Страница 19, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

64 Выполни действия. Какие из полученных чисел можно представить в виде конечных десятичных дробей? Выпиши соответствую щие им буквы и пе- реставь их так, чтобы получилось слово. Любое из оставшихся чисел замени конечной десятичной дробью с точностью до десятых, сотых, тысячных.

Б $\frac{5}{9} - \frac{7}{18}$

Т $\frac{4}{5} + \frac{3}{7}$

О $\frac{2}{3} - \frac{5}{12}$

С $\frac{12}{25} + \frac{8}{15}$

Н $3 + \frac{9}{16}$

А $1 - \frac{5}{8}$

Г $4 - 3\frac{5}{9}$

Р $9 - 2\frac{17}{20}$

М $1\frac{7}{8} + 3\frac{5}{12}$

П $2\frac{3}{14} - 1\frac{5}{7}$

Ь $\frac{2}{45} \cdot 9$}

Е $\frac{48}{11} : 6$

Л $\frac{7}{12} \cdot \frac{6}{25}$

В $\frac{18}{35} : \frac{16}{49}$

И $2\frac{11}{20} \cdot 1\frac{1}{15}$

Д $10\frac{2}{7} : 2\frac{25}{28}$

Сначала выполним все действия, указанные в задании.

Б

$ \frac{5}{9} - \frac{7}{18} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{7}{18} = \frac{10}{18} - \frac{7}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $

Т

$ \frac{4}{5} + \frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{28}{35} + \frac{15}{35} = \frac{43}{35} = 1\frac{8}{35} $

Ответ: $ 1\frac{8}{35} $

О

$ \frac{2}{3} - \frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{5}{12} = \frac{8}{12} - \frac{5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $

С

$ \frac{12}{25} + \frac{8}{15} = \frac{12 \cdot 3}{25 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{36}{75} + \frac{40}{75} = \frac{76}{75} = 1\frac{1}{75} $

Ответ: $ 1\frac{1}{75} $

Н

$ 3 + \frac{9}{16} = 3\frac{9}{16} $

Ответ: $ 3\frac{9}{16} $

А

$ 1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $

Г

$ 4 - 3\frac{5}{9} = 3\frac{9}{9} - 3\frac{5}{9} = \frac{4}{9} $

Ответ: $ \frac{4}{9} $

Р

$ 9 - 2\frac{17}{20} = 8\frac{20}{20} - 2\frac{17}{20} = 6\frac{3}{20} $

Ответ: $ 6\frac{3}{20} $

М

$ 1\frac{7}{8} + 3\frac{5}{12} = 1\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} + 3\frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = 1\frac{21}{24} + 3\frac{10}{24} = 4\frac{31}{24} = 5\frac{7}{24} $

Ответ: $ 5\frac{7}{24} $

П

$ 2\frac{3}{14} - 1\frac{5}{7} = 2\frac{3}{14} - 1\frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = 2\frac{3}{14} - 1\frac{10}{14} = 1\frac{17}{14} - 1\frac{10}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

Ь

$ \frac{2}{45} \cdot 9 = \frac{2 \cdot 9}{45} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $

Е

$ \frac{48}{11} : 6 = \frac{48}{11} \cdot \frac{1}{6} = \frac{8}{11} $

Ответ: $ \frac{8}{11} $

Л

$ \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{25} = \frac{7 \cdot 6}{12 \cdot 25} = \frac{7}{2 \cdot 25} = \frac{7}{50} $

Ответ: $ \frac{7}{50} $

В

$ \frac{18}{35} : \frac{16}{49} = \frac{18}{35} \cdot \frac{49}{16} = \frac{9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7}{5 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 2} = \frac{63}{40} = 1\frac{23}{40} $

Ответ: $ 1\frac{23}{40} $

И

$ 2\frac{11}{20} \cdot 1\frac{1}{15} = \frac{51}{20} \cdot \frac{16}{15} = \frac{17 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{68}{25} = 2\frac{18}{25} $

Ответ: $ 2\frac{18}{25} $

Д

$ 10\frac{2}{7} : 2\frac{25}{28} = \frac{72}{7} : \frac{81}{28} = \frac{72}{7} \cdot \frac{28}{81} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{32}{9} = 3\frac{5}{9} $

Ответ: $ 3\frac{5}{9} $

Теперь определим, какие из полученных чисел можно представить в виде конечных десятичных дробей. Это возможно, если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся только 2 и 5.

Выпишем соответствующие числа и буквы:

О: $ \frac{1}{4} = 0.25 $ (знаменатель $ 4 = 2^2 $)

Н: $ 3\frac{9}{16} = 3.5625 $ (знаменатель $ 16 = 2^4 $)

А: $ \frac{3}{8} = 0.375 $ (знаменатель $ 8 = 2^3 $)

Р: $ 6\frac{3}{20} = 6.15 $ (знаменатель $ 20 = 2^2 \cdot 5 $)

П: $ \frac{1}{2} = 0.5 $ (знаменатель 2)

Ь: $ \frac{2}{5} = 0.4 $ (знаменатель 5)

Л: $ \frac{7}{50} = 0.14 $ (знаменатель $ 50 = 2 \cdot 5^2 $)

В: $ 1\frac{23}{40} = 1.575 $ (знаменатель $ 40 = 2^3 \cdot 5 $)

И: $ 2\frac{18}{25} = 2.72 $ (знаменатель $ 25 = 5^2 $)

Переставив эти буквы, получаем слово:

ПРАВИЛЬНО

Возьмем любое из оставшихся чисел, например, из пункта Б, и представим его в виде десятичной дроби с округлением до десятых, сотых и тысячных.

Число: $ \frac{1}{6} = 1 : 6 = 0.1666... $

Округление до десятых: $ \frac{1}{6} \approx 0.2 $

Округление до сотых: $ \frac{1}{6} \approx 0.17 $

Округление до тысячных: $ \frac{1}{6} \approx 0.167 $

Ответ: $ \frac{1}{6} \approx 0.2 $; $ \frac{1}{6} \approx 0.17 $; $ \frac{1}{6} \approx 0.167 $

64 Выполни действия. Какие из полученных чисел можно представить в виде конечных десятичных дробей? Выпиши соответствующие им буквы и переставь их так, чтобы получилось слово.

Б $ \frac{5}{9} - \frac{7}{18} $

Н $ 3 + \frac{9}{16} $

М $ 1\frac{7}{8} + 3\frac{5}{12} $

Л $ \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{25} $

Т $ \frac{4}{5} + \frac{3}{7} $

А $ 1 - \frac{5}{8} $

П $ 2\frac{3}{14} - 1\frac{5}{7} $

В $ \frac{18}{35} : \frac{16}{49} $

О $ \frac{2}{3} - \frac{5}{12} $

Г $ 4 - 3\frac{5}{9} $

Ь $ \frac{2}{45} \cdot 9 $

И $ 2\frac{11}{20} \cdot 1\frac{1}{15} $

С $ \frac{12}{25} + \frac{8}{15} $

Р $ 9 - 2\frac{17}{20} $

Е $ \frac{48}{11} : 6 $

Д $ 10\frac{2}{7} : 2\frac{25}{28} $

65 Вычисли. Ответ запиши в виде конечной десятичной дроби с точностью до десятых, сотых, тысячных.

1) $10\frac{5}{6} : 5 + 2\frac{5}{9} : (3\frac{2}{9} - 3 \cdot \frac{2}{9}) - 1\frac{3}{4};$

2) $\frac{15}{28} : [4\frac{1}{8} - 3\frac{1}{8} : (4\frac{5}{12} - 2\frac{13}{24}) + 19 : 6].$

1) $10\frac{5}{6} : 5 + 2\frac{5}{9} : (3\frac{2}{9} - 3 \cdot \frac{2}{9}) - 1\frac{3}{4}$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Сначала выполним действия в скобках. Внутри скобок первым выполняется умножение:

$3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь вычитание в скобках:

$3\frac{2}{9} - \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 9 + 2}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{29}{9} - \frac{6}{9} = \frac{23}{9}$

2. Далее по порядку выполняем деление слева направо:

$10\frac{5}{6} : 5 = \frac{10 \cdot 6 + 5}{6} : 5 = \frac{65}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{65}{30} = \frac{13}{6}$

$2\frac{5}{9} : \frac{23}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 5}{9} : \frac{23}{9} = \frac{23}{9} \cdot \frac{9}{23} = 1$

3. Теперь выполним сложение и вычитание, подставив полученные значения в выражение:

$\frac{13}{6} + 1 - 1\frac{3}{4} = \frac{13}{6} + \frac{6}{6} - \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{19}{6} - \frac{7}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю (12):

$\frac{19 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{38}{12} - \frac{21}{12} = \frac{17}{12}$

4. Преобразуем полученную дробь в десятичную и округлим:

$\frac{17}{12} = 17 : 12 = 1.41666...$

Округлим с требуемой точностью:

• до десятых: $1.4$
• до сотых: $1.42$
• до тысячных: $1.417$

Ответ: $1.4$; $1.42$; $1.417$.

