.

1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.
В представленном определении: "Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон" — дается определение понятию "средняя линия треугольника".
Ответ: Средняя линия треугольника.

2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями треугольников:
На представленных чертежах отрезками, которые выглядят как средние линии, являются PQ и VN. Они соединяют точки, похожие на середины двух сторон в треугольниках ERS и XYZ соответственно, и визуально параллельны третьей стороне (ES и YZ). Отрезок AD в треугольнике ABC не является средней линией, так как он соединяет вершину A с точкой D на противоположной стороне BC.
Ответ: PQ и VN.

3) Сколько средних линий можно провести в треугольнике?
Треугольник имеет три стороны. Средняя линия соединяет середины двух сторон. Так как можно составить три уникальные пары сторон, в любом треугольнике можно провести ровно три средние линии.
Ответ: 3.

4) Построй треугольник АВС и проведи его среднюю линию, соединяющую середины сторон АВ и ВС. Найди отношение длины стороны АС к длине средней линии. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу.
Для выполнения этого задания необходимо выполнить следующие шаги:
1. Нарисовать произвольный треугольник АВС.
2. Найти и отметить точку D — середину стороны AB, и точку E — середину стороны BC.
3. Соединить точки D и E отрезком DE. Этот отрезок является средней линией.
4. Измерить длину стороны AC и длину средней линии DE.
5. Вычислить отношение их длин: $AC/DE$.
6. Повторить шаги 1-5 для двух других треугольников разной формы.
При каждом измерении отношение длины стороны AC к длине средней линии DE будет приблизительно равно 2.
Гипотеза: Длина средней линии треугольника равна половине длины третьей стороны. Отношение длины стороны треугольника к длине соответствующей ей средней линии равно 2.
Ответ: Отношение длины стороны AC к длине средней линии равно 2. Гипотеза: средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.

5) Рассмотри расположение средней линии треугольника и стороны АС на чертежах к предыдущему заданию. Сформулируй гипотезу.
При построении средней линии DE, соединяющей середины сторон AB и BC, и рассмотрении ее расположения относительно третьей стороны AC, можно заметить, что средняя линия DE параллельна стороне AC.
Гипотеза: Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне.
Ответ: Гипотеза: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.

6) Построй треугольник АВС и проведи все его средние линии. Измерь углы треугольника АВС и углы треугольника, образованного средними линиями. Сформулируй гипотезу.
Для выполнения задания нужно:
1. Нарисовать произвольный треугольник АВС.
2. Отметить середины его сторон: D на AB, E на BC и F на AC.
3. Провести все три средние линии: DE, EF и FD. Они образуют новый треугольник DEF.
4. Измерить транспортиром углы треугольника ABC ($\angle A, \angle B, \angle C$) и углы треугольника DEF ($\angle FDE, \angle DEF, \angle EFD$).
В результате измерений будет установлено, что углы треугольника DEF равны углам треугольника ABC. В частности:
$\angle FDE = \angle A$
$\angle DEF = \angle B$
$\angle EFD = \angle C$
Гипотеза: Треугольник, образованный средними линиями данного треугольника, подобен данному треугольнику. Углы внутреннего треугольника равны противолежащим углам исходного треугольника.
Ответ: Гипотеза: углы треугольника, образованного средними линиями, равны соответствующим углам исходного треугольника ($\angle FDE = \angle A$, $\angle DEF = \angle B$, $\angle EFD = \angle C$).

404 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями треугольников:

$ML$, $QT$, $NV$

3) Сколько средних линий можно провести в треугольнике?

4) Построй треугольник $ABC$ и проведи его среднюю линию, соединяющую середины сторон $AB$ и $BC$. Найди отношение длины стороны $AC$ к длине средней линии. Повтори эксперимент еще 2 раза. Сформулируй гипотезу.

5) Рассмотри расположение средней линии треугольника и стороны $AC$ на чертежах к предыдущему заданию. Сформулируй гипотезу.

6) Построй треугольник $ABC$ и проведи все его средние линии. Измерь углы треугольника $ABC$ и углы треугольника, образованного средними линиями. Сформулируй гипотезу.

405. Сколько составляют:

а) $25 \%$ от $0,36 \text{ кг}$;

б) $56 \%$ от $7,5$;

в) $0,2 \%$ от $90 \%$;

г) $30 \%$ от $a$?

