Страница 4, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

1. Запиши на математическом языке:

а) правило прибавления суммы к числу;

б) правило вычитания суммы из числа;

в) распределительное свойство умножения.

Переведи полученные равенства на русский язык и проиллюстрируй с помощью графических моделей.

а) правило прибавления суммы к числу
Математическая запись правила: $a + (b + c) = (a + b) + c$.
Перевод на русский язык: Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем к полученной сумме — второе слагаемое.
Графическая модель:

Ответ: $a + (b + c) = (a + b) + c$.

б) правило вычитания суммы из числа
Математическая запись правила: $a - (b + c) = a - b - c$.
Перевод на русский язык: Чтобы из числа вычесть сумму двух чисел, можно из этого числа вычесть первое слагаемое, а затем из полученного результата — второе слагаемое.
Графическая модель:

Ответ: $a - (b + c) = a - b - c$.

в) распределительное свойство умножения
Математическая запись правила: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Перевод на русский язык: Чтобы сумму двух чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.
Графическая модель:

Ответ: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

К 1 Запиши на математическом языке:

a) правило прибавления суммы к числу;
$a + (b + c) = a+b+c$

б) правило вычитания суммы из числа;
$a - (b + c) = a-b-c$

в) распределительное свойство умножения.
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Переведи полученные равенства на русский язык и проиллюстрируй с помощью графических моделей.

2 Раскрой скобки:

а) $-(a - b);$

б) $-(c + d);$

в) $-(-x + y);$

г) $d - (-k + t);$

д) $-m + (a - c);$

е) $p - (-n + r - s);$

ж) $c - (b + c - a) + (-a + b);$

з) $(d - m) - b - (-m + x + d) + x;$

и) $k - (y - c) + (d - c - y) + (-k + d).$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-(a - b)$, перед которыми стоит знак «минус», нужно поменять знаки всех слагаемых в скобках на противоположные. Знак у $a$ меняется с «+» на «-», а знак у $b$ меняется с «-» на «+».
$-(a - b) = -a + b$
Ответ: $-a + b$

б) В выражении $-(c + d)$ перед скобками стоит знак «минус». Поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых $c$ и $d$ меняются на противоположные.
$-(c + d) = -c - d$
Ответ: $-c - d$

в) В выражении $-(-x + y)$ раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «минус». Знак слагаемого $-x$ меняется на «+», а знак слагаемого $+y$ меняется на «-».
$-(-x + y) = x - y$
Ответ: $x - y$

г) В выражении $d - (-k + t)$ перед скобками стоит знак «минус». При раскрытии скобок меняем знаки слагаемых $-k$ и $+t$ на противоположные.
$d - (-k + t) = d + k - t$
Ответ: $d + k - t$

д) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-m + (a - c)$, перед которыми стоит знак «плюс», нужно просто опустить скобки, сохранив знаки слагаемых, стоящих в них.
$-m + (a - c) = -m + a - c$
Ответ: $-m + a - c$

е) В выражении $p - (-n + r - s)$ перед скобками стоит знак «минус». Меняем знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные.
$p - (-n + r - s) = p + n - r + s$
Ответ: $p + n - r + s$

ж) В выражении $c - (b + c - a) + (-a + b)$ раскроем скобки последовательно. Перед первыми скобками стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых в них меняются. Перед вторыми скобками стоит знак «плюс», поэтому знаки слагаемых в них сохраняются.
$c - (b + c - a) + (-a + b) = c - b - c + a - a + b$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(c - c) + (-b + b) + (a - a) = 0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

з) В выражении $(d - m) - b - (-m + x + d) + x$ раскроем все скобки. Первые скобки можно просто опустить. Перед вторыми скобками (третьим членом выражения) стоит знак «минус», поэтому знаки слагаемых в них меняются на противоположные.
$(d - m) - b - (-m + x + d) + x = d - m - b + m - x - d + x$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(d - d) + (-m + m) - b + (-x + x) = 0 + 0 - b + 0 = -b$
Ответ: $-b$

и) В выражении $k - (y - c) + (d - c - y) + (-k + d)$ раскроем все скобки, учитывая знаки перед ними.
$k - (y - c) + (d - c - y) + (-k + d) = k - y + c + d - c - y - k + d$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(k - k) + (-y - y) + (c - c) + (d + d) = 0 - 2y + 0 + 2d = 2d - 2y$
Ответ: $2d - 2y$

2 Раскрой скобки:

а) $-(a - b)$;

б) $-(c + d)$;

в) $-(-x + y)$;

г) $d - (-k + t)$;

д) $-m + (a - c)$;

е) $p - (-n + r - s)$;

ж) $c - (b + c - a) + (-a + b)$;

з) $(d - m) - b - (-m + x + d) + x$;

и) $k - (y - c) + (d - c - y) + (-k + d)$.

Раскрой скобки и найди значение выражения:

а) $-3,64 - (12,45 - 3,64);$

б) $1\frac{3}{8} + (-2\frac{7}{9} + \frac{5}{8});$

в) $(5,6 - 7,2) - (-7,2 + 3,4);$

г) $(2,4 - \frac{2}{3}) + 2,4 - (1,8 + 1\frac{5}{6});$

д) $45 - (-7 + 18) - (34 - 18 + 26);$

e) $-9,7 + (-3,8 + 5,2) - (2,9 - 5,2 - 9,7) + 3,8;$

ж) $(1,8 - 6,03) - (-4,14 + 2,25 - 6,03) - 4,8;$

з) $-(5\frac{1}{3} - 4\frac{5}{16}) + 2\frac{1}{16} - (1\frac{2}{3} - 1\frac{5}{16} + 3\frac{11}{16}).$

а) $-3,64 – (12,45 – 3,64)$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$-3,64 – 12,45 + 3,64$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления. Сумма противоположных чисел равна нулю:

$(-3,64 + 3,64) – 12,45 = 0 – 12,45 = -12,45$

Ответ: -12,45

б) $1\frac{3}{8} + (-2\frac{7}{9} + \frac{5}{8})$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри не меняются:

$1\frac{3}{8} - 2\frac{7}{9} + \frac{5}{8}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(1\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) - 2\frac{7}{9} = (1 + \frac{3+5}{8}) - 2\frac{7}{9} = (1 + \frac{8}{8}) - 2\frac{7}{9} = (1+1) - 2\frac{7}{9} = 2 - 2\frac{7}{9}$

$2 - (2 + \frac{7}{9}) = 2 - 2 - \frac{7}{9} = -\frac{7}{9}$

Ответ: $-\frac{7}{9}$

в) $(5,6 – 7,2) – (-7,2 + 3,4)$

Раскроем скобки. При раскрытии первой скобки знаки не меняются. При раскрытии второй скобки знаки меняются на противоположные, так как перед ней стоит минус:

$5,6 – 7,2 - (-7,2) - 3,4 = 5,6 – 7,2 + 7,2 – 3,4$

Сгруппируем слагаемые:

$(5,6 - 3,4) + (-7,2 + 7,2) = 2,2 + 0 = 2,2$

Ответ: 2,2

г) $(2,4 – \frac{2}{3}) + 2,4 – (1,8 + 1\frac{5}{6})$

Раскроем скобки:

$2,4 – \frac{2}{3} + 2,4 – 1,8 – 1\frac{5}{6}$

Сгруппируем десятичные дроби и обыкновенные дроби:

$(2,4 + 2,4 - 1,8) - (\frac{2}{3} + 1\frac{5}{6})$

Вычислим значение в первой группе: $4,8 - 1,8 = 3$.

Вычислим значение во второй группе, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} + 1\frac{5}{6} = \frac{4}{6} + 1\frac{5}{6} = 1\frac{9}{6} = 1\frac{3}{2} = 1 + 1\frac{1}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$

Теперь найдем разность результатов:

$3 - 2,5 = 0,5$

Ответ: 0,5

д) $45 – (–7 + 18) – (34 – 18 + 26)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых в них на противоположные:

$45 - (-7) - 18 - 34 - (-18) - 26 = 45 + 7 - 18 - 34 + 18 - 26$

Сгруппируем слагаемые:

$(45 + 7 - 34 - 26) + (-18 + 18) = (52 - 34 - 26) + 0 = (18 - 26) + 0 = -8$

Ответ: -8

е) $-9,7 + (–3,8 + 5,2) – (2,9 – 5,2 – 9,7) + 3,8$

Раскроем все скобки:

$-9,7 – 3,8 + 5,2 – 2,9 + 5,2 + 9,7 + 3,8$

Сгруппируем противоположные числа и подобные слагаемые:

$(-9,7 + 9,7) + (–3,8 + 3,8) + (5,2 + 5,2) – 2,9$

$0 + 0 + 10,4 – 2,9 = 7,5$

Ответ: 7,5

ж) $(1,8 – 6,03) – (–4,14 + 2,25 – 6,03) – 4,8$

Раскроем скобки:

$1,8 – 6,03 - (-4,14) - 2,25 - (–6,03) – 4,8 = 1,8 – 6,03 + 4,14 – 2,25 + 6,03 – 4,8$

Сгруппируем слагаемые:

$(–6,03 + 6,03) + (1,8 + 4,14) – (2,25 + 4,8)$

$0 + 5,94 – 7,05 = -1,11$

Ответ: -1,11

з) $–(5\frac{1}{3} – 4\frac{5}{16}) + 2\frac{1}{16} – (1\frac{2}{3} – 1\frac{5}{16} + 3\frac{11}{16})$

Раскроем скобки, меняя знаки там, где перед скобками стоит минус:

$-5\frac{1}{3} + 4\frac{5}{16} + 2\frac{1}{16} - 1\frac{2}{3} + 1\frac{5}{16} - 3\frac{11}{16}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(-5\frac{1}{3} - 1\frac{2}{3}) + (4\frac{5}{16} + 2\frac{1}{16} + 1\frac{5}{16} - 3\frac{11}{16})$

Вычислим значение в первой группе:

$-5\frac{1}{3} - 1\frac{2}{3} = -(5\frac{1}{3} + 1\frac{2}{3}) = -((5+1) + (\frac{1}{3}+\frac{2}{3})) = -(6+\frac{3}{3}) = -(6+1) = -7$

Вычислим значение во второй группе:

$(4+2+1-3) + (\frac{5}{16} + \frac{1}{16} + \frac{5}{16} - \frac{11}{16}) = 4 + \frac{5+1+5-11}{16} = 4 + \frac{0}{16} = 4$

Сложим полученные результаты:

$-7 + 4 = -3$

Ответ: -3

3 Раскрой скобки и найди значения выражений:

а) $-3,64 - (12,45 - 3,64)$;

б) $1\frac{3}{8} + (-2\frac{7}{9} + \frac{5}{8})$;

в) $(5,6 - 7,2) - (-7,2 + 3,4)$;

г) $(2,4 - \frac{2}{3}) + 2,4 - (1,8 + 1\frac{5}{6})$;

д) $45 - (-7 + 18) - (34 - 18 + 26)$;

е) $-9,7 + (-3,8 + 5,2) - (2,9 - 5,2 - 9,7) + 3,8$;

ж) $(1,8 - 6,03) - (-4,14 + 2,25 - 6,03) - 4,8$;

з) $-(5\frac{1}{3} - 4\frac{5}{16}) + 2\frac{1}{16} - (1\frac{2}{3} - 1\frac{5}{16} + 3\frac{11}{16})$.