2) $\frac{15}{28} : [4\frac{1}{8} - 3\frac{1}{8} : (4\frac{5}{12} - 2\frac{13}{24}) + 19:6]$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

1. Сначала выполним действие в круглых скобках:

$4\frac{5}{12} - 2\frac{13}{24} = \frac{4 \cdot 12 + 5}{12} - \frac{2 \cdot 24 + 13}{24} = \frac{53}{12} - \frac{61}{24}$

Приведем к общему знаменателю (24):

$\frac{53 \cdot 2}{12 \cdot 2} - \frac{61}{24} = \frac{106}{24} - \frac{61}{24} = \frac{45}{24} = \frac{15}{8}$

2. Теперь выполним действия деления внутри квадратных скобок:

$3\frac{1}{8} : \frac{15}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} \cdot \frac{8}{15} = \frac{25}{8} \cdot \frac{8}{15} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$

$19 : 6 = \frac{19}{6}$

3. Выполним оставшиеся действия в квадратных скобках (вычитание и сложение):

$4\frac{1}{8} - \frac{5}{3} + \frac{19}{6} = \frac{4 \cdot 8 + 1}{8} - \frac{5}{3} + \frac{19}{6} = \frac{33}{8} - \frac{5}{3} + \frac{19}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю (24):

$\frac{33 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{19 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{99}{24} - \frac{40}{24} + \frac{76}{24} = \frac{99 - 40 + 76}{24} = \frac{135}{24}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{135 : 3}{24 : 3} = \frac{45}{8}$

4. Выполним последнее деление:

$\frac{15}{28} : \frac{45}{8} = \frac{15}{28} \cdot \frac{8}{45} = \frac{15 \cdot 8}{28 \cdot 45} = \frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{2}{21}$

5. Преобразуем полученную дробь в десятичную и округлим:

$\frac{2}{21} = 2 : 21 \approx 0.095238...$

Округлим с требуемой точностью:

• до десятых: $0.1$
• до сотых: $0.10$
• до тысячных: $0.095$

Ответ: $0.1$; $0.10$; $0.095$.

65 Найди значения выражений:

1) $10\frac{5}{6} : 5 + 2\frac{5}{9} : \left(3\frac{2}{9} - 3 \cdot \frac{2}{9}\right)$;

2) $\left[4\frac{1}{8} - 3\frac{1}{8} : \left(4\frac{5}{12} - 2\frac{13}{24}\right) + 19 : 6\right] \cdot 2\frac{2}{5}$.

66 Составь математические модели задач.

1) Альбом стоит $a$ р., а книга – в 1,4 раза дешевле. Сколько стоят альбом и книга вместе?

2) Объём одной коробки $b \text{ дм}^3$, а другой – на $8,4 \text{ дм}^3$ меньше. Во сколько раз первая коробка вместительнее, чем вторая?

1)

Для составления математической модели определим стоимость каждого товара и их сумму.
Стоимость альбома по условию составляет $a$ рублей.
Книга в 1,4 раза дешевле, это означает, что ее стоимость нужно найти делением стоимости альбома на 1,4.
Стоимость книги: $\frac{a}{1,4}$ рублей.
Чтобы найти, сколько стоят альбом и книга вместе, необходимо сложить их стоимости.
Математическая модель, представляющая общую стоимость, выглядит так: $a + \frac{a}{1,4}$.

Ответ: $a + \frac{a}{1,4}$

2)

Для составления математической модели определим объём каждой коробки и найдём их отношение.
Объём первой коробки по условию составляет $b$ дм³.
Объём второй коробки на 8,4 дм³ меньше, это означает, что из объёма первой коробки нужно вычесть 8,4.
Объём второй коробки: $(b - 8,4)$ дм³.
Чтобы узнать, во сколько раз первая коробка вместительнее второй, нужно разделить объём первой (большей) коробки на объём второй (меньшей).
Математическая модель, показывающая, во сколько раз первая коробка вместительнее второй, выглядит так: $\frac{b}{b - 8,4}$.
Следует отметить, что данная модель имеет смысл только при условии, что $b > 8,4$, так как объём не может быть отрицательным или равным нулю.

Ответ: $\frac{b}{b - 8,4}$

1) Альбом стоит $a$ р., а книга – в 1,4 раза дешевле. Сколько стоят альбом и книга вместе?

2) Объем одной коробки $b$ $дм^3$, а другой – на 8,4 $дм^3$ меньше. Во сколько раз первая коробка вместительнее, чем вторая?

3) Трое школьников заработали за лето $c$ р. Первый заработал $d$ р., а вто-рой – в 1,5 раза больше. Сколько рублей заработал третий школьник?

D 67 Определи вид высказываний и построй их отрицания. Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.

1) Все врачи – хирурги.

2) Некоторые музыканты – виолончелисты.

3) Некоторые ящерицы имеют крылья.

4) Есть яблони, на которых растут груши.

5) Вода иногда бывает твёрдая.

6) Не все металлы тонут в воде.

7) В Антарктиде растут банановые пальмы.

8) Каждый человек умеет кататься на коньках.

D 67 Определи вид высказываний и построй их отрицания. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего.

1) Все врачи – хирурги.

2) Некоторые музыканты – виолончелисты.

3) Некоторые ящерицы имеют крылья.

4) Есть яблони, на которых растут груши.

5) Вода иногда бывает твердая.

6) Не все металлы тонут в воде.

7) В Антарктиде растут банановые пальмы.

8) Каждый человек умеет кататься на коньках.

68 Найди значения выражений:

1) $(4\frac{1}{6} \cdot 3) : (7 \cdot \frac{5}{21}) - 1\frac{3}{4} \cdot 4;$

2) $(3\frac{4}{9} - 1\frac{11}{12}) \cdot 3\frac{9}{11} + 6 : \frac{12}{25} - 2\frac{1}{3}.$

1) $(4\frac{1}{6} \cdot 3) : (7 \cdot \frac{5}{21}) - 1\frac{3}{4} \cdot 4$

Решим выражение по действиям:

1. Выполним умножение в первых скобках. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$4\frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} \cdot 3 = \frac{25}{6} \cdot 3 = \frac{25 \cdot 3}{6} = \frac{25}{2}$

2. Выполним умножение во вторых скобках:
$7 \cdot \frac{5}{21} = \frac{7 \cdot 5}{21} = \frac{5}{3}$

3. Выполним деление результатов первых двух действий:
$\frac{25}{2} : \frac{5}{3} = \frac{25}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{25 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2}$

4. Выполним умножение в последней части выражения:
$1\frac{3}{4} \cdot 4 = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} \cdot 4 = \frac{7}{4} \cdot 4 = 7$

5. Выполним вычитание:
$\frac{15}{2} - 7 = \frac{15}{2} - \frac{14}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $(3\frac{4}{9} - 1\frac{11}{12}) \cdot 3\frac{9}{11} + 6 : \frac{12}{25} - 2\frac{1}{3}$

Решим выражение по действиям:

1. Выполним вычитание в скобках. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и приведем их к общему знаменателю (36):
$3\frac{4}{9} - 1\frac{11}{12} = \frac{3 \cdot 9 + 4}{9} - \frac{1 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{31}{9} - \frac{23}{12} = \frac{31 \cdot 4}{36} - \frac{23 \cdot 3}{36} = \frac{124}{36} - \frac{69}{36} = \frac{55}{36}$

2. Умножим результат первого действия на смешанное число, предварительно преобразовав его в неправильную дробь:
$\frac{55}{36} \cdot 3\frac{9}{11} = \frac{55}{36} \cdot \frac{3 \cdot 11 + 9}{11} = \frac{55}{36} \cdot \frac{42}{11} = \frac{55 \cdot 42}{36 \cdot 11} = \frac{5 \cdot 7}{6} = \frac{35}{6}$

3. Выполним деление:
$6 : \frac{12}{25} = 6 \cdot \frac{25}{12} = \frac{6 \cdot 25}{12} = \frac{25}{2}$

4. Теперь сложим и вычтем полученные результаты. Преобразуем последнее смешанное число и приведем все дроби к общему знаменателю (6):
$\frac{35}{6} + \frac{25}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{35}{6} + \frac{25 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{35}{6} + \frac{75}{6} - \frac{7}{3} = \frac{35}{6} + \frac{75}{6} - \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{35}{6} + \frac{75}{6} - \frac{14}{6}$

5. Выполним сложение и вычитание числителей:
$\frac{35 + 75 - 14}{6} = \frac{110 - 14}{6} = \frac{96}{6} = 16$

Ответ: $16$

68 Найди значения выражений:

1) $(4\frac{1}{6} \cdot 3) : (7 \cdot \frac{5}{21}) - 1\frac{3}{4} \cdot 4;$

2) $(3\frac{4}{9} - 1\frac{11}{12}) \cdot \frac{9}{11} + 6 : \frac{12}{25} - 2\frac{1}{3}.$

69 Составь выражения к задачам.