а) Чтобы найти указанный процент от числа, необходимо представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число.
1. Представим 25 % в виде десятичной дроби: $25\% = \frac{25}{100} = 0,25$.
2. Умножим число 0,36 кг на полученную десятичную дробь:
$0,36 \text{ кг} \cdot 0,25 = 0,09 \text{ кг}$.
Ответ: 0,09 кг.

б) 1. Представим 56 % в виде десятичной дроби: $56\% = \frac{56}{100} = 0,56$.
2. Умножим число 7,5 на полученную десятичную дробь:
$7,5 \cdot 0,56 = 4,2$.
Ответ: 4,2.

в) В данном случае мы ищем процент от величины, которая сама выражена в процентах.
1. Представим 0,2 % в виде десятичной дроби: $0,2\% = \frac{0,2}{100} = 0,002$.
2. Умножим 90 % на полученную десятичную дробь:
$90\% \cdot 0,002 = 0,18\%$.
Ответ: 0,18 %.

г) 1. Представим 30 % в виде десятичной дроби: $30\% = \frac{30}{100} = 0,3$.
2. Умножим переменную $a$ на полученную десятичную дробь:
$a \cdot 0,3 = 0,3a$.
Ответ: 0,3$a$.

D 405 Сколько составляют:

a) $25\% \text{ от } 0.36 \text{ кг};$

б) $56\% \text{ от } 7.5;$

в) $0.2\% \text{ от } 90\%;$

г) $30\% \text{ от } a?`$

406 1) Во всех магазинах торговой фирмы по субботам предоставляется скидка $5\%$. Во вторник в одном из таких магазинов был куплен набор кухонной мебели на сумму 24 000 р. Сколько бы стоил этот набор в субботу?

2) В городе $N$ при внесении квартирной платы за каждый день просрочки платежа начисляется пеня в размере $0,1\%$ от суммы платежа. Какую сумму надо будет внести в кассу, если квартплата составляет 1600 р., а платёж просрочен на:

а) 20 дней;

б) 30 дней;

в) 174 дня?

1)

Стоимость набора кухонной мебели, купленного во вторник, составляет 24 000 рублей. Это полная стоимость товара (100%). По субботам предоставляется скидка 5%. Чтобы найти стоимость набора в субботу, нужно вычесть сумму скидки из полной стоимости.

1. Рассчитаем размер скидки в рублях. Для этого найдём 5% от 24 000 рублей:
$24000 \cdot \frac{5}{100} = 24000 \cdot 0.05 = 1200$ рублей.

2. Теперь вычтем сумму скидки из полной стоимости, чтобы узнать цену в субботу:
$24000 - 1200 = 22800$ рублей.

Альтернативный способ — сразу вычислить стоимость с учётом скидки. Если скидка составляет 5%, то итоговая цена будет $100\% - 5\% = 95\%$ от первоначальной:
$24000 \cdot 0.95 = 22800$ рублей.

Ответ: 22 800 рублей.

2)

Сумма квартплаты составляет 1600 рублей. За каждый день просрочки начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Общая сумма к оплате будет состоять из самой квартплаты и начисленной пени за все дни просрочки.

Сначала рассчитаем сумму пени за один день просрочки:
$1600 \cdot \frac{0.1}{100} = 1600 \cdot 0.001 = 1.6$ рубля.

а) 20 дней

Рассчитаем общую сумму пени за 20 дней просрочки:
$1.6 \cdot 20 = 32$ рубля.

Теперь сложим сумму квартплаты и начисленную пеню, чтобы найти итоговую сумму к оплате:
$1600 + 32 = 1632$ рубля.

Ответ: 1632 рубля.

б) 30 дней

Рассчитаем общую сумму пени за 30 дней просрочки:
$1.6 \cdot 30 = 48$ рублей.

Итоговая сумма к оплате:
$1600 + 48 = 1648$ рублей.

Ответ: 1648 рублей.

в) 174 дня

Рассчитаем общую сумму пени за 174 дня просрочки:
$1.6 \cdot 174 = 278.4$ рубля.

Итоговая сумма к оплате:
$1600 + 278.4 = 1878.4$ рубля.

Ответ: 1878,4 рубля.

406 1) Во всех магазинах торговой фирмы по субботам предоставляется скидка 5%. Во вторник в одном из таких магазинов был куплен набор кухонной мебели на сумму 24 000 р. Сколько бы стоил этот набор в субботу?

