Страница 15, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

40 Переведи высказывания с русского языка на математический.

1) Число a кратно семи. $a \vdots 7$

2) Число 9 – делитель числа b. $b \vdots 9$

3) Число c кратно 2 и 5. $c \vdots 2 \text{ и } c \vdots 5$

4) Число d – чётное. $d \vdots 2$

5) Число k не кратно 3. $k \nmid 3$

6) Число m при делении на 7 даёт в остатке 1. $m \equiv 1 \pmod{7}$

1) Число a кратно семи.
Высказывание «число $a$ кратно семи» означает, что $a$ делится на 7 нацело (без остатка). Это можно записать в виде равенства, где $a$ является произведением числа 7 и некоторого целого числа, которое обозначим как $n$.
Ответ: $a = 7n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Число 9 — делитель числа b.
Если число 9 является делителем числа $b$, это значит, что число $b$ делится на 9 без остатка. Иными словами, число $b$ кратно 9. Это можно записать в виде равенства, где $b$ является произведением числа 9 и некоторого целого числа $n$.
Ответ: $b = 9n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Число с кратно 2 и 5.
Если число $c$ кратно одновременно 2 и 5, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку 2 и 5 являются взаимно простыми числами, их НОК равно их произведению: $2 \cdot 5 = 10$. Таким образом, число $c$ кратно 10 и его можно записать как произведение 10 и некоторого целого числа $n$.
Ответ: $c = 10n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) Число d — чётное.
Чётное число по определению — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Следовательно, любое чётное число $d$ можно представить как произведение 2 и некоторого целого числа $n$.
Ответ: $d = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5) Число k не кратно 3.
Если число $k$ не кратно 3, это означает, что при делении $k$ на 3 получается остаток, не равный нулю. Возможные остатки при делении на 3 — это 1 или 2. Таким образом, число $k$ можно представить в одной из двух форм: $k = 3n + 1$ или $k = 3n + 2$, где $n$ — некоторое целое число.
Ответ: $k = 3n + 1$ или $k = 3n + 2$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6) Число m при делении на 7 даёт в остатке 1.
Это утверждение описывает деление с остатком. По определению, если число $m$ при делении на 7 даёт в остатке 1, то его можно представить как сумму произведения делителя (7) на неполное частное (целое число $n$) и остатка (1).
Ответ: $m = 7n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$.

40 Переведи высказывания с русского языка на математический.

1) Число $a$ кратно семи. $a \vdots 7$

2) Число 9 – делитель числа $b$. $b \vdots 9$

3) Число $c$ кратно 2 и 5. $c \vdots 2$ и $c \vdots 5$

4) Число $d$ – четное. $d \vdots 2$

5) Число $k$ не кратно 3. $k \not\vdots 3$

6) Число $m$ при делении на 7 дает в остатке 1. $m \equiv 1 \pmod{7}$

41 Известно, что $a = 2 \cdot 3 \cdot 7$. Запиши множество $D(a)$ всех делителей числа $a$.

Чтобы найти множество $D(a)$ всех делителей числа a, необходимо найти все возможные произведения его простых множителей, а также учесть, что 1 является делителем любого числа.

Число a задано как произведение простых множителей: $a = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

Выпишем все делители числа a:

• Делитель 1.
• Делители, состоящие из одного простого множителя: 2, 3, 7.
• Делители, состоящие из произведения двух простых множителей:
  $2 \cdot 3 = 6$
  $2 \cdot 7 = 14$
  $3 \cdot 7 = 21$
• Делитель, состоящий из произведения трех простых множителей (само число a):
  $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$

Теперь запишем все найденные делители в порядке возрастания в виде множества $D(a)$:

$D(a) = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$

Ответ: $D(a) = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$

41 Известно, что $a = 2 \cdot 3 \cdot 7$. Запиши множество $D(a)$ всех делителей числа $a$.

42 Какую цифру надо поставить в числе 273* вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось:

а) на 2;

б) на 5;

в) на 10?

Можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 100, на 25, на 4?

а) на 2

Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является чётной. Чётные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8. Таким образом, вместо звёздочки можно поставить любую из этих цифр.

Ответ: 0, 2, 4, 6 или 8.

б) на 5

Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра 0 или 5. Следовательно, вместо звёздочки можно поставить 0 или 5.

Ответ: 0 или 5.

в) на 10

Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра 0. В данном случае вместо звёздочки нужно поставить только цифру 0.

Ответ: 0.

на 100

Число делится на 100, если две его последние цифры — 00. В числе 273* предпоследняя цифра — 3, а не 0. Поэтому подобрать такую цифру, чтобы число 273* делилось на 100, невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

на 25

Число делится на 25, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 25 (то есть оканчивается на 00, 25, 50 или 75). В нашем случае последние две цифры образуют число вида 3*. Ни одно из чисел в диапазоне от 30 до 39 не делится на 25. Следовательно, подобрать такую цифру нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

на 4

Число делится на 4, если число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4. Мы ищем такую цифру для *, чтобы число 3* делилось на 4. Проверим числа от 30 до 39. Делятся на 4: 32 ($32 \div 4 = 8$) и 36 ($36 \div 4 = 9$). Значит, вместо звёздочки можно поставить цифры 2 или 6.

Ответ: да, можно (цифры 2 или 6).

42 Какую цифру надо поставить в числе $273*$ вместо звездочки, чтобы полученное число делилось:

а) на 2;

б) на 5;

в) на 10?

Можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 100, на 25, на 4?

43 Какую цифру надо поставить в числе 5*12 вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось:

а) на 3;

б) на 9?

Можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 6, на 15, на 18, на 90?

а)
Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Заменим звёздочку в числе 5*12 на цифру $x$. Получим число $5x12$. Сумма известных цифр этого числа равна $5 + 1 + 2 = 8$. Следовательно, общая сумма цифр числа равна $S = 8 + x$. Нам нужно найти все такие цифры $x$ (от 0 до 9), при которых сумма $8 + x$ будет делиться на 3. Переберём возможные значения $x$:

• если $x=1$, то $S = 8 + 1 = 9$. Число 9 делится на 3.
• если $x=4$, то $S = 8 + 4 = 12$. Число 12 делится на 3.
• если $x=7$, то $S = 8 + 7 = 15$. Число 15 делится на 3.

Другие цифры не подходят, так как сумма не будет кратна трём.

Ответ: 1, 4 или 7.

б)
Для того чтобы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Как и в предыдущем пункте, сумма цифр числа равна $S = 8 + x$. Нам нужно найти такие цифры $x$ (от 0 до 9), при которых сумма $8 + x$ будет делиться на 9. В диапазоне от $8+0=8$ до $8+9=17$ единственное число, которое делится на 9, — это само число 9. Значит, $8 + x = 9$, откуда $x = 1$. Только при $x=1$ число будет делиться на 9.

Ответ: 1.

Далее ответим на вопрос, можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 6, 15, 18, 90.

на 6:
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

1. Делимость на 2: Число $5*12$ оканчивается на 2, значит, оно чётное и всегда делится на 2 при любой цифре вместо звёздочки.
2. Делимость на 3: Как мы выяснили в пункте а), число делится на 3, если вместо звёздочки стоят цифры 1, 4 или 7.

Оба условия выполняются, если вместо звёздочки поставить 1, 4 или 7.

Ответ: да, можно (цифры 1, 4, 7).

на 15:
Число делится на 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5.

1. Делимость на 5: Число должно оканчиваться на 0 или 5. Число $5*12$ оканчивается на 2, поэтому оно не может делиться на 5.

Поскольку одно из условий не выполняется, число не может делиться на 15.

Ответ: нет, нельзя.

на 18:
Число делится на 18, если оно делится одновременно на 2 и на 9.

1. Делимость на 2: Число $5*12$ оканчивается на 2, поэтому оно всегда делится на 2.
2. Делимость на 9: Как мы выяснили в пункте б), число делится на 9, только если вместо звёздочки стоит цифра 1.

Оба условия выполняются, если вместо звёздочки поставить 1.

Ответ: да, можно (цифра 1).

на 90:
Число делится на 90, если оно делится одновременно на 9 и на 10.

1. Делимость на 10: Число должно оканчиваться на 0. Число $5*12$ оканчивается на 2, поэтому оно не может делиться на 10.

Поскольку одно из условий не выполняется, число не может делиться на 90.

Ответ: нет, нельзя.

