Страница 10, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

26 Вычисли процентное отношение чисел А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А?

$\frac{\left(7\frac{3}{8} - 2,125\right) \cdot 2\frac{2}{7} - 39,48 : 5,6}{\left(3,4 \cdot 0,9 - 2,7\right) : 0,06 \cdot 2\frac{2}{3} - 30,9 \cdot 0,5}$

$\frac{\left[6,1 \cdot 3,05 - 2,05 \cdot \left(4\frac{3}{5} + 4,46\right)\right] \cdot 22,5}{\left(1\frac{1}{4} + 0,5 + 2\frac{1}{3}\right) : 2\frac{1}{24} \cdot 0,01}$

Для начала вычислим значения выражений A и B.

Вычисление A

A = $\frac{(7\frac{3}{8}-2,125) \cdot 2\frac{2}{7} - 39,48 : 5,6}{(3,4 \cdot 0,9 - 2,7) : 0,06 \cdot 2\frac{2}{3} - 30,9 \cdot 0,5}$

Выполним вычисления для числителя:

1) $7\frac{3}{8} - 2,125 = 7,375 - 2,125 = 5,25$

2) $5,25 \cdot 2\frac{2}{7} = 5\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{21}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{21 \cdot 16}{4 \cdot 7} = 3 \cdot 4 = 12$

3) $39,48 : 5,6 = 7,05$

4) Числитель: $12 - 7,05 = 4,95$

Выполним вычисления для знаменателя:

1) $3,4 \cdot 0,9 - 2,7 = 3,06 - 2,7 = 0,36$

2) $0,36 : 0,06 = 6$

3) $6 \cdot 2\frac{2}{3} = 6 \cdot \frac{8}{3} = 16$

4) $30,9 \cdot 0,5 = 15,45$

5) Знаменатель: $16 - 15,45 = 0,55$

Теперь найдем значение A:

A = $\frac{4,95}{0,55} = \frac{495}{55} = 9$

Вычисление B

B = $\frac{[6,1 \cdot 3,05 - 2,05 \cdot (4\frac{3}{5} + 4,46)] \cdot 22,5}{(1\frac{1}{4} + 0,5 + 2\frac{1}{3}) : 2\frac{1}{24} \cdot 0,01}$

Выполним вычисления для числителя:

1) $4\frac{3}{5} + 4,46 = 4,6 + 4,46 = 9,06$

2) $2,05 \cdot 9,06 = 18,573$

3) $6,1 \cdot 3,05 = 18,605$

4) $18,605 - 18,573 = 0,032$

5) Числитель: $0,032 \cdot 22,5 = 0,72$

Выполним вычисления для знаменателя:

1) $1\frac{1}{4} + 0,5 + 2\frac{1}{3} = \frac{5}{4} + \frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{15}{12} + \frac{6}{12} + \frac{28}{12} = \frac{49}{12}$

2) $\frac{49}{12} : 2\frac{1}{24} = \frac{49}{12} : \frac{49}{24} = \frac{49}{12} \cdot \frac{24}{49} = 2$

3) Знаменатель: $2 \cdot 0,01 = 0,02$

Теперь найдем значение B:

B = $\frac{0,72}{0,02} = \frac{72}{2} = 36$

Итак, мы получили значения $A = 9$ и $B = 36$. Теперь ответим на вопросы задачи.

1) на сколько процентов А меньше, чем В?

Чтобы найти, на сколько процентов число A меньше числа B, мы находим их разность, делим на число B (поскольку сравнение идет с B) и умножаем на 100%.

Формула: $\frac{B - A}{B} \cdot 100\%$

Подставляем наши значения: $\frac{36 - 9}{36} \cdot 100\% = \frac{27}{36} \cdot 100\% = \frac{3}{4} \cdot 100\% = 0,75 \cdot 100\% = 75\%$

Ответ: число A меньше числа B на 75%.

2) на сколько процентов В больше, чем А?

Чтобы найти, на сколько процентов число B больше числа A, мы находим их разность, делим на число A (поскольку сравнение идет с A) и умножаем на 100%.