2) В городе $N$ при внесении квартирной платы за каждый день просрочки платежа начисляется пеня в размере $0,1\%$ от суммы платежа. Какую сумму надо будет внести в кассу, если квартплата составляет 1600 р., а платеж просрочен на:

а) 20 дней;

б) 30 дней;

в) 174 дня?

402 Периметр треугольника $\triangle ABC$ равен 17 см. Первая его сторона на 40 % меньше второй стороны, а третья – на 3,8 см больше первой. Построй треугольник $\triangle ABC$.

Нахождение сторон треугольника

Для нахождения длин сторон треугольника составим уравнение, исходя из условий задачи. Пусть длина второй стороны равна $x$ см.

Первая сторона на 40% меньше второй, что означает, что ее длина составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от длины второй стороны. Математически это выражается как:

Длина первой стороны = $0.6x$ см.

Третья сторона на 3,8 см больше первой. Ее длина будет:

Длина третьей стороны = $(0.6x + 3.8)$ см.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 17 см. Составим и решим уравнение:

$0.6x + x + (0.6x + 3.8) = 17$

$2.2x + 3.8 = 17$

$2.2x = 17 - 3.8$

$2.2x = 13.2$

$x = \frac{13.2}{2.2} = 6$

Таким образом, длина второй стороны треугольника равна 6 см.

Теперь найдем длины двух других сторон:

• Первая сторона: $0.6 \times 6 = 3.6$ см.
• Третья сторона: $3.6 + 3.8 = 7.4$ см.

Для того чтобы треугольник с такими сторонами мог существовать, необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

• $3.6 + 6 > 7.4 \implies 9.6 > 7.4$ (Верно)
• $3.6 + 7.4 > 6 \implies 11 > 6$ (Верно)
• $6 + 7.4 > 3.6 \implies 13.4 > 3.6$ (Верно)

Все условия выполняются.

Ответ: длины сторон треугольника равны 3,6 см, 6 см и 7,4 см.

Построение треугольника ABC

Построение треугольника по трем известным сторонам (3,6 см, 6 см и 7,4 см) выполняется с помощью циркуля и линейки. Алгоритм построения следующий:

1. С помощью линейки начертить отрезок, равный одной из сторон. Например, начертим самый длинный отрезок $AB$ длиной 7,4 см.
2. Установить на циркуле расстояние, равное длине второй стороны, например, 6 см. Поставив острие циркуля в точку A, провести дугу.
3. Установить на циркуле расстояние, равное длине оставшейся стороны, 3,6 см. Поставив острие циркуля в точку B, провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую.
4. Точку пересечения двух дуг обозначить как вершину C.
5. Соединить точку C с точками A и B при помощи линейки.

В результате будет построен треугольник ABC с длинами сторон $AB = 7.4$ см, $AC = 6$ см и $BC = 3.6$ см.

Ответ: треугольник строится по трем найденным сторонам (3,6 см, 6 см и 7,4 см) с помощью циркуля и линейки, как описано выше.

402 Периметр треугольника ABC равен 17 см. Первая его сторона на 40% меньше второй стороны, а третья - на 3,8 см больше первой. Построй треугольник ABC.

403 Построй треугольник ABC: 1) по стороне $a$ и прилежащему к ней углу $B$; 2) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач?

1) $a$

$B$

2) $a$

$B$

$C$

1) по стороне a и прилежащему к ней углу B

Для построения треугольника по стороне и одному прилежащему к ней углу необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить прямую и отметить на ней точку B.
2. С помощью циркуля отложить от точки B отрезок BC, длина которого равна длине данной стороны $a$.
3. От луча BC построить угол, равный данному углу B. Для этого от точки B проведём луч BD так, чтобы угол, образованный лучами BC и BD, был равен данному углу B.

Третья вершина треугольника, точка A, должна лежать на луче BD. Однако, условия задачи не задают ни длину стороны AB, ни длину стороны AC, ни величину угла C. Это означает, что в качестве вершины A можно выбрать любую точку на луче BD (кроме точки B). В зависимости от выбора точки A мы будем получать разные треугольники (разные по площади, по длине сторон AB и AC, по углам A и C).

