Страница 21, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

76 Найди истинные и ложные высказывания. Обоснуй свой ответ. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $ \forall a \in N: \frac{a}{8} = \frac{2}{a}; $

2) $ \exists n \in N: n^2 - 16 = 0; $

3) $ \exists b \in R: b^2 + 9 = 0 $ (R – множество дробей);

4) $ \forall c \in R: \frac{c}{5} > \frac{c}{6} $ (R – множество дробей).

1) Высказывание $ \forall a \in N: \frac{a}{8} = \frac{2}{a} $ является ложным.
Обоснование: Квантор всеобщности $ \forall $ означает, что равенство должно выполняться для каждого натурального числа $ a $. Решим данное уравнение:
$ \frac{a}{8} = \frac{2}{a} $
$ a^2 = 8 \cdot 2 $
$ a^2 = 16 $
$ a = 4 $ или $ a = -4 $.
Поскольку $ a $ должно быть натуральным числом ($ a \in N $), то единственное решение, которое подходит, — это $ a = 4 $. Однако утверждение сделано для всех натуральных чисел. Мы можем легко найти контрпример. Например, пусть $ a=1 $. Тогда $ \frac{1}{8} \ne \frac{2}{1} $. Так как равенство выполняется не для всех натуральных чисел, исходное высказывание ложно.
Отрицание: Отрицанием для $ \forall a: P(a) $ является $ \exists a: \neg P(a) $. Таким образом, отрицание будет: $ \exists a \in N: \frac{a}{8} \ne \frac{2}{a} $. Это высказывание истинно.
Ответ: Ложное.

2) Высказывание $ \exists n \in N: n^2 - 16 = 0 $ является истинным.
Обоснование: Квантор существования $ \exists $ означает, что достаточно найти хотя бы одно натуральное число $ n $, для которого равенство будет верным. Решим уравнение:
$ n^2 - 16 = 0 $
$ n^2 = 16 $
$ n = 4 $ или $ n = -4 $.
Корень $ n=4 $ является натуральным числом ($ 4 \in N $). Так как мы нашли такое число, высказывание истинно.
Ответ: Истинное.

3) Высказывание $ \exists b \in R: b^2 + 9 = 0 $ (где R — множество дробей) является ложным.
Обоснование: В задаче указано, что $ R $ — это множество дробей, то есть рациональных чисел ($ Q $). Нам нужно проверить, существует ли такое рациональное число $ b $, которое удовлетворяет уравнению $ b^2 + 9 = 0 $. Решим это уравнение:
$ b^2 = -9 $
Квадрат любого рационального (как и любого действительного) числа не может быть отрицательным. Для любого рационального числа $ b $ всегда выполняется условие $ b^2 \ge 0 $. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен -9.
Отрицание: Отрицанием для $ \exists b: P(b) $ является $ \forall b: \neg P(b) $. Таким образом, отрицание будет: $ \forall b \in R: b^2 + 9 \ne 0 $. Это высказывание истинно.
Ответ: Ложное.

4) Высказывание $ \forall c \in R: \frac{c}{5} > \frac{c}{6} $ (где R — множество дробей) является ложным.
Обоснование: Утверждается, что данное неравенство верно для любого рационального числа $ c $. Преобразуем неравенство, чтобы проанализировать его:
$ \frac{c}{5} - \frac{c}{6} > 0 $
$ \frac{6c - 5c}{30} > 0 $
$ \frac{c}{30} > 0 $
Это неравенство верно, только если $ c > 0 $. Оно не выполняется для $ c=0 $ (так как $ 0 > 0 $ — ложно) и для всех отрицательных $ c $ (если $ c < 0 $, то $ \frac{c}{30} < 0 $). Например, возьмем контрпример $ c=-1 $:
$ \frac{-1}{5} > \frac{-1}{6} $
$ -0.2 > -0.166... $ — это ложно.
Поскольку мы нашли контрпример, утверждение, что неравенство верно для всех рациональных чисел, является ложным.
Отрицание: Отрицанием для $ \forall c: P(c) $ является $ \exists c: \neg P(c) $. Отрицанием знака $ > $ является $ \le $. Таким образом, отрицание будет: $ \exists c \in R: \frac{c}{5} \le \frac{c}{6} $. Это высказывание истинно.
Ответ: Ложное.