Формула: $\frac{B - A}{A} \cdot 100\%$

Подставляем наши значения: $\frac{36 - 9}{9} \cdot 100\% = \frac{27}{9} \cdot 100\% = 3 \cdot 100\% = 300\%$

Ответ: число B больше числа A на 300%.

26 Вычисли процентное отношение чисел A и B и определи: 1) на сколько процентов A меньше, чем B; 2) на сколько процентов B больше, чем A?

A

$A = \frac{(7\frac{3}{8} - 2.125) \cdot 2\frac{2}{7} - 39.48 : 5.6}{(3.4 \cdot 0.9 - 2.7) : 0.06 \cdot 2\frac{2}{3} - 30.9 \cdot 0.5}$

B

$B = \frac{\left[6.1 \cdot 3.05 - 2.05 \cdot \left(4\frac{3}{5} + 4.46\right)\right] \cdot 22.5}{\left(1\frac{1}{4} + 0.5 + 2\frac{1}{3}\right) : 2\frac{1}{24} \cdot 0.01}$

27 Старинная задача

Некто имеет 6 сыновей, один другого старше 4 годами, а самый старший сын втрое старше младшего. Чему равен возраст младшего сына?

Обозначим возраст младшего сына за $x$ лет. Поскольку в семье 6 сыновей и каждый следующий на 4 года старше предыдущего, их возрасты образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии (возраст младшего сына) — $a_1 = x$.
Количество членов прогрессии (число сыновей) — $n = 6$.
Разность прогрессии (разница в возрасте) — $d = 4$.

Возраст старшего (шестого) сына $a_6$ можно найти по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим наши значения в формулу:
$a_6 = x + (6-1) \cdot 4 = x + 5 \cdot 4 = x + 20$.
Таким образом, возраст старшего сына составляет $x + 20$ лет.

По условию задачи, самый старший сын втрое старше младшего. На основании этого можно составить уравнение:
$a_6 = 3 \cdot a_1$
$x + 20 = 3x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$3x - x = 20$
$2x = 20$
$x = \frac{20}{2}$
$x = 10$

Следовательно, возраст младшего сына — 10 лет.

Ответ: 10 лет.

C 27 Старинная задача.

Некто имеет 6 сыновей, один другого старше 4 годами, а самый старший сын втрое старше младшего. Чему равен возраст младшего сына?

32 Раскрой скобки и упрости выражение. Найди слагаемые, которые являются буквенными выражениями, и назови их коэффициенты:

а) $-3(-2a + 5);$

б) $2(5b - 4c + 3);$

в) $4(-x + 3y) - 2(x + 5y);$

г) $-2(6d - k) + 3(4d - 2k);$

д) $5(3c - 2) + 2(4 - 7c);$

е) $3(-8 + 2y) - 4(2y - 6).$

а) $-3(-2a + 5)$

Чтобы раскрыть скобки, умножим множитель $-3$ на каждое слагаемое внутри скобок:

$-3 \cdot (-2a) - 3 \cdot 5 = 6a - 15$

Выражение упрощено. Буквенным выражением является слагаемое $6a$. Его коэффициент равен 6.

Ответ: упрощенное выражение $6a - 15$; буквенное слагаемое $6a$ с коэффициентом 6.

б) $2(5b - 4c + 3)$

Раскроем скобки, умножив $2$ на каждое слагаемое внутри них:

$2 \cdot 5b - 2 \cdot 4c + 2 \cdot 3 = 10b - 8c + 6$

Выражение упрощено. Буквенными выражениями являются слагаемые $10b$ и $-8c$. Коэффициент при $b$ равен 10, а коэффициент при $c$ равен -8.

Ответ: упрощенное выражение $10b - 8c + 6$; буквенное слагаемое $10b$ с коэффициентом 10; буквенное слагаемое $-8c$ с коэффициентом -8.

в) $4(-x + 3y) - 2(x + 5y)$

Сначала раскроем обе пары скобок:

$4 \cdot (-x) + 4 \cdot 3y - 2 \cdot x - 2 \cdot 5y = -4x + 12y - 2x - 10y$

Теперь приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(-4x - 2x) + (12y - 10y) = -6x + 2y$

Выражение упрощено. Буквенными выражениями являются слагаемые $-6x$ и $2y$. Коэффициент при $x$ равен -6, а коэффициент при $y$ равен 2.