Таким образом, данных условий недостаточно для построения единственного треугольника. Существует бесконечное множество треугольников, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: задача имеет бесконечное множество решений.

2) по стороне a и двум прилежащим к ней углам B и C

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) выполняется следующим образом:

1. Начертить прямую и отложить на ней отрезок BC, равный по длине данной стороне $a$.
2. От точки B на луче BC построить в одной полуплоскости угол, равный данному углу B. Провести луч BD.
3. От точки C на луче CB построить в той же полуплоскости угол, равный данному углу C. Провести луч CE.
4. Лучи BD и CE пересекутся в некоторой точке A, которая и будет третьей вершиной искомого треугольника.

Такой треугольник можно построить не всегда. Для того чтобы лучи BD и CE пересеклись, необходимо, чтобы сумма углов B и C была меньше 180 градусов. Это следует из теоремы о сумме углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как угол A должен быть положительным ($\angle A > 0^\circ$), то должно выполняться условие $\angle B + \angle C < 180^\circ$.

Если условие $\angle B + \angle C < 180^\circ$ выполнено, то задача имеет единственное решение, так как лучи BD и CE пересекутся в одной единственной точке. Если $\angle B + \angle C \ge 180^\circ$, то лучи не пересекутся (в случае равенства они будут параллельны, в случае "больше" - расходящимися), и треугольник построить невозможно (решений нет).

Судя по рисунку в условии, углы B и C острые, поэтому их сумма меньше 180°, и, следовательно, решение существует и оно единственное.

Ответ: если сумма данных углов B и C меньше 180°, то задача имеет одно решение; если их сумма больше или равна 180°, то решений нет.

403 Построй треугольник ABC: 1) по стороне $a$ и прилежащему к ней углу $B$; 2) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$. Сколько различных решений возможно в каждой из этих задач?

1) $a$

$B$

2) $a$

$B$

$C$

404 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $b$ и $c$ и углу $A$, заключённому между ними. Проведи биссектрису угла $B$.

Задача на построение с помощью циркуля и линейки без делений решается в два этапа.

Построй треугольник ABC по двум сторонам b и c и углу A, заключённому между ними

Построение треугольника выполняется по следующему алгоритму:
1. Проводим произвольный луч с началом в точке A.
2. На этом луче откладываем отрезок, равный по длине стороне $c$. Для этого измеряем циркулем длину отрезка $c$ и проводим дугу с центром в точке A, которая пересечет луч. Точку пересечения обозначаем B. Таким образом, мы построили сторону $AB = c$.
3. От луча AB в точке A строим угол, равный данному углу $A$. Для этого:
а) С центром в вершине заданного угла $A$ проводим дугу произвольного радиуса, пересекающую его стороны в двух точках.
б) С центром в точке A нашей конструкции проводим дугу того же радиуса, которая пересекает луч AB.
в) Измеряем циркулем расстояние между точками пересечения из пункта (а) и откладываем это расстояние на дуге из пункта (б) от точки её пересечения с лучом AB.
г) Через полученную точку и вершину A проводим второй луч. Угол между построенным лучом и лучом AB равен заданному углу $A$.
4. На втором, только что построенном, луче откладываем от точки A отрезок, равный по длине стороне $b$. Конец этого отрезка обозначаем C. Таким образом, мы построили сторону $AC = b$.
5. Соединяем точки B и C отрезком с помощью линейки.
В результате мы получили треугольник $ABC$, который является искомым, так как он удовлетворяет условию: $AB = c$, $AC = b$ и $\angle BAC = A$.

Ответ: Треугольник ABC построен.

Проведи биссектрису угла B

Биссектриса — это луч, делящий угол пополам. Для построения биссектрисы угла $B$ (или $\angle ABC$) в полученном треугольнике выполним следующие шаги:
1. Устанавливаем острие циркуля в вершину B.
2. Проводим дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла B — лучи BA и BC. Обозначим точки пересечения как M и N соответственно.
3. Из точек M и N, как из центров, проводим две дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle ABC$. Радиус должен быть достаточным для того, чтобы дуги пересеклись. Обозначим точку их пересечения как K.
4. С помощью линейки проводим луч, начинающийся в вершине B и проходящий через точку K.
Полученный луч BK является биссектрисой угла $B$, так как по построению он делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$.

Ответ: Биссектриса угла B проведена.