1) В первом мешке $a$ кг сахара, во втором – на 4 кг меньше, чем в первом, а в третьем – в 1,2 раза больше, чем во втором. Сколько сахара в трёх мешках?

2) От деревни до станции $b$ км. Мальчик уже прошёл $c$ км. Во сколько раз оставшийся путь больше пройденного?

1)

Для того чтобы составить выражение к задаче, определим количество сахара в каждом мешке:
- В первом мешке: $a$ кг сахара.
- Во втором мешке: на 4 кг меньше, чем в первом, то есть $(a - 4)$ кг.
- В третьем мешке: в 1,2 раза больше, чем во втором, то есть $1,2 \cdot (a - 4)$ кг.
Чтобы найти общее количество сахара в трёх мешках, нужно сложить количество сахара в каждом из них:
$S = a + (a - 4) + 1,2 \cdot (a - 4)$
Можно упростить это выражение:
$a + (a - 4) + 1,2 \cdot (a - 4) = a + a - 4 + 1,2a - 1,2 \cdot 4 = 2a - 4 + 1,2a - 4,8 = (2 + 1,2)a - (4 + 4,8) = 3,2a - 8,8$
Ответ: $a + (a - 4) + 1,2 \cdot (a - 4)$ кг или $3,2a - 8,8$ кг.

2)

Для составления выражения к этой задаче определим пройденный и оставшийся путь:
- Общий путь от деревни до станции: $b$ км.
- Мальчик уже прошёл: $c$ км.
- Оставшийся путь: разница между общим путём и пройденным, то есть $(b - c)$ км.
Чтобы узнать, во сколько раз оставшийся путь больше пройденного, нужно разделить длину оставшегося пути на длину пройденного пути:
$(b - c) \div c$ или в виде дроби $\frac{b - c}{c}$
Ответ: $(b - c) \div c$ раз.

69. Составь выражения к задачам:

1) В первом мешке $a$ кг сахара, во втором – на 4 кг меньше, чем в первом, а в третьем – в 1,2 раза больше, чем во втором. Сколько сахара в трех мешках?

2) От деревни до станции $b$ км. Мальчик уже прошел $c$ км. Во сколько раз оставшийся путь больше пройденного?

C 70 Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью даёт 1? Рассмотри несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Возьмем правильную несократимую дробь $\frac{2}{5}$. Дробь, которая в сумме с ней дает 1, это $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. Дробь $\frac{3}{5}$ является несократимой, так как ее числитель и знаменатель взаимно просты ($НОД(3, 5) = 1$).

2. Возьмем дробь $\frac{4}{9}$. Она правильная и несократимая ($НОД(4, 9) = 1$). Искомая дробь: $1 - \frac{4}{9} = \frac{9-4}{9} = \frac{5}{9}$. Эта дробь также несократимая, так как $НОД(5, 9) = 1$.

3. Возьмем дробь $\frac{13}{20}$. Она правильная и несократимая ($НОД(13, 20) = 1$). Искомая дробь: $1 - \frac{13}{20} = \frac{20-13}{20} = \frac{7}{20}$. Эта дробь также несократимая, так как $НОД(7, 20) = 1$.

Примеры показывают, что если исходная дробь несократима, то и вторая дробь, дополняющая ее до единицы, также является несократимой.

Докажем подмеченную закономерность:

Пусть дана правильная несократимая дробь $\frac{a}{b}$. Это означает, что $a < b$ и их наибольший общий делитель $НОД(a, b) = 1$.

Дробь, которая в сумме с $\frac{a}{b}$ дает 1, равна $1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}$.

Нам нужно определить, является ли дробь $\frac{b-a}{b}$ сократимой. Дробь сократима, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1.

Докажем от противного. Предположим, что дробь $\frac{b-a}{b}$ является сократимой. Это означает, что ее числитель ($b-a$) и знаменатель ($b$) имеют некий общий делитель $d > 1$.

Итак, пусть $b-a$ делится на $d$, и $b$ делится на $d$.

Если два числа делятся на $d$, то и их разность делится на $d$. Рассмотрим разность наших чисел:
$b - (b-a) = b - b + a = a$.

Следовательно, число $a$ также должно делиться на $d$.

Таким образом, мы получили, что и число $a$, и число $b$ делятся на $d$, где $d > 1$. Это означает, что $d$ является общим делителем для $a$ и $b$, и, следовательно, $НОД(a, b) \ge d > 1$.

Но это противоречит первоначальному условию, что дробь $\frac{a}{b}$ несократима, то есть $НОД(a, b) = 1$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, дробь $\frac{b-a}{b}$ не может быть сократимой. Она является несократимой.

Ответ: Нет, дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью даёт 1, не является сократимой. Она также является несократимой.

c 70 Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1? Рассмотрим несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.

64 Составь различные пропорции из равенства $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$. Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9? Какие свойства чисел при этом используются?

Составь различные пропорции из равенства 3 · 6 = 2 · 9.
Проверим исходное равенство: $3 \cdot 6 = 18$ и $2 \cdot 9 = 18$. Равенство $18 = 18$ является верным. Данное равенство представляет собой основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Из равенства вида $a \cdot d = b \cdot c$ можно составить несколько пропорций, где одна пара чисел ($a, d$) будет крайними членами, а другая ($b, c$) — средними, или наоборот.
Пусть 3 и 6 — крайние члены, а 2 и 9 — средние. Тогда можно составить пропорции:
1) $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$
2) $\frac{3}{9} = \frac{2}{6}$
Пусть 2 и 9 — крайние члены, а 3 и 6 — средние. Тогда можно составить пропорции:
3) $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$
4) $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$
Также, используя свойство пропорции, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то и $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$, можно получить еще 4 "перевернутые" пропорции:
5) $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$ (из пропорции 3) или $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ (из пропорции 1)
6) $\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$ (из пропорции 2)
7) $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$ (из пропорции 3) или $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (из пропорции 4)
8) $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$ (из пропорции 4)
Всего получается 8 различных по записи пропорций.
Ответ: $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$; $\frac{3}{9} = \frac{2}{6}$; $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$; $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$; $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$; $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$; $\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$; $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9?
Как было показано в решении предыдущего вопроса, из равенства $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$ можно составить 8 различных (по форме записи) пропорций. Это достигается путем различных комбинаций расстановки чисел на места крайних и средних членов пропорции, а также путем перестановки левой и правой частей равенства.
Ответ: 8.

Какие свойства чисел при этом используются?
При составлении пропорций из равенства произведений используются следующие свойства:
1. Основное свойство пропорции (в обратную сторону): если произведение двух чисел равно произведению двух других чисел ($a \cdot d = b \cdot c$), то из этих четырех чисел можно составить верную пропорцию ($\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$).
2. Свойства числовых равенств: равенство остается верным, если обе его части разделить на одно и то же число, не равное нулю. Именно это позволяет перейти от равенства произведений $a \cdot d = b \cdot c$ к равенству отношений $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (путем деления на $b \cdot d$).
3. Переместительное свойство умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$). Это свойство позволяет рассматривать равенство $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$ также и как $6 \cdot 3 = 9 \cdot 2$, что дает дополнительные варианты для составления пропорций.
Ответ: Основное свойство пропорции, свойства числовых равенств (в частности, деление обеих частей на одно и то же число), переместительное свойство умножения.

64 Составь различные пропорции из равенства $3 \cdot 6 = 2 \cdot 9$. Сколько различных пропорций можно составить из чисел 3, 6, 2 и 9? Какие свойства чисел при этом используются?

65 Проверь истинность равенств. Из букв, соответствующих пропорциям, составь математический термин. Что он означает?

P $1,5 : 5 = \frac{3}{5} : 2$

Д $\frac{0,125}{0,2} = \frac{5}{8}$

Н $\frac{\frac{2}{3}}{0,3} = \frac{12,4}{15}$

А $\frac{8}{9} : 1\frac{1}{3} = 0,2 : 0,3$

О $\frac{7,2}{0,08} = \frac{63}{0,7}$

Х $4,4 : \frac{2}{7} = 7 : \frac{5}{11}$

В $1,2 : 4 = 15 : 0,5$

М $\frac{0,48}{0,06} = \frac{2,4}{3}$

Л $1\frac{1}{6} : 2 = 2 : 3,5$

Для решения задачи необходимо проверить истинность каждого равенства. Равенство, представляющее собой пропорцию $a:b = c:d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, истинно, если произведение крайних членов равно произведению средних членов ($ad = bc$).

Проверим равенство $1,5 : 5 = \frac{3}{5} : 2$. Это пропорция, где крайние члены — $1,5$ и $2$, а средние — $5$ и $\frac{3}{5}$.

