Страница 23, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

77 Бассейн наполняется водой из трубы со скоростью 2 м³/мин. Пусть t мин – время работы трубы, а V м³ – объём воды, налитой в бассейн. Запиши формулу зависимости V от t. Составь таблицу и построй график этой зависимости для $0 \le t \le 5$.

Формула зависимости V от t

Объём воды $V$ (в м³), налитый в бассейн, прямо пропорционален времени работы трубы $t$ (в мин). Скорость наполнения бассейна составляет 2 м³/мин. Это означает, что каждую минуту в бассейн добавляется 2 кубических метра воды. Чтобы найти общий объём воды через время $t$, нужно умножить скорость наполнения на время.

Формула зависимости объёма $V$ от времени $t$ имеет вид: $V = 2 \cdot t$

Ответ: $V = 2t$

Таблица зависимости для $0 \le t \le 5$

Составим таблицу значений объёма $V$ для времени $t$ в интервале от 0 до 5 минут с шагом в 1 минуту, используя полученную формулу $V = 2t$.

• При $t=0$: $V = 2 \cdot 0 = 0$ м³
• При $t=1$: $V = 2 \cdot 1 = 2$ м³
• При $t=2$: $V = 2 \cdot 2 = 4$ м³
• При $t=3$: $V = 2 \cdot 3 = 6$ м³
• При $t=4$: $V = 2 \cdot 4 = 8$ м³
• При $t=5$: $V = 2 \cdot 5 = 10$ м³

Ответ:

График зависимости для $0 \le t \le 5$

Зависимость $V = 2t$ является линейной функцией, её график — прямая линия. Поскольку по условию $0 \le t \le 5$, графиком будет отрезок прямой, соединяющий точки, соответствующие начальному и конечному моментам времени.

Построим график в системе координат, где по горизонтальной оси отложено время $t$ (в мин), а по вертикальной оси — объём $V$ (в м³). Используем точки из таблицы: (0, 0) и (5, 10).

Ответ:

77 Бассейн наполняется водой из трубы со скоростью $2 \text{ м}^3/\text{мин}$. Пусть $t \text{ мин}$ – время работы трубы, а $V \text{ м}^3$ – объем воды, налитой в бассейн. Запиши формулу зависимости $V$ от $t$: $V = 2t$. Составь таблицу и построй график этой зависимости для $0 \le t \le 5$.

78 Расстояние от дома до школы 6 км. Пусть $v$ км/ч – скорость, а $t$ ч – время пути в школу. Запиши формулу зависимости $t$ от $v$. Заполни таблицу и построй график этой зависимости для значений $v$, удовлетворяющих неравенству $0.5 \leq v \leq 12$.

v: 0,5, 1, 1,5, 2, 3, 4, 6, 12

t:

Запиши формулу зависимости t от v

Основная формула, связывающая расстояние $S$, скорость $v$ и время $t$, выглядит так: $S = v \cdot t$.

Чтобы выразить время $t$ через скорость $v$ и расстояние $S$, преобразуем формулу: $t = \frac{S}{v}$.

По условию задачи расстояние от дома до школы $S = 6$ км. Подставив это значение в формулу, получаем искомую зависимость времени $t$ от скорости $v$.

Ответ: $t = \frac{6}{v}$

Заполни таблицу

Используя полученную формулу $t = \frac{6}{v}$, вычислим значения времени $t$ для каждого заданного значения скорости $v$:

При $v = 0,5$ км/ч, $t = \frac{6}{0,5} = 12$ ч.
При $v = 1$ км/ч, $t = \frac{6}{1} = 6$ ч.
При $v = 1,5$ км/ч, $t = \frac{6}{1,5} = 4$ ч.
При $v = 2$ км/ч, $t = \frac{6}{2} = 3$ ч.
При $v = 3$ км/ч, $t = \frac{6}{3} = 2$ ч.
При $v = 4$ км/ч, $t = \frac{6}{4} = 1,5$ ч.
При $v = 6$ км/ч, $t = \frac{6}{6} = 1$ ч.
При $v = 12$ км/ч, $t = \frac{6}{12} = 0,5$ ч.

Заполненная таблица:

Ответ: Выше представлена заполненная таблица.

Построй график этой зависимости

Графиком зависимости $t = \frac{6}{v}$ является ветвь гиперболы. Для построения графика нанесём на координатную плоскость точки с координатами $(v; t)$ из заполненной таблицы и соединим их плавной линией. Ось абсцисс (горизонтальная) будет представлять скорость $v$ (в км/ч), а ось ординат (вертикальная) — время $t$ (в часах). График строится для значений $v$, удовлетворяющих неравенству $0,5 \le v \le 12$.

Ответ: Выше представлен график зависимости времени $t$ от скорости $v$.

78 Расстояние от дома до школы 6 км. Пусть $v$ км/ч – скорость, а $t$ ч – время пути в школу. Запиши формулу зависимости $t$ от $v$. Заполни таблицу и построй график этой зависимости для значений $v$, удовлетворяющих неравенству $0,5 \le v \le 12$.

79 Пусть продолжительность дня $x$ ч, а продолжительность ночи $y$ ч. Запиши формулу, выражающую зависимость $y$ от $x$. Какие значения может принимать $x$? Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений $x$.

Формула, выражающая зависимость y от x

Сумма продолжительности дня ($x$ ч) и продолжительности ночи ($y$ ч) составляет 24 часа, так как в сутках 24 часа. Это можно записать в виде уравнения: $$x + y = 24$$ Чтобы выразить зависимость $y$ от $x$, необходимо перенести $x$ в правую часть уравнения.

Ответ: $y = 24 - x$

Какие значения может принимать x?

Продолжительность дня $x$ является величиной, которая не может быть отрицательной, поэтому $x \ge 0$. Также продолжительность дня не может превышать общее количество часов в сутках, то есть 24 часа, поэтому $x \le 24$.

Ответ: Переменная $x$ может принимать любые значения в промежутке от 0 до 24 включительно, то есть $0 \le x \le 24$.

Заполни таблицу

Используя формулу $y = 24 - x$, вычислим значения $y$ для каждого заданного значения $x$:

• При $x = 0$, $y = 24 - 0 = 24$
• При $x = 3$, $y = 24 - 3 = 21$
• При $x = 6$, $y = 24 - 6 = 18$
• При $x = 9$, $y = 24 - 9 = 15$
• При $x = 12$, $y = 24 - 12 = 12$
• При $x = 15$, $y = 24 - 15 = 9$
• При $x = 18$, $y = 24 - 18 = 6$
• При $x = 21$, $y = 24 - 21 = 3$
• При $x = 24$, $y = 24 - 24 = 0$

Ответ: Заполненная таблица:

Построй график этой зависимости

Графиком функции $y = 24 - x$ является прямая линия. Так как допустимые значения $x$ лежат в диапазоне от 0 до 24, то графиком нашей зависимости будет отрезок прямой. Для построения отрезка достаточно двух точек. Возьмем крайние точки из таблицы: (0; 24) и (24; 0). Соединим их на координатной плоскости.

Ответ: График зависимости $y$ от $x$:

79 Пусть продолжительность дня $x$ ч, а продолжительность ночи $y$ ч. Запиши формулу, выражающую зависимость $y$ от $x$. Какие значения может принимать $x$? Заполни таблицу и построй график этой зависимости для всех допустимых значений $x$.

x 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y

80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной $a$ см. Площадь оставшейся части квадрата – $S$ $\text{см}^2$. Запиши формулу зависимости $S$ от $a$. Какие значения может принимать $a$? Построй график этой зависимости для всех допустимых значений $a$.

Запиши формулу зависимости S от a.

Площадь оставшейся части $S$ равна разности площадей исходного большого квадрата и вырезанного малого квадрата.

1. Площадь исходного квадрата со стороной 5 см равна:
$S_{исх} = 5^2 = 25$ см².

2. Площадь вырезанного квадрата со стороной $a$ см равна:
$S_{выр} = a^2$ см².

