Страница 26, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

96 Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие её:

а) $1 : 2 = 5 : 10;$

б) $\frac{3}{12} = \frac{2}{8};$

в) $\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{3}{5} : \frac{3}{20};$

г) $\frac{0,4}{0,8} = \frac{1,6}{3,2};$

д) $m : n = k : p;$

е) $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}.$

Для того чтобы сделать все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие её, нужно использовать основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Для пропорции $a:b=c:d$ или $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ это свойство записывается как $a \cdot d = b \cdot c$.

Любая перестановка членов, которая сохраняет это равенство, также образует верную пропорцию. Основные способы получения новых верных пропорций:

• Поменять местами средние члены ($b$ и $c$): $a:c=b:d$
• Поменять местами крайние члены ($a$ и $d$): $d:b=c:a$
• "Перевернуть" (обратить) оба отношения: $b:a=d:c$

Комбинируя эти преобразования, для любой верной пропорции можно получить 8 уникальных верных равенств. Ниже представлены все 8 возможных верных пропорций для каждого из заданий.

а) Исходная пропорция $1 : 2 = 5 : 10$.
Проверка основного свойства: $1 \cdot 10 = 10$ и $2 \cdot 5 = 10$. Равенство $10=10$ верно.

Ответ: $1:2=5:10$; $1:5=2:10$; $10:2=5:1$; $10:5=2:1$; $2:1=10:5$; $5:1=10:2$; $2:10=1:5$; $5:10=1:2$.

б) Исходная пропорция $\frac{3}{12} = \frac{2}{8}$.
Проверка основного свойства: $3 \cdot 8 = 24$ и $12 \cdot 2 = 24$. Равенство $24=24$ верно.

Ответ: $\frac{3}{12}=\frac{2}{8}$; $\frac{3}{2}=\frac{12}{8}$; $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$; $\frac{8}{2}=\frac{12}{3}$; $\frac{12}{3}=\frac{8}{2}$; $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$; $\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$; $\frac{2}{8}=\frac{3}{12}$.

в) Исходная пропорция $\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{3}{5} : \frac{3}{20}$.
Проверка основного свойства: $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$ и $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$. Равенство $\frac{1}{10}=\frac{1}{10}$ верно.

Ответ: $\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{3}{5}:\frac{3}{20}$; $\frac{2}{3}:\frac{3}{5}=\frac{1}{6}:\frac{3}{20}$; $\frac{3}{20}:\frac{1}{6}=\frac{3}{5}:\frac{2}{3}$; $\frac{3}{20}:\frac{3}{5}=\frac{1}{6}:\frac{2}{3}$; $\frac{1}{6}:\frac{2}{3}=\frac{3}{20}:\frac{3}{5}$; $\frac{3}{5}:\frac{2}{3}=\frac{3}{20}:\frac{1}{6}$; $\frac{1}{6}:\frac{3}{20}=\frac{2}{3}:\frac{3}{5}$; $\frac{3}{5}:\frac{3}{20}=\frac{2}{3}:\frac{1}{6}$.

г) Исходная пропорция $\frac{0,4}{0,8} = \frac{1,6}{3,2}$.
Проверка основного свойства: $0,4 \cdot 3,2 = 1,28$ и $0,8 \cdot 1,6 = 1,28$. Равенство $1,28=1,28$ верно.

Ответ: $\frac{0,4}{0,8}=\frac{1,6}{3,2}$; $\frac{0,4}{1,6}=\frac{0,8}{3,2}$; $\frac{3,2}{0,8}=\frac{1,6}{0,4}$; $\frac{3,2}{1,6}=\frac{0,8}{0,4}$; $\frac{0,8}{0,4}=\frac{3,2}{1,6}$; $\frac{1,6}{0,4}=\frac{3,2}{0,8}$; $\frac{0,8}{3,2}=\frac{0,4}{1,6}$; $\frac{1,6}{3,2}=\frac{0,4}{0,8}$.

д) Исходная пропорция $m : n = k : p$.
Основное свойство: $m \cdot p = n \cdot k$.

Ответ: $m:n=k:p$; $m:k=n:p$; $p:n=k:m$; $p:k=n:m$; $n:m=p:k$; $k:m=p:n$; $n:p=m:k$; $k:p=m:n$.

е) Исходная пропорция $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}$.
Основное свойство: $x \cdot t = y \cdot z$.