Произведение крайних членов: $1,5 \cdot 2 = 3$.

Произведение средних членов: $5 \cdot \frac{3}{5} = 3$.

Поскольку произведения равны ($3 = 3$), равенство является истинной пропорцией.

Ответ: Верно.

Проверим равенство $\frac{8}{9} : 1\frac{1}{3} = 0,2 : 0,3$.

Произведение крайних членов: $\frac{8}{9} \cdot 0,3 = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}$.

Произведение средних членов: $1\frac{1}{3} \cdot 0,2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{10} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$.

Поскольку произведения равны ($\frac{4}{15} = \frac{4}{15}$), равенство является истинной пропорцией.

Ответ: Верно.

Проверим равенство $1,2 : 4 = 15 : 0,5$.

Произведение крайних членов: $1,2 \cdot 0,5 = 0,6$.

Произведение средних членов: $4 \cdot 15 = 60$.

Поскольку $0,6 \neq 60$, равенство не является пропорцией.

Ответ: Неверно.

Проверим равенство $\frac{0,125}{0,2} = \frac{5}{8}$.

Используем основное свойство пропорции: $0,125 \cdot 8 = 1$ и $0,2 \cdot 5 = 1$.

Поскольку $1 = 1$, равенство является истинной пропорцией.

Ответ: Верно.

Проверим равенство $\frac{7,2}{0,08} = \frac{63}{0,7}$.

Используем основное свойство пропорции: $7,2 \cdot 0,7 = 5,04$.

Произведение средних членов: $0,08 \cdot 63 = 5,04$.

Поскольку $5,04 = 5,04$, равенство является истинной пропорцией.

Ответ: Верно.

Проверим равенство $\frac{0,48}{0,06} = \frac{2,4}{3}$.

Используем основное свойство пропорции: $0,48 \cdot 3 = 1,44$.

Произведение средних членов: $0,06 \cdot 2,4 = 0,144$.

Поскольку $1,44 \neq 0,144$, равенство не является пропорцией.

Ответ: Неверно.

Проверим равенство $\frac{\frac{2}{3}}{0,3} = \frac{12,4}{15}$.

Используем основное свойство пропорции: $\frac{2}{3} \cdot 15 = 2 \cdot 5 = 10$.

Произведение средних членов: $0,3 \cdot 12,4 = 3,72$.

Поскольку $10 \neq 3,72$, равенство не является пропорцией.

Ответ: Неверно.

Проверим равенство $4,4 : \frac{2}{7} = 7 : \frac{5}{11}$.

Произведение крайних членов: $4,4 \cdot \frac{5}{11} = \frac{44}{10} \cdot \frac{5}{11} = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 2$.

Произведение средних членов: $\frac{2}{7} \cdot 7 = 2$.

Поскольку $2 = 2$, равенство является истинной пропорцией.

Ответ: Верно.

Проверим равенство $1\frac{1}{6} : 2 = 2 : 3,5$.

Произведение крайних членов: $1\frac{1}{6} \cdot 3,5 = \frac{7}{6} \cdot \frac{35}{10} = \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{2} = \frac{49}{12}$.

Произведение средних членов: $2 \cdot 2 = 4$.

Поскольку $\frac{49}{12} \neq 4$ (так как $4 = \frac{48}{12}$), равенство не является пропорцией.

Ответ: Неверно.

Буквы, соответствующие истинным пропорциям: П, А, Д, О, Х.

Из этих букв можно составить математический термин: ХОРДА.

Хорда — это отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности или любой другой кривой.

65 Проверь истинность равенств. Из букв, соответствующих пропорциям, составь математический термин. Что он означает?

P $1,5 : 5 = \frac{3}{5} : 2$

Д $\frac{0,125}{0,2} = \frac{5}{8}$

Н $\frac{\frac{2}{3}}{0,3} = \frac{12,4}{15}$

А $\frac{8}{9} : 1\frac{1}{3} = 0,2 : 0,3$

О $\frac{7,2}{0,08} = \frac{63}{0,7}$

Х $4,4 : \frac{2}{7} = 7 : \frac{5}{11}$

В $1,2 : 4 = 15 : 0,5$

М $\frac{0,48}{0,06} = \frac{2,4}{3}$

Л $1\frac{1}{6} : 2 = 2 : 3,5$

66 Найди неизвестный член пропорции (устно):

1) $ \frac{a}{12} = \frac{5}{6} $;

2) $ \frac{81}{b} = \frac{9}{4} $;

3) $ \frac{2,5}{4} = \frac{7,5}{c} $;

4) $ \frac{3}{8} = \frac{d}{6,4} $;

5) $ k : 25 = 4 : 5 $;

6) $ 1,5 : 2 = n : 8 $;

7) $ 7 : x = 2 : 3 $;

8) $ 0,3 : 4 = 9 : y $.

1) Дана пропорция $\frac{a}{12} = \frac{5}{6}$. Чтобы найти неизвестный член пропорции, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Получаем уравнение: $a \cdot 6 = 12 \cdot 5$. Решаем его: $6a = 60$, откуда $a = \frac{60}{6} = 10$. Ответ: 10

2) Дана пропорция $\frac{81}{b} = \frac{9}{4}$. По основному свойству пропорции, $81 \cdot 4 = b \cdot 9$. Вычисляем: $324 = 9b$. Отсюда находим $b$: $b = \frac{324}{9} = 36$. Ответ: 36

3) Дана пропорция $\frac{2,5}{4} = \frac{7,5}{c}$. По основному свойству пропорции, $2,5 \cdot c = 4 \cdot 7,5$. Вычисляем: $2,5c = 30$. Отсюда находим $c$: $c = \frac{30}{2,5} = \frac{300}{25} = 12$. Ответ: 12

4) Дана пропорция $\frac{3}{8} = \frac{d}{6,4}$. По основному свойству пропорции, $3 \cdot 6,4 = 8 \cdot d$. Вычисляем: $19,2 = 8d$. Отсюда находим $d$: $d = \frac{19,2}{8} = 2,4$. Ответ: 2,4

5) Дана пропорция $k : 25 = 4 : 5$. Ее можно записать в виде $\frac{k}{25} = \frac{4}{5}$. По основному свойству пропорции, $k \cdot 5 = 25 \cdot 4$. Вычисляем: $5k = 100$. Отсюда находим $k$: $k = \frac{100}{5} = 20$. Ответ: 20

6) Дана пропорция $1,5 : 2 = n : 8$. Ее можно записать в виде $\frac{1,5}{2} = \frac{n}{8}$. По основному свойству пропорции, $1,5 \cdot 8 = 2 \cdot n$. Вычисляем: $12 = 2n$. Отсюда находим $n$: $n = \frac{12}{2} = 6$. Ответ: 6

7) Дана пропорция $7 : x = 2 : 3$. Ее можно записать в виде $\frac{7}{x} = \frac{2}{3}$. По основному свойству пропорции, $7 \cdot 3 = x \cdot 2$. Вычисляем: $21 = 2x$. Отсюда находим $x$: $x = \frac{21}{2} = 10,5$. Ответ: 10,5

8) Дана пропорция $0,3 : 4 = 9 : y$. Ее можно записать в виде $\frac{0,3}{4} = \frac{9}{y}$. По основному свойству пропорции, $0,3 \cdot y = 4 \cdot 9$. Вычисляем: $0,3y = 36$. Отсюда находим $y$: $y = \frac{36}{0,3} = \frac{360}{3} = 120$. Ответ: 120

66 Найди неизвестный член пропорции (устно):

1) $\frac{a}{12} = \frac{5}{6}$

2) $\frac{81}{b} = \frac{9}{4}$

3) $\frac{2,5}{4} = \frac{7,5}{c}$

4) $\frac{3}{8} = \frac{d}{6,4}$

5) $k : 25 = 4 : 5$

6) $1,5 : 2 = n : 8$

7) $7 : x = 2 : 3$

8) $0,3 : 4 = 9 : y$

67 Реши уравнения:

1) $5,4 : a = 1,8 : 6,8;$

2) $b : \frac{6}{7} = 5\frac{4}{9} : 4\frac{2}{3};$

3) $\frac{720}{91,2} = \frac{c}{0,513};$

4) $\frac{4,2}{7\frac{5}{7}} = \frac{3\frac{1}{9}}{d};$

5) $2,4 : (0,5k) = 3,6 : 1\frac{2}{3};$

6) $7 : \left(\frac{4}{11}m\right) = 56 : 3,2;$

7) $\frac{8n}{9} = \frac{6,4}{0,45};$

8) $\frac{2,1}{27} = \frac{2\frac{1}{3}}{0,3p};$

9) $4 : (x - 3) = 2 : 3;$

10) $\frac{2y + 1,6}{0,8} = \frac{30}{2,5};$

11) $\frac{1,5}{4x - 1} = \frac{0,4}{x + 4};$

12) $\frac{5y}{1\frac{1}{3}} = \frac{y - 0,9}{0,2};$

1) $5,4 : a = 1,8 : 6,8$

Это пропорция. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции $a$, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член.