43 Какую цифру надо поставить в числе $5*12$ вместо звездочки, чтобы полученное число делилось: а) на 3; б) на 9? Можно ли подобрать цифру так, чтобы это число делилось на 6, на 15, на 18, на 90?

44 Пусть $A = \{315; 79; 8181; 490; 102\}$. Обозначим $A(n)$ подмножество множества $A$, состоящее из чисел, кратных $n$. Запиши, из каких элементов состоят $A(2), A(5), A(10), A(3), A(9), A(6), A(15)$.

Дано множество $A = \{315; 79; 8181; 490; 102\}$. Подмножество $A(n)$ состоит из тех элементов множества $A$, которые кратны числу $n$, то есть делятся на $n$ без остатка.

Для решения задачи проверим каждый элемент множества $A$ на делимость на заданные числа $n$.

A(2)

Подмножество $A(2)$ содержит числа из $A$, кратные 2 (четные числа). Признак делимости на 2: число должно оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8).

• 315 — оканчивается на 5 (нечетное).
• 79 — оканчивается на 9 (нечетное).
• 8181 — оканчивается на 1 (нечетное).
• 490 — оканчивается на 0 (четное).
• 102 — оканчивается на 2 (четное).

Таким образом, в подмножество $A(2)$ входят числа 490 и 102.
Ответ: $A(2) = \{490; 102\}$.

A(5)

Подмножество $A(5)$ содержит числа из $A$, кратные 5. Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.

• 315 — оканчивается на 5.
• 79 — оканчивается на 9.
• 8181 — оканчивается на 1.
• 490 — оканчивается на 0.
• 102 — оканчивается на 2.

Таким образом, в подмножество $A(5)$ входят числа 315 и 490.
Ответ: $A(5) = \{315; 490\}$.

A(10)

Подмножество $A(10)$ содержит числа из $A$, кратные 10. Признак делимости на 10: число должно оканчиваться на 0.

• 315 — оканчивается на 5.
• 79 — оканчивается на 9.
• 8181 — оканчивается на 1.
• 490 — оканчивается на 0.
• 102 — оканчивается на 2.

Таким образом, в подмножество $A(10)$ входит только число 490.
Ответ: $A(10) = \{490\}$.

A(3)

Подмножество $A(3)$ содержит числа из $A$, кратные 3. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

• 315: $3 + 1 + 5 = 9$. Сумма 9 делится на 3.
• 79: $7 + 9 = 16$. Сумма 16 не делится на 3.
• 8181: $8 + 1 + 8 + 1 = 18$. Сумма 18 делится на 3.
• 490: $4 + 9 + 0 = 13$. Сумма 13 не делится на 3.
• 102: $1 + 0 + 2 = 3$. Сумма 3 делится на 3.

Таким образом, в подмножество $A(3)$ входят числа 315, 8181 и 102.
Ответ: $A(3) = \{315; 8181; 102\}$.

A(9)

Подмножество $A(9)$ содержит числа из $A$, кратные 9. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.

• 315: $3 + 1 + 5 = 9$. Сумма 9 делится на 9.
• 79: $7 + 9 = 16$. Сумма 16 не делится на 9.
• 8181: $8 + 1 + 8 + 1 = 18$. Сумма 18 делится на 9.
• 490: $4 + 9 + 0 = 13$. Сумма 13 не делится на 9.
• 102: $1 + 0 + 2 = 3$. Сумма 3 не делится на 9.

Таким образом, в подмножество $A(9)$ входят числа 315 и 8181.
Ответ: $A(9) = \{315; 8181\}$.

A(6)

Подмножество $A(6)$ содержит числа из $A$, кратные 6. Признак делимости на 6: число должно делиться одновременно и на 2, и на 3. Выберем из подмножества $A(3) = \{315; 8181; 102\}$ те числа, которые являются четными (т.е. принадлежат $A(2)$).

• 315 — нечетное.
• 8181 — нечетное.
• 102 — четное.

Таким образом, в подмножество $A(6)$ входит только число 102.
Ответ: $A(6) = \{102\}$.

A(15)

Подмножество $A(15)$ содержит числа из $A$, кратные 15. Признак делимости на 15: число должно делиться одновременно и на 3, и на 5. Выберем из подмножества $A(3) = \{315; 8181; 102\}$ те числа, которые делятся на 5 (т.е. принадлежат $A(5)$).

• 315 — оканчивается на 5, делится на 5.
• 8181 — не делится на 5.
• 102 — не делится на 5.

Таким образом, в подмножество $A(15)$ входит только число 315.
Ответ: $A(15) = \{315\}$.

44 Пусть $A = \{315; 79; 8181; 490; 102\}$. Обозначим $A(n)$ подмножество множества $A$, состоящее из чисел, кратных $n$. Запиши, из каких элементов состоят $A(2)$, $A(5)$, $A(10)$, $A(3)$, $A(9)$, $A(6)$, $A(15)$.

45 Пусть $D(12)$ и $D(15)$ – множества делителей соответственно чисел 12 и 15. Запиши эти множества с помощью фигурных скобок и найди их пересечение. Чему равен наибольший общий делитель чисел 12 и 15? Как найти $\text{НОД}(12; 15)$, пользуясь разложением на простые множители?

Запись множеств делителей, нахождение их пересечения и НОД

1. Сначала определим множества делителей для чисел 12 и 15. Делитель — это число, на которое исходное число делится без остатка.

Для числа 12 делителями являются: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Запишем это в виде множества $D(12)$:
$D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

Для числа 15 делителями являются: 1, 3, 5, 15. Запишем это в виде множества $D(15)$:
$D(15) = \{1, 3, 5, 15\}$

2. Далее найдем пересечение этих множеств, то есть множество общих делителей. Пересечение $D(12) \cap D(15)$ содержит только те элементы, которые есть в обоих множествах.
Сравнивая $D(12)$ и $D(15)$, мы видим, что общими элементами являются 1 и 3.
$D(12) \cap D(15) = \{1, 3\}$

3. Наибольший общий делитель (НОД) — это самый большой элемент в множестве общих делителей. В множестве $\{1, 3\}$ наибольший элемент — это 3.
Таким образом, НОД(12; 15) = 3.

Ответ: $D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$; $D(15) = \{1, 3, 5, 15\}$; пересечение $D(12) \cap D(15) = \{1, 3\}$; наибольший общий делитель равен 3.

Нахождение НОД (12; 15), пользуясь разложением на простые множители

Для нахождения НОД этим методом нужно выполнить следующие действия:

1. Разложить оба числа на простые множители. Простое число — это число, которое делится только на 1 и на само себя.
Разложение для 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Разложение для 15: $15 = 3 \cdot 5$

2. Найти общие простые множители в обоих разложениях.
Разложение 12: $2, 2, 3$
Разложение 15: $3, 5$
Единственный общий простой множитель — это 3.

3. Найти произведение общих простых множителей. Если общий множитель один, то он и является НОД.
НОД(12; 15) = 3.

Ответ: НОД(12; 15), найденный с помощью разложения на простые множители, равен 3.

45. Пусть $D(12)$ и $D(15)$ – множества делителей соответственно чисел 12 и 15. Запиши эти множества с помощью фигурных скобок и найди их пересечение. Чему равен наибольший общий делитель чисел 12 и 15? Как найти $НОД (12; 15)$, пользуясь разложением на простые множители?

46 Запиши множества $K (6)$ и $K (8)$ чисел, кратных соответственно 6 и 8. Найди пересечение этих множеств и укажи в нём наименьший элемент. Как найти $НОК (6; 8)$ с помощью разложения на простые множители?

Запиши множества K (6) и K (8) чисел, кратных соответственно 6 и 8.
Множество K(6) состоит из чисел, которые делятся на 6 без остатка.$K(6) = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...\}$
Множество K(8) состоит из чисел, которые делятся на 8 без остатка.$K(8) = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...\}$
Ответ: $K(6) = \{6, 12, 18, 24, ...\}$; $K(8) = \{8, 16, 24, 32, ...\}$.

Найди пересечение этих множеств и укажи в нём наименьший элемент.
Пересечение множеств $K(6)$ и $K(8)$, обозначаемое как $K(6) \cap K(8)$, содержит элементы, которые принадлежат обоим множествам. Это общие кратные чисел 6 и 8.Сравнивая элементы множеств, находим общие:$K(6) \cap K(8) = \{24, 48, 72, ...\}$
Наименьший элемент в множестве пересечения — это первое общее кратное.
Ответ: Пересечение множеств: $K(6) \cap K(8) = \{24, 48, 72, ...\}$. Наименьший элемент: 24.

