Страница 117, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

535 Реши задачи, составляя пропорции.

1) В 2,5 стаканах 400 г пшеничной муки.
Сколько пшеничной муки в 1,5 стаканах?

2) Мясо теряет при варке 36 % своей массы.
Сколько надо взять свежего мяса, чтобы
получить 960 г варёного?

1) Пусть $x$ — это искомое количество пшеничной муки в граммах, которое содержится в 1,5 стаканах. Зависимость между объемом (в стаканах) и массой муки (в граммах) является прямой, поэтому мы можем составить пропорцию.
Соотнесем известные и неизвестные величины:
2,5 стакана — 400 г муки
1,5 стакана — $x$ г муки
Запишем пропорцию:
$\frac{2,5}{1,5} = \frac{400}{x}$
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно перемножить средние члены и разделить на известный крайний член:
$x = \frac{1,5 \cdot 400}{2,5}$
$x = \frac{600}{2,5}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
$x = \frac{6000}{25}$
$x = 240$
Следовательно, в 1,5 стаканах содержится 240 г пшеничной муки.
Ответ: 240 г.

2) Пусть $y$ — это начальная масса свежего мяса в граммах, которую необходимо взять. Эту массу мы принимаем за 100%.
По условию, при варке мясо теряет 36% своей массы. Найдем, какой процент от начальной массы составляет масса варёного мяса:
$100\% - 36\% = 64\%$
Масса варёного мяса (960 г) составляет 64% от массы свежего мяса ($y$ г).
Составим пропорцию:
$y$ г свежего мяса — 100%
960 г варёного мяса — 64%
Запишем это в виде уравнения:
$\frac{y}{960} = \frac{100}{64}$
Теперь решим уравнение, чтобы найти $y$:
$y = \frac{960 \cdot 100}{64}$
Сократим дробь. 960 и 64 делятся на 64. $960 \div 64 = 15$.
$y = 15 \cdot 100$
$y = 1500$
Таким образом, чтобы получить 960 г варёного мяса, нужно взять 1500 г свежего.
Ответ: 1500 г.

535 Реши задачи, составляя пропорции:

1) В 2,5 стаканах 400 г пшеничной муки. Сколько пшеничной муки в 1,5 стаканах?

2) Мясо теряет при варке 36% своей массы. Сколько надо взять свежего мяса, чтобы получить 960 г вареного?

536 Через железнодорожную станцию прошло три военных состава. В первом находилось 462 солдата, во втором – 546 и в третьем – 630. Сколько вагонов было в каждом составе, если известно, что в каждом вагоне находилось одинаковое число солдат и что это число солдат было максимальное из всех возможных?

По условию задачи, в каждом вагоне находилось одинаковое число солдат, и это число было максимальным из всех возможных. Это означает, что нам нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для количества солдат в каждом из трех составов: 462, 546 и 630. Найденное значение и будет количеством солдат в одном вагоне.

Сначала разложим числа 462, 546 и 630 на простые множители, чтобы найти их НОД:

$462 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$

$546 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$

$630 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

Общими множителями для всех трех чисел являются 2, 3 и 7. Чтобы найти НОД, перемножим эти общие множители в наименьшей степени, в которой они встречаются в разложениях:

НОД(462, 546, 630) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Следовательно, в каждом вагоне находилось по 42 солдата.

Теперь, зная количество солдат в одном вагоне, мы можем найти количество вагонов в каждом составе, разделив общее число солдат в составе на 42.

Количество вагонов в первом составе: $462 \div 42 = 11$ вагонов.

Количество вагонов во втором составе: $546 \div 42 = 13$ вагонов.

Количество вагонов в третьем составе: $630 \div 42 = 15$ вагонов.

Ответ: в первом составе было 11 вагонов, во втором – 13 вагонов, а в третьем – 15 вагонов.

Через железнодорожную станцию прошло три военных состава. В первом находилось 462 солдата, во втором – 546 и в третьем – 630. Сколько вагонов было в каждом составе, если известно, что в каждом вагоне находилось одинаковое число солдат и что это число солдат было максимальное из всех возможных?

