Номер 490, страница 110, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Сложный процентный рост. Параграф 2. Проценты. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 490, страница 110.

Условие 2023.

490 1) Доходы населения увеличились в первом квартале на $5\%$, а во втором – на $6\%$. Как и на сколько процентов увеличились доходы населения за два квартала?

2) Выпуск продукции в прошлом году снизился на $20\%$, а в текущем повысился на $5\%$. Как и на сколько процентов изменился выпуск продукции за два года?

Решение 2 (2023).

1)

Для решения этой задачи нельзя просто складывать проценты, так как процент во втором квартале начисляется на уже увеличенную сумму.
Пусть первоначальные доходы населения составляли $x$.
После увеличения в первом квартале на 5%, доходы стали равны:
$x_1 = x + 0.05x = x(1 + 0.05) = 1.05x$
Во втором квартале доходы увеличились на 6% уже от новой суммы $x_1$. Таким образом, итоговая сумма доходов $x_2$ составит:
$x_2 = x_1 + 0.06x_1 = x_1(1 + 0.06) = 1.05x \cdot 1.06 = 1.113x$
Чтобы найти общее процентное изменение, сравним итоговую сумму с первоначальной:
$\frac{x_2 - x}{x} \cdot 100\% = \frac{1.113x - x}{x} \cdot 100\% = \frac{0.113x}{x} \cdot 100\% = 0.113 \cdot 100\% = 11.3\%$
Таким образом, доходы населения за два квартала увеличились.

Ответ: доходы населения увеличились на 11,3 %.

2)

Эта задача решается аналогично предыдущей, но с учетом снижения и последующего повышения.
Пусть первоначальный выпуск продукции был равен $y$.
После снижения в прошлом году на 20%, выпуск стал составлять $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначального:
$y_1 = y - 0.20y = y(1 - 0.20) = 0.8y$
В текущем году выпуск повысился на 5% по сравнению с прошлогодним объемом $y_1$. Итоговый выпуск $y_2$ составит:
$y_2 = y_1 + 0.05y_1 = y_1(1 + 0.05) = 0.8y \cdot 1.05 = 0.84y$
Теперь найдем общее изменение выпуска продукции за два года. Итоговый объем составил 0.84 от первоначального, или $0.84 \cdot 100\% = 84\%$.
Чтобы найти, на сколько процентов изменился выпуск, вычтем полученный процент из 100%:
$100\% - 84\% = 16\%$
Поскольку итоговый объем (84%) меньше первоначального (100%), это означает, что выпуск продукции снизился.

Ответ: выпуск продукции снизился на 16 %.

Условие 2010-2022.

490 1) Доходы населения увеличились в первом квартале на 5% , а во втором – на 6%. Как и на сколько процентов увеличились доходы населения за два квартала?

2) Выпуск продукции в прошлом году снизился на 20%, а в текущем повысился на 5%. Как и на сколько процентов изменился выпуск продукции за два года?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).