3. Площадь оставшейся части $S$ находится по формуле:
$S = S_{исх} - S_{выр}$

Подставляя значения, получаем формулу зависимости $S$ от $a$:
$S = 25 - a^2$.

Ответ: $S = 25 - a^2$.

Какие значения может принимать a?

Переменная $a$ обозначает длину стороны вырезанного квадрата. Так как длина не может быть отрицательной, $a \ge 0$. Условие "вырезали квадрат" подразумевает, что его сторона имеет положительную длину, то есть $a > 0$.

Кроме того, квадрат вырезают из большего квадрата со стороной 5 см. Следовательно, сторона вырезанного квадрата не может быть больше стороны исходного квадрата, то есть $a \le 5$.

Объединяя эти два условия, получаем допустимые значения для $a$:

$0 < a \le 5$.

Ответ: $0 < a \le 5$.

Построй график этой зависимости для всех допустимых значений a.

Нужно построить график функции $S(a) = 25 - a^2$ на промежутке $a \in (0, 5]$.

Этот график является частью параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 25)$.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему:

• Если $a=1$, то $S = 25 - 1^2 = 24$. Точка $(1, 24)$.
• Если $a=2$, то $S = 25 - 2^2 = 21$. Точка $(2, 21)$.
• Если $a=3$, то $S = 25 - 3^2 = 16$. Точка $(3, 16)$.
• Если $a=4$, то $S = 25 - 4^2 = 9$. Точка $(4, 9)$.
• Если $a=5$, то $S = 25 - 5^2 = 0$. Точка $(5, 0)$.

Граничные точки:

• При $a \to 0$, $S \to 25$. Точка $(0, 25)$ является вершиной параболы, но не входит в область определения, поэтому на графике она будет "выколотой" (обозначается пустым кружком).
• При $a=5$, $S=0$. Точка $(5, 0)$ входит в область определения (обозначается закрашенным кружком).

Соединим точки плавной кривой. Горизонтальную ось обозначим как $a$ (сторона, см), а вертикальную — как $S$ (площадь, см²).

График зависимости:

Ответ: График зависимости представлен на рисунке выше.

80 Из квадрата со стороной 5 см вырезали квадрат со стороной $a$ см. Площадь оставшейся части квадрата – $S$ см$^2$.

Запиши формулу зависимости $S$ от $a$.

Какие значения может принимать $a$?

Построй график этой зависимости для всех допустимых значений $a$.

Л 81

Определи вид высказываний и установи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

2) Знаменатель неправильной дроби всегда является простым числом.

3) Квадрат числа может быть меньше самого числа.

4) Ни одну из дробей со знаменателем 6 нельзя перевести в десятичную.

5) Куб числа всегда больше самого числа.

6) 1 % числа составляет $\frac{0}{100}$ долю этого числа.

7) Есть числа, 125 % которых меньше их самих.

8) При делении натуральных чисел остаток может быть больше или равен делителю.

9) Все числа, кратные 3, кратны и 9.

10) Существует дробь, удовлетворяющая неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

1) Это общее высказывание, так как используется слово «любая». Высказывание является истинным. Любая правильная дробь (если рассматривать положительные числа) меньше 1, так как ее числитель меньше знаменателя. Любая неправильная дробь больше или равна 1, так как ее числитель больше или равен знаменателю. Следовательно, любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной.
Ответ: общее высказывание, истинное.

2) Это общее высказывание, так как используется слово «всегда». Высказывание является ложным. Чтобы его опровергнуть, достаточно привести один контрпример. Например, дробь $\frac{7}{4}$ — неправильная, но ее знаменатель 4 не является простым числом ($4=2 \times 2$). Отрицание: «Существует неправильная дробь, знаменатель которой не является простым числом».
Ответ: общее высказывание, ложное.

3) Это высказывание о существовании, так как используется оборот «может быть». Высказывание является истинным. Оно утверждает, что существует хотя бы одно число, квадрат которого меньше его самого. Таким свойством обладают все числа в интервале от 0 до 1. Например, возьмем число $0.5$. Его квадрат равен $0.5^2 = 0.25$, и $0.25 < 0.5$.
Ответ: высказывание о существовании, истинное.

4) Это общее высказывание, так как используется оборот «ни одну». Высказывание является ложным. Дробь можно перевести в конечную десятичную, если после ее сокращения знаменатель не содержит других простых множителей, кроме 2 и 5. Рассмотрим дробь со знаменателем 6, например, $\frac{3}{6}$. Эту дробь можно сократить до $\frac{1}{2}$, которая равна $0.5$. Таким образом, мы нашли дробь со знаменателем 6, которую можно перевести в десятичную. Отрицание: «Существует дробь со знаменателем 6, которую можно перевести в десятичную».
Ответ: общее высказывание, ложное.

5) Это общее высказывание, так как используется слово «всегда». Высказывание является ложным. Оно неверно для чисел из интервала $(-\infty, -1]$, а также для чисел из интервала $[0, 1]$. Например, для $x=1$, $1^3=1$, что не больше 1. Для $x=0.5$, $0.5^3=0.125$, что меньше 0.5. Для $x=-2$, $(-2)^3=-8$, что меньше -2. Отрицание: «Существует число, куб которого не больше самого числа».
Ответ: общее высказывание, ложное.

6) Это общее высказывание (определение). Высказывание ложно. По определению, 1% — это одна сотая часть числа, то есть $\frac{1}{100}$ доля. В утверждении же говорится про $\frac{0}{100}$, что равно 0. Отрицание: «1% числа не составляет $\frac{0}{100}$ долю этого числа».
Ответ: общее высказывание, ложное.

7) Это высказывание о существовании, так как используется слово «есть». Высказывание истинно. Нам нужно найти число $x$, для которого $1.25x < x$. Это неравенство верно для всех отрицательных чисел. Например, возьмем $x=-4$. Тогда $125\%$ от $-4$ равны $1.25 \times (-4) = -5$. Неравенство $-5 < -4$ является верным.
Ответ: высказывание о существовании, истинное.

8) Это высказывание о существовании, так как используется оборот «может быть». Высказывание является ложным. По определению деления с остатком, остаток от деления натурального числа $a$ на натуральное число $b$ всегда должен быть строго меньше делителя $b$ ($0 \le r < b$). Отрицание: «При делении натуральных чисел остаток всегда меньше делителя».
Ответ: высказывание о существовании, ложное.

9) Это общее высказывание, так как используется слово «все». Высказывание является ложным. Если число делится на 3, это не означает, что оно делится и на 9. Например, число 15 кратно 3 ($15 = 3 \times 5$), но не кратно 9. Отрицание: «Существует число, кратное 3, которое не кратно 9».
Ответ: общее высказывание, ложное.

10) Это высказывание о существовании, так как используется слово «существует». Высказывание истинно. Между любыми двумя различными рациональными числами всегда существует другое рациональное число. Чтобы найти дробь между $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, приведем их к общему знаменателю, например 12: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$. Между ними находится, например, дробь $\frac{5}{12}$.
Ответ: высказывание о существовании, истинное.

Л 81 Определи вид высказываний и установи их истинность. Построй отрицания ложных высказываний.

1) Любая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

2) Знаменатель неправильной дроби всегда является простым числом.

3) Квадрат числа может быть меньше самого числа.

4) Ни одну из дробей со знаменателем 6 нельзя перевести в десятичную.

5) Куб числа всегда больше самого числа.

6) 1% числа составляет $\frac{1}{100}$ долю этого числа.

7) Есть числа, 125% которых меньше их самих.

8) При делении натуральных чисел остаток может быть больше или равен делителю.

9) Все числа, кратные 3, кратны и 9.

10) Существует дробь, удовлетворяющая неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

82 Как найти часть от числа, выраженную дробью? Найди:

1) $ \frac{2}{5} $ от $ 1\frac{7}{8} $;

2) $ 0,8 $ от $ 2,75 \text{ м}^2 $;

3) $ 15\ \% $ от $ 64 \text{ т} $;

4) $ 300\ \% $ от $ 7 $.

