Номер 85, страница 19, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Понятие уравнения. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 85, страница 19.

Условие 2023.

C 85 Задача Ньютона

Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью её часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью её часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Чему был равен первоначальный капитал?

Решение 2 (2023).

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — первоначальный капитал купца в фунтах.

Распишем изменения капитала по годам.

Год 1:

Сначала купец истратил 100 фунтов. У него осталось: $x - 100$ фунтов.

Затем он добавил к оставшейся сумме третью её часть. Это значит, что сумма увеличилась в $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ раза. Капитал в конце первого года стал равен: $S_1 = (x - 100) \cdot \frac{4}{3}$.

Год 2:

В начале второго года у купца было $S_1$ фунтов. Он вновь истратил 100 фунтов: $S_1 - 100$.

Оставшуюся сумму он увеличил на третью её часть. Капитал в конце второго года стал равен: $S_2 = (S_1 - 100) \cdot \frac{4}{3}$.

Год 3:

В начале третьего года у купца было $S_2$ фунтов. Он опять истратил 100 фунтов: $S_2 - 100$.

К остатку он добавил третью его часть. Капитал в конце третьего года стал равен: $S_3 = (S_2 - 100) \cdot \frac{4}{3}$.

По условию задачи, после всех операций капитал стал вдвое больше первоначального, то есть $S_3 = 2x$.

Составим и решим уравнение, выразив итоговый капитал $2x$ через первоначальный капитал $x$.

Капитал после первого года: $S_1 = \frac{4}{3}(x - 100)$.

Капитал после второго года: $S_2 = \frac{4}{3}(S_1 - 100) = \frac{4}{3}\left(\frac{4}{3}(x - 100) - 100\right) = \frac{16}{9}(x - 100) - \frac{400}{3}$.

Капитал после третьего года: $S_3 = \frac{4}{3}(S_2 - 100)$. Так как $S_3 = 2x$, получаем:

$2x = \frac{4}{3}(S_2 - 100)$

Подставим выражение для $S_2$:

$2x = \frac{4}{3}\left(\left(\frac{16}{9}(x - 100) - \frac{400}{3}\right) - 100\right)$

Упростим выражение в скобках:

$2x = \frac{4}{3}\left(\frac{16}{9}(x - 100) - \frac{400}{3} - \frac{300}{3}\right)$

$2x = \frac{4}{3}\left(\frac{16}{9}(x - 100) - \frac{700}{3}\right)$

Раскроем внешние скобки:

$2x = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{9}(x - 100) - \frac{4}{3} \cdot \frac{700}{3}$

$2x = \frac{64}{27}(x - 100) - \frac{2800}{9}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 27:

$27 \cdot 2x = 27 \cdot \frac{64}{27}(x - 100) - 27 \cdot \frac{2800}{9}$

$54x = 64(x - 100) - 3 \cdot 2800$

$54x = 64x - 6400 - 8400$

$54x = 64x - 14800$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$14800 = 64x - 54x$

$14800 = 10x$

$x = \frac{14800}{10} = 1480$

Таким образом, первоначальный капитал составлял 1480 фунтов.

Проверка:

1. Начальный капитал: 1480 фунтов.

2. После 1-го года: $(1480 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 1380 \cdot \frac{4}{3} = 1840$ фунтов.

3. После 2-го года: $(1840 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 1740 \cdot \frac{4}{3} = 2320$ фунтов.

4. После 3-го года: $(2320 - 100) \cdot \frac{4}{3} = 2220 \cdot \frac{4}{3} = 2960$ фунтов.

5. Удвоенный первоначальный капитал: $2 \cdot 1480 = 2960$ фунтов.

Результаты совпали, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 1480 фунтов.

Условие 2010-2022.

C 85 Задача Ньютона.

Купец имел некоторую сумму денег. В первый год он истратил 100 фунтов, а к оставшейся сумме добавил третью ее часть. В следующем году он вновь истратил 100 фунтов и увеличил оставшуюся сумму на третью ее часть. В третьем году он опять истратил 100 фунтов. После того как он добавил к остатку третью его часть, капитал его стал вдвое больше первоначального. Чему был равен первоначальный капитал?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).