537 На месте единиц в трёхзначном числе стоит цифра 2. Если эту цифру поставить впереди двух остальных, то получится число, большее заданного на $1/3$ (от заданного числа). Какое число задано?

Решение

Обозначим искомое трёхзначное число как $N$. По условию, его цифра в разряде единиц равна 2. Любое трёхзначное число с цифрой 2 на конце можно представить в виде $10x + 2$, где $x$ — это двузначное число, образованное первыми двумя цифрами.

Итак, пусть исходное число $N = 10x + 2$. Поскольку $x$ — это двузначное число, то $10 \le x \le 99$.

Новое число $M$ получается, когда цифру 2 ставят впереди двух остальных цифр (которые образуют число $x$). Это означает, что 2 становится цифрой сотен, а $x$ — числом, занимающим разряды десятков и единиц. Таким образом, новое число можно представить как $M = 200 + x$.

По условию задачи, новое число $M$ больше заданного числа $N$ на одну треть от заданного числа. Это можно записать в виде уравнения:
$M = N + \frac{1}{3}N$
$M = \frac{4}{3}N$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $M$ и $N$ через $x$:
$200 + x = \frac{4}{3}(10x + 2)$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3(200 + x) = 4(10x + 2)$
$600 + 3x = 40x + 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$600 - 8 = 40x - 3x$
$592 = 37x$

Найдем $x$:
$x = \frac{592}{37}$
$x = 16$

Мы нашли, что двузначное число, образованное первыми двумя цифрами исходного числа, равно 16. Теперь найдем само исходное число $N$:
$N = 10x + 2 = 10 \cdot 16 + 2 = 160 + 2 = 162$.

Проверим: исходное число — 162. Новое число (переносим 2 вперед) — 216.
Одна треть от исходного числа: $\frac{1}{3} \cdot 162 = 54$.
Исходное число плюс одна треть: $162 + 54 = 216$.
Результаты совпадают, значит, задача решена верно.

Ответ: 162.

537 На месте единиц в трехзначном числе стоит цифра 2. Если эту цифру поставить впереди двух остальных, то получится число, большее заданного на одну треть (от заданного числа). Какое число задано?

494 На рёбрах куба (рис. 69) отметили две точки $A$ и $B$. Через эти точки провели прямую, на которой отметили ещё 6 точек. Какие из них являются точками пересечения прямой с рёбрами куба или их продолжениями?

Рис. 69

Рис. 70

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как прямая, проходящая через точки A и B, расположенные на ребрах куба, пересекает другие ребра куба или их продолжения.

Рассмотрим рисунок. Точки А и В задают прямую. На этой прямой отмечены точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Нам нужно определить, какие из этих точек являются точками пересечения прямой с ребрами куба или с прямыми, содержащими эти ребра (их продолжениями).

Из рисунка видно, что прямая AB не является произвольной прямой в пространстве, а лежит в плоскости одной из граней куба. Предположим, что это плоскость правой боковой грани. Такой вывод можно сделать, так как точки 1, 2, 4, 6 лежат на продолжениях ребер, принадлежащих одной грани. Если бы прямая пересекала куб в общем виде (протыкая его), то она пересекала бы плоскости граней в точках, которые в общем случае не лежат на ребрах или их продолжениях (кроме точек входа и выхода из куба).

Итак, будем считать, что прямая лежит в плоскости правой грани куба. Эта грань представляет собой квадрат. Ребра этой грани — это верхнее, нижнее, переднее вертикальное и заднее вертикальное ребра. Прямая, лежащая в плоскости квадрата, пересекает все четыре прямые, на которых лежат стороны этого квадрата (если она не параллельна какой-либо из них, что в данном случае не так).