Ответ: $\frac{x}{y}=\frac{z}{t}$; $\frac{x}{z}=\frac{y}{t}$; $\frac{t}{y}=\frac{z}{x}$; $\frac{t}{z}=\frac{y}{x}$; $\frac{y}{x}=\frac{t}{z}$; $\frac{z}{x}=\frac{t}{y}$; $\frac{y}{t}=\frac{x}{z}$; $\frac{z}{t}=\frac{x}{y}$.

К 96 Сделай все возможные перестановки членов пропорции, не нарушающие ее:

a) $1 : 2 = 5 : 10;$

б) $\frac{3}{12} = \frac{2}{8};$

в) $\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{3}{5} : \frac{3}{20};$

г) $\frac{0,4}{0,8} = \frac{1,6}{3,2};$

д) $m : n = k : p;$

е) $\frac{x}{y} = \frac{z}{t}.$

97 Составь из равенства пропорцию и сделай все перестановки её членов, не нарушающие эту пропорцию:

a) $2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$;

б) $4 \cdot 0,5 = 2 \cdot 1$;

в) $2\frac{1}{3} \cdot 3 = 3\frac{1}{2} \cdot 2$;

г) $ab = xy$.

а)

Дано верное равенство $2 \cdot 9 = 3 \cdot 6$, так как обе части равны 18. Из этого равенства, основанного на свойстве пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), можно составить пропорцию. Например, взяв 2 и 9 как крайние члены, а 3 и 6 как средние, получим пропорцию: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$.

Все верные пропорции получаются путем перестановки средних или крайних членов, а также путем обращения дробей. Всего существует 8 таких пропорций:

• $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$ и ее обратная запись $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
• $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$ (поменяли местами средние члены) и ее обратная запись $\frac{3}{9} = \frac{2}{6}$
• $\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$ (поменяли местами крайние члены) и ее обратная запись $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$
• $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ (поменяли местами и средние, и крайние члены) и ее обратная запись $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$

Ответ: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$; $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$; $\frac{2}{6} = \frac{3}{9}$; $\frac{3}{9} = \frac{2}{6}$; $\frac{9}{3} = \frac{6}{2}$; $\frac{6}{2} = \frac{9}{3}$; $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$; $\frac{3}{2} = \frac{9}{6}$.

б)

Дано верное равенство $4 \cdot 0,5 = 2 \cdot 1$, так как обе части равны 2. Составим из него пропорцию. Например: $\frac{4}{2} = \frac{1}{0,5}$.

Все возможные верные пропорции, полученные путем перестановки членов:

• $\frac{4}{2} = \frac{1}{0,5}$ и ее обратная запись $\frac{1}{0,5} = \frac{4}{2}$
• $\frac{4}{1} = \frac{2}{0,5}$ (поменяли местами средние члены) и ее обратная запись $\frac{2}{0,5} = \frac{4}{1}$
• $\frac{0,5}{2} = \frac{1}{4}$ (поменяли местами крайние члены) и ее обратная запись $\frac{1}{4} = \frac{0,5}{2}$
• $\frac{0,5}{1} = \frac{2}{4}$ (поменяли местами и средние, и крайние члены) и ее обратная запись $\frac{2}{4} = \frac{0,5}{1}$

Ответ: $\frac{4}{2} = \frac{1}{0,5}$; $\frac{1}{0,5} = \frac{4}{2}$; $\frac{4}{1} = \frac{2}{0,5}$; $\frac{2}{0,5} = \frac{4}{1}$; $\frac{0,5}{2} = \frac{1}{4}$; $\frac{1}{4} = \frac{0,5}{2}$; $\frac{0,5}{1} = \frac{2}{4}$; $\frac{2}{4} = \frac{0,5}{1}$.

в)

Дано равенство $2\frac{1}{3} \cdot 3 = 3\frac{1}{2} \cdot 2$. Проверим его, представив смешанные числа в виде неправильных дробей: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$. Равенство принимает вид $\frac{7}{3} \cdot 3 = \frac{7}{2} \cdot 2$, или $7=7$, что верно. Составим из исходного равенства пропорцию, например: $\frac{2\frac{1}{3}}{3\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$.