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число умножить на данную дробь. Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной) и умножить число на эту дробь.

1) Найти $\frac{2}{5}$ от $1\frac{7}{8}$

Сначала представим смешанное число $1\frac{7}{8}$ в виде неправильной дроби:

$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$

Теперь умножим число $\frac{15}{8}$ на дробь $\frac{2}{5}$:

$\frac{15}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 2}{4 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) Найти 0,8 от 2,75 м²

Чтобы найти десятичную дробь от числа, нужно умножить это число на данную десятичную дробь:

$2,75 \cdot 0,8 = 2,2$

Таким образом, 0,8 от 2,75 м² равно 2,2 м².

Ответ: 2,2 м²

3) Найти 15 % от 64 т

Сначала представим проценты в виде десятичной дроби:

$15~\% = \frac{15}{100} = 0,15$

Теперь умножим число 64 на 0,15:

$64 \cdot 0,15 = 9,6$

Следовательно, 15 % от 64 т составляет 9,6 т.

Ответ: 9,6 т

4) Найти 300 % от 7

Представим 300 % в виде десятичной дроби (в данном случае — целого числа):

$300~\% = \frac{300}{100} = 3$

Теперь умножим число 7 на 3:

$7 \cdot 3 = 21$

Следовательно, 300 % от 7 равно 21.

Ответ: 21

82 Как найти часть от числа, выраженную дробью? Найди:

1) $ \frac{2}{5} $ от $ 1\frac{7}{8} $;

2) 0,8 от 2,75 $ м^{2} $;

3) $15\%$ от 64 т;

4) $300\%$ от 7.

88 Стороны прямоугольника относятся как $4 : 7$, а его большая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону, периметр и площадь этого прямоугольника.

Меньшая сторона

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Согласно условию, их отношение составляет $4 : 7$. Поскольку $4 < 7$, то $a$ - меньшая сторона, а $b$ - большая.

Можно выразить стороны через коэффициент пропорциональности $k$:

$a = 4k$

$b = 7k$

Из условия известно, что большая сторона равна 31,5 см. Следовательно:

$7k = 31,5$

Найдем значение коэффициента $k$:

$k = \frac{31,5}{7} = 4,5$

Теперь вычислим длину меньшей стороны $a$:

$a = 4k = 4 \cdot 4,5 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

Периметр

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – его смежные стороны.

Мы знаем, что меньшая сторона $a = 18$ см, а большая сторона $b = 31,5$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$P = 2(18 + 31,5) = 2 \cdot 49,5 = 99$ см.

Ответ: 99 см.

Площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Подставим известные значения сторон $a$ и $b$:

$S = 18 \cdot 31,5 = 567$ см².

Ответ: 567 см².

88 Стороны прямоугольника относятся как $4:7$, а его большая сторона равна 31,5 см. Найди меньшую сторону, периметр и площадь этого прямоугольника.

89 Расстояние между двумя городами 145 км. Грузовая машина может пройти это расстояние за 2,5 ч. Скорость легковой машины на 50 % больше скорости грузовой. Через сколько часов эти машины встретятся, если одновременно выедут из этих городов навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Для решения задачи сначала найдем скорости грузовой и легковой машин, а затем определим время их встречи и проанализируем условие на наличие лишних данных.

1. Вычисление скорости грузовой машины ($v_{гр}$).

Скорость вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ — это расстояние, а $t$ — время. По условию, расстояние $S = 145$ км, а время, за которое грузовая машина проходит это расстояние, $t_{гр} = 2,5$ ч.

$v_{гр} = 145 \text{ км} / 2,5 \text{ ч} = 58$ км/ч.

2. Вычисление скорости легковой машины ($v_{л}$).

Скорость легковой машины на 50% больше скорости грузовой. Это означает, что ее скорость составляет 150% от скорости грузовой, или в 1,5 раза больше.

$v_{л} = v_{гр} \cdot 1,5 = 58 \text{ км/ч} \cdot 1,5 = 87$ км/ч.

3. Вычисление времени до встречи машин ($t_{встр}$).

Поскольку машины едут навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения ($v_{сбл}$).

$v_{сбл} = v_{гр} + v_{л} = 58 \text{ км/ч} + 87 \text{ км/ч} = 145$ км/ч.

Время до встречи равно расстоянию, деленному на скорость сближения.

$t_{встр} = S / v_{сбл} = 145 \text{ км} / 145 \text{ км/ч} = 1$ ч.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Через сколько часов эти машины встретятся, если одновременно выедут из этих городов навстречу друг другу?

На основе проведенных вычислений, машины встретятся через 1 час после одновременного выезда.

Ответ: 1 час.

Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Да, в условии задачи есть лишнее данное. Это можно доказать, решив задачу в общем виде. Пусть расстояние между городами равно $S$, а время грузовика в пути — $t_{гр}$.

Скорость грузовика: $v_{гр} = S / t_{гр}$.

Скорость легковой машины: $v_{л} = 1,5 \cdot v_{гр} = 1,5 \cdot (S / t_{гр})$.

Скорость сближения: $v_{сбл} = v_{гр} + v_{л} = (S / t_{гр}) + 1,5 \cdot (S / t_{гр}) = 2,5 \cdot (S / t_{гр})$.

Время до встречи: $t_{встр} = S / v_{сбл} = S / (2,5 \cdot (S / t_{гр}))$.

В этом выражении расстояние $S$ в числителе и знаменателе сокращается:

$t_{встр} = t_{гр} / 2,5$.

Подставляя известное значение $t_{гр} = 2,5$ ч, получаем:

$t_{встр} = 2,5 \text{ ч} / 2,5 = 1$ ч.

Как видно из решения в общем виде, для нахождения времени встречи значение расстояния $S = 145$ км не требуется. Следовательно, это лишнее данное.

Ответ: да, расстояние между городами в 145 км является лишним данным.

89 Расстояние между двумя городами 145 км. Грузовая машина может пройти это расстояние за 2,5 ч. Скорость легковой машины на 50% больше скорости грузовой. Через сколько часов эти машины встретятся, если одновременно выедут из этих городов навстречу друг другу? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

90 Площадь прямоугольника равна $12 \text{ см}^2$. Построй формулу зависимости длины стороны $b \text{ см}$ этого прямоугольника от длины $a \text{ см}$ его второй стороны. Заполни таблицу соответствующих значений $a$ и $b$ и построй график зависимости $b$ от $a$.

a см 1 1,5 2 3 4 8 12

b см

Построение формулы зависимости

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его сторон. По условию задачи, площадь равна 12 см², следовательно, мы имеем равенство: $a \cdot b = 12$.

Чтобы найти зависимость длины стороны $b$ от длины стороны $a$, нужно выразить $b$ из этого равенства. для этого разделим обе части уравнения на $a$ (поскольку длина стороны $a$ не может быть равна нулю).

Получаем формулу: $b = \frac{12}{a}$.

Эта формула описывает обратную пропорциональность: с увеличением длины одной стороны, длина другой стороны уменьшается, чтобы площадь оставалась постоянной.

Ответ: $b = \frac{12}{a}$

Заполнение таблицы соответственных значений a и b

Используем выведенную формулу $b = \frac{12}{a}$ для нахождения значений $b$ для каждого заданного значения $a$.

• Если $a = 1$, то $b = \frac{12}{1} = 12$.
• Если $a = 1,5$, то $b = \frac{12}{1,5} = 8$.
• Если $a = 2$, то $b = \frac{12}{2} = 6$.
• Если $a = 3$, то $b = \frac{12}{3} = 4$.
• Если $a = 4$, то $b = \frac{12}{4} = 3$.
• Если $a = 8$, то $b = \frac{12}{8} = 1,5$.
• Если $a = 12$, то $b = \frac{12}{12} = 1$.