Как найти НОК (6; 8) с помощью разложения на простые множители?
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел с помощью разложения на простые множители, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Разложить оба числа на простые множители.
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
2. Выписать все простые множители, входящие в разложение одного из чисел (например, большего), и добавить к ним недостающие множители из разложения другого числа.
Берем множители числа 8: $2^3$.
Смотрим на разложение числа 6 ($2 \cdot 3$). Множитель 2 уже есть в нашем наборе ($2^3$ содержит $2^1$). Недостающий множитель — это 3.
3. Перемножить полученный набор множителей.
$НОК(6; 8) = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$
Ответ: Нужно разложить числа 6 и 8 на простые множители ($6=2 \cdot 3$, $8=2^3$), а затем составить произведение из всех простых множителей, взяв каждый с наибольшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях: $НОК(6; 8) = 2^3 \cdot 3 = 24$.

46 Запиши множества $K(6)$ и $K(8)$ чисел, кратных соответственно 6 и 8. Найди пересечение этих множеств и укажи в нем наименьший элемент. Как найти $\text{НОК}(6; 8)$ с помощью разложения на простые множители?

47 Найди НОД $(a; b)$ и НОК $(a; b)$, если:

1) $a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5, b = 2 \cdot 5 \cdot 7$

2) $a = 2 \cdot 5^3, b = 3 \cdot 7$

3) $a = 2 \cdot 3, b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД) двух чисел, представленных в виде произведения простых множителей, необходимо взять произведение их общих простых множителей, причем каждый множитель взять с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.

Чтобы найти Наименьшее Общее Кратное (НОК), необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел, причем каждый множитель взять с наибольшим показателем степени.

1) Даны числа $a = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 5 \cdot 7$.

Для нахождения НОД выберем общие множители ($2$ и $5$) с наименьшими степенями (в обоих случаях первая степень):
$НОД(a; b) = 2^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 5 = 10$.

Для нахождения НОК выпишем все множители из обоих чисел ($2, 3, 5, 7$) и возьмем каждый с наибольшей степенью:
$НОК(a; b) = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.

Ответ: $НОД(a; b) = 10$; $НОК(a; b) = 630$.

2) Даны числа $a = 2 \cdot 5^3$ и $b = 3 \cdot 7$.

У чисел $a$ и $b$ нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1.
$НОД(a; b) = 1$.

Для нахождения НОК перемножим все множители из обоих чисел, так как они не повторяются. Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.
$НОК(a; b) = 2 \cdot 5^3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 125 \cdot 21 = 250 \cdot 21 = 5250$.

Ответ: $НОД(a; b) = 1$; $НОК(a; b) = 5250$.

3) Даны числа $a = 2 \cdot 3$ и $b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Для нахождения НОД выберем общие множители ($2$ и $3$) с наименьшими степенями (в обоих случаях первая степень):
$НОД(a; b) = 2^1 \cdot 3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Для нахождения НОК выпишем все множители из обоих чисел ($2, 3, 5, 7$) и возьмем каждый с наибольшей степенью:
$НОК(a; b) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 12 \cdot 35 = 420$.

Ответ: $НОД(a; b) = 6$; $НОК(a; b) = 420$.

47 Найди НОД($a$; $b$) и НОК ($a$; $b$), если:

1) $a=2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $b=2 \cdot 5 \cdot 7$;

2) $a=2 \cdot 5^3$, $b=3 \cdot 7$;

3) $a=2 \cdot 3$, $b=2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

48 Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел:

а) 125 и 150;

б) 210 и 2730;

в) 35 и 72;

г) 60, 75 и 111.

а) 125 и 150

Для нахождения НОД (Наибольшего Общего Делителя) и НОК (Наименьшего Общего Кратного) сперва разложим числа 125 и 150 на простые множители.
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
$150 = 15 \cdot 10 = (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени из тех, что встречаются в разложениях.
Общий множитель для 125 и 150 — это 5. Наименьший показатель степени у него — 2 (в разложении числа 150).
НОД(125, 150) = $5^2 = 25$.

Чтобы найти НОК, нужно перемножить все простые множители, которые встречаются в разложениях, взяв каждый с наибольшим показателем степени.
Множители: 2, 3, 5. Наибольшие показатели степеней: $2^1$, $3^1$, $5^3$.
НОК(125, 150) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^3 = 2 \cdot 3 \cdot 125 = 750$.
Ответ: НОД(125, 150) = 25; НОК(125, 150) = 750.

б) 210 и 2730

Разложим числа 210 и 2730 на простые множители.
$210 = 21 \cdot 10 = (3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
$2730 = 273 \cdot 10 = (3 \cdot 91) \cdot (2 \cdot 5) = (3 \cdot 7 \cdot 13) \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

Находим НОД. Общие множители: 2, 3, 5, 7. Все они в разложениях имеют наименьшую степень 1.
НОД(210, 2730) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.

Находим НОК. Все множители из разложений: 2, 3, 5, 7, 13. Все они имеют наибольшую степень 1.
НОК(210, 2730) = $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 2730$.
Ответ: НОД(210, 2730) = 210; НОК(210, 2730) = 2730.

в) 35 и 72

Разложим числа 35 и 72 на простые множители.
$35 = 5 \cdot 7$
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

Находим НОД. В разложениях чисел 35 и 72 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми, и их НОД равен 1.
НОД(35, 72) = 1.

Находим НОК. Для взаимно простых чисел НОК равен их произведению.
НОК(35, 72) = $35 \cdot 72 = 2520$. Также можно вычислить, перемножив все множители в их степенях: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 35 = 72 \cdot 35 = 2520$.
Ответ: НОД(35, 72) = 1; НОК(35, 72) = 2520.

г) 60, 75 и 111

Разложим числа 60, 75 и 111 на простые множители.
$60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$
$111 = 3 \cdot 37$ (сумма цифр $1+1+1=3$, значит число делится на 3)

Находим НОД. Единственный общий простой множитель для всех трех чисел — это 3. Наименьшая степень, в которой он встречается, — 1.
НОД(60, 75, 111) = 3.

Находим НОК. Выписываем все простые множители из разложений в наибольшей степени.
Множители: 2, 3, 5, 37. Наибольшие степени: $2^2$, $3^1$, $5^2$, $37^1$.
НОК(60, 75, 111) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 37 = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 37 = (4 \cdot 25) \cdot (3 \cdot 37) = 100 \cdot 111 = 11100$.
Ответ: НОД(60, 75, 111) = 3; НОК(60, 75, 111) = 11100.

48 Найди с помощью разложения на простые множители НОД и НОК чисел:

а) 125 и 150;

б) 210 и 2730;

в) 35 и 72;

г) 60, 75 и 111.

49 1) Вычисли объём и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4,3 см, 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых.

2) Введи обозначения и построй формулу, выражающую зависимость объёма прямоугольного параллелепипеда от его измерений.

$V = abc$

3) Построй формулу зависимости площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда от его измерений.

$S = 2(ab + ac + bc)$

1) Вычисли объём и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4,3 см, 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как $a = 6,1$ см (длина), $b = 4,3$ см (ширина) и $c = 8,5$ см (высота).

Сначала вычислим объём $V$ по формуле произведения трёх измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим числовые значения:

$V = 6,1 \text{ см} \cdot 4,3 \text{ см} \cdot 8,5 \text{ см} = 222,955 \text{ см}^3$

Согласно условию, необходимо округлить ответ до десятых. Поскольку цифра в разряде сотых равна 5, округляем цифру в разряде десятых в большую сторону:

$V \approx 223,0 \text{ см}^3$

Далее вычислим площадь полной поверхности $S$. Она равна удвоенной сумме площадей трёх граней с общими вершинами:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения измерений:

$S = 2(6,1 \cdot 4,3 + 6,1 \cdot 8,5 + 4,3 \cdot 8,5)$

$S = 2(26,23 + 51,85 + 36,55)$

$S = 2(114,63) = 229,26 \text{ см}^2$

Округлим результат до десятых. Поскольку цифра в разряде сотых равна 6, округляем в большую сторону:

$S \approx 229,3 \text{ см}^2$

Ответ: $V \approx 223,0 \text{ см}^3$, $S \approx 229,3 \text{ см}^2$.