$a = \frac{5,4 \cdot 6,8}{1,8}$

Сократим $5,4$ и $1,8$ на $1,8$:

$a = 3 \cdot 6,8$

$a = 20,4$

Ответ: $20,4$

2) $b : \frac{6}{7} = 5\frac{4}{9} : 4\frac{2}{3}$

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции $b$, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Получаем пропорцию: $b : \frac{6}{7} = \frac{49}{9} : \frac{14}{3}$

$b = \frac{\frac{6}{7} \cdot \frac{49}{9}}{\frac{14}{3}} = \frac{6 \cdot 49}{7 \cdot 9} \cdot \frac{3}{14} = \frac{2 \cdot 7}{3} \cdot \frac{3}{14} = \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{14} = 1$

Ответ: $1$

3) $\frac{720}{91,2} = \frac{c}{0,513}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).

$91,2 \cdot c = 720 \cdot 0,513$

$91,2 \cdot c = 369,36$

$c = \frac{369,36}{91,2}$

$c = 4,05$

Ответ: $4,05$

4) $\frac{4,2}{7\frac{5}{7}} = \frac{3\frac{1}{9}}{d}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и десятичную дробь в обыкновенную.

$4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$

$7\frac{5}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{54}{7}$

$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$

Подставляем в уравнение:

$\frac{\frac{21}{5}}{\frac{54}{7}} = \frac{\frac{28}{9}}{d}$

По основному свойству пропорции:

$\frac{21}{5} \cdot d = \frac{54}{7} \cdot \frac{28}{9}$

$\frac{21}{5} \cdot d = \frac{6 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7}{7 \cdot 9} = 6 \cdot 4 = 24$

$d = 24 : \frac{21}{5} = 24 \cdot \frac{5}{21} = \frac{8 \cdot 5}{7} = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$

Ответ: $5\frac{5}{7}$

5) $2,4 : (0,5k) = 3,6 : 1\frac{2}{3}$

Преобразуем $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

$2,4 \cdot \frac{5}{3} = 0,5k \cdot 3,6$

$\frac{2,4 \cdot 5}{3} = 1,8k$

$0,8 \cdot 5 = 1,8k$

$4 = 1,8k$

$k = \frac{4}{1,8} = \frac{40}{18} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$

Ответ: $2\frac{2}{9}$

6) $7 : (\frac{4}{11}m) = 56 : 3,2$

Используем основное свойство пропорции:

$7 \cdot 3,2 = \frac{4}{11}m \cdot 56$

$22,4 = \frac{224}{11}m$

$m = 22,4 : \frac{224}{11} = \frac{224}{10} \cdot \frac{11}{224}$

$m = \frac{11}{10} = 1,1$

Ответ: $1,1$

7) $\frac{8n}{9} = \frac{6,4}{0,45}$

По основному свойству пропорции:

$8n \cdot 0,45 = 9 \cdot 6,4$

$3,6n = 57,6$

$n = \frac{57,6}{3,6} = \frac{576}{36}$

$n = 16$

Ответ: $16$

8) $\frac{2,1}{27} = \frac{2\frac{1}{3}}{0,3p}$

Преобразуем $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

$2,1 \cdot 0,3p = 27 \cdot \frac{7}{3}$

$0,63p = 9 \cdot 7$

$0,63p = 63$

$p = \frac{63}{0,63} = \frac{6300}{63}$

$p = 100$

Ответ: $100$

9) $4 : (x - 3) = 2 : 3$

По основному свойству пропорции:

$4 \cdot 3 = 2 \cdot (x - 3)$

$12 = 2x - 6$

$12 + 6 = 2x$

$18 = 2x$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Ответ: $9$

10) $\frac{2y + 1,6}{0,8} = \frac{30}{2,5}$

Сначала упростим правую часть:

$\frac{30}{2,5} = \frac{300}{25} = 12$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{2y + 1,6}{0,8} = 12$

$2y + 1,6 = 12 \cdot 0,8$

$2y + 1,6 = 9,6$

$2y = 9,6 - 1,6$

$2y = 8$

$y = 4$

Ответ: $4$

11) $\frac{1,5}{4x - 1} = \frac{0,4}{x + 4}$

Используем перекрестное умножение:

$1,5 \cdot (x + 4) = 0,4 \cdot (4x - 1)$

$1,5x + 6 = 1,6x - 0,4$

$6 + 0,4 = 1,6x - 1,5x$

$6,4 = 0,1x$

$x = \frac{6,4}{0,1}$

$x = 64$

Ответ: $64$

12) $\frac{5y}{1\frac{1}{3}} = \frac{y - 0,9}{0,2}$

Преобразуем $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Используем перекрестное умножение:

$5y \cdot 0,2 = (y - 0,9) \cdot \frac{4}{3}$

$1y = \frac{4}{3}y - 0,9 \cdot \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}y - \frac{9}{10} \cdot \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}y - \frac{3 \cdot 2}{5} = \frac{4}{3}y - \frac{6}{5}$

$y = \frac{4}{3}y - 1,2$

$1,2 = \frac{4}{3}y - y$

$1,2 = (\frac{4}{3} - 1)y$

$1,2 = \frac{1}{3}y$

$y = 1,2 \cdot 3$

$y = 3,6$

Ответ: $3,6$

67 Реши уравнения:

1) $5,4 : a = 1,8 : 6,8;$

2) $b : \frac{6}{7} = 5\frac{4}{9} : 4\frac{2}{3};$

3) $\frac{720}{91,2} = \frac{c}{0,513};$

4) $\frac{4,2}{7\frac{5}{7}} = \frac{3\frac{1}{9}}{d};$

5) $2,4 : (0,5k) = 3,6 : 1\frac{2}{3};$

6) $7 : (\frac{4}{11}m) = 56 : 3,2;$

7) $\frac{8n}{9} = \frac{6,4}{0,45};$

8) $\frac{2,1}{27} = \frac{2\frac{1}{3}}{0,3p};$

9) $4 : (x - 3) = 2 : 3;$

10) $\frac{2y + 1,6}{0,8} = \frac{30}{2,5};$

11) $\frac{1,5}{4x - 1} = \frac{0,4}{x + 4};$

12) $\frac{5y}{1\frac{1}{3}} = \frac{y - 0,9}{0,2}.$

68 Найди значения x и y такие, чтобы каждое из двух равенств было верным:

1) $ \frac{x}{y} = \frac{3}{8} $ и $ \frac{y}{25} = \frac{6,4}{5} $;

2) $ x : 1\frac{2}{3} = y : 3\frac{1}{3} $ и $ y : 1,5 = 0,2 : 0,75 $.

1)

Даны два равенства: $ \frac{x}{y} = \frac{3}{8} $ и $ \frac{y}{25} = \frac{6,4}{5} $.

Сначала решим второе уравнение, чтобы найти значение $y$. Это пропорция, из которой мы можем выразить $y$:

$ y = \frac{25 \times 6,4}{5} $

Сократим 25 и 5, получим:

$ y = 5 \times 6,4 $

$ y = 32 $

Теперь, зная значение $y$, подставим его в первое уравнение:

$ \frac{x}{32} = \frac{3}{8} $

Выразим $x$ из этой пропорции:

$ x = \frac{32 \times 3}{8} $

Сократим 32 и 8, получим:

$ x = 4 \times 3 $

$ x = 12 $

Таким образом, найдены значения $x$ и $y$, при которых оба равенства верны.

Ответ: $x = 12$, $y = 32$.

2)

Даны две пропорции: $ x : 1\frac{2}{3} = y : 3\frac{1}{3} $ и $ y : 1,5 = 0,2 : 0,75 $.

Сначала решим вторую пропорцию относительно $y$. Запишем ее в виде дроби:

$ \frac{y}{1,5} = \frac{0,2}{0,75} $

Выразим $y$:

$ y = \frac{1,5 \times 0,2}{0,75} $

Поскольку $1,5 = 2 \times 0,75$, мы можем упростить выражение:

$ y = \frac{(2 \times 0,75) \times 0,2}{0,75} = 2 \times 0,2 $

$ y = 0,4 $

Теперь подставим найденное значение $y$ в первую пропорцию. Для удобства сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \times 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} $

$ 3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} $

Пропорция примет вид: $ x : \frac{5}{3} = y : \frac{10}{3} $. Запишем ее в виде дроби и подставим $y = 0,4$ (что равно $ \frac{2}{5} $):

$ \frac{x}{5/3} = \frac{0,4}{10/3} $ или $ \frac{x}{5/3} = \frac{2/5}{10/3} $

Упростим правую часть равенства:

$ \frac{2/5}{10/3} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25} $

Теперь у нас есть уравнение:

$ \frac{x}{5/3} = \frac{3}{25} $

Выразим $x$:

$ x = \frac{5}{3} \times \frac{3}{25} $

Сократим тройки и разделим 5 и 25 на 5:

$ x = \frac{1}{5} = 0,2 $

Таким образом, найдены искомые значения $x$ и $y$.