Результаты заносим в таблицу:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Построение графика зависимости b от a

Графиком функции $b = \frac{12}{a}$ является гипербола. Так как $a$ и $b$ представляют собой длины сторон прямоугольника, они могут быть только положительными числами ($a>0, b>0$). Поэтому мы строим ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти. Для построения используем точки из заполненной таблицы: $(1; 12)$, $(1,5; 8)$, $(2; 6)$, $(3; 4)$, $(4; 3)$, $(8; 1,5)$, $(12; 1)$.

Нанесём эти точки на координатную плоскость, где по оси абсцисс откладываются значения $a$, а по оси ординат — значения $b$, и соединим их плавной линией.

Ответ: График зависимости представлен выше.

90 Площадь прямоугольника равна $12 \text{ см}^2$. Построй формулу зависимости длины стороны $b \text{ см}$ этого прямоугольника от длины $a \text{ см}$ его второй стороны. Заполни таблицу соответственных значений $a$ и $b$ и построй график зависимости $b$ от $a$.

a см 1 1,5 2 3 4 8 12

b см

91 Математическое исследование

1) Начерти окружность радиуса 3 см и проведи её диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол, образованный хордами. Проведи те же самые построения и измерения ещё для двух точек окружности. Что ты замечаешь?

2) Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать её доказанной на основании проведённых тобой измерений? Почему?

1)

Сначала начертим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 3$ см. Затем проведём через центр $O$ диаметр, обозначив его концы буквами $A$ и $B$.

1. Выберем на окружности произвольную точку $C$ (не совпадающую с $A$ или $B$). Соединим её с концами диаметра, получив хорды $AC$ и $BC$. В результате образуется треугольник $\triangle ABC$ и угол $\angle ACB$. Измерив этот угол транспортиром, мы получим, что $\angle ACB = 90^\circ$.

2. Выберем на окружности другую произвольную точку $D$. Соединив её с точками $A$ и $B$, получим угол $\angle ADB$. Его измерение также покажет результат $90^\circ$.

3. Повторим то же самое для третьей произвольной точки $E$. Измерение угла $\angle AEB$ снова даст $90^\circ$.

Проведя эти измерения, можно заметить, что независимо от выбора точки на окружности, угол, образованный хордами, соединяющими эту точку с концами диаметра, всегда оказывается прямым, то есть равным $90^\circ$.

Ответ: При соединении любой точки на окружности с концами диаметра образуется прямой угол ($90^\circ$).

2)

Повторив эксперимент с окружностью любого другого произвольного радиуса $R$, мы получим те же самые результаты: угол, опирающийся на диаметр, будет равен $90^\circ$. На основе этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу.

Гипотеза: Вписанный в окружность угол, опирающийся на её диаметр, является прямым.

Считать эту гипотезу доказанной на основании проведённых измерений нельзя.

Почему?

1. Неточность измерений. Любой измерительный прибор, например транспортир, имеет погрешность. Мы можем получить результат, близкий к $90^\circ$ (например, $89^\circ$ или $91^\circ$), но не можем быть абсолютно уверены, что угол в точности прямой.

2. Ограниченность эксперимента. Мы проверили гипотезу лишь для нескольких (трёх, пяти, десяти) точек. На окружности же находится бесконечное множество точек. Эксперимент не может охватить все возможные случаи, а математическое доказательство должно быть верным для абсолютно любой точки на окружности.

3. Природа доказательства. Математика требует строгих логических доказательств, основанных на аксиомах и ранее доказанных теоремах (дедуктивный метод), а не на наблюдениях и экспериментах (индуктивный метод). Эксперимент лишь позволяет выдвинуть правдоподобную гипотезу, которую затем необходимо доказывать строго математически.

Ответ: Гипотеза: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Считать её доказанной на основании измерений нельзя, так как измерения неточны и охватывают лишь конечное число случаев из бесконечного множества. Математическое доказательство требует строгой логики, а не экспериментальной проверки.

91 Математическое исследование.

1) Начерти окружность радиуса 3 см и проведи ее диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол, образованный хордами. Проведи те же самые построения и измерения еще для двух точек окружности. Что ты замечаешь?

2) Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной на основании проведенных тобой измерений? Почему?

92 1) Найди значения выражений A, B, C и D и из полученных чисел составь пропорцию. Можно ли из этих же чисел составить другую пропорцию?

A $3,6 \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{2}{9} + \frac{5}{12}\right)$

C $\left(4\frac{1}{12} - \frac{1}{3}\right) : 0,15 - \frac{14 - 0,14}{99} : 0,014$

B $(84,8 \cdot 0,125) : (10,07 : 0,95)$

D $0,28 \cdot 4500 : 50,4 \cdot \left(\frac{16,2 - 12\frac{2}{5}}{190} + 0,1\right)$

2) Сколько различных пропорций можно составить из этих чисел? Назови их.

1) Найди значения выражений A, B, C и D и из полученных чисел составь пропорцию. Можно ли из этих же чисел составить другую пропорцию?

Для начала, вычислим значения для каждого выражения.

Вычисление A:
$A = 3,6 \cdot (\frac{3}{4} + \frac{2}{9} + \frac{5}{12})$

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 36:
$\frac{3}{4} + \frac{2}{9} + \frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 9}{36} + \frac{2 \cdot 4}{36} + \frac{5 \cdot 3}{36} = \frac{27 + 8 + 15}{36} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18}$.

2. Умножим результат на 3,6, представив его как обыкновенную дробь $\frac{18}{5}$:
$A = \frac{18}{5} \cdot \frac{25}{18} = \frac{25}{5} = 5$.

Вычисление B:
$B = (84,8 \cdot 0,125) : (10,07 : 0,95)$

1. Вычислим первое действие в скобках: $84,8 \cdot 0,125 = 84,8 \cdot \frac{1}{8} = 10,6$.

2. Вычислим второе действие в скобках: $10,07 : 0,95 = 1007 : 95 = 10,6$.

3. Выполним деление результатов: $B = 10,6 : 10,6 = 1$.

Вычисление C:
$C = (4\frac{1}{12} - \frac{1}{3}) : 0,15 - \frac{(14 - 0,14) : 0,014}{99}$

1. Вычислим первое выражение: $(4\frac{1}{12} - \frac{1}{3}) : 0,15 = (4\frac{1}{12} - \frac{4}{12}) : 0,15 = 3\frac{9}{12} : 0,15 = 3\frac{3}{4} : 0,15 = \frac{15}{4} : \frac{15}{100} = \frac{15}{4} \cdot \frac{100}{15} = \frac{100}{4} = 25$.

2. Вычислим второе выражение: $\frac{(14 - 0,14) : 0,014}{99} = \frac{13,86 : 0,014}{99} = \frac{13860 : 14}{99} = \frac{990}{99} = 10$.

3. Выполним вычитание: $C = 25 - 10 = 15$.

Вычисление D:
$D = 0,28 \cdot 4500 : 50,4 \cdot (\frac{16,2 - 12\frac{2}{5}}{190} + 0,1)$

1. Вычислим выражение в скобках: $\frac{16,2 - 12,4}{190} + 0,1 = \frac{3,8}{190} + 0,1 = 0,02 + 0,1 = 0,12$.

2. Выполним остальные действия по порядку: $D = 0,28 \cdot 4500 : 50,4 \cdot 0,12 = 1260 : 50,4 \cdot 0,12 = 25 \cdot 0,12 = 3$.

Итак, мы получили числа: $A=5, B=1, C=15, D=3$.

Пропорция — это равенство двух отношений. Чтобы составить пропорцию из четырех чисел, нужно, чтобы произведение крайних членов было равно произведению средних. Проверим произведения наших чисел: $B \cdot C = 1 \cdot 15 = 15$ и $A \cdot D = 5 \cdot 3 = 15$.

Так как произведения равны, можно составить пропорцию, например: $B:A=D:C$, то есть $1:5 = 3:15$.

Да, из этих чисел можно составить и другую пропорцию. Согласно свойству пропорции, можно поменять местами средние или крайние члены. Например, поменяв местами средние члены, получим: $B:D=A:C$, то есть $1:3 = 5:15$.