Проанализируем каждую точку:

• Точка 2: Находится на верхнем ребре правой грани. Это точка пересечения прямой с ребром куба.
• Точка 4: Находится на переднем вертикальном ребре правой грани. Это также точка пересечения прямой с ребром куба.
• Точка 1: Находится на продолжении заднего вертикального ребра правой грани. Это точка пересечения прямой с продолжением ребра куба.
• Точка 6: Находится на продолжении нижнего ребра правой грани. Это точка пересечения прямой с продолжением ребра куба.
• Точки 3 и 5: Эти точки лежат на прямой AB, но не совпадают с какими-либо ребрами или их продолжениями. Точка 3 находится на отрезке прямой внутри куба, а точка 5 — на ее продолжении вне куба.

Таким образом, точками пересечения прямой с ребрами куба или их продолжениями являются точки 1, 2, 4 и 6.

Ответ: Точками пересечения прямой с ребрами куба или их продолжениями являются точки 1, 2, 4, 6.

494 На ребрах куба (рис. 69) отметили две точки A и B. Через эти точки провели прямую, на которой отметили еще 6 точек. Какие из них являются точками пересечения прямой с ребрами куба или их продолжениями?

Рис. 69

Рис. 70

495. a) На рёбрах куба (рис. 70) отмечены точки $M$, $N$ и $K$. Принадлежат ли граням куба отрезки $MN$, $MK$ и $KN$?

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $N$ и $K$. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба плоскостью $\alpha$ по следующему алгоритму.

1. Соединить точки $M$ и $N$.

2. В плоскости грани $AA_1D_1D$ провести прямую $MK$ до её пересечения с прямой $DD_1$ в точке $P$.

3. В плоскости грани $DD_1C_1C$ построить точку пересечения прямых $DC$ и $PN$. Обозначить её $T$. Соединить точки $K$ и $T$.

4. Четырёхугольник $MNTK$ – искомый.

в) Проиллюстрируй построение сечения на каркасной модели куба.

а)

Для определения принадлежности отрезков граням куба рассмотрим расположение точек M, N и K на рёбрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Из условия задачи (в частности, из алгоритма построения в пункте б) следует, что точки M и K лежат в плоскости одной грани, а точки N и P (где P – вспомогательная точка на прямой $DD_1$) – в плоскости другой грани. Примем, что точка M лежит на ребре $AA_1$, точка K – на ребре $AD$, а точка N – на ребре $CC_1$.

1. Отрезок MK: Точка M лежит на ребре $AA_1$, а точка K – на ребре $AD$. Оба этих ребра принадлежат одной грани куба – левой грани $AA_1D_1D$. Следовательно, обе точки M и K лежат в плоскости этой грани, и соединяющий их отрезок MK полностью принадлежит грани $AA_1D_1D$.
2. Отрезок MN: Точка M лежит на ребре $AA_1$, а точка N – на ребре $CC_1$. Эти рёбра являются скрещивающимися и принадлежат разным граням, которые не имеют общих точек, кроме вершин (например, $AA_1$ принадлежит передней грани $ABB_1A_1$, а $CC_1$ – задней грани $DCC_1D_1$). Точки M и N не лежат в плоскости одной грани, поэтому отрезок MN проходит через внутреннюю область куба и не принадлежит ни одной из его граней.
3. Отрезок KN: Точка K лежит на ребре $AD$, а точка N – на ребре $CC_1$. Эти рёбра также не принадлежат одной грани. Точка K лежит на нижней грани $ABCD$, а точка N – на задней грани $DCC_1D_1$ и правой грани $BCC_1B_1$. Таким образом, отрезок KN, соединяющий эти точки, также проходит через внутреннюю область куба и не принадлежит ни одной из его граней.

Ответ: Грани куба принадлежит только отрезок MK.

б)

Построение сечения куба плоскостью $\alpha$, проходящей через точки M, N и K, выполняется согласно предложенному алгоритму. Пусть куб имеет обозначение $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка M $\in AA_1$, точка K $\in AD$, точка N $\in CC_1$.