Ответ: упрощенное выражение $-6x + 2y$; буквенное слагаемое $-6x$ с коэффициентом -6; буквенное слагаемое $2y$ с коэффициентом 2.

г) $-2(6d - k) + 3(4d - 2k)$

Раскроем обе пары скобок:

$-2 \cdot 6d - 2 \cdot (-k) + 3 \cdot 4d + 3 \cdot (-2k) = -12d + 2k + 12d - 6k$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(-12d + 12d) + (2k - 6k) = 0 - 4k = -4k$

Выражение упрощено. Буквенным выражением является слагаемое $-4k$. Его коэффициент равен -4.

Ответ: упрощенное выражение $-4k$; буквенное слагаемое $-4k$ с коэффициентом -4.

д) $5(3c - 2) + 2(4 - 7c)$

Раскроем обе пары скобок:

$5 \cdot 3c + 5 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-7c) = 15c - 10 + 8 - 14c$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(15c - 14c) + (-10 + 8) = c - 2$

Выражение упрощено. Буквенным выражением является слагаемое $c$. Его коэффициент равен 1 (поскольку $c = 1 \cdot c$).

Ответ: упрощенное выражение $c - 2$; буквенное слагаемое $c$ с коэффициентом 1.

е) $3(-8 + 2y) - 4(2y - 6)$

Раскроем обе пары скобок:

$3 \cdot (-8) + 3 \cdot 2y - 4 \cdot 2y - 4 \cdot (-6) = -24 + 6y - 8y + 24$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(6y - 8y) + (-24 + 24) = -2y + 0 = -2y$

Выражение упрощено. Буквенным выражением является слагаемое $-2y$. Его коэффициент равен -2.

Ответ: упрощенное выражение $-2y$; буквенное слагаемое $-2y$ с коэффициентом -2.

32 Раскрой скобки и упрости выражение. Найди слагаемые, которые являются буквенными выражениями, и назови их коэффициенты:

a) $-3(-2a + 5);$

б) $2(5b - 4c + 3);$

в) $4(-x + 3y) - 2(x + 5y);$

г) $-2(6d - k) + 3(4d - 2k);$

д) $5(3c - 2) + 2(4 - 7c);$

е) $3(-8 + 2y) - 4(2y - 6).$

П 33 Запиши на математическом языке переместительное и сочетательное свойства умножения. Пользуясь ими, найди значения выражений:

а) $-5 \cdot (-0,78) \cdot 2 \cdot (-2,5) \cdot (-4)$

б) $-0,4 \cdot \frac{9}{17} \cdot (-0,25) \cdot 1,25 \cdot (-8) \cdot 17$

Переместительное свойство умножения (коммутативность) утверждает, что от перестановки множителей произведение не изменяется. На математическом языке это записывается формулой: $a \cdot b = b \cdot a$

Сочетательное свойство умножения (ассоциативность) утверждает, что при умножении трех или более чисел их можно группировать в любом порядке. На математическом языке это записывается формулой: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Используя эти свойства, мы можем переставлять и группировать множители для упрощения вычислений.

а) $-5 \cdot (-0,78) \cdot 2 \cdot (-2,5) \cdot (-4)$

В данном выражении четыре отрицательных множителя. Поскольку число отрицательных множителей четное, результат будет положительным.
Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами, чтобы сгруппировать множители наиболее удобным образом:

$(-5 \cdot 2) \cdot ((-2,5) \cdot (-4)) \cdot (-0,78)$

Вычислим произведения в скобках:

$-5 \cdot 2 = -10$

$-2,5 \cdot (-4) = 10$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$(-10) \cdot 10 \cdot (-0,78) = -100 \cdot (-0,78) = 78$

Ответ: 78

б) $-0,4 \cdot \frac{9}{17} \cdot (-0,25) \cdot 1,25 \cdot (-8) \cdot 17$

В данном выражении три отрицательных множителя. Поскольку число отрицательных множителей нечетное, результат будет отрицательным.
Сгруппируем множители, используя переместительное и сочетательное свойства, для упрощения расчетов:

$(\frac{9}{17} \cdot 17) \cdot (1,25 \cdot (-8)) \cdot ((-0,4) \cdot (-0,25))$

Вычислим произведения в каждой группе:

$\frac{9}{17} \cdot 17 = 9$

$1,25 \cdot (-8) = -10$

$-0,4 \cdot (-0,25) = 0,1$

Теперь перемножим полученные результаты:

$9 \cdot (-10) \cdot 0,1 = -90 \cdot 0,1 = -9$

Ответ: -9

Π 33 Запиши на математическом языке переместительное и сочетательное свойства умножения. Пользуясь ими, найди значения выражений:

а) $-5 \cdot (-0,78) \cdot 2 \cdot (-2,5) \cdot (-4);$

б) $-0,4 \cdot \frac{9}{17} \cdot (-0,25) \cdot 1,25 \cdot (-8) \cdot 17.$

34 Опровергни утверждение и построй его отрицание:

а) $ \forall a \in Q: (-a)^2 = -a^2 $; в) $ \exists a \in Q: (-a)^2 \neq a^2 $;

б) $ \forall a \in Q: (-a)^2 \neq -a^2 $; г) $ \exists a \in Q: (-a)^3 \neq -a^3 $.

($Q$ – множество рациональных чисел.)

34 Опровергни утверждения и построй их отрицания:

а) $ \forall a \in Q: (-a)^2 = -a^2 $;

б) $ \forall a \in Q: (-a)^2 \ne -a^2 $;

в) $ \exists a \in Q: (-a)^2 \ne a^2 $;

г) $ \exists a \in Q: (-a)^3 \ne -a^3 $.

(Q - множество рациональных чисел.)

Прочитай выражения:

$(a+b)^2$; $a^2 + b^2$; $a^2 + 2ab + b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 3, b = 5$; б) $a = -1, b = -4$; в) $a = -2, b = 3$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b. Попробуй обосновать её, используя графическую модель.

Выражения читаются следующим образом:
$(a + b)^2$ — квадрат суммы чисел a и b.
$a^2 + b^2$ — сумма квадратов чисел a и b.
$a^2 + 2ab + b^2$ — сумма квадрата числа a, удвоенного произведения чисел a и b, и квадрата числа b.

Найдем значения этих выражений для заданных значений a и b.

а) если $a = 3, b = 5$:

1) $(a + b)^2 = (3 + 5)^2 = 8^2 = 64$.
2) $a^2 + b^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.
3) $a^2 + 2ab + b^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64$.
Ответ: 64; 34; 64.

б) если $a = -1, b = -4$:

1) $(a + b)^2 = (-1 + (-4))^2 = (-5)^2 = 25$.
2) $a^2 + b^2 = (-1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.
3) $a^2 + 2ab + b^2 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot (-4) + (-4)^2 = 1 + 8 + 16 = 25$.
Ответ: 25; 17; 25.

в) если $a = -2, b = 3$:

1) $(a + b)^2 = (-2 + 3)^2 = 1^2 = 1$.
2) $a^2 + b^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.
3) $a^2 + 2ab + b^2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \cdot 3 + 3^2 = 4 - 12 + 9 = 1$.
Ответ: 1; 13; 1.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что при любых значениях $a$ и $b$ значения выражений $(a + b)^2$ и $a^2 + 2ab + b^2$ равны между собой. Значение выражения $a^2 + b^2$ отличается от них.

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений a и b.
Выдвинем гипотезу: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для любых $a$ и $b$. Проверим её для других значений, например, $a = 10, b = -2$.
1) $(a + b)^2 = (10 + (-2))^2 = 8^2 = 64$.
2) $a^2 + 2ab + b^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot (-2) + (-2)^2 = 100 - 40 + 4 = 64$.
Гипотеза подтверждается.

Попробуй обосновать её, используя графическую модель.
Рассмотрим графическую модель. На рисунке изображен большой квадрат, сторона которого равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a + b)$. Площадь этого большого квадрата равна квадрату его стороны: $S_{общ} = (a + b)^2$.
Этот квадрат разделен на четыре части:
1. Розовый квадрат со стороной $a$ и площадью $S_1 = a^2$.
2. Розовый квадрат со стороной $b$ и площадью $S_2 = b^2$.
3. Два белых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $S_3 = a \cdot b$.
Общая площадь большого квадрата равна сумме площадей его частей: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_3 = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.
Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же квадрата, они равны. Таким образом, графическая модель доказывает тождество: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

35 Прочитай выражения:

$(a+b)^2$; $a^2 + b^2$; $a^2 + 2ab + b^2$.