Ответ: A = 5, B = 1, C = 15, D = 3. Пример пропорции: $1:5 = 3:15$. Да, из этих чисел можно составить другую пропорцию.

2) Сколько различных пропорций можно составить из этих чисел? Назови их.

Из четырех чисел, образующих пропорцию, можно составить 8 различных верных пропорций, используя их перестановки. Для наших чисел 1, 3, 5, 15, для которых выполняется равенство $1 \cdot 15 = 3 \cdot 5$, можно составить следующие пропорции:

1. $1:5 = 3:15$

2. $1:3 = 5:15$

3. $15:5 = 3:1$

4. $15:3 = 5:1$

5. $5:1 = 15:3$

6. $3:1 = 15:5$

7. $5:15 = 1:3$

8. $3:15 = 1:5$

Ответ: Можно составить 8 различных пропорций. Они перечислены выше.

92 1) Найди значения выражений A, B, C и D и из полученных чисел составь пропорцию. Можно ли из этих же чисел составить другую пропорцию?

$A\ 3,6 \cdot \left(\frac{3}{4} + \frac{2}{9} + \frac{5}{12}\right)$

$B\ (84,8 \cdot 0,125) : (10,07 : 0,95)$

$C\ \left(4\frac{1}{12} - \frac{1}{3}\right) : 0,15 - \frac{(14 - 0,14) : 0,014}{99}$

$D\ 0,28 \cdot 4500 : 50,4 \cdot \left(\frac{16,2 - 12\frac{2}{5}}{190} + 0,1\right)$

2) Сколько различных пропорций можно составить из этих чисел? Назови их.

93 Найди наименьшее число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

Чтобы найти наименьшее число, которое удовлетворяет условиям, необходимо проанализировать эти условия.

1. Число должно содержать все 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) по одному разу. Это означает, что число будет десятизначным.

2. Число должно быть кратно 36. Для этого оно должно быть одновременно кратно 4 и 9, так как $36 = 4 \times 9$ и числа 4 и 9 взаимно простые.

Признак делимости на 9:
Сумма цифр числа должна делиться на 9. Найдем сумму всех десяти цифр: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$. Так как $45$ делится на $9$ ($45 : 9 = 5$), любое число, составленное из этих десяти цифр, будет делиться на 9. Таким образом, это условие выполняется автоматически.

Признак делимости на 4:
Число, образованное двумя последними цифрами искомого числа, должно делиться на 4.

Поиск наименьшего числа:
Чтобы число было наименьшим, его первые (старшие) разряды должны содержать как можно меньшие цифры. Самое маленькое десятизначное число начинается с 1, затем 0, 2, 3 и так далее по возрастанию.

Будем строить число слева направо, используя наименьшие доступные цифры: $1, 0, 2, 3, 4, 5, \dots$ Попробуем составить наименьший возможный префикс (начало числа).

Пусть первые шесть цифр числа – наименьшие возможные: 102345. Тогда для оставшихся четырех разрядов у нас остаются цифры: {6, 7, 8, 9}. Из этих цифр нужно составить наименьшее возможное четырехзначное число `wxyz`, у которого две последние цифры `yz` образуют число, делящееся на 4.

Рассмотрим возможные окончания `yz`, составленные из цифр {6, 7, 8, 9}, которые делятся на 4:

• ...68 (68 : 4 = 17). Оставшиеся цифры для `wx` – {7, 9}. Чтобы число `wxyz` было наименьшим, составляем из них `79`. Получаем суффикс 7968.
• ...76 (76 : 4 = 19). Оставшиеся цифры для `wx` – {8, 9}. Составляем `89`. Получаем суффикс 8976.
• ...96 (96 : 4 = 24). Оставшиеся цифры для `wx` – {7, 8}. Составляем `78`. Получаем суффикс 7896.

Теперь сравним полученные четырехзначные суффиксы: $7896 < 7968 < 8976$. Наименьший из них – 7896.

Присоединяем этот наименьший суффикс к нашему префиксу: Префикс: 102345 Суффикс: 7896 Искомое число: 1023457896.

Проверим:

• Все 10 цифр использованы по одному разу.
• Число делится на 9 (сумма цифр 45).
• Число делится на 4 (оканчивается на 96).
• Следовательно, число делится на 36.

Любая другая комбинация (например, с более коротким начальным префиксом) приведет к большему числу, так как изменения произойдут в более старших разрядах. Например, если бы мы взяли префикс 10234, то оставшиеся цифры {5,6,7,8,9} привели бы к числу $1023478956$, которое больше, чем найденное.

Ответ: 1023457896

C 93 Найди наименьшее число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

* 94 Все 10 цифр по одному разу.

Выполняя домашнее задание, Петя спешил на футбол и сделал ошибку. Вместо того чтобы данное однозначное число возвести в квадрат, он его удвоил. В результате он получил двузначное число, записанное теми же цифрами, что и искомый квадрат, но в обратном порядке. Какой правильный ответ должен был получить Петя?

Пусть $x$ — данное однозначное число. Согласно условию, $x$ является цифрой от 1 до 9.

Петя должен был вычислить $x^2$ — это и есть искомый правильный ответ.

Вместо этого он по ошибке вычислил $2x$.

По условию, искомый квадрат $x^2$ является двузначным числом. Обозначим его цифры как $a$ (десятки) и $b$ (единицы). Тогда можно записать:
$x^2 = 10a + b$

Полученное Петей число $2x$ также является двузначным и записано теми же цифрами, но в обратном порядке. То есть:
$2x = 10b + a$

Поскольку $x^2$ — двузначное число, то $x$ должен быть больше 3 (так как $3^2=9$) и меньше 10 (так как $10^2=100$). Значит, $x$ может быть одним из чисел: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Также $2x$ должно быть двузначным числом, поэтому $x$ должен быть больше 4 ($2 \cdot 4 = 8$). Следовательно, возможные значения для $x$ — это 5, 6, 7, 8, 9.

Проверим каждое из этих значений:

Если x = 5:
Правильный ответ: $x^2 = 5^2 = 25$.
Ответ Пети: $2x = 2 \cdot 5 = 10$.
Число, обратное 25, это 52. $10 \neq 52$. Не подходит.

Если x = 6:
Правильный ответ: $x^2 = 6^2 = 36$.
Ответ Пети: $2x = 2 \cdot 6 = 12$.
Число, обратное 36, это 63. $12 \neq 63$. Не подходит.

Если x = 7:
Правильный ответ: $x^2 = 7^2 = 49$.
Ответ Пети: $2x = 2 \cdot 7 = 14$.
Число, обратное 49, это 94. $14 \neq 94$. Не подходит.

Если x = 8:
Правильный ответ: $x^2 = 8^2 = 64$.
Ответ Пети: $2x = 2 \cdot 8 = 16$.
Число, обратное 64, это 46. $16 \neq 46$. Не подходит.

Если x = 9:
Правильный ответ: $x^2 = 9^2 = 81$.
Ответ Пети: $2x = 2 \cdot 9 = 18$.
Число 81 состоит из цифр 8 и 1. Число 18 состоит из тех же цифр, но в обратном порядке (1 и 8). Все условия задачи выполнены.

Таким образом, исходное число было 9. Правильный ответ, который должен был получить Петя, это квадрат этого числа.

$9^2 = 81$

Ответ: 81

94 Выполняя домашнее задание, Петя спешил на футбол и сделал ошибку. Вместо того чтобы данное однозначное число возвести в квадрат, он его удвоил. В результате он получил двузначное число, записанное теми же цифрами, что и искомый квадрат, но в обратном порядке. Какой правильный ответ должен был получить Петя?

90. Реши уравнение, используя основное свойство пропорции:

а) $\frac{-3}{9-4a} = \frac{40}{200}$

б) $\frac{1-2b}{4} = \frac{0,8}{0,5}$

в) $\frac{5+3x}{12} = \frac{4x-3}{18}$

г) $\frac{0,9}{7+5y} = \frac{0,2}{y-4}$

а)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{-3}{9 - 4a} = \frac{40}{200}$.
Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Запишем это свойство для нашего уравнения:

$-3 \cdot 200 = 40 \cdot (9 - 4a)$
Выполним умножение:

$-600 = 360 - 160a$
Перенесем слагаемое с переменной $a$ в левую часть, а числовые значения в правую:

$160a = 360 + 600$
$160a = 960$
Найдем $a$:

$a = \frac{960}{160}$
$a = 6$

Ответ: $a = 6$.