Алгоритм построения:

1. Шаг 1: Соединяем точки M и N. Этот отрезок является диагональю будущего сечения, проходящей внутри куба.
2. Шаг 2: Рассматриваем плоскость левой грани $AA_1D_1D$. Точки M и K лежат в этой плоскости. Проводим через них прямую MK. Также в этой плоскости лежит прямая, содержащая ребро $DD_1$. Прямые MK и $DD_1$ не параллельны (в общем случае), поэтому они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку P. Точка P принадлежит плоскости сечения $\alpha$, так как лежит на прямой MK, и одновременно принадлежит плоскости задней грани $DCC_1D_1$.
   $P = MK \cap DD_1$
3. Шаг 3: Рассматриваем плоскость задней грани $DCC_1D_1$. Точка N (на ребре $CC_1$) и построенная точка P (на прямой $DD_1$) лежат в этой плоскости. Проводим через них прямую PN. В этой же плоскости лежит прямая, содержащая ребро DC. Прямые PN и DC не параллельны (в общем случае) и пересекаются. Обозначим точку их пересечения T. Точка T принадлежит плоскости сечения $\alpha$ и плоскости нижней грани $ABCD$. Далее, соединяем точки K и T отрезком.
   $T = PN \cap DC$
4. Шаг 4: Согласно условию, искомое сечение — это четырёхугольник MNTK. Его вершины — это точки M, N, T, K. Стороны сечения определяются отрезками KM (на грани $AA_1D_1D$), KT (на грани $ABCD$), TN (на грани $DCC_1D_1$) и диагональю MN.

Ответ: В результате выполнения алгоритма построен четырёхугольник MNTK, который является искомым сечением.

в)

Иллюстрация построения сечения на каркасной модели куба (модели, состоящей только из рёбер) будет выглядеть следующим образом:

1. На рёбрах (проволоках) каркаса $AA_1$, $AD$ и $CC_1$ отмечаем точки M, K и N соответственно.
2. Построение выполняется с помощью воображаемых плоскостей, проходящих через рёбра каркаса. Представляем плоскость, проходящую через рёбра $AA_1, A_1D_1, D_1D, DA$. В этой плоскости проводим прямую через точки M и K.
3. Находим точку пересечения P этой прямой с прямой, содержащей ребро-проволоку $DD_1$. Точка P может оказаться как на самом ребре $DD_1$, так и на его продолжении в пространстве.
4. Далее представляем плоскость, проходящую через рёбра $DD_1, D_1C_1, C_1C, CD$. В этой плоскости проводим прямую через построенную точку P и заданную точку N.
5. Находим точку пересечения T этой прямой с прямой, содержащей ребро-проволоку DC. Точка T, как и точка P, может лежать вне самого ребра, на его продолжении.
6. В результате мы получаем четыре вершины искомого сечения: M, N, K (лежат на рёбрах каркаса) и T (лежит на прямой, содержащей ребро DC).
7. Иллюстрация завершается соединением этих четырёх точек отрезками: KM, MT, TN и NK. На каркасной модели мы увидим исходный каркас куба и построенный внутри него (и частично выходящий на плоскости граней) пространственный четырёхугольник MNTK.

Ответ: На каркасной модели куба будут изображены 12 рёбер куба, точки M, K, N на трёх из них, вспомогательные построения (прямые MK и PN, выходящие за пределы граней для нахождения точек P и T), и, наконец, сам четырёхугольник MNTK, стороны которого соединяют построенные вершины.

495 a) На ребрах куба (рис. 70) отмечены точки $M, N$ и $K$. Принадлежат ли граням куба отрезки $MN, MK$ и $KN$?

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M, N$ и $K$. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба плоскостью $\alpha$ по следующему алгоритму.

1. Соединить точки $M$ и $N$.

2. В плоскости грани $AA_1D_1D$ провести прямую $MK$ до ее пересечения с прямой $DD_1$ в точке $P$.

3. В плоскости грани $DD_1C_1C$ построить точку пересечения прямых $DC$ и $PN$. Обозначить ее $T$. Соединить точки $K$ и $T$.

4. Четырехугольник $MNTK$ – искомый.

в) Проиллюстрируй построение сечения на каркасной модели куба.