Все возможные верные пропорции:

• $\frac{2\frac{1}{3}}{3\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ и ее обратная запись $\frac{2}{3} = \frac{2\frac{1}{3}}{3\frac{1}{2}}$
• $\frac{2\frac{1}{3}}{2} = \frac{3\frac{1}{2}}{3}$ (поменяли местами средние члены) и ее обратная запись $\frac{3\frac{1}{2}}{3} = \frac{2\frac{1}{3}}{2}$
• $\frac{3}{3\frac{1}{2}} = \frac{2}{2\frac{1}{3}}$ (поменяли местами крайние члены) и ее обратная запись $\frac{2}{2\frac{1}{3}} = \frac{3}{3\frac{1}{2}}$
• $\frac{3}{2} = \frac{3\frac{1}{2}}{2\frac{1}{3}}$ (поменяли местами и средние, и крайние члены) и ее обратная запись $\frac{3\frac{1}{2}}{2\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{2\frac{1}{3}}{3\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$; $\frac{2}{3} = \frac{2\frac{1}{3}}{3\frac{1}{2}}$; $\frac{2\frac{1}{3}}{2} = \frac{3\frac{1}{2}}{3}$; $\frac{3\frac{1}{2}}{3} = \frac{2\frac{1}{3}}{2}$; $\frac{3}{3\frac{1}{2}} = \frac{2}{2\frac{1}{3}}$; $\frac{2}{2\frac{1}{3}} = \frac{3}{3\frac{1}{2}}$; $\frac{3}{2} = \frac{3\frac{1}{2}}{2\frac{1}{3}}$; $\frac{3\frac{1}{2}}{2\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$.

г)

Дано равенство с переменными $ab = xy$. Предполагая, что все переменные не равны нулю, мы можем составить пропорцию. Например, разделив обе части на $xb$, получим пропорцию: $\frac{a}{x} = \frac{y}{b}$.

Все возможные верные пропорции, которые можно получить из этого равенства:

• $\frac{a}{x} = \frac{y}{b}$ и ее обратная запись $\frac{y}{b} = \frac{a}{x}$
• $\frac{a}{y} = \frac{x}{b}$ (поменяли местами средние члены) и ее обратная запись $\frac{x}{b} = \frac{a}{y}$
• $\frac{b}{x} = \frac{y}{a}$ (поменяли местами крайние члены) и ее обратная запись $\frac{y}{a} = \frac{b}{x}$
• $\frac{b}{y} = \frac{x}{a}$ (поменяли местами и средние, и крайние члены) и ее обратная запись $\frac{x}{a} = \frac{b}{y}$

Ответ: $\frac{a}{x} = \frac{y}{b}$; $\frac{y}{b} = \frac{a}{x}$; $\frac{a}{y} = \frac{x}{b}$; $\frac{x}{b} = \frac{a}{y}$; $\frac{b}{x} = \frac{y}{a}$; $\frac{y}{a} = \frac{b}{x}$; $\frac{b}{y} = \frac{x}{a}$; $\frac{x}{a} = \frac{b}{y}$.

97 Составь из равенства пропорцию и сделай все перестановки ее членов, не нарушающие эту пропорцию:

а) $2 \cdot 9 = 3 \cdot 6;$

б) $4 \cdot 0,5 = 2 \cdot 1;$

в) $2\frac{1}{3} \cdot 3 = 3\frac{1}{2} \cdot 2;$

г) $ab = xy.$

98 Составь пропорцию из данных чисел и сделай все перестановки её членов, не нарушающие эту пропорцию:

а) 2; 3; 4; 6;

б) 3; 5; 12; 20;

в) 0,5; 4; 1,6; 0,2;

г) $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; 5; 8.

а) 2; 3; 4; 6;

Чтобы составить пропорцию, необходимо найти две пары чисел, произведения которых равны. Для данных чисел это $2 \cdot 6 = 12$ и $3 \cdot 4 = 12$. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних. Пусть 2 и 6 будут крайними членами, а 3 и 4 — средними. Одна из возможных пропорций: $2 : 3 = 4 : 6$.

Все верные пропорции, которые можно составить из этих чисел, являются перестановками членов исходной пропорции:

$2 : 3 = 4 : 6$
$4 : 6 = 2 : 3$
$2 : 4 = 3 : 6$
$3 : 6 = 2 : 4$
$6 : 3 = 4 : 2$
$4 : 2 = 6 : 3$
$3 : 2 = 6 : 4$
$6 : 4 = 3 : 2$

Ответ: $2 : 3 = 4 : 6$; $4 : 6 = 2 : 3$; $2 : 4 = 3 : 6$; $3 : 6 = 2 : 4$; $6 : 3 = 4 : 2$; $4 : 2 = 6 : 3$; $3 : 2 = 6 : 4$; $6 : 4 = 3 : 2$.

