Номер 99, страница 26, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 4. Свойства и преобразование пропорций - номер 99, страница 26.

Условие 2023.

99 Составь различные пропорции из соответствующих значений величин:

1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара;

2) времени работы и объёма выполненной работы при постоянной производительности;

3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны;

4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации.

Сделай вывод.

Решение 2 (2023).

1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара
Обозначим стоимость товара как $C$, его количество как $n$, а постоянную цену как $p$. Связь между этими величинами выражается формулой: $C = p \cdot n$.
Рассмотрим две ситуации: пусть для количества товара $n_1$ соответствующая стоимость равна $C_1$, а для количества $n_2$ — стоимость $C_2$.
Тогда мы можем записать два равенства:
$C_1 = p \cdot n_1$
$C_2 = p \cdot n_2$
Из первого равенства выразим цену: $p = \frac{C_1}{n_1}$. Из второго: $p = \frac{C_2}{n_2}$.
Так как цена $p$ постоянна, мы можем приравнять правые части этих выражений и получить пропорцию:
$\frac{C_1}{n_1} = \frac{C_2}{n_2}$
Эту пропорцию можно записать и в другом виде, поменяв местами средние члены: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
Это означает, что во сколько раз изменится количество товара, во столько же раз изменится и его стоимость.
Ответ: $\frac{C_1}{n_1} = \frac{C_2}{n_2}$ или $\frac{C_1}{C_2} = \frac{n_1}{n_2}$.

2) времени работы и объёма выполненной работы при постоянной производительности
Обозначим объём выполненной работы как $A$, время работы как $t$, а постоянную производительность как $P$. Связь между ними задаётся формулой: $A = P \cdot t$.
Рассмотрим два случая: за время $t_1$ выполнен объём работы $A_1$, а за время $t_2$ — объём $A_2$.
Имеем два равенства:
$A_1 = P \cdot t_1$
$A_2 = P \cdot t_2$
Выразим из каждого равенства производительность: $P = \frac{A_1}{t_1}$ и $P = \frac{A_2}{t_2}$.
Поскольку производительность $P$ не меняется, можем составить пропорцию:
$\frac{A_1}{t_1} = \frac{A_2}{t_2}$
Или в другом виде: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{t_1}{t_2}$.
Это означает, что отношение объёма выполненной работы ко времени постоянно, то есть объём работы прямо пропорционален времени.
Ответ: $\frac{A_1}{t_1} = \frac{A_2}{t_2}$ или $\frac{A_1}{A_2} = \frac{t_1}{t_2}$.

3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны
Обозначим площадь прямоугольника как $S$, длину одной стороны как $a$, а длину другой (постоянной) стороны как $b$. Площадь вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.
Рассмотрим два прямоугольника с одинаковой стороной $b$. У первого прямоугольника сторона равна $a_1$, а площадь $S_1$. У второго — сторона $a_2$ и площадь $S_2$.
Запишем равенства для площадей:
$S_1 = a_1 \cdot b$
$S_2 = a_2 \cdot b$
Выразим постоянную сторону $b$ из каждого равенства: $b = \frac{S_1}{a_1}$ и $b = \frac{S_2}{a_2}$.
Приравнивая выражения для $b$, получаем пропорцию:
$\frac{S_1}{a_1} = \frac{S_2}{a_2}$
Или в виде: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$.
Это показывает, что при постоянной ширине площадь прямоугольника прямо пропорциональна его длине.
Ответ: $\frac{S_1}{a_1} = \frac{S_2}{a_2}$ или $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1}{a_2}$.

4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации
Обозначим массу вещества (растворенного) как $m_{вещ}$, массу всего раствора как $m_{р-ра}$, а постоянную концентрацию как $w$. Концентрация определяется как отношение массы вещества к массе раствора: $w = \frac{m_{вещ}}{m_{р-ра}}$.
Отсюда $m_{вещ} = w \cdot m_{р-ра}$.
Рассмотрим два разных раствора с одинаковой концентрацией $w$. В первом растворе массой $m_{р-ра1}$ содержится вещество массой $m_{вещ1}$. Во втором растворе массой $m_{р-ра2}$ содержится вещество массой $m_{вещ2}$.
Запишем равенства:
$m_{вещ1} = w \cdot m_{р-ра1}$
$m_{вещ2} = w \cdot m_{р-ра2}$
Выразим концентрацию $w$: $w = \frac{m_{вещ1}}{m_{р-ра1}}$ и $w = \frac{m_{вещ2}}{m_{р-ра2}}$.
Так как концентрация одинакова, получаем пропорцию:
$\frac{m_{вещ1}}{m_{р-ра1}} = \frac{m_{вещ2}}{m_{р-ра2}}$
Или в виде: $\frac{m_{вещ1}}{m_{вещ2}} = \frac{m_{р-ра1}}{m_{р-ра2}}$.
Это означает, что при постоянной концентрации масса растворенного вещества прямо пропорциональна массе всего раствора.
Ответ: $\frac{m_{вещ1}}{m_{р-ра1}} = \frac{m_{вещ2}}{m_{р-ра2}}$ или $\frac{m_{вещ1}}{m_{вещ2}} = \frac{m_{р-ра1}}{m_{р-ра2}}$.

Сделай вывод.
Во всех рассмотренных примерах две переменные величины связаны между собой прямой пропорциональной зависимостью. Это означает, что при увеличении (или уменьшении) одной величины в несколько раз, вторая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Отношение соответствующих значений таких величин является постоянной величиной (коэффициентом пропорциональности).
Если две величины $x$ и $y$ прямо пропорциональны, то их связь можно выразить формулой $y = k \cdot x$, где $k$ – постоянный коэффициент. Для любых двух пар соответствующих значений $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ будет верна пропорция: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$.

Условие 2010-2022.

99 Составь различные пропорции из соответствующих значений величин:

1) стоимости и количества товара при постоянной цене этого товара;

2) времени работы и объема выполненной работы при постоянной производительности;

3) длины стороны прямоугольника и его площади при постоянной длине другой стороны;

4) массы вещества в растворе и массы раствора при постоянной концентрации.

Сделай вывод.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).