Номер 486, страница 109, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Сложный процентный рост. Параграф 2. Проценты. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 486, страница 109.

Условие 2023.

C 486*

Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность образует точный квадрат?

Решение 2 (2023).

Пусть искомые двузначные числа состоят из цифр $a$ и $b$. Тогда одно число можно записать как $10a + b$, а второе, полученное перестановкой цифр, — как $10b + a$. По условию, оба числа являются простыми.

Найдем их разность. Предположим, что $b > a$. Разность равна $(10b + a) - (10a + b) = 9b - 9a = 9(b - a)$.

Эта разность по условию является точным квадратом. Так как $9 = 3^2$ уже является точным квадратом, то для того, чтобы произведение $9(b-a)$ было точным квадратом, множитель $(b-a)$ также должен быть точным квадратом.

Поскольку $a$ и $b$ — это различные цифры двузначного числа ($a \neq 0$ и $b \neq 0$), их разность $b-a$ является целым числом в диапазоне от 1 до 8. Единственные точные квадраты в этом диапазоне — это 1 и 4.

Рассмотрим эти два случая.

1. Если $b-a=1$, то разность чисел равна $9 \cdot 1 = 9 = 3^2$. Перебирая пары цифр, где $b=a+1$, мы ищем случаи, когда оба числа ($10a+b$ и $10b+a$) являются простыми. Например, для пары цифр (2, 3) получаем числа 23 (простое) и 32 (составное). Для пары (6, 7) получаем 67 (простое) и 76 (составное). Ни одна из возможных пар цифр с разностью 1 не образует два простых числа.

2. Если $b-a=4$, то разность чисел равна $9 \cdot 4 = 36 = 6^2$. Перебираем пары цифр, где $b=a+4$:
- при $a=1, b=5$ получаем числа 15 и 51 (оба составные);
- при $a=2, b=6$ получаем числа 26 и 62 (оба составные);
- при $a=3, b=7$ получаем числа 37 и 73. Оба числа являются простыми. Эта пара удовлетворяет всем условиям;
- при $a=5, b=9$ получаем числа 59 (простое) и 95 (составное).

Таким образом, единственная пара чисел, удовлетворяющая всем условиям, — это 37 и 73. Их разность $73 - 37 = 36$, что является квадратом числа 6.

Ответ: 37 и 73.

Условие 2010-2022.

486 Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность образует точный квадрат?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).