2) Введи обозначения и построй формулу, выражающую зависимость объёма прямоугольного параллелепипеда от его измерений.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) обозначены латинскими буквами $a$, $b$ и $c$. Объём обозначим буквой $V$.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Следовательно, формула зависимости объёма от его измерений имеет вид:

$V = abc$

Ответ: $V = abc$, где $V$ — объём, а $a, b, c$ — измерения параллелепипеда.

3) Построй формулу зависимости площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда от его измерений.

Используем те же обозначения, что и в предыдущем пункте: $a$, $b$ и $c$ — измерения прямоугольного параллелепипеда. Площадь полной поверхности обозначим буквой $S$.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести граней (прямоугольников), которые попарно равны. Площади этих пар граней равны $ab$, $ac$ и $bc$.

Площадь полной поверхности равна сумме площадей всех шести граней:

$S = 2ab + 2ac + 2bc$

Вынеся общий множитель 2 за скобки, получим итоговую формулу:

$S = 2(ab + ac + bc)$

Ответ: $S = 2(ab + ac + bc)$, где $S$ — площадь полной поверхности, а $a, b, c$ — измерения параллелепипеда.

49 1) Вычисли объем и площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4,3 см, 6,1 см и 8,5 см. Ответы округли с точностью до десятых.

2) Введи обозначения и построй формулу, выражающую зависимость объема прямоугольного параллелепипеда от его измерений.

$V = abc$

3) Построй формулу зависимости площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда от его измерений.

$S = 2(ab + ac + bc)$

52 Приставить лестницу к стене можно более круто или более полого. Её крутизна выражается отношением расстояния $h$ от пола до верхнего края лестницы к расстоянию $a$ от нижнего края до стены. В каком случае лестница имеет большую крутизну: если $h = 1,5$ м и $a = 1,2$ м или если $h = 2,4$ м и $a = 2$ м?

Согласно условию, крутизна лестницы выражается отношением расстояния $h$ от пола до верхнего края лестницы к расстоянию $a$ от нижнего края до стены. Формула для вычисления крутизны $k$:
$k = \frac{h}{a}$
Чем больше значение этого отношения, тем лестница имеет большую крутизну. Чтобы ответить на вопрос, необходимо вычислить и сравнить значения крутизны для двух заданных случаев.

если h = 1,5 м и а = 1,2 м

Вычислим крутизну $k_1$ для первого случая:
$k_1 = \frac{1,5}{1,2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Ответ: крутизна в этом случае равна 1,25.

если h = 2,4 м и а = 2 м

Вычислим крутизну $k_2$ для второго случая:
$k_2 = \frac{2,4}{2} = 1,2$.
Ответ: крутизна в этом случае равна 1,2.

Теперь сравним полученные значения крутизны: $k_1 = 1,25$ и $k_2 = 1,2$.
Поскольку $1,25 > 1,2$, то $k_1 > k_2$. Следовательно, в первом случае лестница имеет большую крутизну.
Ответ: лестница имеет большую крутизну в случае, если $h = 1,5$ м и $a = 1,2$ м.

52 Приставить лестницу к стене можно более круто или более полого. Ее крутизна выражается отношением расстояния $h$ от пола до верхнего края лестницы к расстоянию $a$ от нижнего края до стены. То есть крутизна определяется как $\frac{h}{a}$. В каком случае лестница имеет большую крутизну: если $h = 1,5$ м и $a = 1,2$ м или если $h = 2,4$ м и $a = 2$ м?

53 Составь и, если возможно, упрости выражение.

1) Жилищному кооперативу принадлежит a га земли, из которых b га занимают гаражи. Какой процент площади, принадлежащей этому кооперативу, отведён под гаражи?

2) 40 % участников первого тура олимпиады прошли во второй тур, а 50 % участников второго тура в количестве c человек прошли в третий тур. Сколько человек приняли участие в первом туре олимпиады?

3) Турист за три дня прошёл путь, равный d км. В первый день он прошёл 40 % всего пути, а во второй день – 75 % пути, пройденного в первый день. Сколько километров прошёл турист в третий день?

1) Чтобы найти, какой процент одна величина составляет от другой, нужно первую величину разделить на вторую и результат умножить на 100%.
Общая площадь земли, принадлежащая кооперативу, составляет $a$ га.
Площадь, отведённая под гаражи, составляет $b$ га.
Составим выражение для нахождения процентного соотношения:
$\frac{b}{a} \cdot 100\%$
Упростим выражение: $\frac{100b}{a} \%$
Ответ: $\frac{100b}{a} \%$

2) Пусть $x$ — количество участников первого тура олимпиады.
Во второй тур прошли 40% участников первого тура, то есть $0.4x$ человек.
В третий тур прошли 50% участников второго тура, что по условию составляет $c$ человек.
Таким образом, количество участников второго тура можно найти из уравнения:
$0.5 \cdot (\text{участники второго тура}) = c$
$\text{участники второго тура} = \frac{c}{0.5} = 2c$
Теперь мы знаем, что количество участников второго тура равно $2c$. Составим уравнение для участников первого тура:
$0.4x = 2c$
Выразим $x$:
$x = \frac{2c}{0.4} = \frac{2c}{4/10} = \frac{2c \cdot 10}{4} = \frac{20c}{4} = 5c$
Ответ: $5c$ человек.

3) Весь путь туриста составляет $d$ км.
В первый день он прошёл 40% всего пути. Найдём это расстояние:
$d \cdot \frac{40}{100} = 0.4d$ км.
Во второй день он прошёл 75% от пути, пройденного в первый день. Найдём это расстояние:
$(0.4d) \cdot \frac{75}{100} = (0.4d) \cdot 0.75 = 0.3d$ км.
Чтобы найти, сколько километров турист прошёл в третий день, нужно из всего пути вычесть путь, пройденный за первые два дня:
$d - (0.4d + 0.3d) = d - 0.7d = 0.3d$ км.
Ответ: $0.3d$ км.

53 Составь и, если возможно, упрости выражение:

1) Жилищному кооперативу принадлежит $a$ га земли, из которых $b$ га занимают гаражи. Какой процент площади, принадлежащей этому кооперативу, отведено под гаражи?

2) 40% участников первого тура олимпиады прошли во второй тур, а 50% участников второго тура в количестве $c$ человек прошли в третий тур. Сколько человек приняли участие в первом туре олимпиады?

3) Турист за три дня прошел путь, равный $d$ км. В первый день он прошел 40% всего пути, а во второй день – 75% пути, пройденного в первый день. Сколько километров прошел турист в третий день?

54 Реши уравнения, пользуясь «перекрёстным» правилом:

1) $\frac{x}{6,3} = \frac{9}{2,8}$;

2) $\frac{1\frac{1}{3}}{2\frac{5}{6}} = \frac{17}{0,25x}$;

3) $\frac{6,125}{4x} = \frac{0,35}{\frac{2}{7}}$;

4) $\frac{2\frac{1}{4}}{1,6} = \frac{0,125x}{2\frac{2}{3}}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{x}{6,3} = \frac{1\frac{1}{9}}{2,8}$.

Применим «перекрёстное» правило (основное свойство пропорции), согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: $x \cdot 2,8 = 6,3 \cdot 1\frac{1}{9}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.

Подставим это значение в уравнение:

$2,8x = 6,3 \cdot \frac{10}{9}$

Вычислим правую часть уравнения, представив десятичную дробь $6,3$ в виде обыкновенной дроби $\frac{63}{10}$:

$2,8x = \frac{63}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{63}{9} = 7$

Получили простое уравнение: $2,8x = 7$.

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{7}{2,8} = \frac{70}{28} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$.

2) Исходное уравнение: $\frac{1\frac{3}{5}}{2\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{17}}{0,25x}$.

Используем «перекрёстное» правило: $1\frac{3}{5} \cdot 0,25x = 2\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{17}$.

Для удобства вычислений преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби, а десятичные дроби в обыкновенные:

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

$2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{8}{5} \cdot \frac{1}{4}x = \frac{17}{6} \cdot \frac{2}{17}$

Упростим обе части уравнения:

Левая часть: $\frac{8 \cdot 1}{5 \cdot 4}x = \frac{8}{20}x = \frac{2}{5}x$.