Ответ: $x = 0,2$, $y = 0,4$.

68 Найди значения x и y такие, чтобы каждое из двух равенств было верным:

1) $x/y = 3/8$ и $y/25 = 6,4/5$;

2) $x : 1\frac{2}{3} = y : 3\frac{1}{3}$ и $y : 1,5 = 0,2 : 0,75$.

69 Дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Запиши другие пропорции, членами которых являются те же числа $a, b, c$ и $d$.

Основное свойство пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ заключается в том, что произведение ее крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению ее средних членов ($b$ и $c$). Это можно записать в виде равенства: $a \cdot d = b \cdot c$. Любая другая верная пропорция, составленная из этих же чисел, должна удовлетворять этому равенству.

Пропорция, полученная перестановкой средних членов

Если в исходной пропорции поменять местами средние члены $b$ и $c$, мы получим новую верную пропорцию. Это следует из того, что равенство $a \cdot d = b \cdot c$ можно записать как $a \cdot d = c \cdot b$. Новая пропорция будет иметь вид:

Ответ: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Пропорция, полученная перестановкой крайних членов

Аналогично, если поменять местами крайние члены $a$ и $d$, мы также получим верную пропорцию, так как равенство $a \cdot d = b \cdot c$ можно записать как $d \cdot a = b \cdot c$. Новая пропорция будет иметь вид:

Ответ: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

Пропорция, полученная обращением исходной пропорции

Если в верном равенстве $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ заменить каждую дробь на обратную ей, то равенство сохранится. Это преобразование основано на том, что из $a \cdot d = b \cdot c$ следует $b \cdot c = a \cdot d$. Новая пропорция будет иметь вид:

Ответ: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Другие производные пропорции

Остальные верные пропорции можно получить, применяя эти же преобразования к уже найденным пропорциям. Например, обратив пропорцию $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$, получим $\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$. Обратив пропорцию $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$, получим $\frac{b}{d} = \frac{a}{c}$. Если в исходной пропорции поменять местами и средние, и крайние члены, получим $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$.

Ответ: $\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$, $\frac{b}{d} = \frac{a}{c}$, $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

69 Дана пропорция $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Запиши другие пропорции, членами которых являются те же числа $a, b, c$ и $d$.

70 Копировальная машина уменьшает размеры изображения в отношении $3 : 5$.

1) Чему равна длина отрезка в оригинале, если на копии она равна 7,5 см?

2) Какой размер на копии будет иметь отрезок, длина которого в оригинале равна 8 см?

По условию задачи, копировальная машина уменьшает размеры изображения в отношении 3:5. Это означает, что отношение размера на копии к размеру в оригинале равно $\frac{3}{5}$.
Обозначим $L_{копии}$ — размер на копии, а $L_{оригинала}$ — размер в оригинале.
Тогда их соотношение можно записать в виде пропорции:
$\frac{L_{копии}}{L_{оригинала}} = \frac{3}{5}$

1) Чему равна длина отрезка в оригинале, если на копии она равна 7,5 см?

В этом случае нам известна длина отрезка на копии: $L_{копии} = 7,5$ см. Необходимо найти длину отрезка в оригинале $L_{оригинала}$.
Подставим известное значение в нашу пропорцию:
$\frac{7,5}{L_{оригинала}} = \frac{3}{5}$
Чтобы найти $L_{оригинала}$, выразим его из этого уравнения, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3 \cdot L_{оригинала} = 7,5 \cdot 5$
$3 \cdot L_{оригинала} = 37,5$
$L_{оригинала} = \frac{37,5}{3}$
$L_{оригинала} = 12,5$ см.
Ответ: 12,5 см.

2) Какой размер на копии будет иметь отрезок, длина которого в оригинале равна 8 см?

Здесь нам известна длина отрезка в оригинале: $L_{оригинала} = 8$ см. Требуется найти его длину на копии, $L_{копии}$.
Снова используем нашу пропорцию:
$\frac{L_{копии}}{8} = \frac{3}{5}$
Выразим $L_{копии}$:
$L_{копии} = \frac{8 \cdot 3}{5}$
$L_{копии} = \frac{24}{5}$
$L_{копии} = 4,8$ см.
Ответ: 4,8 см.

70 Копировальная машина уменьшает размеры изображения в отношении $3 : 5$.

1) Чему равна длина отрезка в оригинале, если на копии она равна 7,5 см?

2) Какой размер на копии будет иметь отрезок, длина которого в оригинале равна 8 см?

79. Переведи высказывания с математического языка на русский и определи их истинность. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: a \cdot \frac{1}{a}=1$;

б) $\forall a, b \in Q: ab \ne 0$;

в) $\exists a \in Q: -a > a$;

г) $\exists a \in Q: -a^2 > (-a)^2$.

а) $ \forall a \in Q: a \cdot \frac{1}{a} = 1 $

Перевод на русский язык: "Для любого рационального числа $a$ произведение этого числа на обратное ему ($ \frac{1}{a} $) равно единице".

Определение истинности: Данное высказывание ложно. В множестве рациональных чисел $Q$ содержится число 0. Для $ a = 0 $ выражение $ \frac{1}{a} $ не определено, а значит, и всё равенство не имеет смысла и не может считаться верным. Таким образом, свойство выполняется не для любого рационального числа.

Построение отрицания: Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности $ (\forall) $ является высказывание с квантором существования $ (\exists) $ и отрицанием самого утверждения.
Отрицание в математической форме: $ \exists a \in Q: a \cdot \frac{1}{a} \neq 1 $.
Отрицание на русском языке: "Существует такое рациональное число $a$, для которого произведение этого числа на обратное ему не равно единице".

Ответ: высказывание ложно; отрицание: $ \exists a \in Q: a \cdot \frac{1}{a} \neq 1 $.

б) $ \forall a, b \in Q: ab \neq 0 $

Перевод на русский язык: "Произведение любых двух рациональных чисел $a$ и $b$ не равно нулю".

Определение истинности: Данное высказывание ложно. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку 0 является рациональным числом, мы можем выбрать, например, $ a=0 $ и $ b=5 $. Тогда их произведение $ ab = 0 \cdot 5 = 0 $, что противоречит утверждению $ ab \neq 0 $.

Построение отрицания:
Отрицание в математической форме: $ \exists a, b \in Q: ab = 0 $.
Отрицание на русском языке: "Существуют такие рациональные числа $a$ и $b$, что их произведение равно нулю".

Ответ: высказывание ложно; отрицание: $ \exists a, b \in Q: ab = 0 $.

в) $ \exists a \in Q: -a > a $

Перевод на русский язык: "Существует такое рациональное число $a$, для которого противоположное ему число ($-a$) больше самого числа $a$".

Определение истинности: Данное высказывание истинно. Решим неравенство:
$ -a > a $
$ 0 > a + a $
$ 0 > 2a $
$ 0 > a $ или $ a < 0 $
Неравенство верно для любого отрицательного рационального числа. Например, если $ a = -2 $, то $ -(-2) > -2 $, что равносильно $ 2 > -2 $. Это верное неравенство. Так как отрицательные рациональные числа существуют, то и искомое число $a$ существует.

Ответ: высказывание истинно.

г) $ \exists a \in Q: -a^2 > (-a)^2 $

Перевод на русский язык: "Существует такое рациональное число $a$, для которого число, противоположное его квадрату, больше, чем квадрат противоположного ему числа".

Определение истинности: Данное высказывание ложно. Упростим неравенство, учитывая, что $ (-a)^2 = a^2 $:
$ -a^2 > a^2 $
$ 0 > a^2 + a^2 $
$ 0 > 2a^2 $
$ 0 > a^2 $
Квадрат любого рационального числа $a$ всегда является неотрицательным числом ($ a^2 \ge 0 $). Неравенство $ a^2 < 0 $ не имеет решений в множестве рациональных чисел. Следовательно, не существует такого рационального числа $a$, которое бы удовлетворяло этому условию.

Построение отрицания:
Отрицание в математической форме: $ \forall a \in Q: -a^2 \le (-a)^2 $.
Отрицание на русском языке: "Для любого рационального числа $a$ число, противоположное его квадрату, меньше или равно квадрату противоположного ему числа".

Ответ: высказывание ложно; отрицание: $ \forall a \in Q: -a^2 \le (-a)^2 $.

79 Переведи высказывания с математического языка на русский и определи их истинность. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: a \cdot \frac{1}{a}=1;$

б) $\forall a, b \in Q: ab \neq 0;$

в) $\exists a \in Q: -a > a;$

г) $\exists a \in Q: -a^2 > (-a)^2.$

80 Составь уравнение и реши его, используя правило весов.