б) 3; 5; 12; 20;

Найдем пары чисел с одинаковым произведением: $3 \cdot 20 = 60$ и $5 \cdot 12 = 60$. Пусть 3 и 20 будут крайними членами пропорции, а 5 и 12 — средними. Одна из возможных пропорций: $3 : 5 = 12 : 20$.

Все верные пропорции, которые можно составить из этих чисел:

$3 : 5 = 12 : 20$
$12 : 20 = 3 : 5$
$3 : 12 = 5 : 20$
$5 : 20 = 3 : 12$
$20 : 5 = 12 : 3$
$12 : 3 = 20 : 5$
$5 : 3 = 20 : 12$
$20 : 12 = 5 : 3$

Ответ: $3 : 5 = 12 : 20$; $12 : 20 = 3 : 5$; $3 : 12 = 5 : 20$; $5 : 20 = 3 : 12$; $20 : 5 = 12 : 3$; $12 : 3 = 20 : 5$; $5 : 3 = 20 : 12$; $20 : 12 = 5 : 3$.

в) 0,5; 4; 1,6; 0,2;

Найдем пары чисел с одинаковым произведением: $0,5 \cdot 1,6 = 0,8$ и $4 \cdot 0,2 = 0,8$. Пусть 0,5 и 1,6 будут крайними членами пропорции, а 4 и 0,2 — средними. Одна из возможных пропорций: $0,5 : 4 = 0,2 : 1,6$.

Все верные пропорции, которые можно составить из этих чисел:

$0,5 : 4 = 0,2 : 1,6$
$0,2 : 1,6 = 0,5 : 4$
$0,5 : 0,2 = 4 : 1,6$
$4 : 1,6 = 0,5 : 0,2$
$1,6 : 4 = 0,2 : 0,5$
$0,2 : 0,5 = 1,6 : 4$
$4 : 0,5 = 1,6 : 0,2$
$1,6 : 0,2 = 4 : 0,5$

Ответ: $0,5 : 4 = 0,2 : 1,6$; $0,2 : 1,6 = 0,5 : 4$; $0,5 : 0,2 = 4 : 1,6$; $4 : 1,6 = 0,5 : 0,2$; $1,6 : 4 = 0,2 : 0,5$; $0,2 : 0,5 = 1,6 : 4$; $4 : 0,5 = 1,6 : 0,2$; $1,6 : 0,2 = 4 : 0,5$.

г) $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; 5; 8.

Найдем пары чисел с одинаковым произведением: $\frac{1}{5} \cdot 5 = 1$ и $\frac{1}{8} \cdot 8 = 1$. Пусть $\frac{1}{5}$ и 5 будут крайними членами пропорции, а $\frac{1}{8}$ и 8 — средними. Одна из возможных пропорций: $\frac{1}{5} : \frac{1}{8} = 8 : 5$.

Все верные пропорции, которые можно составить из этих чисел:

$\frac{1}{5} : \frac{1}{8} = 8 : 5$
$8 : 5 = \frac{1}{5} : \frac{1}{8}$
$\frac{1}{5} : 8 = \frac{1}{8} : 5$
$\frac{1}{8} : 5 = \frac{1}{5} : 8$
$5 : \frac{1}{8} = 8 : \frac{1}{5}$
$8 : \frac{1}{5} = 5 : \frac{1}{8}$
$\frac{1}{8} : \frac{1}{5} = 5 : 8$
$5 : 8 = \frac{1}{8} : \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5} : \frac{1}{8} = 8 : 5$; $8 : 5 = \frac{1}{5} : \frac{1}{8}$; $\frac{1}{5} : 8 = \frac{1}{8} : 5$; $\frac{1}{8} : 5 = \frac{1}{5} : 8$; $5 : \frac{1}{8} = 8 : \frac{1}{5}$; $8 : \frac{1}{5} = 5 : \frac{1}{8}$; $\frac{1}{8} : \frac{1}{5} = 5 : 8$; $5 : 8 = \frac{1}{8} : \frac{1}{5}$.

98 Составь пропорцию из данных чисел и сделай все перестановки ее членов,не нарушающие эту пропорцию:

а) 2; 3; 4; 6;

б) 3; 5; 12; 20;

в) 0,5; 4; 1,6; 0,2;

г) $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; 5; 8.

