Номер 102, страница 27, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Свойства и преобразование пропорций. Параграф 3. Отношения. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 102, страница 27.

Условие 2023.

102 Математическое исследование

1) Стороны угла А пересечены параллельными прямыми $B_1C_1, B_2C_2$ и $B_3C_3$. Измерь длины отрезков, образовавшихся на сторонах угла А, и сравни отношения $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ и $\frac{B_2B_3}{C_2C_3}$.

2) Проведи исследование для произвольного угла А и произвольных параллельных прямых $B_1C_1, B_2C_2$ и $B_3C_3$, пересекающих его сторону. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать её доказанной посредством проведённых измерений и вычислений?

3) Считая равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ истинным, докажи, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$.

Решение 2 (2023).

1)

Воспользуемся линейкой для измерения длин отрезков, изображенных на рисунке. Измерения могут быть неточными из-за масштаба и качества изображения, но они позволяют сделать предварительные выводы.

Примерные измерения показывают следующие результаты: $B_1B_2 \approx 25$ мм, $B_2B_3 \approx 25$ мм, $C_1C_2 \approx 27$ мм, $C_2C_3 \approx 27$ мм.

Теперь вычислим и сравним отношения:

$\frac{B_1B_2}{C_1C_2} \approx \frac{25}{27} \approx 0.926$

$\frac{B_2B_3}{C_2C_3} \approx \frac{25}{27} \approx 0.926$

Сравнивая полученные значения, можно заключить, что они равны с учётом погрешности измерений.

Ответ: Отношения $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ и $\frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ примерно равны.

2)

Для проведения исследования нужно начертить несколько различных углов и пересечь их стороны разными наборами параллельных прямых. В каждом случае следует измерить длины получившихся отрезков (например, $B_1B_2, B_2B_3, C_1C_2, C_2C_3$) и вычислить их отношения. Каждый раз, выполняя измерения и вычисления, мы будем обнаруживать, что отношения соответствующих отрезков приблизительно равны.

На основе этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу: если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне. Для данной задачи гипотеза заключается в том, что равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ будет выполняться для любого угла A и любых трёх параллельных прямых.

Считать эту гипотезу доказанной на основании проведённых измерений и вычислений нельзя. Измерения всегда содержат погрешность и позволяют проверить лишь конечное число частных случаев. Математическое доказательство требует строгого логического вывода, который справедлив для всех возможных случаев, а не только для измеренных. Таким образом, измерения и вычисления лишь помогают выдвинуть гипотезу, но не доказывают её.

Ответ: Гипотеза: $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$. Считать её доказанной посредством измерений и вычислений нельзя, так как это не является строгим математическим доказательством.

3)

Дано, что равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ является истинным. Требуется доказать, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$.

Доказательство:

Обозначим значение равных отношений через коэффициент пропорциональности $k$:

$\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3} = k$

Из этого равенства выразим длины отрезков на одной стороне угла через длины отрезков на другой стороне:

$B_1B_2 = k \cdot C_1C_2$

$B_2B_3 = k \cdot C_2C_3$

Отрезки $B_1B_3$ и $C_1C_3$ состоят из частей:

$B_1B_3 = B_1B_2 + B_2B_3$

$C_1C_3 = C_1C_2 + C_2C_3$

Подставим выражения для $B_1B_2$ и $B_2B_3$ в формулу для $B_1B_3$:

$B_1B_3 = k \cdot C_1C_2 + k \cdot C_2C_3 = k(C_1C_2 + C_2C_3)$

Так как $C_1C_2 + C_2C_3 = C_1C_3$, получаем:

$B_1B_3 = k \cdot C_1C_3$

Теперь составим отношение $\frac{B_1B_3}{C_1C_3}$:

$\frac{B_1B_3}{C_1C_3} = \frac{k \cdot C_1C_3}{C_1C_3} = k$

Мы получили, что отношение $\frac{B_1B_3}{C_1C_3}$ равно $k$. По исходному условию, $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ также равно $k$. Следовательно, мы доказали, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$, что и требовалось.

Ответ: Доказательство основано на свойстве пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$, то $\frac{a+c}{b+d} = k$.

Условие 2010-2022.

102 Математическое исследование.

1) Стороны угла A пересечены параллельными прямыми $B_1C_1$, $B_2C_2$ и $B_3C_3$. Измерь длины отрезков, образовавшихся на сторонах угла A, и сравни отношения $\frac{B_1B_2}{C_1C_2}$ и $\frac{B_2B_3}{C_2C_3}$.

2) Проведи исследование для произвольного угла A и произвольных параллельных прямых $B_1C_1$, $B_2C_2$ и $B_3C_3$, пересекающих его сторону. Сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной посредством проведенных измерений и вычислений?

3) Считая равенство $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_2B_3}{C_2C_3}$ истинным, докажи, что $\frac{B_1B_2}{C_1C_2} = \frac{B_1B_3}{C_1C_3}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).