Страница 11, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

C 41*

Учитель показал ребятам арифметический фокус: он предложил задумать положительное число, умножить его само на себя, к полученному результату прибавить удвоенное задуманное число и ещё 1. По объявленному результату он назвал задуманное число. Как это сделал учитель?

Секрет этого арифметического фокуса кроется в алгебраической формуле квадрата суммы. Чтобы понять, как учитель отгадывал число, давайте представим действия ученика в виде математического выражения.

Пусть задуманное положительное число — это $x$.

Ученик последовательно выполняет следующие операции:

1. Задумывает число: $x$.
2. Умножает его само на себя: $x \cdot x = x^2$.
3. К результату прибавляет удвоенное задуманное число: $x^2 + 2x$.
4. И еще прибавляет 1: $x^2 + 2x + 1$.

Полученное выражение $x^2 + 2x + 1$ является формулой сокращенного умножения, а именно — полным квадратом суммы двух чисел: $x$ и 1.

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

Это означает, что итоговый результат, который ученик сообщает учителю, всегда равен квадрату числа, которое на единицу больше задуманного.

Чтобы узнать задуманное число $x$, учителю нужно было всего лишь выполнить обратные математические операции над объявленным результатом (назовем его $N$):

1. Найти квадратный корень из названного числа: $\sqrt{N} = \sqrt{(x+1)^2} = x+1$. (Поскольку $x$ по условию положительное, то и $x+1$ тоже положительное, поэтому корень извлекается однозначно).
2. Из полученного значения вычесть единицу: $(x+1) - 1 = x$.

Пример:
Предположим, ученик задумал число 5.

• $5^2 = 25$
• $25 + 2 \cdot 5 = 25 + 10 = 35$
• $35 + 1 = 36$

Ученик говорит учителю число 36.
Учитель выполняет в уме:

• $\sqrt{36} = 6$
• $6 - 1 = 5$

И называет задуманное число: 5.

Ответ: Учитель извлекал квадратный корень из числа, которое называл ученик, а затем отнимал от результата единицу, получая таким образом задуманное число.

C 41 Учитель показал ребятам арифметический фокус: он предложил задумать положительное число, умножить его само на себя, к полученному результату прибавить удвоенное задуманное число и еще 1. $x^2 + 2x + 1$. По объявленному результату он назвал задуманное число. Как это сделал учитель?