Правая часть: $\frac{17 \cdot 2}{6 \cdot 17} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Получили уравнение: $\frac{2}{5}x = \frac{1}{3}$.

Найдем $x$:

$x = \frac{1}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{6,125}{4x} = \frac{0,35}{\frac{2}{7}}$.

По «перекрёстному» правилу получаем: $6,125 \cdot \frac{2}{7} = 4x \cdot 0,35$.

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$6,125 = 6\frac{125}{1000} = 6\frac{1}{8} = \frac{49}{8}$

$0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

Подставим преобразованные значения в уравнение:

$\frac{49}{8} \cdot \frac{2}{7} = 4x \cdot \frac{7}{20}$

Упростим обе части уравнения:

Левая часть: $\frac{49 \cdot 2}{8 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{7}{4}$.

Правая часть: $\frac{4x \cdot 7}{20} = \frac{28x}{20} = \frac{7x}{5}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{7}{4} = \frac{7x}{5}$.

Чтобы найти $x$, можно снова применить «перекрёстное» правило: $7 \cdot 5 = 4 \cdot 7x$.

$35 = 28x$

$x = \frac{35}{28} = \frac{5}{4} = 1,25$

Ответ: $1,25$.

4) Исходное уравнение: $\frac{2\frac{1}{4}}{1,6} = \frac{0,125x}{2\frac{2}{3}}$.

Применяем «перекрёстное» правило: $2\frac{1}{4} \cdot 2\frac{2}{3} = 1,6 \cdot 0,125x$.

Преобразуем все числа в обыкновенные дроби:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Подставляем в уравнение:

$\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{8}x$

Упростим обе части уравнения:

Левая часть: $\frac{9 \cdot 8}{4 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 6$.

Правая часть: $\frac{8 \cdot 1}{5 \cdot 8}x = \frac{1}{5}x$.

Получаем уравнение: $6 = \frac{1}{5}x$.

Находим $x$:

$x = 6 \cdot 5 = 30$

Ответ: $30$.

54 Реши уравнения, пользуясь “перекрестным правилом”:

1) $ \frac{x}{6,3} = \frac{\frac{1}{9}}{2,8} $;

2) $ \frac{1 \frac{1}{3}}{2 \frac{3}{5}} = \frac{2}{0,25x} $;

3) $ \frac{6,125}{4x} = \frac{0,35}{\frac{2}{7}} $;

4) $ \frac{2 \frac{1}{4}}{1,6} = \frac{0,125x}{2 \frac{2}{3}} $.

55 Вычисли и запиши в последовательности ответов следующее число, сохраняя закономерность:

1) $(4,5 + 3\frac{5}{6}) \cdot 0,6;$

2) $3,7 : (1\frac{2}{9} - 0,4);$

3) $\frac{4 \cdot \frac{4}{7} \cdot 0,3}{2,88 : 4,8};$

4) $\frac{0,5 + \frac{1}{18}}{(1\frac{1}{6} - \frac{7}{18}) : 2,8}.$

Для решения задачи необходимо вычислить значение каждого выражения, определить закономерность в полученной последовательности чисел и найти следующее число в этой последовательности.

1) $(4,5 + 3\frac{5}{6}) \cdot 0,6$

Сначала выполним сложение в скобках, представив десятичную дробь в виде обыкновенной:

$4,5 + 3\frac{5}{6} = 4\frac{1}{2} + 3\frac{5}{6} = 4\frac{3}{6} + 3\frac{5}{6} = 7\frac{8}{6} = 8\frac{2}{6} = 8\frac{1}{3}$

Теперь выполним умножение, представив числа в виде неправильных дробей:

$8\frac{1}{3} \cdot 0,6 = \frac{25}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{25}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{25}{5} = 5$

Ответ: 5

2) $3,7 : (1\frac{2}{9} - 0,4)$

Сначала выполним вычитание в скобках, представив числа в виде обыкновенных дробей:

$1\frac{2}{9} - 0,4 = 1\frac{2}{9} - \frac{4}{10} = \frac{11}{9} - \frac{2}{5} = \frac{11 \cdot 5}{45} - \frac{2 \cdot 9}{45} = \frac{55 - 18}{45} = \frac{37}{45}$

Теперь выполним деление:

$3,7 : \frac{37}{45} = \frac{37}{10} : \frac{37}{45} = \frac{37}{10} \cdot \frac{45}{37} = \frac{45}{10} = 4,5$

Ответ: 4,5

3) $\frac{4 \cdot \frac{4}{7} \cdot 0,3}{2,88 : 4,8}$

Примечание: В данном выражении, скорее всего, допущена опечатка. Если вычислить его как есть, получается $\frac{8}{7}$, что нарушает простую закономерность. Если предположить, что вместо дроби $\frac{4}{7}$ должна быть дробь $\frac{7}{4}$, то получается красивый ответ, продолжающий последовательность. Решим с этим исправлением.

Вычислим числитель дроби, предполагая, что там $\frac{7}{4}$:

$4 \cdot \frac{7}{4} \cdot 0,3 = 7 \cdot 0,3 = 2,1$

Вычислим знаменатель дроби:

$2,88 : 4,8 = \frac{2,88}{4,8} = \frac{28,8}{48} = \frac{288}{480} = \frac{3 \cdot 96}{5 \cdot 96} = \frac{3}{5} = 0,6$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2,1}{0,6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3,5$

Ответ: 3,5

4) $\frac{0,5 + \frac{1}{18}}{(1\frac{1}{6} - \frac{7}{18}) : 2,8}$

Вычислим числитель основной дроби:

$0,5 + \frac{1}{18} = \frac{1}{2} + \frac{1}{18} = \frac{9}{18} + \frac{1}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Вычислим знаменатель основной дроби. Сначала действие в скобках:

$1\frac{1}{6} - \frac{7}{18} = \frac{7}{6} - \frac{7}{18} = \frac{21}{18} - \frac{7}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$

Теперь деление:

$\frac{7}{9} : 2,8 = \frac{7}{9} : \frac{28}{10} = \frac{7}{9} : \frac{14}{5} = \frac{7}{9} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 2} = \frac{5}{18}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{5}{9}}{\frac{5}{18}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{18}{5} = \frac{18}{9} = 2$

Ответ: 2

Закономерность и следующее число:

Получилась последовательность ответов: 5; 4,5; 3,5; 2.

Найдем разность между соседними членами последовательности:

• $4,5 - 5 = -0,5$
• $3,5 - 4,5 = -1$
• $2 - 3,5 = -1,5$

Каждый следующий член последовательности получается из предыдущего вычитанием числа, которое каждый раз увеличивается на 0,5. Следующее вычитаемое число должно быть $1,5 + 0,5 = 2$.

Следовательно, следующее число в последовательности будет:

$2 - 2 = 0$

Ответ: 0

55 Вычисли и запиши в последовательности ответов следующее число, сохраняя закономерность:

1) $(4,5 + 3\frac{5}{6}) \cdot 0,6;$

2) $3,7 : (1\frac{2}{9} - 0,4);$

3) $\frac{\frac{4}{7} \cdot 0,3}{2,88 : 4,8};$

4) $\frac{0,5 + \frac{1}{18}}{(1\frac{1}{6} - \frac{7}{18}) : 2,8}.$

1) В квадрате размером $10 \times 10$ клеток выписаны натуральные числа от 1 до 100, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером $2 \times 2$ клетки и сравни суммы, записанные по его диагоналям. Что ты замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом квадрате размером $2 \times 2$ клетки? Обоснуй свой ответ.

2) Рассмотри теперь квадраты размером $3 \times 3$ клетки и найди в них группы из трёх чисел, суммы которых будут одинаковы.

1)

Рассмотрим квадрат размером 2x2 клетки, выделенный на рисунке:

Сумма чисел на одной диагонали (главной): $24 + 35 = 59$.
Сумма чисел на другой диагонали (побочной): $25 + 34 = 59$.
Можно заметить, что эти суммы равны.

Проверим, будет ли это свойство выполняться для любого другого квадрата 2x2. Возьмем произвольный квадрат 2x2 и обозначим число в его левой верхней клетке за $x$.