Найди значения этих выражений, если:

а) $a = 3, b = 5$;

б) $a = -1, b = -4$;

в) $a = -2, b = 3$.

Что ты замечаешь?

Проверь свою гипотезу для произвольно выбранных значений $a$ и $b$. Попробуй обосновать ее, используя графическую модель.

36 Арифметический фокус

Объясни арифметический фокус, используя математический язык.

Задумали число, увеличили его на 7, сумму умножили на 3, к произведению прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное число. В ответе получилось 25.

Чтобы объяснить этот арифметический фокус, воспользуемся математическим языком, а именно алгеброй. Обозначим задуманное число переменной $x$. Теперь последовательно запишем все действия, указанные в условии, в виде математического выражения.

1. Задумали число: $x$
2. Увеличили его на 7. Получилась сумма: $(x + 7)$
3. Эту сумму умножили на 3. Получилось произведение: $3 \cdot (x + 7)$
4. К произведению прибавили 4: $3 \cdot (x + 7) + 4$
5. Из результата вычли утроенное задуманное число (то есть $3x$): $3 \cdot (x + 7) + 4 - 3x$

Теперь у нас есть выражение, которое описывает всю последовательность действий. Упростим его, чтобы понять, почему результат всегда один и тот же.

Сначала раскроем скобки, используя распределительный закон умножения ($a \cdot (b+c) = ab + ac$):

$3 \cdot x + 3 \cdot 7 + 4 - 3x$

Выполним умножение:

$3x + 21 + 4 - 3x$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$, и числовые члены (константы):

$(3x - 3x) + (21 + 4)$

Выполним действия в каждой группе:

$0 + 25 = 25$

В результате всех преобразований мы видим, что переменная $x$ (задуманное число) сокращается, и итоговый результат не зависит от ее первоначального значения. Он всегда будет равен 25.

Ответ: Секрет фокуса заключается в том, что при переводе всех действий на математический язык и последующем упрощении выражения $3 \cdot (x + 7) + 4 - 3x$, где $x$ — задуманное число, переменная $x$ уничтожается. Упрощение выражения $(3x - 3x) + (21 + 4)$ приводит к результату 25 независимо от того, какое число было задумано изначально.

36 Арифметический фокус.

Объясни арифметический фокус, используя математический язык:

$3(x + 7) + 4 - 3x = 25$

Задумали число, увеличили его на 7, сумму умножили на 3, к произведению прибавили 4 и из результата вычли утроенное задуманное число.

В ответе получилось 25.

37 Задумали число, умножили его на 8, произведение вычли из 100, разность удвоили, результат вычли из 15 и получили 7. Какое число задумали?

Для того чтобы найти задуманное число, составим уравнение. Обозначим задуманное число переменной $x$. Затем последовательно выполним все действия, указанные в условии задачи:

1. Задумали число: $x$
2. Умножили его на 8: $8 \cdot x$
3. Произведение вычли из 100: $100 - 8x$
4. Разность удвоили: $2 \cdot (100 - 8x)$
5. Результат вычли из 15: $15 - 2 \cdot (100 - 8x)$

Согласно условию, в результате всех этих действий получилось число 7. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$15 - 2 \cdot (100 - 8x) = 7$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Сначала перенесем 15 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$ -2 \cdot (100 - 8x) = 7 - 15 $
$ -2 \cdot (100 - 8x) = -8 $

Далее, разделим обе части уравнения на -2:
$ 100 - 8x = \frac{-8}{-2} $
$ 100 - 8x = 4 $

Теперь перенесем 100 в правую часть:
$ -8x = 4 - 100 $
$ -8x = -96 $

Наконец, найдем $x$, разделив обе части уравнения на -8:
$ x = \frac{-96}{-8} $
$ x = 12 $

Таким образом, задуманное число равно 12.