б)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{1 - 2b}{4} = \frac{0,8}{0,5}$.
Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$(1 - 2b) \cdot 0,5 = 4 \cdot 0,8$
Раскроем скобки и выполним умножение:

$0,5 - 1b = 3,2$
Перенесем известные слагаемые в правую часть:

$-b = 3,2 - 0,5$
$-b = 2,7$
Умножим обе части уравнения на $-1$:

$b = -2,7$

Ответ: $b = -2,7$.

в)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{5 + 3x}{12} = \frac{4x - 3}{18}$.
Применим основное свойство пропорции:

$(5 + 3x) \cdot 18 = 12 \cdot (4x - 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$90 + 54x = 48x - 36$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения в правой:

$54x - 48x = -36 - 90$
$6x = -126$
Найдем $x$:

$x = \frac{-126}{6}$
$x = -21$

Ответ: $x = -21$.

г)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{0,9}{7 + 5y} = \frac{0,2}{y - 4}$.
Применяя основное свойство пропорции, получаем:

$0,9 \cdot (y - 4) = 0,2 \cdot (7 + 5y)$
Раскроем скобки:

$0,9y - 3,6 = 1,4 + 1y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа в правую:

$0,9y - y = 1,4 + 3,6$
$-0,1y = 5$
Найдем $y$:

$y = \frac{5}{-0,1}$
$y = -50$

Ответ: $y = -50$.

90 Реши уравнения, используя основное свойство пропорции:

a) $\frac{-3}{9-4a} = \frac{40}{200}$

б) $\frac{1-2b}{4} = \frac{0.8}{0.5}$

в) $\frac{5+3x}{12} = \frac{4x-3}{18}$

г) $\frac{0.9}{7+5y} = \frac{0.2}{y-4}$

91 Реши уравнение на множестве натуральных чисел методом перебора:

а) $7x(9 - 2x) = 70$;

б) $x(2x - 1)(4 - x)(x + 1) = 60$.

а) $7x(9 - 2x) = 70$

По условию, $x$ является натуральным числом, то есть $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Сначала разделим обе части уравнения на 7, чтобы упростить его:

$\frac{7x(9 - 2x)}{7} = \frac{70}{7}$

$x(9 - 2x) = 10$

Поскольку $x$ — натуральное число, то $x > 0$. Чтобы произведение было положительным (равно 10), второй множитель $(9-2x)$ также должен быть положительным.

$9 - 2x > 0$

$9 > 2x$

$x < 4.5$

Таким образом, $x$ может принимать натуральные значения от 1 до 4, то есть $x \in \{1, 2, 3, 4\}$.

Теперь проверим каждое из этих значений методом перебора:

• Если $x = 1$, то $1 \cdot (9 - 2 \cdot 1) = 1 \cdot (9 - 2) = 1 \cdot 7 = 7$. Это не равно 10.
• Если $x = 2$, то $2 \cdot (9 - 2 \cdot 2) = 2 \cdot (9 - 4) = 2 \cdot 5 = 10$. Это верное равенство.
• Если $x = 3$, то $3 \cdot (9 - 2 \cdot 3) = 3 \cdot (9 - 6) = 3 \cdot 3 = 9$. Это не равно 10.
• Если $x = 4$, то $4 \cdot (9 - 2 \cdot 4) = 4 \cdot (9 - 8) = 4 \cdot 1 = 4$. Это не равно 10.

Единственным натуральным числом, удовлетворяющим уравнению, является 2.

Ответ: 2

б) $x(2x-1)(4-x)(x+1) = 60$

По условию, $x$ является натуральным числом. Для натурального $x$, множители $x$, $2x-1$ и $x+1$ всегда будут положительными.

Чтобы произведение было положительным (равно 60), четвертый множитель $(4-x)$ также должен быть положительным:

$4 - x > 0$

$x < 4$

Следовательно, возможные натуральные значения для $x$ — это 1, 2, 3. Проверим их методом перебора:

• Если $x = 1$, то $1 \cdot (2 \cdot 1 - 1) \cdot (4 - 1) \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$. Это не равно 60.
• Если $x = 2$, то $2 \cdot (2 \cdot 2 - 1) \cdot (4 - 2) \cdot (2 + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 36$. Это не равно 60.
• Если $x = 3$, то $3 \cdot (2 \cdot 3 - 1) \cdot (4 - 3) \cdot (3 + 1) = 3 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 4 = 60$. Это верное равенство.

Единственным натуральным числом, удовлетворяющим уравнению, является 3.

Ответ: 3

91 Реши уравнения на множестве натуральных чисел методом перебора:

a) $7x(9 - 2x) = 70;$

б) $x(2x - 1)(4 - x)(x + 1) = 60.$

92. Найди множество натуральных корней уравнения методом проб и ошибок:

a) $x(x+8) = 33;$

б) $3x^2 - 14x - 15 = 0.$

а) $x(x + 8) = 33$

Ищем натуральные корни уравнения методом проб и ошибок. Натуральные числа — это 1, 2, 3, и так далее.
Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей: $x$ и $(x+8)$. Так как по условию $x$ — натуральное число, то оба множителя также должны быть натуральными числами, являющимися делителями числа 33.

Натуральные делители числа 33: 1, 3, 11, 33.
Разложим 33 на пары множителей: $1 \cdot 33$ и $3 \cdot 11$.
Теперь проверим, какая из этих пар удовлетворяет условию, что второй множитель на 8 больше первого.

• Пара 1 и 33. Разность $33 - 1 = 32$, что не равно 8.
• Пара 3 и 11. Разность $11 - 3 = 8$. Это соответствует условию.

Таким образом, меньший множитель $x$ должен быть равен 3, а больший множитель $(x+8)$ должен быть равен 11.
Проверим, подставив $x=3$ в уравнение:
$3 \cdot (3 + 8) = 3 \cdot 11 = 33$.
Равенство верное, значит, $x=3$ — натуральный корень уравнения.

Поскольку функция $y = x(x+8)$ при $x > 0$ является возрастающей, то других натуральных корней у уравнения быть не может. При любом $x > 3$ произведение будет больше 33.

Ответ: $\{3\}$

б) $3x^2 - 14x - 15 = 0$

Будем искать натуральные корни уравнения, последовательно подставляя натуральные числа $x = 1, 2, 3, \dots$ в левую часть уравнения и проверяя, равно ли выражение нулю.

• При $x=1$: $3(1)^2 - 14(1) - 15 = 3 - 14 - 15 = -26 \neq 0$.
• При $x=2$: $3(2)^2 - 14(2) - 15 = 3 \cdot 4 - 28 - 15 = 12 - 28 - 15 = -31 \neq 0$.
• При $x=3$: $3(3)^2 - 14(3) - 15 = 3 \cdot 9 - 42 - 15 = 27 - 42 - 15 = -30 \neq 0$.
• При $x=4$: $3(4)^2 - 14(4) - 15 = 3 \cdot 16 - 56 - 15 = 48 - 56 - 15 = -23 \neq 0$.
• При $x=5$: $3(5)^2 - 14(5) - 15 = 3 \cdot 25 - 70 - 15 = 75 - 70 - 15 = -10 \neq 0$.
• При $x=6$: $3(6)^2 - 14(6) - 15 = 3 \cdot 36 - 84 - 15 = 108 - 84 - 15 = 9 \neq 0$.

Результаты подстановки показывают, что при $x=5$ значение левой части уравнения отрицательно ($-10$), а при $x=6$ — уже положительно ($9$). Это означает, что действительный корень уравнения находится где-то между 5 и 6.