Числа в таблице расположены так, что число справа от $x$ равно $x+1$, а число под $x$ равно $x+10$ (так как в строке 10 чисел). Тогда наш произвольный квадрат 2x2 будет выглядеть так:

Теперь найдем суммы чисел по его диагоналям:

• Сумма по главной диагонали: $x + (x + 11) = 2x + 11$
• Сумма по побочной диагонали: $(x + 1) + (x + 10) = 2x + 11$

Суммы оказались равны. Это доказывает, что в любом квадрате 2x2, выбранном в этой таблице, суммы чисел по диагоналям всегда будут одинаковыми.

Ответ: Суммы чисел по диагоналям в любом квадрате 2x2 равны.

2)

Рассмотрим произвольный квадрат размером 3x3 клетки. Оказывается, в нем можно найти четыре группы из трёх чисел, суммы которых будут одинаковы. Эти группы:

• Числа на главной диагонали.
• Числа на побочной диагонали.
• Числа в средней строке.
• Числа в среднем столбце.

Для доказательства обозначим центральный элемент квадрата 3x3 за $c$. Тогда, исходя из структуры таблицы, весь квадрат можно представить в следующем виде:

Теперь найдем суммы чисел в указанных группах:

• Сумма по главной диагонали: $(c - 11) + c + (c + 11) = 3c$
• Сумма по побочной диагонали: $(c - 9) + c + (c + 9) = 3c$
• Сумма по средней строке: $(c - 1) + c + (c + 1) = 3c$
• Сумма по среднему столбцу: $(c - 10) + c + (c + 10) = 3c$

Все четыре суммы равны утроенному центральному элементу квадрата. Например, для квадрата 3x3 с центром в клетке с числом 35 (как на рисунке):

• Главная диагональ: $24 + 35 + 46 = 105$
• Побочная диагональ: $26 + 35 + 44 = 105$
• Средняя строка: $34 + 35 + 36 = 105$
• Средний столбец: $25 + 35 + 45 = 105$

Действительно, все суммы равны $3 \cdot 35 = 105$.

Ответ: В любом квадрате 3x3 равны суммы чисел, стоящих на главной диагонали, на побочной диагонали, в среднем столбце и в средней строке.

C 56 1) В квадрате размером $10 \times 10$ клеток выписаны натуральные числа от 1 до 100, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером $2 \times 2$ клетки и сравни суммы, записанные по его диагоналям. Что ты замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством аналогичные суммы в любом другом квадрате размером $2 \times 2$ клетки? Обоснуй свой ответ.

2) Рассмотри теперь квадраты размером $3 \times 3$ клетки и найди в них группы из трех чисел, суммы которых будут одинаковы.

59. Реши уравнение методом проб и ошибок:

а) $x^2 = 4;$

б) $x^2 = -1;$

в) $x^2 + 9 = 0;$

г) $x^2 - 25 = 0.$

а) $x^2 = 4$

Метод проб и ошибок заключается в подборе такого значения $x$, чтобы равенство стало верным.
1. Пробуем $x=1$: $1^2 = 1$. Это не равно 4.
2. Пробуем $x=2$: $2^2 = 4$. Это верное равенство. Значит, $x=2$ является корнем уравнения.
3. Проверим отрицательные числа. Пробуем $x=-1$: $(-1)^2 = 1$. Это не равно 4.
4. Пробуем $x=-2$: $(-2)^2 = 4$. Это верное равенство. Значит, $x=-2$ также является корнем.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

б) $x^2 = -1$

Нам нужно найти число, квадрат которого равен отрицательному числу -1.
1. Если мы возьмем любое положительное число и возведем его в квадрат, результат будет положительным. Например, $2^2=4$.
2. Если мы возьмем ноль, его квадрат равен нулю: $0^2 = 0$.
3. Если мы возьмем любое отрицательное число и возведем его в квадрат, результат также будет положительным. Например, $(-2)^2=4$.
Таким образом, не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным.

Ответ: нет корней.

в) $x^2 + 9 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, перенеся 9 в правую часть:
$x^2 = -9$
Как и в предыдущем примере, нам нужно найти число, квадрат которого равен отрицательному числу -9. Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$). Следовательно, не существует действительного числа $x$, для которого $x^2$ было бы равно -9.

Ответ: нет корней.

г) $x^2 - 25 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, перенеся 25 в правую часть:
$x^2 = 25$
Теперь будем подбирать значения $x$.
1. Пробуем $x=1$: $1^2 = 1$. Не подходит.
2. Пробуем $x=5$: $5^2 = 25$. Это верное равенство. Значит, $x=5$ является корнем.
3. Проверим отрицательные числа. Пробуем $x=-5$: $(-5)^2 = 25$. Это также верное равенство. Значит, $x=-5$ является вторым корнем.

Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

59 Реши уравнения методом проб и ошибок:

а) $x^2 = 4$;

б) $x^2 = -1$;

в) $x^2 + 9 = 0$;

г) $x^2 - 25 = 0$.

60 Обед в столовой состоит из салата, борща, котлет и компота. Салат стоит 24 р., стоимость борща составляет 25 % стоимости всего обеда, котлеты на 60 % дороже борща, а компот на 16 р. дешевле борща. Сколько стоит обед в этой столовой?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — стоимость всего обеда в рублях.

Обед состоит из салата, борща, котлет и компота. Выразим стоимость каждого блюда через $x$ или известные величины, исходя из условий задачи:

• Стоимость салата: 24 р.
• Стоимость борща составляет 25% от стоимости всего обеда, то есть $0.25x$ р.
• Стоимость котлет на 60% дороже борща. Это значит, что их цена составляет $100\% + 60\% = 160\%$ от цены борща. Рассчитаем стоимость котлет: $1.6 \times (0.25x) = 0.4x$ р.
• Стоимость компота на 16 р. дешевле борща, то есть $(0.25x - 16)$ р.

Общая стоимость обеда ($x$) равна сумме стоимостей всех его составляющих:

$x = \text{Салат} + \text{Борщ} + \text{Котлеты} + \text{Компот}$

Подставим полученные выражения в это уравнение:

$x = 24 + 0.25x + 0.4x + (0.25x - 16)$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые значения:

$x = (0.25x + 0.4x + 0.25x) + (24 - 16)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$x = 0.9x + 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$x - 0.9x = 8$

$0.1x = 8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.1:

$x = \frac{8}{0.1}$

$x = 80$

Таким образом, стоимость всего обеда составляет 80 рублей.

Для уверенности выполним проверку:

• Стоимость обеда: 80 р.
• Стоимость борща: $0.25 \times 80 = 20$ р.
• Стоимость котлет: $20 + 20 \times 0.6 = 20 + 12 = 32$ р.
• Стоимость компота: $20 - 16 = 4$ р.
• Стоимость салата: 24 р.

Сложим стоимости всех блюд: $24 + 20 + 32 + 4 = 80$ р.

Сумма совпадает с найденной стоимостью обеда, значит, задача решена верно.

Ответ: 80 рублей.

60 Обеден в столовой состоит из салата, борща, котлет и компота. Салат стоит 24 р., стоимость борща составляет 25% стоимости всего обеда, котлеты на 60% дороже борща, а компот – на 16 р. дешевле борща. Сколько стоит обед в этой столовой?

Д

61 Найди значение выражения:

а) $2a - 9b + 7a + b + 5b - 8a$, если $a = 2,5$, $b = \frac{1}{4}$;

б) $8x + 3 - 9x - 7 + 5 - x$, если $x = -0,3$;

в) $-m^2 + 2m - 4 - 3m - 6 + 2m^2 + m$, если $m = -5$.