Проверим правильность решения, подставив число 12 в исходные условия:
1. Задумали число 12.
2. Умножили на 8: $12 \cdot 8 = 96$.
3. Вычли из 100: $100 - 96 = 4$.
4. Удвоили: $4 \cdot 2 = 8$.
5. Вычли из 15: $15 - 8 = 7$.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 12.

37 Задумали число, умножили его на 8, произведение вычли из 100, разность удвоили, результат вычли из 15 и получили 7. Какое число задумали?

$15 - 2(100 - 8x) = 7$

Упрости выражение и подчеркни его коэффициент:

а) $5 \cdot (-1,2x);$

б) $-\frac{2}{9} a \cdot (-3b);$

в) $-2n \cdot 0,4n;$

г) $y^2 \cdot (-6y) \cdot (-0,5);$

д) $(-4c)^2;$

е) $(-0,1d)^3.$

а) Чтобы упростить выражение $5 \cdot (-1,2x)$, нужно перемножить числовые коэффициенты. Используем сочетательный закон умножения:

$5 \cdot (-1,2x) = (5 \cdot (-1,2)) \cdot x = -6x$

Коэффициентом в данном одночлене является числовой множитель. В выражении $-6x$ коэффициент равен -6.

Ответ: -6x

б) Чтобы упростить выражение $-\frac{2}{9}a \cdot (-3b)$, перемножим числовые коэффициенты и переменные по отдельности:

$-\frac{2}{9}a \cdot (-3b) = (-\frac{2}{9} \cdot (-3)) \cdot (a \cdot b)$

Вычислим произведение коэффициентов:

$-\frac{2}{9} \cdot (-3) = \frac{2 \cdot 3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Произведение переменных: $a \cdot b = ab$.

Таким образом, упрощенное выражение равно $\frac{2}{3}ab$. Коэффициент этого выражения равен $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$ab

в) Упростим выражение $-2n \cdot 0,4n$. Для этого перемножим числовые коэффициенты и переменные:

$-2n \cdot 0,4n = (-2 \cdot 0,4) \cdot (n \cdot n) = -0,8 \cdot n^2 = -0,8n^2$

Коэффициент этого выражения равен -0,8.

Ответ: -0,8$n^2$

г) Упростим выражение $y^2 \cdot (-6y) \cdot (-0,5)$. Перегруппируем множители и перемножим сначала числа, а затем переменные:

$y^2 \cdot (-6y) \cdot (-0,5) = ((-6) \cdot (-0,5)) \cdot (y^2 \cdot y)$

Произведение числовых коэффициентов: $-6 \cdot (-0,5) = 3$.

Произведение переменных: $y^2 \cdot y = y^{2+1} = y^3$.

Результат упрощения: $3y^3$. Коэффициент выражения равен 3.

Ответ: 3$y^3$

д) Чтобы упростить выражение $(-4c)^2$, нужно возвести в квадрат каждый множитель в скобках, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(-4c)^2 = (-4)^2 \cdot c^2 = 16 \cdot c^2 = 16c^2$

Коэффициент полученного выражения равен 16.

Ответ: 16$c^2$

е) Упростим выражение $(-0,1d)^3$. Для этого возведем в куб каждый множитель в скобках:

$(-0,1d)^3 = (-0,1)^3 \cdot d^3$

Вычислим куб коэффициента:

$(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$

Следовательно, выражение равно $-0,001d^3$. Коэффициент этого выражения равен -0,001.

Ответ: -0,001$d^3$

38 Упрости выражение и подчеркни его коэффициент:

а) $5 \cdot (-1.2x)$;

б) $- \frac{2}{9} a \cdot (-3b)$;

в) $-2n \cdot 0.4n$;

г) $y^2 \cdot (-6y) \cdot (-0.5)$;

д) $(-4c)^2$;

е) $(-0.1d)^3$.

39 Раскрой скобки и при необходимости упрости выражение:

а) $-2(c + 7)$;

б) $5(2a - 3) - 4(3a - 4)$;

в) $-2(2x + 3y) + 3(-x + 2y)$.

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $-2(c + 7)$, нужно умножить множитель $-2$ на каждый член внутри скобок, то есть на $c$ и на $7$.

$-2 \cdot c = -2c$

$-2 \cdot 7 = -14$

Сложив результаты, получаем:

$-2(c + 7) = -2c - 14$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $-2c - 14$.