Поскольку между числами 5 и 6 нет натуральных чисел, можно сделать вывод, что уравнение не имеет натуральных корней. Для $x > 6$ значение выражения $3x^2 - 14x - 15$ будет только увеличиваться, так как это парабола с ветвями вверх, и ее вершина находится в точке $x = \frac{-(-14)}{2 \cdot 3} \approx 2.33$.

Ответ: $\emptyset$ (множество натуральных корней пусто).

92 Найди множество натуральных корней уравнения методом проб и ошибок:

a) $x(x + 8) = 33$;

б) $3x^2 - 14x - 15 = 0$.

93 а) В первой банке в 2 раза больше молока, чем во второй. Если из первой банки перелить во вторую 0,5 л, то молока в обеих банках станет поровну. Сколько молока в каждой банке?

б) В первой бочке в 4 раза больше мёда, чем во второй. Если из первой бочки перелить во вторую 60 л, то в первой станет в 1,5 раза больше мёда, чем во второй. Сколько мёда в каждой бочке?

а)

Пусть во второй банке было $x$ литров молока. Тогда, по условию, в первой банке было в 2 раза больше, то есть $2x$ литров.

Если из первой банки перелить во вторую 0,5 л, то в первой банке станет $(2x - 0,5)$ л, а во второй — $(x + 0,5)$ л. После этого количество молока в обеих банках станет равным.

Составим уравнение:

$2x - 0,5 = x + 0,5$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:

$2x - x = 0,5 + 0,5$

$x = 1$

Итак, во второй банке был 1 литр молока.

Тогда в первой банке было:

$2x = 2 \cdot 1 = 2$ (л)

Ответ: В первой банке было 2 л молока, во второй — 1 л.

б)

Пусть во второй бочке было $y$ литров мёда. Тогда, по условию, в первой бочке было в 4 раза больше, то есть $4y$ литров.

Если из первой бочки перелить во вторую 60 л, то в первой бочке станет $(4y - 60)$ л, а во второй — $(y + 60)$ л. После этого в первой бочке станет в 1,5 раза больше мёда, чем во второй.

Составим уравнение:

$4y - 60 = 1,5 \cdot (y + 60)$

Раскроем скобки:

$4y - 60 = 1,5y + 90$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:

$4y - 1,5y = 90 + 60$

$2,5y = 150$

$y = 150 \div 2,5$

$y = 60$

Итак, во второй бочке было 60 литров мёда.

Тогда в первой бочке было:

$4y = 4 \cdot 60 = 240$ (л)

Ответ: В первой бочке было 240 л мёда, во второй — 60 л.

93 а) В первой банке в 2 раза больше молока, чем во второй. Если из первой банки перелить во вторую 0,5 л, то молока в обеих банках станет поровну. Сколько молока в каждой банке?

б) В первой бочке в 4 раза больше меда, чем во второй. Если из первой бочки перелить во вторую 60 л, то в первой станет в 1,5 раза больше меда, чем во второй. Сколько меда в каждой бочке?

94 а) В школе 50 % всех учеников начальных классов изучает французский язык, $ \frac{2}{7} $ всех учеников – английский, а остальные 45 – немецкий. Сколько всего учеников в начальных классах этой школы, если каждый ученик изучает один язык?

б) Автомобиль прошёл весь путь за три часа. За первый час он прошёл треть всего пути, за второй – на 12 км больше, чем за первый, а за третий – 80 % пути, пройденного за второй час. Чему равен весь путь?

а)

Пусть $x$ – общее количество учеников в начальных классах.

Согласно условию, 50% учеников изучают французский язык. Выразим это в виде дроби от общего числа учеников:
$50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$
Значит, французский язык изучают $\frac{1}{2}x$ учеников.

Английский язык изучают $\frac{2}{7}$ всех учеников, то есть $\frac{2}{7}x$.

Остальные 45 учеников изучают немецкий.

Так как каждый ученик изучает только один язык, мы можем найти долю учеников, изучающих немецкий, вычтя из общего числа (которое мы принимаем за 1) доли учеников, изучающих французский и английский:
$1 - (\frac{1}{2} + \frac{2}{7})$

Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$1 - (\frac{7}{14} + \frac{4}{14}) = 1 - \frac{11}{14} = \frac{3}{14}$

Таким образом, $\frac{3}{14}$ всех учеников – это 45 человек, изучающих немецкий язык.

Теперь найдем общее количество учеников $x$, зная, что $\frac{3}{14}$ от $x$ равно 45:
$\frac{3}{14}x = 45$
$x = 45 \div \frac{3}{14} = 45 \times \frac{14}{3}$
$x = \frac{45 \times 14}{3} = 15 \times 14 = 210$

Всего в начальных классах 210 учеников.

Ответ: 210 учеников.

б)

Пусть $S$ (км) – весь путь, который прошел автомобиль.

За первый час автомобиль прошел треть всего пути, что составляет:
$S_1 = \frac{1}{3}S$

За второй час он прошел на 12 км больше, чем за первый:
$S_2 = S_1 + 12 = \frac{1}{3}S + 12$

За третий час он прошел 80% пути, пройденного за второй час. Переведем проценты в десятичную дробь: $80\% = 0,8$.
$S_3 = 0,8 \times S_2 = 0,8 \times (\frac{1}{3}S + 12)$

Весь путь равен сумме путей, пройденных за каждый из трех часов:
$S = S_1 + S_2 + S_3$

Подставим выражения для $S_1$, $S_2$ и $S_3$ в уравнение:
$S = \frac{1}{3}S + (\frac{1}{3}S + 12) + 0,8(\frac{1}{3}S + 12)$

Теперь решим это уравнение относительно $S$:
$S = \frac{1}{3}S + \frac{1}{3}S + 12 + \frac{0,8}{3}S + 0,8 \times 12$
$S = \frac{2}{3}S + 12 + \frac{0,8}{3}S + 9,6$
$S = (\frac{2}{3} + \frac{0,8}{3})S + (12 + 9,6)$
$S = \frac{2,8}{3}S + 21,6$

Перенесем все слагаемые с $S$ в левую часть уравнения:
$S - \frac{2,8}{3}S = 21,6$
$\frac{3}{3}S - \frac{2,8}{3}S = 21,6$
$\frac{0,2}{3}S = 21,6$

Найдем $S$:
$0,2S = 21,6 \times 3$
$0,2S = 64,8$
$S = \frac{64,8}{0,2} = \frac{648}{2} = 324$

Весь путь равен 324 км.

Ответ: 324 км.

94 a) В школе 50% всех учеников начальных классов изучает французский язык, $ \frac{2}{7} $ всех учеников – английский, а остальные 45 – немецкий. Сколько всего учеников в начальных классах этой школы, если каждый ученик изучает один язык?

б) Автомобиль прошел весь путь за три часа. За первый час он прошел треть всего пути, за второй – на 12 км больше, чем за первый, а за третий – 80% пути, пройденного за второй час. Чему равен весь путь?

95 а) В столовую завезли 150 кг гречки и 120 кг риса. Ежедневный расход равен 3 кг риса и 5 кг гречки. Через сколько дней гречки и риса станет поровну?

б) Двум рабочим требуется изготовить одинаковое количество деталей. Однако первый рабочий делал в день 25 деталей, а второй – только 20 деталей. Поэтому через 10 дней первому рабочему осталось сделать в 2 раза меньше деталей, чем второму. Сколько деталей осталось сделать каждому рабочему?

а)

Пусть $x$ — искомое количество дней.
За $x$ дней в столовой израсходуют $5x$ кг гречки и $3x$ кг риса.
Количество гречки, которое останется через $x$ дней, можно выразить формулой: $150 - 5x$.
Количество риса, которое останется через $x$ дней, можно выразить формулой: $120 - 3x$.
Согласно условию задачи, через $x$ дней количество гречки и риса должно стать равным. Составим и решим уравнение:
$150 - 5x = 120 - 3x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения, а свободные члены — в левую:
$150 - 120 = 5x - 3x$
$30 = 2x$
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$
Проверка:
Через 15 дней останется гречки: $150 - 5 \cdot 15 = 150 - 75 = 75$ кг.
Через 15 дней останется риса: $120 - 3 \cdot 15 = 120 - 45 = 75$ кг.
Количества равны, значит, задача решена верно.