а) Задумали число, уменьшили его на 4, разность удвоили, результат увеличили на 9 и получили число, которое меньше задуманного на 2. Какое число задумали?

б) Число, которое больше задуманного на 3, относится к утроенному задуманному числу как 11 : 15. Найти задуманное число.

а) Пусть задуманное число — это $x$. Составим уравнение, следуя условиям задачи.

1. Задумали число: $x$

2. Уменьшили его на 4: $x - 4$

3. Разность удвоили: $2(x - 4)$

4. Результат увеличили на 9: $2(x - 4) + 9$

5. Получили число, которое меньше задуманного на 2: $x - 2$

Приравняем результаты, чтобы составить уравнение:

$2(x - 4) + 9 = x - 2$

Теперь решим это уравнение, используя "правило весов" (выполняя одинаковые операции с обеими частями уравнения).

Раскроем скобки в левой части:

$2x - 8 + 9 = x - 2$

Упростим левую часть:

$2x + 1 = x - 2$

Чтобы собрать переменные в одной части, вычтем $x$ из обеих частей уравнения:

$2x + 1 - x = x - 2 - x$

$x + 1 = -2$

Теперь, чтобы найти $x$, вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$x + 1 - 1 = -2 - 1$

$x = -3$

Проверка: Задуманное число -3. Уменьшаем на 4: $-3-4=-7$. Удваиваем: $-7 \cdot 2 = -14$. Увеличиваем на 9: $-14+9=-5$. Это число должно быть на 2 меньше задуманного: $-3-2=-5$. Все верно.

Ответ: -3

б) Пусть задуманное число — это $y$.

Число, которое больше задуманного на 3, равно $y + 3$.

Утроенное задуманное число равно $3y$.

Отношение первого числа ко второму равно $11 : 15$. Составим пропорцию:

$\frac{y + 3}{3y} = \frac{11}{15}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или, что то же самое, умножим обе части на $15 \cdot 3y$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $y \neq 0$):

$15 \cdot (y + 3) = 11 \cdot (3y)$

Раскроем скобки:

$15y + 45 = 33y$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, вычтя $15y$ из обеих частей уравнения:

$45 = 33y - 15y$

$45 = 18y$

Теперь разделим обе части на 18, чтобы найти $y$:

$y = \frac{45}{18}$

Сократим дробь на 9:

$y = \frac{5}{2} = 2,5$

Проверка: Задуманное число 2,5. Число, большее на 3, равно $2,5+3=5,5$. Утроенное задуманное число: $3 \cdot 2,5=7,5$. Проверим отношение: $\frac{5,5}{7,5} = \frac{55}{75} = \frac{11}{15}$. Все верно.

Ответ: 2,5

80 Составь уравнения и реши их, используя правило весов:

а) Задумали число, уменьшили его на 4, разность удвоили, результат увеличили на 9 и получили число, которое меньше задуманного на 2. Какое число задумали?

$2(x - 4) + 9 = x - 2$

б) Число, которое больше задуманного на 3, относится к утроенному задуманному числу как 11 : 15. Найти задуманное число.

$\frac{x + 3}{3x} = \frac{11}{15}$

81 a) Реши уравнение методом проб и ошибок: $x (x + 12) = 64, x \in N.$

б) Реши уравнение методом перебора: $x (x - 9)(15 - x) = 70, x \in N.$

а)

Дано уравнение $x(x+12)=64$, где $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$).
Решим его методом проб и ошибок, подставляя последовательно натуральные числа вместо $x$ и проверяя, выполняется ли равенство.

• При $x=1$: $1 \cdot (1+12) = 1 \cdot 13 = 13$. $13 \neq 64$.
• При $x=2$: $2 \cdot (2+12) = 2 \cdot 14 = 28$. $28 \neq 64$.
• При $x=3$: $3 \cdot (3+12) = 3 \cdot 15 = 45$. $45 \neq 64$.
• При $x=4$: $4 \cdot (4+12) = 4 \cdot 16 = 64$. $64 = 64$.

При $x=4$ равенство выполняется. Так как при увеличении $x$ значение левой части уравнения также будет увеличиваться, других натуральных корней у уравнения нет.
Ответ: $x=4$.

б)

Дано уравнение $x(x-9)(15-x)=70$, где $x$ — натуральное число ($x \in \mathbb{N}$).
Решим его методом перебора.

Произведение в левой части уравнения равно положительному числу 70. Поскольку $x$ — натуральное число, то множитель $x$ всегда положителен ($x>0$). Чтобы произведение было положительным, два других множителя, $(x-9)$ и $(15-x)$, должны быть одного знака, то есть либо оба положительны, либо оба отрицательны.

1. Предположим, что оба множителя положительны:
$x-9 > 0 \Rightarrow x > 9$
$15-x > 0 \Rightarrow x < 15$
Таким образом, $x$ должен быть натуральным числом, удовлетворяющим условию $9 < x < 15$. Возможные значения для $x$: $10, 11, 12, 13, 14$. Проверим их перебором.

• При $x=10$: $10 \cdot (10-9) \cdot (15-10) = 10 \cdot 1 \cdot 5 = 50$. $50 \neq 70$.
• При $x=11$: $11 \cdot (11-9) \cdot (15-11) = 11 \cdot 2 \cdot 4 = 88$. $88 \neq 70$.
• При $x=12$: $12 \cdot (12-9) \cdot (15-12) = 12 \cdot 3 \cdot 3 = 108$. $108 \neq 70$.
• При $x=13$: $13 \cdot (13-9) \cdot (15-13) = 13 \cdot 4 \cdot 2 = 104$. $104 \neq 70$.
• При $x=14$: $14 \cdot (14-9) \cdot (15-14) = 14 \cdot 5 \cdot 1 = 70$. $70 = 70$.

Значение $x=14$ является корнем уравнения.

2. Предположим, что оба множителя отрицательны:
$x-9 < 0 \Rightarrow x < 9$
$15-x < 0 \Rightarrow x > 15$
Не существует числа, которое одновременно меньше 9 и больше 15. В этом случае решений нет.

Следовательно, единственным натуральным решением уравнения является $x=14$.
Ответ: $x=14$.

81 а) Реши уравнение методом проб и ошибок: $x(x+12)=64, x \in N$.

б) Реши уравнение методом перебора: $x(x-9)(15-x)=70, x \in N$.

Найди множество корней уравнения:

а) $6(4x - 7) - 3(5 - 8x) = 0;$

б) $2(9 - 5y) + 7(2y - 4) = 4(y - 2,5);$

в) $n^2 = -4;$

г) $k^2 = 81;$

д) $|2a - 9| = 0;$

е) $|b + 3| = 2.$

а) $6(4x - 7) - 3(5 - 8x) = 0$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$6 \cdot 4x - 6 \cdot 7 - 3 \cdot 5 - 3 \cdot (-8x) = 0$
$24x - 42 - 15 + 24x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(24x + 24x) + (-42 - 15) = 0$
$48x - 57 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$48x = 57$
Найдем $x$:
$x = \frac{57}{48}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$x = \frac{19}{16} = 1\frac{3}{16}$
Множество корней уравнения состоит из одного элемента.
Ответ: $\{\frac{19}{16}\}$.

б) $2(9 - 5y) + 7(2y - 4) = 4(y - 2,5)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$18 - 10y + 14y - 28 = 4y - 10$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(14y - 10y) + (18 - 28) = 4y - 10$
$4y - 10 = 4y - 10$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4y - 4y = -10 + 10$
$0 \cdot y = 0$
Это равенство верно при любом значении $y$. Следовательно, множество корней уравнения — это множество всех действительных чисел.
Ответ: Множество всех действительных чисел.

в) $n^2 = -4$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $n^2 \ge 0$. Так как правая часть уравнения отрицательна ($-4 < 0$), данное уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел. Множество корней пусто.
Ответ: $\emptyset$.

г) $k^2 = 81$
Чтобы найти $k$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что существует два числа, квадрат которых равен 81.
$k = \sqrt{81}$ или $k = -\sqrt{81}$
$k_1 = 9$
$k_2 = -9$
Множество корней уравнения состоит из двух элементов.
Ответ: $\{-9; 9\}$.

д) $|2a - 9| = 0$
Модуль (абсолютная величина) числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Поэтому выражение под знаком модуля должно быть равно нулю.
$2a - 9 = 0$
$2a = 9$
$a = \frac{9}{2} = 4,5$
Множество корней состоит из одного элемента.
Ответ: $\{4,5\}$.

е) $|b + 3| = 2$
Если модуль выражения равен положительному числу, это означает, что само выражение может быть равно либо этому числу, либо числу, ему противоположному. Рассмотрим оба случая:
1) $b + 3 = 2$
$b = 2 - 3$
$b = -1$
2) $b + 3 = -2$
$b = -2 - 3$
$b = -5$
Множество корней уравнения состоит из двух элементов.
Ответ: $\{-5; -1\}$.

