Номер 100, страница 27, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 4. Свойства и преобразование пропорций - номер 100, страница 27.

Условие 2023.

100 Докажи равносильность пропорций и определи, при каких значениях переменных данные утверждения истинны:

1) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $

2) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $

3) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $

4) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $

5) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $

6) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $

7) $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \iff \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d} $

Решение 2 (2023).

Для доказательства равносильности двух утверждений $P$ и $Q$ (обозначается $P \Leftrightarrow Q$) необходимо доказать два следования: $P \Rightarrow Q$ (из $P$ следует $Q$) и $Q \Rightarrow P$ (из $Q$ следует $P$). Истинность утверждений зависит от того, чтобы все выражения были определены, то есть знаменатели дробей не обращались в ноль.

1) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $.

Условия истинности: знаменатели не должны быть равны нулю. Для обеих пропорций это означает, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Прибавим к обеим частям равенства единицу: $ \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 $ Приводя к общему знаменателю в каждой части, получаем: $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} $. Разделим числитель на знаменатель почленно: $ \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d} $ $ \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 $ Вычитая единицу из обеих частей, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

2) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $.

Условия истинности: $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Вычтем из обеих частей равенства единицу: $ \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 $ $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} $. Разделим числитель на знаменатель почленно: $ \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d} $ $ \frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1 $ Прибавляя единицу к обеим частям, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

3) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $.

Условия истинности: $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Умножим обе части на $-1$: $ -\frac{a}{b} = -\frac{c}{d} $ Прибавим к обеим частям единицу: $ 1 - \frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} $ $ \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d} $. Разделим почленно: $ \frac{b}{b} - \frac{a}{b} = \frac{d}{d} - \frac{c}{d} $ $ 1 - \frac{a}{b} = 1 - \frac{c}{d} $ Вычитая единицу и умножая на $-1$, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0$ и $d \neq 0$.

4) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $.

Условия истинности: для левой части $b \neq 0, d \neq 0$. Для правой части $a+b \neq 0, c+d \neq 0$. Таким образом, утверждения могут быть истинны только при $b \neq 0, d \neq 0, a+b \neq 0, c+d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Если $a=0$, то и $c=0$. Правая часть примет вид $ \frac{0}{0+b} = \frac{0}{0+d} $, то есть $0=0$, что верно. Если $a \neq 0$ (и, следовательно, $c \neq 0$), можно "перевернуть" дроби: $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $. Прибавим 1 к обеим частям: $ \frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1 $ $ \frac{b+a}{a} = \frac{d+c}{c} $ Снова "перевернем" дроби (это возможно, так как $a+b \neq 0, c+d \neq 0$): $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d} $. Если $a=0$, то и $c=0$. Левая часть примет вид $ \frac{0}{b} = \frac{0}{d} $, то есть $0=0$, что верно. Если $a \neq 0$ (и $c \neq 0$), "перевернем" дроби: $ \frac{a+b}{a} = \frac{c+d}{c} $. Разделим почленно: $ 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{d}{c} $ $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $ И снова "перевернем" дроби: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a+b \neq 0, c+d \neq 0$.

5) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $.

Условия истинности: $b \neq 0, d \neq 0, a-b \neq 0, c-d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Если $a=0$, то $c=0$, и правая часть $ \frac{0}{0-b} = \frac{0}{0-d} $ верна ($0=0$). Если $a \neq 0, c \neq 0$, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $. Умножим на $-1$ и прибавим 1: $ 1 - \frac{b}{a} = 1 - \frac{d}{c} $ $ \frac{a-b}{a} = \frac{c-d}{c} $ Перевернем дроби: $ \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d} $. Если $a=0$, то $c=0$, левая часть $ \frac{0}{b} = \frac{0}{d} $ верна. Если $a \neq 0, c \neq 0$, перевернем дроби: $ \frac{a-b}{a} = \frac{c-d}{c} $. Разделим почленно: $ 1 - \frac{b}{a} = 1 - \frac{d}{c} $ $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d$.

6) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $.

Условия истинности: $b \neq 0, d \neq 0, b-a \neq 0, d-c \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Если $a=0$, то $c=0$, и правая часть $ \frac{0}{b-0} = \frac{0}{d-0} $ верна. Если $a \neq 0, c \neq 0$, то $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} $. Вычтем 1: $ \frac{b}{a} - 1 = \frac{d}{c} - 1 $ $ \frac{b-a}{a} = \frac{d-c}{c} $ Перевернем дроби: $ \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c} $. Если $a=0$, то $c=0$, левая часть верна. Если $a \neq 0, c \neq 0$, перевернем дроби: $ \frac{b-a}{a} = \frac{d-c}{c} $. Разделим почленно: $ \frac{b}{a} - 1 = \frac{d}{c} - 1 $ $ \frac{b}{a} = \frac{d}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $

Равносильность доказана.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d$.

7) Докажем равносильность $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d} $.

Это свойство называется производной пропорцией. Докажем первую равносильность: $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $.

Условия истинности: $b \neq 0, d \neq 0, a-b \neq 0, c-d \neq 0$.

Доказательство $ \Rightarrow $: Пусть $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k $. Тогда $ a = bk, c = dk $. Подставим в правую часть: $ \frac{a+b}{a-b} = \frac{bk+b}{bk-b} = \frac{b(k+1)}{b(k-1)} = \frac{k+1}{k-1} $ $ \frac{c+d}{c-d} = \frac{dk+d}{dk-d} = \frac{d(k+1)}{d(k-1)} = \frac{k+1}{k-1} $ Так как обе части равны одному и тому же выражению $ \frac{k+1}{k-1} $, они равны между собой.

Доказательство $ \Leftarrow $: Пусть $ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение): $ (a+b)(c-d) = (c+d)(a-b) $ $ ac - ad + bc - bd = ac - bc + ad - bd $ Сокращаем $ac$ и $-bd$: $ -ad + bc = -bc + ad $ $ 2bc = 2ad $ $ bc = ad $. Разделив на $bd$ (при $b \neq 0, d \neq 0$), получаем $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $.

Вторая равносильность $ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d} $ является прямым следствием свойства пропорции: в верной пропорции можно менять местами средние или крайние члены. Здесь мы поменяли местами средние члены $ a-b $ и $ c+d $.

Общие условия истинности для всей цепочки: все знаменатели должны быть отличны от нуля. $b \neq 0, d \neq 0$ (из первой пропорции). $a-b \neq 0, c-d \neq 0$ (из второй пропорции). $c+d \neq 0, c-d \neq 0$ (из третьей пропорции). Объединяя, получаем: $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d, c \neq -d$.

Ответ: Утверждения истинны при $b \neq 0, d \neq 0, a \neq b, c \neq d$ и $c \neq -d$.

Условие 2010-2022.

100 Докажи равносильность пропорций и определи, при каких значениях переменных данные утверждения истинны:

1) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d};$

2) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d};$

3) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{b-a}{b} = \frac{d-c}{d};$

4) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d};$

5) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d};$

6) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{b-a} = \frac{c}{d-c};$

7) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \iff \frac{a+b}{c+d} = \frac{a-b}{c-d}.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).