Номер 79, страница 19, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 3. Уравнения. 4. Понятие уравнения - номер 79, страница 19.

Условие 2023.

79. Переведи высказывания с математического языка на русский и определи их истинность. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: a \cdot \frac{1}{a}=1$;

б) $\forall a, b \in Q: ab \ne 0$;

в) $\exists a \in Q: -a > a$;

г) $\exists a \in Q: -a^2 > (-a)^2$.

Решение 2 (2023).

а) $ \forall a \in Q: a \cdot \frac{1}{a} = 1 $

Перевод на русский язык: "Для любого рационального числа $a$ произведение этого числа на обратное ему ($ \frac{1}{a} $) равно единице".

Определение истинности: Данное высказывание ложно. В множестве рациональных чисел $Q$ содержится число 0. Для $ a = 0 $ выражение $ \frac{1}{a} $ не определено, а значит, и всё равенство не имеет смысла и не может считаться верным. Таким образом, свойство выполняется не для любого рационального числа.

Построение отрицания: Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности $ (\forall) $ является высказывание с квантором существования $ (\exists) $ и отрицанием самого утверждения.
Отрицание в математической форме: $ \exists a \in Q: a \cdot \frac{1}{a} \neq 1 $.
Отрицание на русском языке: "Существует такое рациональное число $a$, для которого произведение этого числа на обратное ему не равно единице".

Ответ: высказывание ложно; отрицание: $ \exists a \in Q: a \cdot \frac{1}{a} \neq 1 $.

б) $ \forall a, b \in Q: ab \neq 0 $

Перевод на русский язык: "Произведение любых двух рациональных чисел $a$ и $b$ не равно нулю".

Определение истинности: Данное высказывание ложно. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поскольку 0 является рациональным числом, мы можем выбрать, например, $ a=0 $ и $ b=5 $. Тогда их произведение $ ab = 0 \cdot 5 = 0 $, что противоречит утверждению $ ab \neq 0 $.

Построение отрицания:
Отрицание в математической форме: $ \exists a, b \in Q: ab = 0 $.
Отрицание на русском языке: "Существуют такие рациональные числа $a$ и $b$, что их произведение равно нулю".

Ответ: высказывание ложно; отрицание: $ \exists a, b \in Q: ab = 0 $.

в) $ \exists a \in Q: -a > a $

Перевод на русский язык: "Существует такое рациональное число $a$, для которого противоположное ему число ($-a$) больше самого числа $a$".

Определение истинности: Данное высказывание истинно. Решим неравенство:
$ -a > a $
$ 0 > a + a $
$ 0 > 2a $
$ 0 > a $ или $ a < 0 $
Неравенство верно для любого отрицательного рационального числа. Например, если $ a = -2 $, то $ -(-2) > -2 $, что равносильно $ 2 > -2 $. Это верное неравенство. Так как отрицательные рациональные числа существуют, то и искомое число $a$ существует.

Ответ: высказывание истинно.

г) $ \exists a \in Q: -a^2 > (-a)^2 $

Перевод на русский язык: "Существует такое рациональное число $a$, для которого число, противоположное его квадрату, больше, чем квадрат противоположного ему числа".

Определение истинности: Данное высказывание ложно. Упростим неравенство, учитывая, что $ (-a)^2 = a^2 $:
$ -a^2 > a^2 $
$ 0 > a^2 + a^2 $
$ 0 > 2a^2 $
$ 0 > a^2 $
Квадрат любого рационального числа $a$ всегда является неотрицательным числом ($ a^2 \ge 0 $). Неравенство $ a^2 < 0 $ не имеет решений в множестве рациональных чисел. Следовательно, не существует такого рационального числа $a$, которое бы удовлетворяло этому условию.

Построение отрицания:
Отрицание в математической форме: $ \forall a \in Q: -a^2 \le (-a)^2 $.
Отрицание на русском языке: "Для любого рационального числа $a$ число, противоположное его квадрату, меньше или равно квадрату противоположного ему числа".

Ответ: высказывание ложно; отрицание: $ \forall a \in Q: -a^2 \le (-a)^2 $.

Условие 2010-2022.

79 Переведи высказывания с математического языка на русский и определи их истинность. Для ложных высказываний построй отрицания:

а) $\forall a \in Q: a \cdot \frac{1}{a}=1;$

б) $\forall a, b \in Q: ab \neq 0;$

в) $\exists a \in Q: -a > a;$

г) $\exists a \in Q: -a^2 > (-a)^2.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).