496 Замени отношение дробных чисел несократимой дробью:

а) $0,2 : \frac{4}{9}$;

б) $\frac{8}{15} : 6,4$;

в) $3\frac{1}{7} : 0,55$;

г) $5,6 : 8\frac{3}{4}$.

Чтобы заменить отношение дробных чисел несократимой дробью, необходимо представить оба числа в виде обыкновенных дробей, а затем найти их отношение (выполнить деление) и сократить полученный результат.

а) 0,2 : 4/9

1. Преобразуем десятичную дробь 0,2 в обыкновенную и сократим ее:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

2. Заменим отношение делением дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{1}{5} : \frac{4}{9} = \frac{1}{5} \cdot \frac{9}{4} = \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20}$

Дробь $\frac{9}{20}$ является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{9}{20}$

б) 8/15 : 6,4

1. Преобразуем десятичную дробь 6,4 в обыкновенную и сократим ее:

$6,4 = \frac{64}{10} = \frac{32}{5}$

2. Выполним деление дробей. Перед умножением сократим числители и знаменатели на общие делители (8 и 32 на 8; 5 и 15 на 5):

$\frac{8}{15} : \frac{32}{5} = \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{32} = \frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 32} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$

Дробь $\frac{1}{12}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{1}{12}$

в) 3 1/7 : 0,55

1. Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{7}$ и десятичную дробь 0,55 в неправильные обыкновенные дроби:

$3\frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$

$0,55 = \frac{55}{100} = \frac{11}{20}$

2. Выполним деление полученных дробей, сократив их перед умножением (22 и 11 на 11):

$\frac{22}{7} : \frac{11}{20} = \frac{22}{7} \cdot \frac{20}{11} = \frac{22 \cdot 20}{7 \cdot 11} = \frac{2 \cdot 20}{7 \cdot 1} = \frac{40}{7}$

Дробь $\frac{40}{7}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{40}{7}$

г) 5,6 : 8 3/4

1. Преобразуем десятичную дробь 5,6 и смешанное число $8\frac{3}{4}$ в неправильные обыкновенные дроби:

$5,6 = \frac{56}{10} = \frac{28}{5}$

$8\frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{35}{4}$

2. Выполним деление дробей, сократив их перед умножением (28 и 35 на 7):

$\frac{28}{5} : \frac{35}{4} = \frac{28}{5} \cdot \frac{4}{35} = \frac{28 \cdot 4}{5 \cdot 35} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5} = \frac{16}{25}$

Дробь $\frac{16}{25}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{16}{25}$

496 Замени отношение дробных чисел несократимой дробью:

а) $0,2 : \frac{4}{9}$;

б) $\frac{8}{15} : 6,4$;

в) $3\frac{1}{7} : 0,55$;

г) $5,6 : 8\frac{3}{4}$.

497. Реши задачи методом пропорций.

а) Два маляра покрасили за некоторое время $17 \text{ м}^2$. Сколько потребуется рабочих, чтобы с той же производительностью и за то же время покрасить $85 \text{ м}^2$?

б) Бассейн при одновременном включении 4 кранов наполняется за 45 мин. За сколько минут бассейн можно заполнить при одновременном включении 6 таких кранов, если их производительность постоянна?

а)

Пусть $x$ – искомое количество рабочих. Поскольку время работы и производительность каждого рабочего остаются неизменными, количество рабочих и площадь окрашиваемой поверхности являются прямо пропорциональными величинами. Это означает, что во сколько раз увеличивается площадь, во столько же раз должно увеличиться и количество рабочих.
Составим краткую запись условия:
2 маляра — 17 м²
$x$ маляров — 85 м²

Так как зависимость прямая, составим пропорцию:
$ \frac{2}{x} = \frac{17}{85} $

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 17 \cdot x = 2 \cdot 85 $
$ 17x = 170 $
$ x = \frac{170}{17} $
$ x = 10 $

Следовательно, для покраски 85 м² потребуется 10 рабочих.
Ответ: 10 рабочих.

