Номер 74, страница 18, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Понятие уравнения. Параграф 3. Уравнения. Глава 3. Рациональные числа. Часть 3 - номер 74, страница 18.

Условие 2023.

74 Докажи, что уравнение не имеет рациональных корней:

а) $x + 4 = x - 3;$

б) $x^2 + 1 = 0;$

в) $|2x - 3| = -1.$

Решение 2 (2023).

а) Решим данное линейное уравнение $x + 4 = x - 3$. Для этого перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую:
$x - x = -3 - 4$
Приводя подобные слагаемые, получаем:
$0 \cdot x = -7$
$0 = -7$
Полученное равенство является ложным и не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что не существует такого числа (в том числе и рационального), которое бы удовлетворяло исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: Уравнение не имеет корней, а значит, не имеет и рациональных корней.

б) Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 1 = 0$.
Выразим из него $x^2$:
$x^2 = -1$
По определению, квадрат любого действительного числа (а все рациональные числа являются действительными) является неотрицательным. То есть, для любого $x \in \mathbb{Q}$ (множество рациональных чисел) справедливо неравенство $x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение в левой части уравнения $x^2 + 1$ для любого рационального $x$ всегда будет больше или равно 1 ($x^2 + 1 \ge 1$), и никогда не сможет равняться нулю. Таким образом, уравнение не имеет действительных корней, а значит и рациональных.
Ответ: Уравнение не имеет рациональных корней.

в) Рассмотрим уравнение с модулем $|2x - 3| = -1$.
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа — это величина неотрицательная. Для любого выражения $A$, значение $|A| \ge 0$.
В левой части нашего уравнения стоит выражение $|2x - 3|$, которое для любого рационального $x$ будет принимать неотрицательные значения: $|2x - 3| \ge 0$.
В правой части уравнения стоит отрицательное число -1.
Таким образом, мы получаем противоречие: неотрицательное число не может быть равно отрицательному. Следовательно, данное уравнение не имеет решений ни в действительных, ни, тем более, в рациональных числах.
Ответ: Уравнение не имеет корней, так как значение модуля не может быть отрицательным.

Условие 2010-2022.

74. Докажи, что уравнение не имеет рациональных корней:

a) $x + 4 = x - 3;$

б) $x^2 + 1 = 0;$

в) $|2x - 3| = -1.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).