Номер 67, страница 15, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 3. Уравнения. 3. Приведение подобных слагаемых - номер 67, страница 15.

Условие 2023.

67. Найди целые корни уравнения методом проб и ошибок:

а) $x^2(x+1)=80$;

б) $x^4+x^2=20$;

в) $x^5-x^4=162$.

Решение 2 (2023).

а) $x^2(x + 1) = 80$

Для нахождения целых корней будем использовать метод подбора. Так как $x^2$ является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$), а правая часть уравнения (80) положительна, то и множитель $(x + 1)$ должен быть положительным. Отсюда следует, что $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$. Таким образом, будем проверять целые числа, начиная с $0$.

• При $x = 0$: $0^2(0 + 1) = 0 \ne 80$.
• При $x = 1$: $1^2(1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \ne 80$.
• При $x = 2$: $2^2(2 + 1) = 4 \cdot 3 = 12 \ne 80$.
• При $x = 3$: $3^2(3 + 1) = 9 \cdot 4 = 36 \ne 80$.
• При $x = 4$: $4^2(4 + 1) = 16 \cdot 5 = 80$. Это значение является корнем уравнения.

При $x > 4$ значение левой части уравнения будет увеличиваться, так как функция $f(x) = x^2(x+1)$ возрастает при $x > 0$. Следовательно, других положительных целых корней нет.

Ответ: $4$.

б) $x^4 + x^2 = 20$

Подберем целые значения $x$. Так как $x$ входит в уравнение только в четных степенях ($x^4$ и $x^2$), значения левой части будут одинаковы для $x$ и $-x$. Поэтому достаточно найти положительные корни, а затем добавить к ним соответствующие отрицательные.

Начнем проверку с положительных целых чисел:

• При $x = 1$: $1^4 + 1^2 = 1 + 1 = 2 \ne 20$.
• При $x = 2$: $2^4 + 2^2 = 16 + 4 = 20$. Это значение является корнем.

При $x > 2$ левая часть будет больше 20, так как функция $f(x) = x^4+x^2$ возрастает при $x > 0$. Значит, $x=2$ — единственный положительный целый корень.

Поскольку уравнение содержит только четные степени $x$, то $x = -2$ также является корнем:

$(-2)^4 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.

Ответ: $-2; 2$.

в) $x^5 - x^4 = 162$

Вынесем общий множитель за скобки, чтобы упростить подбор: $x^4(x - 1) = 162$.

Множитель $x^4$ всегда неотрицателен. Так как правая часть (162) положительна, множитель $(x - 1)$ также должен быть положительным. Это означает, что $x - 1 > 0$, или $x > 1$. Будем проверять целые числа, большие 1.

• При $x = 2$: $2^4(2 - 1) = 16 \cdot 1 = 16 \ne 162$.
• При $x = 3$: $3^4(3 - 1) = 81 \cdot 2 = 162$. Это значение является корнем.

При $x > 3$ значение левой части $x^4(x-1)$ будет расти, поэтому других целых корней нет.

Ответ: $3$.

Условие 2010-2022.

C 67 Найди целые корни уравнения методом проб и ошибок:

a) $x^2(x+1) = 80;$

б) $x^4 + x^2 = 20;$

в) $x^5 - x^4 = 162.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).