Номер 485, страница 109, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 2. Проценты. 4. Сложный процентный рост - номер 485, страница 109.

Условие 2023.

485 Вычисли значения выражений А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А.

А $ \frac{1\frac{2}{9} \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 4\frac{1}{2}}{5\frac{1}{2} \cdot 6\frac{3}{7} \cdot 2\frac{7}{9}} \cdot \frac{12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2\frac{1}{3}}{1\frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16} $

В $ \left[\frac{0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}}{1.05 : \left(2\frac{1}{36} - 1\frac{5}{18}\right)} + \frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4}\right]^2 $

Решение 2 (2023).

Для ответа на вопросы задачи необходимо сначала вычислить значения выражений А и В.

Вычисление значения выражения А

Выражение А представляет собой произведение двух дробей. $A = \frac{1\frac{2}{9} \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 4\frac{1}{2}}{5\frac{1}{2} \cdot 6\frac{3}{7} \cdot 2\frac{7}{9}} \cdot \frac{12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2\frac{1}{3}}{1\frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16}$

Вычислим значение первой дроби. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
Числитель: $1\frac{2}{9} \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 4\frac{1}{2} = \frac{11}{9} \cdot \frac{25}{7} \cdot \frac{9}{2} = \frac{11 \cdot 25 \cdot 9}{9 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{11 \cdot 25}{14}$
Знаменатель: $5\frac{1}{2} \cdot 6\frac{3}{7} \cdot 2\frac{7}{9} = \frac{11}{2} \cdot \frac{45}{7} \cdot \frac{25}{9} = \frac{11 \cdot 45 \cdot 25}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 25}{14 \cdot 9} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 25}{14}$
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{11 \cdot 25}{14}}{\frac{11 \cdot 5 \cdot 25}{14}} = \frac{11 \cdot 25}{14} \cdot \frac{14}{11 \cdot 5 \cdot 25} = \frac{1}{5}$

Вычислим значение второй дроби.
Числитель: $12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2\frac{1}{3} = \frac{121}{10} \cdot \frac{2}{11} + \frac{42}{10} : \frac{7}{3} = \frac{11 \cdot 2}{10} + \frac{42}{10} \cdot \frac{3}{7} = 2.2 + \frac{6 \cdot 3}{10} = 2.2 + 1.8 = 4$
Знаменатель (используем распределительный закон): $1\frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16 = (1\frac{5}{13} - \frac{5}{13}) \cdot 0.16 = 1 \cdot 0.16 = 0.16$
Значение второй дроби: $\frac{4}{0.16} = \frac{400}{16} = 25$

Теперь найдем значение А, перемножив результаты: $A = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$

Вычисление значения выражения B

$B = \left[ \frac{0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}}{1.05 : (2\frac{1}{36} - 1\frac{5}{18})} + \frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4} \right]^2$
Вычислим по действиям.

1. Вычислим первую дробь в скобках.
Числитель: $0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{10} + \frac{5}{18} = \frac{3}{10} + \frac{5}{18} = \frac{27+25}{90} = \frac{52}{90} = \frac{26}{45}$
Знаменатель: $1.05 : (2\frac{1}{36} - 1\frac{5}{18}) = 1.05 : (\frac{73}{36} - \frac{46}{36}) = 1.05 : \frac{27}{36} = 1.05 : \frac{3}{4} = \frac{105}{100} \cdot \frac{4}{3} = \frac{21}{20} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7}{5}$
Значение первой дроби: $\frac{26/45}{7/5} = \frac{26}{45} \cdot \frac{5}{7} = \frac{26}{9 \cdot 7} = \frac{26}{63}$

2. Вычислим вторую дробь в скобках, сокращая множители:
$\frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4} = \frac{1.2}{0.24} \cdot \frac{0.8}{6.4} \cdot \frac{7.6}{1.9} = 5 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

3. Сложим полученные значения:
$\frac{26}{63} + \frac{5}{2} = \frac{26 \cdot 2 + 5 \cdot 63}{126} = \frac{52 + 315}{126} = \frac{367}{126}$

4. Возведем результат в квадрат:
$B = (\frac{367}{126})^2 = \frac{134689}{15876}$

Итак, мы получили точные значения: $A=5$ и $B=\frac{134689}{15876}$.

1) на сколько процентов А меньше, чем В

Для нахождения процентного соотношения используем формулу: $\frac{B - A}{B} \cdot 100\%$.
$B - A = \frac{134689}{15876} - 5 = \frac{134689 - 5 \cdot 15876}{15876} = \frac{134689 - 79380}{15876} = \frac{55309}{15876}$
$\frac{B - A}{B} = \frac{55309/15876}{134689/15876} = \frac{55309}{134689}$
$\frac{55309}{134689} \cdot 100\% \approx 0.41064 \cdot 100\% \approx 41.06\%$
Ответ: А меньше, чем В, примерно на $41.06\%$.

2) на сколько процентов В больше, чем А

Для нахождения процентного соотношения используем формулу: $\frac{B - A}{A} \cdot 100\%$.
$\frac{B - A}{A} = \frac{55309/15876}{5} = \frac{55309}{15876 \cdot 5} = \frac{55309}{79380}$
$\frac{55309}{79380} \cdot 100\% \approx 0.69683 \cdot 100\% \approx 69.68\%$
Ответ: В больше, чем А, примерно на $69.68\%$.

Условие 2010-2022.

485 Вычисли значения выражений A и B и определи: 1) на сколько процентов A меньше, чем B; 2) на сколько процентов B больше, чем A?

A $A = \frac{1 \frac{2}{9} \cdot 3 \frac{4}{7} \cdot 4 \frac{1}{2}}{5 \frac{1}{2} \cdot 6 \frac{3}{7} \cdot 2 \frac{7}{9}} \cdot \frac{12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2 \frac{1}{3}}{1 \frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16}$

B $B = \left[ \frac{0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} : \frac{5}{6}}{1.05 : \left(2 \frac{1}{36} - 1 \frac{5}{18}\right)} + \frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4} \right]^2$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).