99 Составь различные пропорции из соответствующих значений величин:

1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара;

2) времени работы и объёма выполненной работы при постоянной производительности;

3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны;

4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации.

Сделай вывод.

1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара
Обозначим стоимость товара как $C$, его количество как $n$, а постоянную цену как $p$. Связь между этими величинами выражается формулой: $C = p \cdot n$.
Рассмотрим две ситуации: пусть для количества товара $n_1$ соответствующая стоимость равна $C_1$, а для количества $n_2$ — стоимость $C_2$.
Тогда мы можем записать два равенства:
$C_1 = p \cdot n_1$
$C_2 = p \cdot n_2$
Из первого равенства выразим цену: $p = \frac{C_1}{n_1}$. Из второго: $p = \frac{C_2}{n_2}$.
Так как цена $p$ постоянна, мы можем приравнять правые части этих выражений и получить пропорцию:
$\frac{C_1}{n_1} = \frac{C_2}{n_2}$
Эту пропорцию можно записать и в другом виде, поменяв местами средние члены: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
Это означает, что во сколько раз изменится количество товара, во столько же раз изменится и его стоимость.
Ответ: $\frac{C_1}{n_1} = \frac{C_2}{n_2}$ или $\frac{C_1}{C_2} = \frac{n_1}{n_2}$.

2) времени работы и объёма выполненной работы при постоянной производительности
Обозначим объём выполненной работы как $A$, время работы как $t$, а постоянную производительность как $P$. Связь между ними задаётся формулой: $A = P \cdot t$.
Рассмотрим два случая: за время $t_1$ выполнен объём работы $A_1$, а за время $t_2$ — объём $A_2$.
Имеем два равенства:
$A_1 = P \cdot t_1$
$A_2 = P \cdot t_2$
Выразим из каждого равенства производительность: $P = \frac{A_1}{t_1}$ и $P = \frac{A_2}{t_2}$.
Поскольку производительность $P$ не меняется, можем составить пропорцию:
$\frac{A_1}{t_1} = \frac{A_2}{t_2}$
Или в другом виде: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{t_1}{t_2}$.
Это означает, что отношение объёма выполненной работы ко времени постоянно, то есть объём работы прямо пропорционален времени.
Ответ: $\frac{A_1}{t_1} = \frac{A_2}{t_2}$ или $\frac{A_1}{A_2} = \frac{t_1}{t_2}$.

3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны
Обозначим площадь прямоугольника как $S$, длину одной стороны как $a$, а длину другой (постоянной) стороны как $b$. Площадь вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.
Рассмотрим два прямоугольника с одинаковой стороной $b$. У первого прямоугольника сторона равна $a_1$, а площадь $S_1$. У второго — сторона $a_2$ и площадь $S_2$.
Запишем равенства для площадей:
$S_1 = a_1 \cdot b$
$S_2 = a_2 \cdot b$
Выразим постоянную сторону $b$ из каждого равенства: $b = \frac{S_1}{a_1}$ и $b = \frac{S_2}{a_2}$.
Приравнивая выражения для $b$, получаем пропорцию:
$\frac{S_1}{a_1} = \frac{S_2}{a_2}$
Или в виде: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$.
Это показывает, что при постоянной ширине площадь прямоугольника прямо пропорциональна его длине.
Ответ: $\frac{S_1}{a_1} = \frac{S_2}{a_2}$ или $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$.

4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации
Обозначим массу вещества (растворенного) как $m_{вещ}$, массу всего раствора как $m_{р-ра}$, а постоянную концентрацию как $w$. Концентрация определяется как отношение массы вещества к массе раствора: $w = \frac{m_{вещ}}{m_{р-ра}}$.
Отсюда $m_{вещ} = w \cdot m_{р-ра}$.
Рассмотрим два разных раствора с одинаковой концентрацией $w$. В первом растворе массой $m_{р-ра1}$ содержится вещество массой $m_{вещ1}$. Во втором растворе массой $m_{р-ра2}$ содержится вещество массой $m_{вещ2}$.
Запишем равенства:
$m_{вещ1} = w \cdot m_{р-ра1}$
$m_{вещ2} = w \cdot m_{р-ра2}$
Выразим концентрацию $w$: $w = \frac{m_{вещ1}}{m_{р-ра1}}$ и $w = \frac{m_{вещ2}}{m_{р-ра2}}$.
Так как концентрация одинакова, получаем пропорцию:
$\frac{m_{вещ1}}{m_{р-ра1}} = \frac{m_{вещ2}}{m_{р-ра2}}$
Или в виде: $\frac{m_{вещ1}}{m_{вещ2}} = \frac{m_{р-ра1}}{m_{р-ра2}}$.
Это означает, что при постоянной концентрации масса растворенного вещества прямо пропорциональна массе всего раствора.
Ответ: $\frac{m_{вещ1}}{m_{р-ра1}} = \frac{m_{вещ2}}{m_{р-ра2}}$ или $\frac{m_{вещ1}}{m_{вещ2}} = \frac{m_{р-ра1}}{m_{р-ра2}}$.