Ответ: через 15 дней.

б)

Пусть $N$ — общее количество деталей, которое должен был изготовить каждый рабочий.
За 10 дней первый рабочий изготовил: $25 \text{ деталей/день} \cdot 10 \text{ дней} = 250$ деталей.
За 10 дней второй рабочий изготовил: $20 \text{ деталей/день} \cdot 10 \text{ дней} = 200$ деталей.
Через 10 дней первому рабочему осталось сделать $N - 250$ деталей.
Второму рабочему осталось сделать $N - 200$ деталей.
По условию, первому рабочему осталось сделать в 2 раза меньше деталей, чем второму. Это означает, что количество деталей, оставшихся у второго рабочего, в 2 раза больше, чем у первого. Составим уравнение:
$2 \cdot (N - 250) = N - 200$
Раскроем скобки:
$2N - 500 = N - 200$
Перенесем слагаемые с переменной $N$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:
$2N - N = 500 - 200$
$N = 300$
Значит, изначально каждый рабочий должен был изготовить 300 деталей.
Теперь найдем, сколько деталей осталось сделать каждому из них:
Осталось первому рабочему: $300 - 250 = 50$ деталей.
Осталось второму рабочему: $300 - 200 = 100$ деталей.

Ответ: первому рабочему осталось сделать 50 деталей, а второму — 100 деталей.

95 a) В столовую завезли 150 кг гречки и 120 кг риса. Ежедневный расход равен 3 кг риса и 5 кг гречки. Через сколько дней гречки и риса станет поровну?

б) Двум рабочим требуется изготовить одинаковое количество деталей. Однако первый рабочий делал в день 25 деталей, а второй – только 20 деталей. Поэтому через 10 дней первому рабочему осталось сделать в 2 раза меньше деталей, чем второму. Сколько деталей осталось сделать каждому рабочему?

96 Найди множество корней уравнения:

а) $x = -\frac{1}{6}x;$

б) $3,2 - 5a = -1,8a + 4;$

в) $4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}x = 4x + 3\frac{5}{18};$

г) $0,3n - (2,6 - 0,9n) = 1,2n + 3;$

д) $1\frac{5}{7}(d + 3) = -2(1 - d);$

е) $0,6(-2k + 3) - 0,4(9 - k) = -0,3(k - 9);$

ж) $\frac{5}{8}(m - 2) - \frac{2}{3}(m + 2) = m - 3;$

з) $\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{0,14}{0,35}.$

а)

$x = -\frac{1}{6}x$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения:
$x + \frac{1}{6}x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$(1 + \frac{1}{6})x = 0$
$(\frac{6}{6} + \frac{1}{6})x = 0$
$\frac{7}{6}x = 0$
Чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Так как $\frac{7}{6} \neq 0$, то:
$x = 0$
Ответ: $\{0\}$

б)

$3,2 - 5a = -1,8a + 4$
Сгруппируем члены с переменной $a$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$-5a + 1,8a = 4 - 3,2$
Приведем подобные слагаемые:
$-3,2a = 0,8$
Найдем $a$, разделив обе части на $-3,2$:
$a = \frac{0,8}{-3,2} = -\frac{8}{32} = -\frac{1}{4}$
$a = -0,25$
Ответ: $\{-0,25\}$

в)

$4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}x = 4x + 3\frac{5}{18}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$\frac{25}{6} - \frac{4}{3}x = 4x + \frac{59}{18}$
Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$\frac{25}{6} - \frac{59}{18} = 4x + \frac{4}{3}x$
Приведем дроби к общему знаменателю. Для левой части это 18, для правой — 3:
$\frac{25 \cdot 3}{18} - \frac{59}{18} = \frac{4 \cdot 3}{3}x + \frac{4}{3}x$
$\frac{75 - 59}{18} = \frac{12x + 4x}{3}$
$\frac{16}{18} = \frac{16}{3}x$
Сократим дробь в левой части:
$\frac{8}{9} = \frac{16}{3}x$
Найдем $x$:
$x = \frac{8}{9} \div \frac{16}{3} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{16} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\{\frac{1}{6}\}$

г)

$0,3n - (2,6 - 0,9n) = 1,2n + 3$
Раскроем скобки:
$0,3n - 2,6 + 0,9n = 1,2n + 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$1,2n - 2,6 = 1,2n + 3$
Перенесем члены с $n$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$1,2n - 1,2n = 3 + 2,6$
$0 \cdot n = 5,6$
$0 = 5,6$
Получили неверное равенство, которое не зависит от значения переменной $n$. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: $\emptyset$

д)

$1\frac{5}{7}(d + 3) = -2(1 - d)$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{12}{7}$.
$\frac{12}{7}(d + 3) = -2(1 - d)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$\frac{12}{7}d + \frac{36}{7} = -2 + 2d$
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателей:
$12d + 36 = -14 + 14d$
Сгруппируем члены с переменной $d$ в одной части, а свободные члены — в другой:
$36 + 14 = 14d - 12d$
$50 = 2d$
$d = \frac{50}{2} = 25$
Ответ: $\{25\}$

е)

$0,6(-2k + 3) - 0,4(9 - k) = -0,3(k - 9)$
Раскроем скобки:
$-1,2k + 1,8 - 3,6 + 0,4k = -0,3k + 2,7$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-0,8k - 1,8 = -0,3k + 2,7$
Перенесем члены с $k$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$-1,8 - 2,7 = -0,3k + 0,8k$
$-4,5 = 0,5k$
Найдем $k$:
$k = \frac{-4,5}{0,5} = -9$
Ответ: $\{-9\}$

ж)

$\frac{5}{8}(m - 2) - \frac{2}{3}(m + 2) = m - 3$
Раскроем скобки:
$\frac{5}{8}m - \frac{10}{8} - \frac{2}{3}m - \frac{4}{3} = m - 3$
Сократим дробь $\frac{10}{8}$ до $\frac{5}{4}$:
$\frac{5}{8}m - \frac{5}{4} - \frac{2}{3}m - \frac{4}{3} = m - 3$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8, 4 и 3, которое равно 24:
$24(\frac{5}{8}m) - 24(\frac{5}{4}) - 24(\frac{2}{3}m) - 24(\frac{4}{3}) = 24(m - 3)$
$15m - 30 - 16m - 32 = 24m - 72$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-m - 62 = 24m - 72$
Перенесем члены с $m$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$72 - 62 = 24m + m$
$10 = 25m$
Найдем $m$:
$m = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$
Ответ: $\{0,4\}$

з)

$\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{0,14}{0,35}$
Упростим правую часть уравнения:
$\frac{0,14}{0,35} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5}$
Получаем пропорцию:
$\frac{4x - 3}{3 - 5x} = \frac{2}{5}$
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $3 - 5x \neq 0$, откуда $x \neq \frac{3}{5}$.
Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5(4x - 3) = 2(3 - 5x)$
Раскроем скобки:
$20x - 15 = 6 - 10x$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$20x + 10x = 6 + 15$
$30x = 21$
$x = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0,7$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $0,7 \neq \frac{3}{5}$ (т.к. $0,7 \neq 0,6$). Корень подходит.
Ответ: $\{0,7\}$

96 Найди множество корней уравнения:

а) $x = -\frac{1}{6}x;$

б) $3,2 - 5a = -1,8a + 4;$

в) $4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{3}x = 4x + 3\frac{5}{18};$

г) $0,3n - (2,6 - 0,9n) = 1,2n + 3;$

д) $1\frac{5}{7}(d + 3) = -2(1 - d);$

е) $0,6(-2k + 3) - 0,4(9 - k) = -0,3(k - 9);$

ж) $\frac{5}{8}(m - 2) - \frac{2}{3}(m + 2) = m - 3;$

з) $\frac{4x-3}{3-5x} = \frac{0,14}{0,35}.$