62 Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:

а) $2a - 9b + 7a + b + 5b - 8a$, если $a = 2,5, b = \frac{1}{4}$

Для начала упростим данное выражение, сгруппировав и сложив подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью).
Группируем слагаемые с переменной $a$ и с переменной $b$:
$(2a + 7a - 8a) + (-9b + b + 5b)$
Выполняем сложение и вычитание в каждой группе:
$(9a - 8a) + (-9b + 6b) = a - 3b$
Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него числовые значения переменных $a = 2,5$ и $b = \frac{1}{4}$. Для удобства вычислений представим дробь $\frac{1}{4}$ в виде десятичной дроби: $b = 0,25$.
$a - 3b = 2,5 - 3 \cdot (0,25) = 2,5 - 0,75 = 1,75$
Ответ: 1,75

б) $8x + 3 - 9x - 7 + 5 - x$, если $x = -0,3$

Сначала упростим выражение, приведя подобные слагаемые.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:
$(8x - 9x - x) + (3 - 7 + 5)$
Выполним действия в каждой группе:
$(8x - 10x) + (8 - 7) = -2x + 1$
Теперь подставим значение $x = -0,3$ в упрощенное выражение:
$-2x + 1 = -2 \cdot (-0,3) + 1 = 0,6 + 1 = 1,6$
Ответ: 1,6

в) $-m^2 + 2m - 4 - 3m - 6 + 2m^2 + m$, если $m = -5$

Упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые. Отдельно сгруппируем члены с $m^2$, с $m$ и числовые члены:
$(-m^2 + 2m^2) + (2m - 3m + m) + (-4 - 6)$
Выполним действия в каждой группе:
$m^2 + (3m - 3m) - 10 = m^2 + 0 - 10 = m^2 - 10$
Теперь подставим значение $m = -5$ в полученное выражение. Важно помнить, что при возведении в квадрат отрицательного числа результат будет положительным.
$m^2 - 10 = (-5)^2 - 10 = 25 - 10 = 15$
Ответ: 15

Найди значения выражений:

а) $2a - 9b + 7a + b + 5b - 8a$, если $a = 2,5$, $b = \frac{1}{4}$;

б) $8x + 3 - 9x - 7 + 5 - x$, если $x = -0,3$;

в) $-m^2 + 2m - 4 - 3m - 6 + 2m^2 + m$, если $m = -5$.

62 Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:

а) $-3(a + b) + 2(a - b)$;

б) $2(m - 4n) - 4(m - 2n)$;

в) $5(x - 5) - 3(2x - 9)$;

г) $2y^2 - y(y - 3) + y(2 - y)$.

а) $ -3(a + b) + 2(a - b) $
Сначала раскроем скобки, умножив число перед скобками на каждое слагаемое внутри скобок:
$ -3 \cdot a + (-3) \cdot b + 2 \cdot a + 2 \cdot (-b) = -3a - 3b + 2a - 2b $
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с переменной $a$ и слагаемые с переменной $b$):
$ (-3a + 2a) + (-3b - 2b) = -a - 5b $
Ответ: $-a - 5b$

б) $ 2(m - 4n) - 4(m - 2n) $
Раскроем скобки, умножая множитель на каждый член в скобках:
$ 2 \cdot m + 2 \cdot (-4n) - 4 \cdot m - 4 \cdot (-2n) = 2m - 8n - 4m + 8n $
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$ (2m - 4m) + (-8n + 8n) = -2m + 0 = -2m $
Ответ: $-2m$

в) $ 5(x - 5) - 3(2x - 9) $
Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:
$ 5 \cdot x + 5 \cdot (-5) - 3 \cdot (2x) - 3 \cdot (-9) = 5x - 25 - 6x + 27 $
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с $x$ и числовые слагаемые):
$ (5x - 6x) + (-25 + 27) = -x + 2 $
Ответ: $-x + 2$

г) $ 2y^2 - y(y - 3) + y(2 - y) $
Раскроем скобки:
$ 2y^2 - (y \cdot y + y \cdot (-3)) + (y \cdot 2 + y \cdot (-y)) = 2y^2 - (y^2 - 3y) + (2y - y^2) $
При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:
$ 2y^2 - y^2 + 3y + 2y - y^2 $
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с $y^2$ и слагаемые с $y$):
$ (2y^2 - y^2 - y^2) + (3y + 2y) = 0 \cdot y^2 + 5y = 5y $
Ответ: $5y$

62 Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые:

а) $-3(a + b) + 2(a - b);$

б) $2(m - 4n) - 4(m - 2n);$

в) $5(x - 5) - 3(2x - 9);$

г) $2y^2 - y(y - 3) + y(2 - y).$

63 Реши уравнение:

а) $-2(x - 9) + 5(x - 4) = 25;$

б) $4(5 - n) - 3(2n + 7) = 0.$

а) $-2(x - 9) + 5(x - 4) = 25$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножая число перед скобкой на каждый член внутри скобки:

$-2 \cdot x - 2 \cdot (-9) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-4) = 25$

$-2x + 18 + 5x - 20 = 25$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$, и числовые члены:

$(-2x + 5x) + (18 - 20) = 25$

$3x - 2 = 25$

Перенесем число $-2$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$3x = 25 + 2$

$3x = 27$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{27}{3}$

$x = 9$

Ответ: $9$

б) $4(5 - n) - 3(2n + 7) = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$4 \cdot 5 + 4 \cdot (-n) - 3 \cdot 2n - 3 \cdot 7 = 0$

$20 - 4n - 6n - 21 = 0$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с переменной $n$ и числовые члены:

$(-4n - 6n) + (20 - 21) = 0$

$-10n - 1 = 0$

Перенесем число $-1$ из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$-10n = 1$

Чтобы найти $n$, разделим обе части уравнения на $-10$:

$n = \frac{1}{-10}$

$n = -0.1$

Ответ: $-0.1$

63 Реши уравнения:

а) $-2(x - 9) + 5(x - 4) = 25;$

б) $4(5 - n) - 3(2n + 7) = 0.$

64 Составь выражение и найди его значение.

a) Чернослив при сушке теряет 64 % своей массы. Сколько надо взять свежего чернослива, чтобы получить 27 кг сушёного?

б) Коммерческое предприятие продало товара на 5100 р. Убыток составил 15 % от себестоимости. Чему равна себестоимость этого товара?

в) Метр ткани до повышения цен стоил 96 р., а после повышения стал стоить 120 р. На сколько процентов повысилась цена?

а)

Пусть $x$ – это масса свежего чернослива, которую необходимо взять. При сушке чернослив теряет 64% своей массы, значит, масса сушёного чернослива составляет $100\% - 64\% = 36\%$ от массы свежего. Мы знаем, что масса сушёного чернослива равна 27 кг, что и составляет 36% от искомой массы $x$.

Чтобы найти исходную массу (100%), нужно массу сушёного чернослива разделить на долю, которую она составляет от свежего. Выражение для нахождения $x$:

$27 \div 0.36$

Найдём его значение:

$27 \div 0.36 = 27 \div \frac{36}{100} = 27 \cdot \frac{100}{36} = \frac{2700}{36} = 75$ кг.

Ответ: 75 кг.

б)

Пусть $x$ – себестоимость товара. Предприятие продало товар с убытком 15% от себестоимости. Это означает, что цена продажи составила $100\% - 15\% = 85\%$ от себестоимости. Цена продажи равна 5100 р., что составляет 85% от $x$.

Чтобы найти себестоимость (100%), нужно цену продажи разделить на долю, которую она составляет от себестоимости. Выражение для нахождения $x$:

$5100 \div 0.85$

Найдём его значение:

$5100 \div 0.85 = 5100 \div \frac{85}{100} = 5100 \cdot \frac{100}{85} = \frac{510000}{85} = 6000$ р.

Ответ: 6000 р.

в)

Первоначальная цена ткани составляла 96 р. Новая цена – 120 р. Сначала найдём, на сколько рублей повысилась цена:

$120 - 96 = 24$ р.

Теперь нужно определить, какую часть это повышение составляет от первоначальной цены. Для этого разделим разницу в цене на первоначальную цену и умножим на 100%, чтобы выразить результат в процентах. Выражение:

$\frac{120 - 96}{96} \cdot 100\%$

Найдём его значение:

$\frac{24}{96} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 0.25 \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: на 25 %.

64 Составь выражение и найди его значение:

а) Чернослив при сушке теряет 64% своей массы. Сколько надо взять свежего чернослива, чтобы получить 27 кг сушеного?

б) Коммерческое предприятие продало товара на 5100 р. Убыток составил 15% от себестоимости. Чему равна себестоимость этого товара?

в) Метр ткани до повышения цен стоил 96 р., а после повышения стал стоить 120 р. На сколько процентов повысилась цена?

65 В магазин привезли 180 кг яблок. Некоторая часть яблок была продана по цене 16 р., а затем их цена увеличилась на 25 %. После продажи всех яблок выручка составила 3360 р. Какая часть яблок была продана по более высокой цене?

1. Первым действием найдем новую, более высокую цену на яблоки. Начальная цена составляла 16 рублей за кг. Она увеличилась на 25%.

Увеличение цены составляет: $16 \cdot \frac{25}{100} = 16 \cdot 0.25 = 4$ рубля.

Новая цена: $16 + 4 = 20$ рублей за кг.