76 Найди истинные и ложные высказывания. Обоснуй свой ответ. Построй отрицания ложных высказываний.

1) $\forall a \in N: \frac{a}{8} = \frac{2}{a}$;

2) $\exists n \in N: n^2 - 16 = 0$;

3) $\exists b \in R: b^2 + 9 = 0$ (R – множество дробей);

4) $\forall c \in R: \frac{c}{5} > \frac{c}{6}$ (R – множество дробей).

77 Найди ложные высказывания и построй их отрицания.

1) Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

2) Отношение двух чисел может быть равно обратному отношению этих чисел.

3) Масштаб изображения всегда выражается числом, меньшим 1.

4) Произведение крайних членов пропорции всегда равно произведению их средних членов.

5) Правильная дробь может быть равна 1.

6) Множество натуральных чисел является подмножеством множества дробей.

Это высказывание является ложным. Масштаб показывает отношение размера на изображении к реальному размеру объекта. Если изображение является уменьшенной копией (например, географическая карта), его масштаб меньше 1 (например, 1:1000, что равно $ \frac{1}{1000} $). Однако, если изображение является увеличенной копией (например, чертеж детали или изображение клетки под микроскопом), его масштаб будет больше 1 (например, 2:1, что равно 2). Также возможен масштаб 1:1, когда размеры на изображении и в реальности совпадают. Так как масштаб может быть не только меньше, но и равен или больше единицы, утверждение является ложным.
Отрицание: Масштаб изображения не всегда выражается числом, меньшим 1 (или: Масштаб изображения может быть равен или больше 1).
Ответ: высказывание ложно.

Это высказывание является ложным. По определению, правильная дробь – это дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Для положительных дробей это означает, что числитель строго меньше знаменателя (например, $ \frac{3}{4} $, $ \frac{9}{10} $). Значение такой дроби всегда меньше 1. Дробь равна единице только в том случае, если ее числитель равен знаменателю (например, $ \frac{5}{5} = 1 $). Такая дробь называется неправильной. Следовательно, правильная дробь по определению не может быть равна 1.
Отрицание: Правильная дробь не может быть равна 1.
Ответ: высказывание ложно.

77 Найди ложные высказывания и построй их отрицания:

1) Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого.

2) Отношение двух чисел может быть равно обратному отношению этих чисел.

3) Масштаб изображения всегда выражается числом, меньшим 1.

4) Произведение крайних членов пропорции всегда равно произведению их средних членов.

5) Правильная дробь может быть равна 1.

6) Множество натуральных чисел является подмножеством множества дробей.

78 Запиши процентное отношение чисел $\frac{28}{35}$ и $\frac{35}{28}$. На сколько процентов первое число меньше второго? На сколько процентов второе число больше первого?

Запиши процентное отношение чисел 28 к 35 и 35 к 28.

Чтобы найти процентное отношение одного числа к другому, нужно первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

1. Процентное отношение числа 28 к числу 35:

$\frac{28}{35} \cdot 100\% = \frac{4}{5} \cdot 100\% = 0,8 \cdot 100\% = 80\%$

2. Процентное отношение числа 35 к числу 28:

$\frac{35}{28} \cdot 100\% = \frac{5}{4} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\%$

Ответ: Процентное отношение числа 28 к 35 равно 80%; процентное отношение числа 35 к 28 равно 125%.

На сколько процентов первое число меньше второго?

В этом вопросе мы сравниваем первое число (28) со вторым (35). Это означает, что второе число, 35, принимается за 100% (база для сравнения).

1. Найдем абсолютную разницу между числами: $35 - 28 = 7$.

2. Теперь найдем, какую часть эта разница составляет от базового числа (35), и выразим это в процентах:

$\frac{\text{разница}}{\text{базовое число}} \cdot 100\% = \frac{7}{35} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Ответ: Первое число меньше второго на 20%.

На сколько процентов второе число больше первого?