82 Найди множество корней уравнения:

а) $6(4x - 7) - 3(5 - 8x) = 0;$

б) $2(9 - 5y) + 7(2y - 4) = 4(y - 2,5);$

в) $n^2 = -4;$

г) $k^2 = 81;$

д) $|2a - 9| = 0;$

е) $|b + 3| = 2.$

83 a) Реши уравнение методом проб и ошибок: $x(x-4)=96, x \in N.$

б) Реши уравнение методом перебора: $x^2+3x=40, x \in N.$

а) Решим уравнение $x(x-4)=96$ методом проб и ошибок. По условию, $x$ является натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$).

Метод проб и ошибок заключается в подборе такого натурального значения $x$, которое удовлетворяет уравнению. Так как произведение $x(x-4)$ равно положительному числу 96, а $x$ — натуральное, то и второй множитель $(x-4)$ должен быть положительным. Это означает, что $x>4$.

Оценим значение $x$. Выражение $x(x-4)$ близко к $x^2$. Так как $10^2=100$, что близко к 96, попробуем значения $x$ около 10.

• Проба 1: пусть $x=10$. Подставим в уравнение: $10 \cdot (10-4) = 10 \cdot 6 = 60$. Это меньше, чем 96.
• Проба 2: так как 60 < 96, возьмем $x$ побольше. Пусть $x=11$. Подставим в уравнение: $11 \cdot (11-4) = 11 \cdot 7 = 77$. Это также меньше, чем 96.
• Проба 3: возьмем $x$ еще больше. Пусть $x=12$. Подставим в уравнение: $12 \cdot (12-4) = 12 \cdot 8 = 96$. Равенство верное.

Следовательно, мы нашли корень уравнения.

Ответ: 12

б) Решим уравнение $x^2+3x=40$ методом перебора. По условию, $x$ является натуральным числом ($x \in \mathbb{N}$).

Метод перебора заключается в последовательной проверке натуральных чисел, начиная с 1, и подстановке их в уравнение до тех пор, пока не будет найдено верное решение.

• Проверим $x=1$: $1^2 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$. $4 \neq 40$.
• Проверим $x=2$: $2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$. $10 \neq 40$.
• Проверим $x=3$: $3^2 + 3 \cdot 3 = 9 + 9 = 18$. $18 \neq 40$.
• Проверим $x=4$: $4^2 + 3 \cdot 4 = 16 + 12 = 28$. $28 \neq 40$.
• Проверим $x=5$: $5^2 + 3 \cdot 5 = 25 + 15 = 40$. $40 = 40$. Равенство верно.

Мы нашли корень уравнения $x=5$. Поскольку для положительных $x$ значение выражения $x^2+3x$ увеличивается с ростом $x$, то при $x > 5$ результат будет больше 40. Следовательно, других натуральных корней у уравнения нет.

Ответ: 5

83 а) Реши уравнение методом проб и ошибок: $x (x - 4) = 96, x \in N$.

б) Реши уравнение методом перебора: $x^2 + 3x = 40, x \in N$.

84 Составь уравнение и реши его, используя правило

весов.

Задумали число, увеличили его в 5 раз, затем

уменьшили на 8 и разность утроили. В результате

получили утроенное задуманное число. Какое число

задумали?

Пусть задуманное число — это $x$.

Составление уравнения

Проанализируем условие задачи и запишем его в виде математических выражений:
1. Задумали число: $x$.
2. Увеличили его в 5 раз: $5 \cdot x = 5x$.
3. Затем уменьшили на 8: $5x - 8$.
4. Полученную разность утроили, то есть умножили на 3: $(5x - 8) \cdot 3$.
5. В результате получили утроенное задуманное число, то есть $3 \cdot x = 3x$.
Теперь приравняем результат всех действий к утроенному задуманному числу. Получаем уравнение:
$(5x - 8) \cdot 3 = 3x$

Решение уравнения

Решим полученное уравнение, используя "правило весов", то есть выполняя одинаковые операции с левой и правой частями уравнения для сохранения равенства.
$(5x - 8) \cdot 3 = 3x$
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член в скобках на 3:
$5x \cdot 3 - 8 \cdot 3 = 3x$
$15x - 24 = 3x$
Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения. Для этого вычтем $3x$ из обеих частей:
$15x - 24 - 3x = 3x - 3x$
$12x - 24 = 0$
Перенесем свободный член (-24) в правую часть. Для этого прибавим 24 к обеим частям уравнения:
$12x - 24 + 24 = 0 + 24$
$12x = 24$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 12:
$\frac{12x}{12} = \frac{24}{12}$
$x = 2$

Проверим полученный результат. Подставим $x=2$ в условие:
1. Задумали число 2.
2. Увеличили в 5 раз: $2 \cdot 5 = 10$.
3. Уменьшили на 8: $10 - 8 = 2$.
4. Разность утроили: $2 \cdot 3 = 6$.
Утроенное задуманное число: $3 \cdot 2 = 6$.
Результат ($6$) совпал с утроенным задуманным числом ($6$). Решение верное.

Ответ: задумали число 2.

84 Составь уравнение и реши его, используя правило весов:

«Задумали число, увеличили его в 5 раз, затем уменьшили на 8 и разность утроили. В результате получили утроенное задуманное число. Какое число задумали?»

C 85 Задача Ньютона

Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Чему был равен первоначальный капитал?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — первоначальный капитал купца в фунтах.

Распишем изменения капитала по годам.

Год 1:

Сначала купец истратил 100 фунтов. У него осталось: $x - 100$ фунтов.

Затем он добавил к оставшейся сумме третью её часть. Это значит, что сумма увеличилась в $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ раза. Капитал в конце первого года стал равен: $S_1 = (x - 100) \cdot \frac{4}{3}$.

Год 2:

В начале второго года у купца было $S_1$ фунтов. Он вновь истратил 100 фунтов: $S_1 - 100$.

Оставшуюся сумму он увеличил на третью её часть. Капитал в конце второго года стал равен: $S_2 = (S_1 - 100) \cdot \frac{4}{3}$.

Год 3:

В начале третьего года у купца было $S_2$ фунтов. Он опять истратил 100 фунтов: $S_2 - 100$.

К остатку он добавил третью его часть. Капитал в конце третьего года стал равен: $S_3 = (S_2 - 100) \cdot \frac{4}{3}$.

По условию задачи, после всех операций капитал стал вдвое больше первоначального, то есть $S_3 = 2x$.

Составим и решим уравнение, выразив итоговый капитал $2x$ через первоначальный капитал $x$.

Капитал после первого года: $S_1 = \frac{4}{3}(x - 100)$.

Капитал после второго года: $S_2 = \frac{4}{3}(S_1 - 100) = \frac{4}{3}\left(\frac{4}{3}(x - 100) - 100\right) = \frac{16}{9}(x - 100) - \frac{400}{3}$.

Капитал после третьего года: $S_3 = \frac{4}{3}(S_2 - 100)$. Так как $S_3 = 2x$, получаем:

$2x = \frac{4}{3}(S_2 - 100)$

Подставим выражение для $S_2$:

$2x = \frac{4}{3}\left(\left(\frac{16}{9}(x - 100) - \frac{400}{3}\right) - 100\right)$

Упростим выражение в скобках:

$2x = \frac{4}{3}\left(\frac{16}{9}(x - 100) - \frac{400}{3} - \frac{300}{3}\right)$

$2x = \frac{4}{3}\left(\frac{16}{9}(x - 100) - \frac{700}{3}\right)$

Раскроем внешние скобки:

$2x = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{9}(x - 100) - \frac{4}{3} \cdot \frac{700}{3}$

$2x = \frac{64}{27}(x - 100) - \frac{2800}{9}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 27:

$27 \cdot 2x = 27 \cdot \frac{64}{27}(x - 100) - 27 \cdot \frac{2800}{9}$

$54x = 64(x - 100) - 3 \cdot 2800$

$54x = 64x - 6400 - 8400$

$54x = 64x - 14800$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$14800 = 64x - 54x$

$14800 = 10x$

$x = \frac{14800}{10} = 1480$

Таким образом, первоначальный капитал составлял 1480 фунтов.

Проверка:

1. Начальный капитал: 1480 фунтов.

2. После 1-го года: $(1480 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 1380 \cdot \frac{4}{3} = 1840$ фунтов.

3. После 2-го года: $(1840 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 1740 \cdot \frac{4}{3} = 2320$ фунтов.

4. После 3-го года: $(2320 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 2220 \cdot \frac{4}{3} = 2960$ фунтов.

5. Удвоенный первоначальный капитал: $2 \cdot 1480 = 2960$ фунтов.

Результаты совпали, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 1480 фунтов.

C 85 Задача Ньютона.

Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Чему был равен первоначальный капитал?