2. Обозначим массу яблок, проданных по высокой цене (20 р./кг), как $x$ кг. Тогда масса яблок, проданных по начальной цене (16 р./кг), будет равна $(180 - x)$ кг, поскольку всего было 180 кг яблок.

3. Составим уравнение, исходя из общей выручки, которая составила 3360 рублей. Выручка складывается из суммы, полученной от продажи яблок по двум разным ценам.

$20 \cdot x + 16 \cdot (180 - x) = 3360$

4. Решим это уравнение, чтобы найти $x$.

$20x + 16 \cdot 180 - 16x = 3360$

$20x + 2880 - 16x = 3360$

$(20 - 16)x = 3360 - 2880$

$4x = 480$

$x = \frac{480}{4}$

$x = 120$

Таким образом, по более высокой цене было продано 120 кг яблок.

5. В задаче спрашивается, какая часть яблок была продана по более высокой цене. Для этого найдем отношение массы яблок, проданных по высокой цене, к общей массе яблок.

Часть = $\frac{\text{масса по высокой цене}}{\text{общая масса}} = \frac{120}{180}$

6. Сократим полученную дробь.

$\frac{120}{180} = \frac{12}{18} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$ часть яблок была продана по более высокой цене.

65 В магазин привезли 180 кг яблок. Некоторая часть яблок была продана по цене 16 р., а затем их цена увеличилась на 25%. После продажи всех яблок выручка составила 3360 р. Какая часть яблок была продана по более высокой цене?

66 Найди значение выражения

$\frac{10,2:(18,5-(5\frac{2}{3} \cdot 1,75-3\frac{2}{3} \cdot 1,75):2\frac{1}{3})}{80,64:1,6-3,4:\frac{1}{6}}$

Для нахождения значения выражения выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций. Сначала вычислим значение числителя, затем – знаменателя, и в конце найдем их частное.

Исходное выражение:

$$ \frac{10,2 : (18,5 - (5\frac{2}{3} \cdot 1,75 - 3\frac{2}{3} \cdot 1,75) : 2\frac{1}{3})}{80,64 : 1,6 - 3,4 : \frac{1}{6}} $$

1. Вычисление числителя $10,2 : (18,5 - (5\frac{2}{3} \cdot 1,75 - 3\frac{2}{3} \cdot 1,75) : 2\frac{1}{3})$

1) Выполним действие в самых внутренних скобках. Для упрощения вынесем общий множитель 1,75 за скобки (распределительное свойство):

$(5\frac{2}{3} - 3\frac{2}{3}) \cdot 1,75 = 2 \cdot 1,75 = 3,5$

2) Теперь выполним деление внутри больших скобок. Для этого преобразуем десятичную и смешанную дробь в неправильные дроби:

$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь делим:

$3,5 : 2\frac{1}{3} = \frac{7}{2} : \frac{7}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{3}{2} = 1,5$

3) Выполним вычитание в больших скобках:

$18,5 - 1,5 = 17$

4) Выполним последнее действие в числителе:

$10,2 : 17 = 0,6$

Таким образом, значение числителя равно 0,6.

2. Вычисление знаменателя $80,64 : 1,6 - 3,4 : \frac{1}{6}$

1) Сначала выполним деление:

$80,64 : 1,6 = 806,4 : 16 = 50,4$

2) Выполним второе деление:

$3,4 : \frac{1}{6} = 3,4 \cdot 6 = 20,4$

3) Теперь выполним вычитание:

$50,4 - 20,4 = 30$

Таким образом, значение знаменателя равно 30.

3. Итоговое вычисление

Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{0,6}{30} = 0,6 : 30 = 0,02$

Ответ: $0,02$.

66 Найди значение выражения:

$\frac{10,2 : \left(18,5 - \left(5\frac{2}{3} \cdot 1,75 - 3\frac{2}{3} \cdot 1,75\right) : 2\frac{1}{3}\right)}{80,64 : 1,6 - 3,4 : \frac{1}{6}}$

67. Найди целые корни уравнения методом проб и ошибок:

а) $x^2(x+1)=80$;

б) $x^4+x^2=20$;

в) $x^5-x^4=162$.

а) $x^2(x + 1) = 80$

Для нахождения целых корней будем использовать метод подбора. Так как $x^2$ является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$), а правая часть уравнения (80) положительна, то и множитель $(x + 1)$ должен быть положительным. Отсюда следует, что $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$. Таким образом, будем проверять целые числа, начиная с $0$.

• При $x = 0$: $0^2(0 + 1) = 0 \ne 80$.
• При $x = 1$: $1^2(1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \ne 80$.
• При $x = 2$: $2^2(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \ne 80$.
• При $x = 3$: $3^2(3 + 1) = 9 \cdot 4 = 36 \ne 80$.
• При $x = 4$: $4^2(4 + 1) = 16 \cdot 5 = 80$. Это значение является корнем уравнения.

При $x > 4$ значение левой части уравнения будет увеличиваться, так как функция $f(x) = x^2(x+1)$ возрастает при $x > 0$. Следовательно, других положительных целых корней нет.

Ответ: $4$.

б) $x^4 + x^2 = 20$

Подберем целые значения $x$. Так как $x$ входит в уравнение только в четных степенях ($x^4$ и $x^2$), значения левой части будут одинаковы для $x$ и $-x$. Поэтому достаточно найти положительные корни, а затем добавить к ним соответствующие отрицательные.

Начнем проверку с положительных целых чисел:

• При $x = 1$: $1^4 + 1^2 = 1 + 1 = 2 \ne 20$.
• При $x = 2$: $2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20$. Это значение является корнем.

При $x > 2$ левая часть будет больше 20, так как функция $f(x) = x^4+x^2$ возрастает при $x > 0$. Значит, $x=2$ — единственный положительный целый корень.

Поскольку уравнение содержит только четные степени $x$, то $x = -2$ также является корнем:

$(-2)^4 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.

Ответ: $-2; 2$.

в) $x^5 - x^4 = 162$

Вынесем общий множитель за скобки, чтобы упростить подбор: $x^4(x - 1) = 162$.

Множитель $x^4$ всегда неотрицателен. Так как правая часть (162) положительна, множитель $(x - 1)$ также должен быть положительным. Это означает, что $x - 1 > 0$, или $x > 1$. Будем проверять целые числа, большие 1.

• При $x = 2$: $2^4(2 - 1) = 16 \cdot 1 = 16 \ne 162$.
• При $x = 3$: $3^4(3 - 1) = 81 \cdot 2 = 162$. Это значение является корнем.

При $x > 3$ значение левой части $x^4(x-1)$ будет расти, поэтому других целых корней нет.

Ответ: $3$.

C 67 Найди целые корни уравнения методом проб и ошибок:

a) $x^2(x+1) = 80;$

б) $x^4 + x^2 = 20;$

в) $x^5 - x^4 = 162.$

68 Крестьянина на рынке спросили: «Сколько стоит десяток яиц?» Он ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». По какой цене продавал крестьянин десяток яиц? (1 полушка – это $\frac{1}{4}$ копейки.)

Для решения задачи обозначим цену одного яйца в полушках за $x$.

Исходя из ответа крестьянина, фразу «Двадцать пять яиц без полушки» можно записать в виде математического выражения как $25x - 1$.

Вторую часть ответа, «пять полушек без пяти яиц», можно записать как $5 - 5x$.

Поскольку эти две величины равны по стоимости, мы можем составить уравнение:

$25x - 1 = 5 - 5x$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти цену одного яйца $x$.
Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:
$25x + 5x = 5 + 1$
$30x = 6$
$x = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Таким образом, цена одного яйца составляет $\frac{1}{5}$ полушки.

Чтобы узнать цену десятка яиц, умножим цену одного яйца на 10:
$10 \cdot x = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$ полушки.

В условии указано, что 1 полушка — это $\frac{1}{4}$ копейки. Переведем стоимость десятка яиц в копейки:
$2 \text{ полушки} = 2 \cdot \frac{1}{4} \text{ копейки} = \frac{1}{2}$ копейки (или 0,5 копейки).

Ответ: Десяток яиц стоил 2 полушки, или 0,5 копейки.

68 Крестьянина на рынке спросили: «Сколько стоит десяток яиц?» Он ответил замысловато: «Двадцать пять яиц без полушки стоят пять полушек без пяти яиц». По какой цене продавал крестьянин десяток яиц? (1 полушка – это $ \frac{1}{4} $ копейки.)