В этом вопросе мы сравниваем второе число (35) с первым (28). Теперь первое число, 28, принимается за 100% (база для сравнения).

1. Абсолютная разница между числами остается той же: $35 - 28 = 7$.

2. Найдем, какую часть эта разница составляет от нового базового числа (28), и выразим это в процентах:

$\frac{\text{разница}}{\text{базовое число}} \cdot 100\% = \frac{7}{28} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: Второе число больше первого на 25%.

78 Запиши процентное отношение чисел 28 к 35 и 35 к 28. На сколько процентов первое число меньше второго? На сколько процентов второе число больше первого?

79 Как и на сколько процентов изменилось число, если:

1) его удвоили;

2) его увеличили в 3,5 раза;

3) его уменьшили в 4 раза;

4) его уменьшили на четверть;

5) взяли от него треть;

6) взяли от него две пятых;

7) разделили его пополам;

8) умножили его на 5?

Для решения задачи примем исходное число за $x$, что соответствует 100%. Изменение в процентах будем находить по формуле:
$ \text{Процентное изменение} = \frac{\text{Новое значение} - \text{Исходное значение}}{\text{Исходное значение}} \cdot 100\% $

1) его удвоили;
Если число удвоили, новое число стало равно $2x$.
Изменение равно $2x - x = x$.
Процентное изменение: $\frac{x}{x} \cdot 100\% = 100\%$.
Число увеличилось.
Ответ: число увеличилось на 100%.

2) его увеличили в 3,5 раза;
Если число увеличили в 3,5 раза, новое число стало равно $3.5x$.
Изменение равно $3.5x - x = 2.5x$.
Процентное изменение: $\frac{2.5x}{x} \cdot 100\% = 250\%$.
Число увеличилось.
Ответ: число увеличилось на 250%.

3) его уменьшили в 4 раза;
Если число уменьшили в 4 раза, новое число стало равно $\frac{x}{4} = 0.25x$.
Изменение равно $x - 0.25x = 0.75x$.
Процентное изменение: $\frac{0.75x}{x} \cdot 100\% = 75\%$.
Число уменьшилось.
Ответ: число уменьшилось на 75%.

4) его уменьшили на четверть;
Четверть числа — это $\frac{1}{4}x$ или $0.25x$.
Новое число равно $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x = 0.75x$.
Уменьшение произошло на $\frac{1}{4}$, что составляет $0.25 \cdot 100\% = 25\%$.
Число уменьшилось.
Ответ: число уменьшилось на 25%.

5) взяли от него треть;
Это означает, что число уменьшили на одну треть. Треть числа — это $\frac{1}{3}x$.
Новое число равно $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$.
Уменьшение произошло на $\frac{1}{3}$, что составляет $\frac{1}{3} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$.
Число уменьшилось.
Ответ: число уменьшилось на $33\frac{1}{3}\%$.

6) взяли от него две пятых;
Это означает, что число уменьшили на две пятых. Две пятых числа — это $\frac{2}{5}x = 0.4x$.
Новое число равно $x - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x = 0.6x$.
Уменьшение произошло на $\frac{2}{5}$, что составляет $0.4 \cdot 100\% = 40\%$.
Число уменьшилось.
Ответ: число уменьшилось на 40%.

7) разделили его пополам;
Разделить пополам — значит, уменьшить в 2 раза. Новое число стало равно $\frac{x}{2} = 0.5x$.
Изменение равно $x - 0.5x = 0.5x$.
Процентное изменение: $\frac{0.5x}{x} \cdot 100\% = 50\%$.
Число уменьшилось.
Ответ: число уменьшилось на 50%.

8) умножили его на 5?
Если число умножили на 5, новое число стало равно $5x$.
Изменение равно $5x - x = 4x$.
Процентное изменение: $\frac{4x}{x} \cdot 100\% = 400\%$.
Число увеличилось.
Ответ: число увеличилось на 400%.

79. Как и на сколько процентов изменилось число, если:

1) его удвоили;

2) его увеличили в 3,5 раза;

3) его уменьшили в 4 раза;

4) его уменьшили на $1/4$;

5) взяли от него $1/3$;

6) взяли от него $2/5$;

7) разделили его пополам;

8) умножили его на 5?