404 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $b$ и $c$ и углу $A$, заключенному между ними. Проведи биссектрису угла $B$.

405 Начерти произвольный треугольник $ABC$, построй середины его сторон – точки $M, N$ и $K$ – и соедини их отрезками. Измерь и сравни углы треугольников $ABC$ и $MNK$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Выполним пошагово все инструкции из задания.

1. Сначала начертим произвольный треугольник, обозначив его вершины буквами $A$, $B$ и $C$.

2. Далее, построим середины его сторон. Пусть точка $M$ – середина стороны $AB$, точка $N$ – середина стороны $BC$, и точка $K$ – середина стороны $AC$.

3. Соединим точки $M$, $N$ и $K$ отрезками. В результате мы получим новый треугольник $MNK$. Он называется срединным треугольником для $\triangle ABC$.

4. Теперь измерим и сравним углы треугольников $ABC$ и $MNK$. Вместо прямого измерения транспортиром, которое может дать погрешность, проведем строгое доказательство, используя свойства средней линии треугольника.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. Таким образом, в $\triangle ABC$:

• отрезок $MN$ – средняя линия, поэтому $MN \parallel AC$;
• отрезок $NK$ – средняя линия, поэтому $NK \parallel AB$;
• отрезок $MK$ – средняя линия, поэтому $MK \parallel BC$.

Рассмотрим четырехугольник $AMNK$. Его сторона $AM$ лежит на прямой $AB$, а сторона $NK$ параллельна $AB$, следовательно, $AM \parallel NK$. Его сторона $AK$ лежит на прямой $AC$, а сторона $MN$ параллельна $AC$, следовательно, $AK \parallel MN$. Так как у четырехугольника $AMNK$ противолежащие стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом. В параллелограмме противолежащие углы равны, значит $\angle A = \angle MNK$.

Аналогично, четырехугольник $MBNK$ является параллелограммом (поскольку $MB \parallel NK$ и $MK \parallel BN$). Отсюда следует, что $\angle B = \angle MKN$.

И четырехугольник $MNKC$ также является параллелограммом (поскольку $MN \parallel KC$ и $MK \parallel NC$). Отсюда следует, что $\angle C = \angle NMK$.

Что ты замечаешь?

При сравнении углов треугольников $ABC$ и $MNK$ я замечаю, что они соответственно равны: $\angle A$ исходного треугольника равен углу $\angle MNK$ срединного, $\angle B$ равен углу $\angle MKN$, а $\angle C$ равен углу $\angle NMK$. Так как все углы одного треугольника соответственно равны всем углам другого, эти треугольники подобны.

Ответ: Углы треугольника $MNK$ равны соответствующим углам треугольника $ABC$, и, следовательно, треугольник $MNK$ подобен треугольнику $ABC$.

Сформулируй гипотезу.

На основе сделанного наблюдения и доказательства можно сформулировать общую гипотезу, которая будет верна для любого треугольника.

Ответ: Треугольник, вершины которого являются серединами сторон другого треугольника (срединный треугольник), всегда подобен исходному треугольнику.

405 Начерти произвольный треугольник $ABC$, построй середины его сторон – точки $M$, $N$ и $K$ – и соедини их отрезками. Измерь и сравни углы треугольников $ABC$ и $MNK$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

406 Построй произвольный равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) и опусти высоту из вершины $B$ на сторону $AC$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Построй произвольный равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) и опусти высоту из вершины B на сторону AC.

1. Начертим отрезок $AC$, который будет основанием треугольника.
2. С помощью циркуля построим две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины $AC$) с центрами в точках $A$ и $C$. Точку их пересечения обозначим как $B$.
3. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ будет равнобедренным, так как по построению его боковые стороны равны: $AB = BC$.
4. Из вершины $B$ опустим перпендикуляр на сторону $AC$. Для этого можно использовать угольник или построить его с помощью циркуля и линейки. Обозначим основание перпендикуляра точкой $H$. Отрезок $BH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к основанию, так как $BH \perp AC$.

Ответ: Построение выполнено: начерчен равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и в нем проведена высота $BH$.

Что ты замечаешь?

