Номер 93, страница 23, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции - номер 93, страница 23.

Условие 2023.

93 Найди наименьшее число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

Решение 2 (2023).

Чтобы найти наименьшее число, которое удовлетворяет условиям, необходимо проанализировать эти условия.

1. Число должно содержать все 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) по одному разу. Это означает, что число будет десятизначным.

2. Число должно быть кратно 36. Для этого оно должно быть одновременно кратно 4 и 9, так как $36 = 4 \times 9$ и числа 4 и 9 взаимно простые.

Признак делимости на 9:
Сумма цифр числа должна делиться на 9. Найдем сумму всех десяти цифр: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$. Так как $45$ делится на $9$ ($45 : 9 = 5$), любое число, составленное из этих десяти цифр, будет делиться на 9. Таким образом, это условие выполняется автоматически.

Признак делимости на 4:
Число, образованное двумя последними цифрами искомого числа, должно делиться на 4.

Поиск наименьшего числа:
Чтобы число было наименьшим, его первые (старшие) разряды должны содержать как можно меньшие цифры. Самое маленькое десятизначное число начинается с 1, затем 0, 2, 3 и так далее по возрастанию.

Будем строить число слева направо, используя наименьшие доступные цифры: $1, 0, 2, 3, 4, 5, \dots$ Попробуем составить наименьший возможный префикс (начало числа).

Пусть первые шесть цифр числа – наименьшие возможные: 102345. Тогда для оставшихся четырех разрядов у нас остаются цифры: {6, 7, 8, 9}. Из этих цифр нужно составить наименьшее возможное четырехзначное число `wxyz`, у которого две последние цифры `yz` образуют число, делящееся на 4.

Рассмотрим возможные окончания `yz`, составленные из цифр {6, 7, 8, 9}, которые делятся на 4:

• ...68 (68 : 4 = 17). Оставшиеся цифры для `wx` – {7, 9}. Чтобы число `wxyz` было наименьшим, составляем из них `79`. Получаем суффикс 7968.
• ...76 (76 : 4 = 19). Оставшиеся цифры для `wx` – {8, 9}. Составляем `89`. Получаем суффикс 8976.
• ...96 (96 : 4 = 24). Оставшиеся цифры для `wx` – {7, 8}. Составляем `78`. Получаем суффикс 7896.

Теперь сравним полученные четырехзначные суффиксы: $7896 < 7968 < 8976$. Наименьший из них – 7896.

Присоединяем этот наименьший суффикс к нашему префиксу: Префикс: 102345 Суффикс: 7896 Искомое число: 1023457896.

Проверим:

• Все 10 цифр использованы по одному разу.
• Число делится на 9 (сумма цифр 45).
• Число делится на 4 (оканчивается на 96).
• Следовательно, число делится на 36.

Любая другая комбинация (например, с более коротким начальным префиксом) приведет к большему числу, так как изменения произойдут в более старших разрядах. Например, если бы мы взяли префикс 10234, то оставшиеся цифры {5,6,7,8,9} привели бы к числу $1023478956$, которое больше, чем найденное.

Ответ: 1023457896

Условие 2010-2022.

C 93 Найди наименьшее число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).