Сделай вывод.
Во всех рассмотренных примерах две переменные величины связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью. Это означает, что при увеличении (или уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Отношение соответствующих значений таких величин является постоянной величиной (коэффициентом пропорциональности).
Если две величины $x$ и $y$ прямо пропорциональны, то их связь можно выразить формулой $y = k \cdot x$, где $k$ – постоянный коэффициент. Для любых двух пар соответствующих значений $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ будет верна пропорция: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$.

99 Составь различные пропорции из соответствующих значений величин:

1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара;

2) времени работы и объема выполненной работы при постоянной производительности;

3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны;

4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации.

Сделай вывод.

114* На гробнице замечательного математика древности Диофанта надпись состав-лена в форме задачи. Реши её, пользуясь одним из переводов этой надписи:

Прах Диофанта гробница покоит:

дивись ей – и камень

Мудрым искусством его

скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни

он прожил ребёнком,

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая,

с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской

возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

(Пер. С. П. Боброва)

Это классическая задача-эпитафия, для решения которой нужно составить и решить линейное уравнение. Обозначим за $x$ общее количество лет, прожитых Диофантом.

1. Анализ условия и составление математической модели

Разложим всю жизнь Диофанта на последовательные периоды, описанные в эпитафии, и выразим их через $x$:

• Детство ("шестую часть жизни"): $\frac{1}{6}x$ лет.
• Юность ("половину шестой", т.е. $\frac{1}{2}$ от $\frac{1}{6}$): $\frac{1}{12}x$ лет.
• Период до женитьбы ("минула седьмая"): $\frac{1}{7}x$ лет.
• После женитьбы до рождения сына: $5$ лет.
• Период, в течение которого жил его сын ("полжизни отцовской"): $\frac{1}{2}x$ лет.
• Период скорби после смерти сына ("Дважды два года"): $2 \times 2 = 4$ года.

Сумма всех этих периодов составляет полную продолжительность жизни Диофанта, $x$.

2. Составление и решение уравнения

На основе вышеизложенного составим уравнение:

$$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4$$

Сначала упростим правую часть, сложив числа:

$$x = \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + \frac{x}{2} + 9$$

Теперь перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:

$$x - \frac{x}{6} - \frac{x}{12} - \frac{x}{7} - \frac{x}{2} = 9$$

Чтобы выполнить вычитание, приведём дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 6, 12, 7, 2 равно 84.

$$\frac{84x}{84} - \frac{14x}{84} - \frac{7x}{84} - \frac{12x}{84} - \frac{42x}{84} = 9$$

Объединим дроби в левой части:

$$\frac{84x - 14x - 7x - 12x - 42x}{84} = 9$$

Выполним вычитание в числителе:

$$\frac{9x}{84} = 9$$

Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на 84 и разделим на 9:

$$x = \frac{9 \times 84}{9}$$

$$x = 84$$

3. Проверка решения

Подставим найденное значение $x=84$ и проверим длительность каждого периода:

• Детство: $\frac{84}{6} = 14$ лет.
• Юность: $\frac{84}{12} = 7$ лет.
• До женитьбы: $\frac{84}{7} = 12$ лет.
• До рождения сына: 5 лет.
• Сын жил: $\frac{84}{2} = 42$ года.
• Диофант скорбел: 4 года.

Сумма всех периодов: $14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84$ года. Решение верно.

Ответ: Диофант прожил 84 года.

114 На гробнице замечательного математика древности Диофанта надпись составлена в форме задачи. Реши ее, пользуясь одним из переводов этой надписи:

Прах Диофанта гробница покоит:

дивись ей – и камень

Мудрым искусством его

скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни

он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая –

с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской

возлюбленный сын его прожил –

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе

Тут и увидел предел жизни печальной своей.