Высота $BH$ разделила исходный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, так как $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$.
Рассмотрим эти два треугольника. Можно заметить, что они равны. Докажем это:
- Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABH$ равна гипотенузе $BC$ треугольника $\triangle CBH$ по определению равнобедренного треугольника.
- Катет $BH$ является общим для обоих треугольников.
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:
1. $AH = CH$. Это означает, что высота $BH$ делит основание $AC$ пополам, то есть является медианой.
2. $\angle ABH = \angle CBH$. Это означает, что высота $BH$ делит угол при вершине $\angle ABC$ пополам, то есть является биссектрисой.

Ответ: Я замечаю, что высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к его основанию, также является его медианой (делит основание пополам) и биссектрисой (делит угол при вершине пополам).

Сформулируй гипотезу.

На основе наблюдений, сделанных для произвольно построенного равнобедренного треугольника, можно предположить, что это свойство справедливо для всех равнобедренных треугольников. Эта гипотеза является одной из ключевых теорем геометрии.

Ответ: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

406 Построй произвольный равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) и опусти высоту из вершины $B$ на сторону $AC$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

407 Василий добежал от дома до школы за 5 мин и опоздал в школу на 1 мин. На сколько процентов ему нужно было увеличить скорость, чтобы не опоздать в школу?

Обозначим расстояние от дома до школы как $S$, фактическую скорость Василия как $v_1$, а время, которое он затратил, как $t_1$.

По условию, Василий добежал за 5 минут, то есть $t_1 = 5$ мин.

Он опоздал на 1 минуту. Это означает, что для того, чтобы прийти вовремя, он должен был потратить на дорогу на 1 минуту меньше.

Найдем время $t_2$, за которое Василию нужно было добежать до школы, чтобы не опоздать:

$t_2 = t_1 - 1 \text{ мин} = 5 \text{ мин} - 1 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$.

Скорость, время и расстояние связаны формулой $S = v \cdot t$, откуда $v = S/t$.

Фактическая скорость Василия была:

$v_1 = S/t_1 = S/5$

Скорость, с которой ему нужно было бежать, чтобы не опоздать:

$v_2 = S/t_2 = S/4$

Чтобы найти, на сколько процентов нужно было увеличить скорость, найдем отношение разницы скоростей к первоначальной скорости и умножим на 100%.

$\frac{v_2 - v_1}{v_1} \cdot 100\%$

Подставим в формулу выражения для $v_1$ и $v_2$:

$\frac{S/4 - S/5}{S/5} \cdot 100\% = \frac{S(1/4 - 1/5)}{S/5} \cdot 100\%$

Расстояние $S$ сокращается:

$\frac{1/4 - 1/5}{1/5} \cdot 100\% = \frac{5/20 - 4/20}{1/5} \cdot 100\% = \frac{1/20}{1/5} \cdot 100\%$

Разделим дроби:

$\frac{1}{20} \cdot \frac{5}{1} \cdot 100\% = \frac{5}{20} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

Таким образом, Василию нужно было увеличить свою скорость на 25%.

Ответ: на 25%.

407 Василий добежал от дома до школы за 5 мин и опоздал в школу на 1 мин. На сколько процентов ему нужно было увеличить скорость, чтобы не опоздать в школу?

408 Банк выплачивает вкладчикам доход в размере 12 % годовых по вкладам. Пенсионер положил в этот банк 9000 р. Через 8 месяцев ему потребовались деньги, и он снял вклад. Какую сумму он получил в банке?

Для того чтобы определить, какую сумму получил пенсионер, нужно сначала вычислить доход (проценты), который банк начислил на вклад за 8 месяцев, а затем прибавить этот доход к первоначальной сумме вклада.

Годовая процентная ставка составляет 12%. Так как в году 12 месяцев, месячная процентная ставка будет равна:

$\frac{12\%}{12} = 1\%$ в месяц.

Вклад находился в банке 8 месяцев. За это время начисленные проценты составят:

$1\% \cdot 8 = 8\%$ от суммы вклада.

Теперь вычислим сумму дохода в рублях. Первоначальный вклад равен 9000 р. Найдем 8% от этой суммы:

$9000 \cdot \frac{8}{100} = 720$ р.

Итоговая сумма, которую пенсионер получил в банке, складывается из первоначального вклада и начисленных процентов:

$9000 \text{ р.} + 720 \text{ р.} = 9720 \text{ р.}$

Ответ: 9720 р.