б)

Пусть $t$ – искомое время в минутах. Количество кранов и время, необходимое для наполнения бассейна, являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что во сколько раз увеличивается количество работающих кранов, во столько же раз уменьшается время наполнения бассейна.
Составим краткую запись условия:
4 крана — 45 минут
6 кранов — $t$ минут

Так как зависимость обратная, то отношение количества кранов будет равно обратному отношению времени. Составим пропорцию, "перевернув" одно из отношений:
$ \frac{4}{6} = \frac{t}{45} $

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:
$ 6 \cdot t = 4 \cdot 45 $
$ 6t = 180 $
$ t = \frac{180}{6} $
$ t = 30 $

Следовательно, при одновременном включении 6 кранов бассейн можно заполнить за 30 минут.
Ответ: 30 минут.

497 Реши задачи методом пропорций:

а) Два маляра покрасили за некоторое время $17\text{ м}^2$. Сколько потребуется рабочих, чтобы с той же производительностью и за то же время покрасить $85\text{ м}^2$?

б) Бассейн при одновременном включении 4 кранов наполняется за 45 мин. За сколько минут бассейн можно заполнить при одновременном включении 6 таких кранов, если их производительность постоянна?

498. Реши уравнения:

а) $ \frac{3x-2,4}{0,02} = \frac{8-x}{0,1} $

б) $ \frac{3,6}{0,2(6y+1)} = \frac{9}{0,5y} $

в) $ 3\frac{1}{5} : (z-\frac{1}{2}) = 2\frac{2}{3} : (z+\frac{1}{3}) $

а) $\frac{3x - 2,4}{0,02} = \frac{8 - x}{0,1}$

Это уравнение представляет собой пропорцию. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$(3x - 2,4) \cdot 0,1 = (8 - x) \cdot 0,02$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,3x - 0,24 = 0,16 - 0,02x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя знак при переносе:

$0,3x + 0,02x = 0,16 + 0,24$

Приведем подобные слагаемые:

$0,32x = 0,4$

Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{0,4}{0,32}$

Чтобы избавиться от дробей в делителе и делимом, умножим их на 100:

$x = \frac{40}{32} = \frac{5}{4} = 1,25$

Ответ: $x=1,25$

б) $\frac{3,6}{0,2(6y + 1)} = \frac{9}{0,5y}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не равны нулю:

$0,2(6y+1) \neq 0 \implies 6y+1 \neq 0 \implies 6y \neq -1 \implies y \neq -\frac{1}{6}$

$0,5y \neq 0 \implies y \neq 0$

Применим основное свойство пропорции:

$3,6 \cdot 0,5y = 9 \cdot 0,2(6y + 1)$

Выполним умножение числовых коэффициентов:

$1,8y = 1,8(6y + 1)$

Разделим обе части уравнения на $1,8$ (так как $1,8 \neq 0$):

$y = 6y + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну сторону:

$y - 6y = 1$

$-5y = 1$

Найдем $y$:

$y = -\frac{1}{5} = -0,2$

Полученное значение $y=-0,2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $y=-0,2$

в) $3\frac{1}{5} : (z - \frac{1}{2}) = 2\frac{2}{3} : (z + \frac{1}{3})$

Представим данное уравнение в виде пропорции:

$\frac{3\frac{1}{5}}{z - \frac{1}{2}} = \frac{2\frac{2}{3}}{z + \frac{1}{3}}$

Определим ОДЗ: $z - \frac{1}{2} \neq 0 \implies z \neq \frac{1}{2}$ и $z + \frac{1}{3} \neq 0 \implies z \neq -\frac{1}{3}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Подставим полученные дроби в пропорцию:

$\frac{\frac{16}{5}}{z - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8}{3}}{z + \frac{1}{3}}$

Применим основное свойство пропорции:

$\frac{16}{5} \cdot (z + \frac{1}{3}) = \frac{8}{3} \cdot (z - \frac{1}{2})$

Раскроем скобки:

$\frac{16}{5}z + \frac{16}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3}z - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{16}{5}z + \frac{16}{15} = \frac{8}{3}z - \frac{8}{6}$

