Номер 91, страница 23, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 2. Арифметика. Параграф 3. Отношения. 3. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции - номер 91, страница 23.

Условие 2023.

91 Математическое исследование

1) Начерти окружность радиуса 3 см и проведи её диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол, образованный хордами. Проведи те же самые построения и измерения ещё для двух точек окружности. Что ты замечаешь?

2) Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать её доказанной на основании проведённых тобой измерений? Почему?

Решение 2 (2023).

1)

Сначала начертим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 3$ см. Затем проведём через центр $O$ диаметр, обозначив его концы буквами $A$ и $B$.

1. Выберем на окружности произвольную точку $C$ (не совпадающую с $A$ или $B$). Соединим её с концами диаметра, получив хорды $AC$ и $BC$. В результате образуется треугольник $\triangle ABC$ и угол $\angle ACB$. Измерив этот угол транспортиром, мы получим, что $\angle ACB = 90^\circ$.

2. Выберем на окружности другую произвольную точку $D$. Соединив её с точками $A$ и $B$, получим угол $\angle ADB$. Его измерение также покажет результат $90^\circ$.

3. Повторим то же самое для третьей произвольной точки $E$. Измерение угла $\angle AEB$ снова даст $90^\circ$.

Проведя эти измерения, можно заметить, что независимо от выбора точки на окружности, угол, образованный хордами, соединяющими эту точку с концами диаметра, всегда оказывается прямым, то есть равным $90^\circ$.

Ответ: При соединении любой точки на окружности с концами диаметра образуется прямой угол ($90^\circ$).

2)

Повторив эксперимент с окружностью любого другого произвольного радиуса $R$, мы получим те же самые результаты: угол, опирающийся на диаметр, будет равен $90^\circ$. На основе этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу.

Гипотеза: Вписанный в окружность угол, опирающийся на её диаметр, является прямым.

Считать эту гипотезу доказанной на основании проведённых измерений нельзя.

Почему?

1. Неточность измерений. Любой измерительный прибор, например транспортир, имеет погрешность. Мы можем получить результат, близкий к $90^\circ$ (например, $89^\circ$ или $91^\circ$), но не можем быть абсолютно уверены, что угол в точности прямой.

2. Ограниченность эксперимента. Мы проверили гипотезу лишь для нескольких (трёх, пяти, десяти) точек. На окружности же находится бесконечное множество точек. Эксперимент не может охватить все возможные случаи, а математическое доказательство должно быть верным для абсолютно любой точки на окружности.

3. Природа доказательства. Математика требует строгих логических доказательств, основанных на аксиомах и ранее доказанных теоремах (дедуктивный метод), а не на наблюдениях и экспериментах (индуктивный метод). Эксперимент лишь позволяет выдвинуть правдоподобную гипотезу, которую затем необходимо доказывать строго математически.

Ответ: Гипотеза: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Считать её доказанной на основании измерений нельзя, так как измерения неточны и охватывают лишь конечное число случаев из бесконечного множества. Математическое доказательство требует строгой логики, а не экспериментальной проверки.

Условие 2010-2022.

91 Математическое исследование.

1) Начерти окружность радиуса 3 см и проведи ее диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол, образованный хордами. Проведи те же самые построения и измерения еще для двух точек окружности. Что ты замечаешь?

2) Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной на основании проведенных тобой измерений? Почему?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).