408 Банк выплачивает вкладчикам доход в размере $12\%$ годовых по вкладам. Пенсионер положил в этот банк $9000 \text{ р.}$. Через $8 \text{ месяцев}$ ему потребовались деньги, и он снял вклад. Какую сумму он получил в банке?

409 Найди квадрат суммы чисел А и В:

A

$12.5 - 12.5 \cdot (0.726 - 5.562 \div 5.4);$

B

$-0.24 \cdot (-1.625) \div (38.1 \div 7.5 - 4.3) + 11.7 \div (-1.5).$

Для того чтобы найти квадрат суммы чисел А и В, необходимо сначала вычислить значение каждого числа по отдельности.

A

Вычислим значение выражения $A = 12,5 - 12,5 \cdot (0,726 - 5,562 : 5,4)$.

Решение по действиям:

1. Сначала выполним действие в скобках. Начнем с деления:

$5,562 : 5,4 = 1,03$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:

$0,726 - 1,03 = -0,304$

3. Далее выполним умножение:

$12,5 \cdot (-0,304) = -3,8$

4. Наконец, выполним вычитание:

$12,5 - (-3,8) = 12,5 + 3,8 = 16,3$

Таким образом, значение числа A равно 16,3.

B

Вычислим значение выражения $B = -0,24 \cdot (-1,625) : (38,1 : 7,5 - 4,3) + 11,7 : (-1,5)$.

Решение по действиям:

1. Вычислим значение в скобках. Сначала деление:

$38,1 : 7,5 = 5,08$

2. Теперь вычитание в скобках:

$5,08 - 4,3 = 0,78$

3. Выполним умножение и деление по порядку слева направо:

$-0,24 \cdot (-1,625) = 0,39$

4. Теперь деление на результат из скобок:

$0,39 : 0,78 = 0,5$

5. Выполним последнее деление в выражении:

$11,7 : (-1,5) = -7,8$

6. Выполним сложение:

$0,5 + (-7,8) = 0,5 - 7,8 = -7,3$

Таким образом, значение числа B равно -7,3.

Теперь найдем квадрат суммы чисел А и В.

1. Найдем сумму A и B:

$A + B = 16,3 + (-7,3) = 16,3 - 7,3 = 9$

2. Возведем полученную сумму в квадрат:

$(A + B)^2 = 9^2 = 81$

Ответ: 81.

409 Найди квадрат суммы чисел A и B:

A $12,5 - 12,5 \cdot (0,726 - 5,562 : 5,4);$

B $-0,24 \cdot (-1,625) : (38,1 : 7,5 - 4,3) + 11,7 : (-1,5).$

410 Найди множество корней уравнения:

а) $4,8x - 0,7(2 - x) = 0,5(11x - 7);$

б) $0,4(5x - 9) - 3,8x = 1,8 - 1,8(x + 3).$

а) $4,8x - 0,7(2 - x) = 0,5(11x - 7)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4,8x - 0,7 \cdot 2 - 0,7 \cdot (-x) = 0,5 \cdot 11x - 0,5 \cdot 7$

$4,8x - 1,4 + 0,7x = 5,5x - 3,5$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(4,8x + 0,7x) - 1,4 = 5,5x - 3,5$

$5,5x - 1,4 = 5,5x - 3,5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5,5x - 5,5x = -3,5 + 1,4$

$0 \cdot x = -2,1$

$0 = -2,1$

Полученное равенство является ложным, оно не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений, то есть множество его корней пусто.

Ответ: $\emptyset$.

б) $0,4(5x - 9) - 3,8x = 1,8 - 1,8(x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,4 \cdot 5x - 0,4 \cdot 9 - 3,8x = 1,8 - 1,8 \cdot x - 1,8 \cdot 3$

$2x - 3,6 - 3,8x = 1,8 - 1,8x - 5,4$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

В левой части: $(2x - 3,8x) - 3,6 = -1,8x - 3,6$

В правой части: $(1,8 - 5,4) - 1,8x = -3,6 - 1,8x$

Уравнение принимает вид:

$-1,8x - 3,6 = -1,8x - 3,6$

Мы получили тождество, то есть верное равенство, которое выполняется при любом значении переменной $x$. Это означает, что корнем уравнения является любое число.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

410 Найди множество корней уравнения:

а) $4,8x - 0,7(2 - x) = 0,5(11x - 7)$;

б) $0,4(5x - 9) - 3,8x = 1,8 - 1,8(x + 3)$.