Упростим дробь $\frac{8}{6}$ до $\frac{4}{3}$:

$\frac{16}{5}z + \frac{16}{15} = \frac{8}{3}z - \frac{4}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (15):

$15 \cdot (\frac{16}{5}z + \frac{16}{15}) = 15 \cdot (\frac{8}{3}z - \frac{4}{3})$

$15 \cdot \frac{16}{5}z + 15 \cdot \frac{16}{15} = 15 \cdot \frac{8}{3}z - 15 \cdot \frac{4}{3}$

$3 \cdot 16z + 16 = 5 \cdot 8z - 5 \cdot 4$

$48z + 16 = 40z - 20$

Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую:

$48z - 40z = -20 - 16$

$8z = -36$

Найдем $z$:

$z = \frac{-36}{8} = -\frac{9}{2} = -4,5$

Полученное значение $z=-4,5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $z=-4,5$

498 Реши уравнения:

а) $ \frac{3x-2,4}{0,02} = \frac{8-x}{0,1} $

б) $ \frac{3,6}{0,2(6y+1)} = \frac{9}{0,5y} $

в) $ 3\frac{1}{5} : \left(z - \frac{1}{2}\right) = 2\frac{2}{3} : \left(z + \frac{1}{3}\right) $

499 а) Расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода равно 440 км. Каким должен быть масштаб карты, чтобы это расстояние изображалось на карте отрезком длиной 17,6 см?

б) За какое время турист пройдёт расстояние, которое изображается на карте отрезком длиной 3,6 см, если масштаб карты $1 : 10000$, а скорость туриста равна 5 км/ч?

а)

Масштаб карты – это отношение длины отрезка на карте к соответствующей ему длине на реальной местности. Чтобы найти масштаб, необходимо выразить обе длины в одинаковых единицах измерения.
1. Переведем реальное расстояние из километров в сантиметры.
В 1 километре 1000 метров, а в 1 метре 100 сантиметров, следовательно:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 100 \text{ } 000 \text{ см}$
Теперь переведем расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода:
$440 \text{ км} = 440 \times 100 \text{ } 000 \text{ см} = 44 \text{ } 000 \text{ } 000 \text{ см}$
2. Составим отношение длины на карте к длине на местности:
$17,6 \text{ см} : 44 \text{ } 000 \text{ } 000 \text{ см}$
3. Для представления масштаба в стандартном виде $1:N$, разделим обе части отношения на 17,6:
$\frac{17,6}{17,6} : \frac{44 \text{ } 000 \text{ } 000}{17,6}$
$1 : 2 \text{ } 500 \text{ } 000$
Ответ: Масштаб карты должен быть 1 : 2 500 000.

б)

1. Сначала найдем реальное расстояние, которое должен пройти турист, используя масштаб карты 1 : 10 000. Этот масштаб означает, что 1 см на карте равен 10 000 см на местности.
Длина отрезка на карте составляет 3,6 см, следовательно, реальное расстояние равно:
$3,6 \text{ см} \times 10 \text{ } 000 = 36 \text{ } 000 \text{ см}$
2. Переведем это расстояние в километры, так как скорость туриста дана в км/ч.
$36 \text{ } 000 \text{ см} = 360 \text{ м} = 0,36 \text{ км}$
3. Теперь, зная расстояние ($S = 0,36$ км) и скорость ($v = 5$ км/ч), найдем время $t$ по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t = \frac{0,36 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 0,072 \text{ ч}$
4. Для удобства можно перевести время в минуты:
$0,072 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 4,32 \text{ мин}$
Ответ: Турист пройдет расстояние за 0,072 часа (или 4,32 минуты).

499 a) Расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода равно 440 км. Каким должен быть масштаб карты, чтобы это расстояние изображалось на карте отрезком длиной 17,6 см?

б) За какое время турист пройдет расстояние, которое изображается на карте отрезком длиной 3,6 см, если масштаб карты $1 : 10\,000$, а скорость туриста равна 5 км/ч?