б) Для упрощения выражения $5(2a - 3) - 4(3a - 4)$ необходимо сначала раскрыть обе пары скобок.

Раскрываем первую скобку: $5(2a - 3) = 5 \cdot 2a + 5 \cdot (-3) = 10a - 15$.

Раскрываем вторую скобку: $-4(3a - 4) = -4 \cdot 3a + (-4) \cdot (-4) = -12a + 16$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$10a - 15 - 12a + 16$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и числовые члены):

$(10a - 12a) + (-15 + 16) = -2a + 1$

Ответ: $-2a + 1$.

в) Упростим выражение $-2(2x + 3y) + 3(-x + 2y)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Раскрываем первую скобку: $-2(2x + 3y) = -2 \cdot 2x + (-2) \cdot 3y = -4x - 6y$.

Раскрываем вторую скобку: $3(-x + 2y) = 3 \cdot (-x) + 3 \cdot 2y = -3x + 6y$.

Складываем полученные выражения:

$-4x - 6y - 3x + 6y$

Группируем подобные слагаемые (члены с $x$ и члены с $y$):

$(-4x - 3x) + (-6y + 6y) = -7x + 0 = -7x$

Ответ: $-7x$.

39 Раскрой скобки и при необходимости упрости выражение:

а) $-2(c + 7)$;

б) $5(2a - 3) - 4(3a - 4)$;

в) $-2(2x + 3y) + 3(-x + 2y)$.

40 а) Задумали число, вычли из него 16, разность умножили на 7, результат вычли из 40 и получили 12. Какое число задумали?

б) Придумай и реши свою задачу про задуманное число.

а) Для решения этой задачи можно составить уравнение или решать её, выполняя действия в обратном порядке.

Способ 1: Составление уравнения.
Пусть $x$ — это задуманное число. Следуя условию задачи, запишем последовательность действий в виде выражения:
1. Из числа вычли 16: $x - 16$
2. Разность умножили на 7: $(x - 16) \times 7$
3. Результат вычли из 40 и получили 12: $40 - (x - 16) \times 7 = 12$
Теперь решим полученное уравнение:
$40 - 7(x - 16) = 12$
Найдем вычитаемое $7(x - 16)$:
$7(x - 16) = 40 - 12$
$7(x - 16) = 28$
Найдем неизвестный множитель $(x - 16)$:
$x - 16 = 28 \div 7$
$x - 16 = 4$
Найдем уменьшаемое $x$:
$x = 16 + 4$
$x = 20$

Способ 2: Решение с конца.
Выполним все действия в обратном порядке:
1. Последнее действие — вычитание из 40, в результате которого получилось 12. Чтобы найти число, которое вычитали, нужно из 40 вычесть 12: $40 - 12 = 28$.
2. Перед этим действие было умножение на 7. Чтобы найти число до умножения, нужно результат разделить на 7: $28 \div 7 = 4$.
3. Первое действие — вычитание 16. Чтобы найти исходное число, нужно к результату прибавить 16: $4 + 16 = 20$.
Задуманное число — 20.
Ответ: 20.

б) Пример задачи:
Задумали число, прибавили к нему 8, полученную сумму разделили на 4, из результата вычли 5 и получили 10. Какое число задумали?
Решение:
Пусть $y$ — это задуманное число. Составим уравнение по условию задачи:
$\frac{(y + 8)}{4} - 5 = 10$
Решим уравнение:
Найдем уменьшаемое $\frac{(y + 8)}{4}$:
$\frac{y + 8}{4} = 10 + 5$
$\frac{y + 8}{4} = 15$
Найдем делимое $(y + 8)$:
$y + 8 = 15 \times 4$
$y + 8 = 60$
Найдем неизвестное слагаемое $y$:
$y = 60 - 8$
$y = 52$
Проверим: $(52 + 8) \div 4 - 5 = 60 \div 4 - 5 = 15 - 5 = 10$. Верно.
Ответ: 52.

40 a) Задумали число, вычли из него 16, разность умножили на 7, результат вычли из 40 и получили 12. Какое число задумали?

б) Придумай и реши свою задачу про задуманное число.