80 Мотоциклист проехал путь между городами $M$ и $N$ со скоростью на $20\%$ больше намеченной, а обратный путь – со скоростью на $20\%$ меньше намеченной.

Во сколько раз скорость мотоциклиста на обратном пути была меньше, чем по пути из $M$ в $N$?

Пусть $v$ — намеченная скорость мотоциклиста.

По условию, на пути из города M в город N скорость мотоциклиста была на 20% больше намеченной. Выразим эту скорость, обозначив ее $v_{MN}$:

$v_{MN} = v + 0,20 \cdot v = (1 + 0,20)v = 1,2v$

На обратном пути из N в M скорость мотоциклиста была на 20% меньше намеченной. Выразим эту скорость, обозначив ее $v_{NM}$:

$v_{NM} = v - 0,20 \cdot v = (1 - 0,20)v = 0,8v$

Чтобы определить, во сколько раз скорость на обратном пути ($v_{NM}$) была меньше, чем скорость на пути из M в N ($v_{MN}$), необходимо найти отношение большей скорости к меньшей:

$\frac{v_{MN}}{v_{NM}} = \frac{1,2v}{0,8v}$

Сократим переменную $v$ в числителе и знаменателе и вычислим значение дроби:

$\frac{1,2}{0,8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

Следовательно, скорость мотоциклиста на обратном пути была в 1,5 раза меньше, чем по пути из M в N.

Ответ: в 1,5 раза.

80 Мотоциклист проехал путь между городами M и N со скоростью на 20% больше намеченной, а обратный путь - со скоростью на 20% меньше намеченной. Во сколько раз скорость мотоциклиста на обратном пути была меньше, чем по пути из M в N?

81 Автобус проходит расстояние между двумя пунктами, равное 36 км, за 40 мин, а легковой автомобиль – на 40 % быстрее. Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти скорости автобуса и легкового автомобиля, затем найти их скорость сближения и, наконец, рассчитать время до встречи.

1. Найдем скорость автобуса ($v_{авт}$).
Расстояние $S = 36$ км.
Время, за которое автобус проходит это расстояние, $t_{авт} = 40$ мин. Для удобства расчетов переведем минуты в часы:
$40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Скорость автобуса вычисляется по формуле $v = S/t$:
$v_{авт} = \frac{36}{\frac{2}{3}} = 36 \cdot \frac{3}{2} = 18 \cdot 3 = 54$ км/ч.

2. Найдем скорость легкового автомобиля ($v_{л.а.}$).
По условию, легковой автомобиль на 40% быстрее автобуса. Это означает, что его скорость на 40% больше скорости автобуса.
$v_{л.а.} = v_{авт} + 0.4 \cdot v_{авт} = 1.4 \cdot v_{авт}$
$v_{л.а.} = 1.4 \cdot 54 = 75.6$ км/ч.

3. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$).
Поскольку транспортные средства движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_{авт} + v_{л.а.} = 54 + 75.6 = 129.6$ км/ч.

4. Найдем время до встречи ($t_{встр}$).
Время до встречи можно найти, разделив общее расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{36}{129.6}$ ч.
Упростим полученную дробь:
$\frac{36}{129.6} = \frac{360}{1296} = \frac{10 \cdot 36}{36 \cdot 36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ ч.

5. Переведем время встречи в минуты и секунды для более наглядного ответа.
$t_{встр} = \frac{5}{18} \cdot 60 = \frac{300}{18} = \frac{50}{3}$ мин.
Представим результат в виде смешанной дроби:
$\frac{50}{3} \text{ мин} = 16 \frac{2}{3} \text{ мин}$.
Так как $\frac{2}{3}$ минуты — это $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ секунд, то время встречи составит 16 минут 40 секунд.

Ответ: Они встретятся через $16 \frac{2}{3}$ минуты, или через 16 минут 40 секунд.

Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Да, в условии этой задачи есть лишнее данное. Этим данным является расстояние между пунктами, равное 36 км. Задачу можно решить, не зная конкретного значения расстояния.
Докажем это аналитически.

