Номер 92, страница 23, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

5. Решение уравнений. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 92, страница 23.

Условие 2023.

92. Найди множество натуральных корней уравнения методом проб и ошибок:

a) $x(x+8) = 33;$

б) $3x^2 - 14x - 15 = 0.$

Решение 2 (2023).

а) $x(x + 8) = 33$

Ищем натуральные корни уравнения методом проб и ошибок. Натуральные числа — это 1, 2, 3, и так далее.
Левая часть уравнения представляет собой произведение двух множителей: $x$ и $(x+8)$. Так как по условию $x$ — натуральное число, то оба множителя также должны быть натуральными числами, являющимися делителями числа 33.

Натуральные делители числа 33: 1, 3, 11, 33.
Разложим 33 на пары множителей: $1 \cdot 33$ и $3 \cdot 11$.
Теперь проверим, какая из этих пар удовлетворяет условию, что второй множитель на 8 больше первого.

• Пара 1 и 33. Разность $33 - 1 = 32$, что не равно 8.
• Пара 3 и 11. Разность $11 - 3 = 8$. Это соответствует условию.

Таким образом, меньший множитель $x$ должен быть равен 3, а больший множитель $(x+8)$ должен быть равен 11.
Проверим, подставив $x=3$ в уравнение:
$3 \cdot (3 + 8) = 3 \cdot 11 = 33$.
Равенство верное, значит, $x=3$ — натуральный корень уравнения.

Поскольку функция $y = x(x+8)$ при $x > 0$ является возрастающей, то других натуральных корней у уравнения быть не может. При любом $x > 3$ произведение будет больше 33.

Ответ: $\{3\}$

б) $3x^2 - 14x - 15 = 0$

Будем искать натуральные корни уравнения, последовательно подставляя натуральные числа $x = 1, 2, 3, \dots$ в левую часть уравнения и проверяя, равно ли выражение нулю.

• При $x=1$: $3(1)^2 - 14(1) - 15 = 3 - 14 - 15 = -26 \neq 0$.
• При $x=2$: $3(2)^2 - 14(2) - 15 = 3 \cdot 4 - 28 - 15 = 12 - 28 - 15 = -31 \neq 0$.
• При $x=3$: $3(3)^2 - 14(3) - 15 = 3 \cdot 9 - 42 - 15 = 27 - 42 - 15 = -30 \neq 0$.
• При $x=4$: $3(4)^2 - 14(4) - 15 = 3 \cdot 16 - 56 - 15 = 48 - 56 - 15 = -23 \neq 0$.
• При $x=5$: $3(5)^2 - 14(5) - 15 = 3 \cdot 25 - 70 - 15 = 75 - 70 - 15 = -10 \neq 0$.
• При $x=6$: $3(6)^2 - 14(6) - 15 = 3 \cdot 36 - 84 - 15 = 108 - 84 - 15 = 9 \neq 0$.

Результаты подстановки показывают, что при $x=5$ значение левой части уравнения отрицательно ($-10$), а при $x=6$ — уже положительно ($9$). Это означает, что действительный корень уравнения находится где-то между 5 и 6.

Поскольку между числами 5 и 6 нет натуральных чисел, можно сделать вывод, что уравнение не имеет натуральных корней. Для $x > 6$ значение выражения $3x^2 - 14x - 15$ будет только увеличиваться, так как это парабола с ветвями вверх, и ее вершина находится в точке $x = \frac{-(-14)}{2 \cdot 3} \approx 2.33$.

Ответ: $\emptyset$ (множество натуральных корней пусто).

Условие 2010-2022.

92 Найди множество натуральных корней уравнения методом проб и ошибок:

a) $x(x + 8) = 33$;

б) $3x^2 - 14x - 15 = 0$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).