Пусть $S$ — расстояние между пунктами, $t_{авт}$ — время автобуса в пути (40 мин), $v_{авт}$ и $v_{л.а.}$ — скорости автобуса и автомобиля соответственно.
Из условия мы знаем:
$v_{авт} = \frac{S}{t_{авт}}$
$v_{л.а.} = 1.4 \cdot v_{авт} = 1.4 \cdot \frac{S}{t_{авт}}$
Время до встречи $t_{встр}$ находится по формуле:
$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{S}{v_{авт} + v_{л.а.}}$
Подставим в эту формулу выражения для скоростей:
$t_{встр} = \frac{S}{\frac{S}{t_{авт}} + 1.4 \cdot \frac{S}{t_{авт}}}$
Вынесем $S$ за скобки в знаменателе:
$t_{встр} = \frac{S}{S \cdot (\frac{1}{t_{авт}} + \frac{1.4}{t_{авт}})}$
Как видно, расстояние $S$ в числителе и знаменателе сокращается:
$t_{встр} = \frac{1}{\frac{1 + 1.4}{t_{авт}}} = \frac{1}{\frac{2.4}{t_{авт}}} = \frac{t_{авт}}{2.4}$
Таким образом, для нахождения времени встречи достаточно знать только время автобуса $t_{авт}$ и соотношение скоростей. Подставим значение $t_{авт} = 40$ мин:
$t_{встр} = \frac{40 \text{ мин}}{2.4} = \frac{400}{24} = \frac{50}{3}$ мин.
Результат совпадает с полученным ранее, что доказывает, что значение расстояния не является необходимым для решения задачи.

Ответ: Да, лишнее данное — расстояние в 36 км.

81 Автобус проходит расстояние между двумя пунктами, равное 36 км, за 40 мин, а легковой автомобиль – на 40% быстрее. Через сколько времени они встретятся, если из конечных пунктов начнут одновременно двигаться навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

82 Скорость велосипедиста на 250 % больше скорости пешехода. Через 1,5 ч после того, как они одновременно начали двигаться из одного и того же пункта в одном направлении, расстояние между ними стало равно 16,5 км. Чему равны скорости движения велосипедиста и пешехода?

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость пешехода равна $v_п$ км/ч.Тогда скорость велосипедиста, которая на 250% больше, будет равна:

$v_в = v_п + 250\% \cdot v_п = v_п + \frac{250}{100} \cdot v_п = v_п + 2.5 \cdot v_п = 3.5 \cdot v_п$

Велосипедист и пешеход движутся в одном направлении из одного и того же пункта. Это означает, что расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна разности их скоростей:

$v_{уд} = v_в - v_п$

Подставим выражение для скорости велосипедиста:

$v_{уд} = 3.5v_п - v_п = 2.5v_п$

Расстояние $S$, которое образовалось между ними за время $t$, вычисляется по формуле $S = v_{уд} \cdot t$. Нам известны расстояние $S = 16.5$ км и время $t = 1.5$ ч. Подставим эти значения в формулу:

$16.5 = (2.5v_п) \cdot 1.5$

Решим полученное уравнение относительно $v_п$:

$16.5 = 3.75v_п$

$v_п = \frac{16.5}{3.75} = \frac{1650}{375} = 4.4$ км/ч.

Итак, мы нашли скорость пешехода. Теперь найдем скорость велосипедиста:

$v_в = 3.5 \cdot v_п = 3.5 \cdot 4.4 = 15.4$ км/ч.

Проверка:
Скорость удаления: $15.4 - 4.4 = 11$ км/ч.
Расстояние за 1,5 часа: $11 \text{ км/ч} \cdot 1.5 \text{ ч} = 16.5$ км.
Все верно.

Ответ: скорость пешехода равна 4,4 км/ч, а скорость велосипедиста — 15,4 км/ч.

82 Скорость велосипедиста на 250% больше скорости пешехода. Через 1,5 ч после того, как они одновременно начали двигаться из одного и того же пункта в одном направлении, расстояние между ними стало равно 16,5 км. Чему равны скорости движения велосипедиста и пешехода?